4459:
3815:
4454:{\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&b_{2,n}&b_{3,n}&\cdots &b_{m-1,n}&b_{m,n}\\b_{1,n-1}&b_{2,n-1}&b_{3,n-1}&\cdots &b_{m-1,n-1}&b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&b_{2,n-2}&b_{3,n-2}&\cdots &b_{m-1,n-2}&b_{m,n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{1,2}&b_{2,2}&b_{3,2}&\cdots &b_{m-1,2}&b_{m,2}\\b_{1,1}&b_{2,1}&b_{3,1}&\cdots &b_{m-1,1}&b_{m,1}\end{bmatrix}}}
4695:
3807:
3570:
4466:
3578:
3341:
1138:
684:
2192:
2570:. Case 1 is often called the "all-zero" or "finite impulse response" case, whereas case 2 is called the "all-pole" or "infinite impulse response" case. The general situation can be implemented as a cascade of the two individual cases. The solution for case 1 is considerably simpler than case 2 and is shown below.
4690:{\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}
3802:{\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}}
3565:{\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}
836:
2541:
2262:
Often an image processing or other md computational task is described by a transfer function that has certain filtering properties, but it is desired to convert it to state-space form for more direct computation. Such conversion is referred to as realization of the transfer function.
1820:
5100:
306:
54: > 1) have recently attracted the interest of many researchers and practitioners. The reason is that the factorization and stability is not a straightforward extension of the factorization and stability of 1-D systems because, for example, the
4952:
1880:
2751:
1374:
5177:
1133:{\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}
122:-d system, each dimension has a state vector that contains the effect of prior inputs relative to that dimension. The collection of all such dimensional state vectors at a point constitutes the total state vector at the point.
4788:
2272:
1559:
2836:
805:
5235:
311:
4960:
679:{\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}
4796:
2187:{\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}
2248:
1872:
2871:
3258:
3225:
3130:
3070:
1544:
1511:
3313:
3192:
2963:
1446:
1411:
1176:
298:
263:
228:
193:
3157:
3097:
3037:
3010:
2928:
2901:
1478:
158:
2581:
1189:
5108:
125:
Consider a uniform discrete space linear two-dimensional (2d) system that is space invariant and causal. It can be represented in matrix-vector form as follows:
3333:
3278:
2983:
2568:
825:
5343:
2536:{\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}
118:
A state-space model is a representation of a system in which the effect of all "prior" input values is contained by a state vector. In the case of an
4702:
5333:
1815:{\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}
2762:
1178:
at each point and initial state values, the value of each output vector can be computed by recursively performing the operation above.
692:
5185:
107:
55:
5095:{\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\\\end{bmatrix}}}
5338:
5328:
99:
87:
4947:{\displaystyle B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_{0,n-1}\\b_{0,n-2}\\\vdots \\b_{0,2}\\b_{0,1}\end{bmatrix}}}
1186:
A discrete linear two-dimensional system is often described by a partial difference equation in the form:
2266:
Consider a 2d linear spatially invariant causal system having an input-output relationship described by:
32:
2204:
1828:
5258:
Multidimensional
Systems Theory, Progress, Directions and Open Problems in Multidimensional Systems
2841:
59:
3230:
3197:
3102:
3042:
2746:{\displaystyle Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}
1516:
1483:
1369:{\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}
3283:
3162:
2933:
1416:
1381:
1146:
268:
233:
198:
163:
95:
43:
5172:{\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}}
3135:
3075:
3015:
2988:
2906:
2879:
1451:
131:
3318:
3263:
2968:
2553:
810:
20:
5322:
2546:
Two cases are individually considered 1) the bottom summation is simply the constant
39:
2930:
which correspond to a delay (or shift) along the respective dimension of the input
2201:-transform of the pattern is computed and then multiplied by the transfer function
91:
71:
4783:{\displaystyle B_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{bmatrix}}}
5311:. Lecture Notes Contr. and Inform. Sciences. Vol. 68. Springer-Verlag.
830:
These equations can be written more compactly by combining the matrices:
2876:
Each term in the summation involves a negative (or zero) power of
2831:{\displaystyle R(1\times m),\quad S(1\times n),\quad x(1\times 1)}
35:
exists (like time), but there are several independent variables.
86:-D systems are the necessary mathematical background for modern
800:{\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}
2756:
The state-space vectors will have the following dimensions:
1553:-transform is applied to both sides of the equation above.
16:
System in which not only one independent variable exists
5230:{\displaystyle D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}}
5200:
5130:
4982:
4818:
4724:
4488:
3837:
3600:
3363:
1057:
938:
845:
5291:
Multidimensional
Systems: Techniques and Applications
5260:. Dordre http, Holland: D. Reidel Publishing Company.
5188:
5111:
4963:
4799:
4705:
4469:
3818:
3581:
3344:
3321:
3286:
3266:
3233:
3200:
3165:
3138:
3105:
3078:
3045:
3018:
2991:
2971:
2936:
2909:
2882:
2844:
2765:
2584:
2556:
2275:
2207:
1883:
1831:
1562:
1519:
1486:
1454:
1419:
1384:
1192:
1149:
839:
813:
695:
309:
271:
236:
201:
166:
134:
1549:
To derive a transfer function for the system the 2d
5229:
5171:
5094:
4946:
4782:
4689:
4453:
3801:
3564:
3327:
3307:
3272:
3252:
3219:
3186:
3151:
3124:
3091:
3064:
3031:
3004:
2977:
2957:
2922:
2895:
2865:
2830:
2745:
2562:
2535:
2242:
2186:
1866:
1814:
1538:
1505:
1472:
1440:
1405:
1368:
1170:
1132:
819:
799:
678:
300:. Then the operation at each point is defined by:
292:
257:
222:
187:
152:
5273:Multidimensional Systems: Theory and Applications
2197:So given any pattern of input values, the 2d
8:
2574:Example: all zero or finite impulse response
5284:
5282:
5302:
5300:
3039:matrices and the multiplying coefficients
2550:2) the top summation is simply a constant
5207:
5195:
5187:
5125:
5116:
5110:
5072:
5048:
5025:
5007:
4989:
4977:
4968:
4962:
4924:
4904:
4871:
4845:
4825:
4813:
4804:
4798:
4719:
4710:
4704:
4483:
4474:
4468:
4431:
4407:
4384:
4366:
4348:
4328:
4304:
4281:
4263:
4245:
4187:
4157:
4128:
4104:
4080:
4054:
4024:
3995:
3971:
3947:
3927:
3903:
3880:
3862:
3844:
3832:
3823:
3817:
3595:
3586:
3580:
3358:
3349:
3343:
3320:
3285:
3265:
3238:
3232:
3205:
3199:
3194:and add it to the first component of the
3164:
3143:
3137:
3110:
3104:
3083:
3077:
3050:
3044:
3023:
3017:
2996:
2990:
2970:
2935:
2914:
2908:
2887:
2881:
2843:
2764:
2734:
2721:
2702:
2697:
2684:
2679:
2663:
2647:
2624:
2608:
2595:
2583:
2555:
2524:
2511:
2489:
2484:
2471:
2466:
2450:
2434:
2411:
2396:
2391:
2378:
2373:
2357:
2341:
2318:
2311:
2299:
2286:
2274:
2231:
2218:
2206:
2172:
2167:
2154:
2149:
2133:
2117:
2094:
2079:
2074:
2061:
2056:
2040:
2024:
2001:
1994:
1979:
1966:
1945:
1932:
1919:
1907:
1894:
1882:
1855:
1842:
1830:
1825:Transposing yields the transfer function
1803:
1790:
1771:
1766:
1753:
1748:
1732:
1716:
1693:
1677:
1664:
1645:
1640:
1627:
1622:
1606:
1590:
1567:
1561:
1524:
1518:
1491:
1485:
1453:
1418:
1383:
1324:
1308:
1285:
1236:
1220:
1197:
1191:
1148:
1052:
1033:
1021:
1007:
995:
983:
969:
957:
945:
933:
840:
838:
812:
791:
778:
765:
752:
739:
726:
713:
700:
694:
624:
593:
536:
505:
474:
411:
380:
349:
310:
308:
270:
235:
200:
165:
133:
128:Represent the input vector at each point
114:Linear multidimensional state-space model
2965:. This delay can be effected by placing
827:are matrices of appropriate dimensions.
102:. There are also some studies combining
5248:
3335:. The matrices then appear as follows:
3132:is placed in the upper position of the
3159:matrix, which will multiply the input
3280:matrix which will multiply the input
2258:Realization of a 2d transfer function
7:
2985:’s along the super diagonal in the
5344:Multidimensional signal processing
1182:Multidimensional transfer function
31:is a system in which not only one
14:
2254:-transform of the system output.
265:and the vertical state vector by
3072:in the proper positions in the
2809:
2787:
230:the horizontal state vector by
5334:Partial differential equations
5309:Two-Dimensional Linear Systems
3302:
3290:
3181:
3169:
2952:
2940:
2860:
2848:
2825:
2813:
2803:
2791:
2781:
2769:
2740:
2714:
2614:
2588:
2530:
2504:
2305:
2279:
2243:{\displaystyle T(z_{1},z_{2})}
2237:
2211:
1985:
1959:
1951:
1925:
1913:
1887:
1867:{\displaystyle T(z_{1},z_{2})}
1861:
1835:
1809:
1783:
1683:
1657:
1467:
1455:
1435:
1423:
1400:
1388:
1363:
1339:
1275:
1251:
1165:
1153:
1119:
1107:
1097:
1085:
1075:
1063:
919:
907:
897:
879:
869:
851:
669:
657:
645:
633:
614:
602:
579:
567:
557:
545:
526:
514:
495:
483:
460:
442:
432:
420:
401:
389:
370:
358:
335:
317:
287:
275:
252:
240:
217:
205:
182:
170:
147:
135:
108:partial differential equations
56:fundamental theorem of algebra
1:
5289:Tzafestas, S.G., ed. (1986).
2866:{\displaystyle y(1\times 1)}
82:Multidimensional systems or
1546:are constant coefficients.
38:Important problems such as
5360:
5293:. New York: Marcel-Dekker.
90:with many applications in
3315:and add it to the output
3227:vector. Also, a value of
5271:Bose, N.K., ed. (1979).
5256:Bose, N.K., ed. (1985).
100:satellite communications
88:digital image processing
3253:{\displaystyle b_{0,0}}
3220:{\displaystyle R_{i,j}}
3125:{\displaystyle b_{0,0}}
3065:{\displaystyle b_{i,j}}
1539:{\displaystyle b_{p,q}}
1506:{\displaystyle a_{p,q}}
1448:is the output at point
195:, the output vector by
25:multidimensional system
5231:
5173:
5096:
4948:
4784:
4691:
4455:
3803:
3566:
3329:
3309:
3308:{\displaystyle x(i,j)}
3274:
3254:
3221:
3188:
3187:{\displaystyle x(i,j)}
3153:
3126:
3093:
3066:
3033:
3006:
2979:
2959:
2958:{\displaystyle x(i,j)}
2924:
2897:
2867:
2832:
2747:
2658:
2564:
2537:
2445:
2352:
2244:
2188:
2128:
2035:
1868:
1816:
1727:
1601:
1540:
1507:
1474:
1442:
1441:{\displaystyle y(i,j)}
1407:
1406:{\displaystyle x(i,j)}
1370:
1319:
1231:
1172:
1171:{\displaystyle u(i,j)}
1134:
821:
801:
680:
294:
293:{\displaystyle S(i,j)}
259:
258:{\displaystyle R(i,j)}
224:
223:{\displaystyle y(i,j)}
189:
188:{\displaystyle u(i,j)}
154:
58:does not exist in the
5307:Kaczorek, T. (1985).
5232:
5174:
5097:
4949:
4785:
4692:
4456:
3804:
3567:
3330:
3310:
3275:
3255:
3222:
3189:
3154:
3152:{\displaystyle B_{1}}
3127:
3094:
3092:{\displaystyle A_{2}}
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