191:
4082:
156:
37:
8936:
3640:
8946:
4077:{\displaystyle {\begin{aligned}p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\mathrm {P} (X_{1}=x_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\\&\cdot \mathrm {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\\&\dots \\&\cdot P(X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1}).\end{aligned}}}
5340:
6966:
When two or more random variables are defined on a probability space, it is useful to describe how they vary together; that is, it is useful to measure the relationship between the variables. A common measure of the relationship between two random variables is the covariance. Covariance is a measure
1939:
If more than one random variable is defined in a random experiment, it is important to distinguish between the joint probability distribution of X and Y and the probability distribution of each variable individually. The individual probability distribution of a random variable is referred to as its
7111:
The correlation just scales the covariance by the product of the standard deviation of each variable. Consequently, the correlation is a dimensionless quantity that can be used to compare the linear relationships between pairs of variables in different units. If the points in the joint probability
676:
Each of the four inner cells shows the probability of a particular combination of results from the two draws; these probabilities are the joint distribution. In any one cell the probability of a particular combination occurring is (since the draws are independent) the product of the probability of
7120:
equals +1 or â1, it can be shown that the points in the joint probability distribution that receive positive probability fall exactly along a straight line. Two random variables with nonzero correlation are said to be correlated. Similar to covariance, the correlation is a measure of the linear
684:
for A and the marginal probability distribution for B respectively. For example, for A the first of these cells gives the sum of the probabilities for A being red, regardless of which possibility for B in the column above the cell occurs, as 2/3. Thus the marginal probability distribution for
614:
be discrete random variables associated with the outcomes of the draw from the first urn and second urn respectively. The probability of drawing a red ball from either of the urns is 2/3, and the probability of drawing a blue ball is 1/3. The joint probability distribution is presented in the
6622:. This means that acquiring any information about the value of one or more of the random variables leads to a conditional distribution of any other variable that is identical to its unconditional (marginal) distribution; thus no variable provides any information about any other variable.
5794:
3615:
6133:
3257:
2704:
5616:
1876:
1724:
4447:
7255:
2924:
6967:
of linear relationship between the random variables. If the relationship between the random variables is nonlinear, the covariance might not be sensitive to the relationship, which means, it does not relate the correlation between two variables.
36:
5136:
4811:
4637:
4203:
809:. If a coin displays "heads" then the associated random variable takes the value 1, and it takes the value 0 otherwise. The probability of each of these outcomes is 1/2, so the marginal (unconditional) density functions are
1339:
3073:
1234:
2314:
5799:
One example of a situation in which one may wish to find the cumulative distribution of one random variable which is continuous and another random variable which is discrete arises when one wishes to use a
959:
884:
6433:
5632:
3459:
5448:
1142:
2811:
7097:
5994:
3098:
6577:
6288:
5999:
5637:
3645:
6832:
6775:
2551:
2155:
2075:
5459:
1730:
1578:
3309:
4294:
4286:
3448:
2540:
1940:
marginal probability distribution. In general, the marginal probability distribution of X can be determined from the joint probability distribution of X and other random variables.
7129:
6882:
4910:
4862:
574:
Each of two urns contains twice as many red balls as blue balls, and no others, and one ball is randomly selected from each urn, with the two draws independent of each other. Let
6694:
2487:
2819:
7594:
5906:
4509:
1989:
482:
6946:
5626:
The "mixed joint density" may be defined where one or more random variables are continuous and the other random variables are discrete. With one variable of each type
5078:
5042:
2224:
5335:{\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial ^{n}F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial x_{1}\ldots \partial x_{n}}}}
677:
the specified result for A and the probability of the specified result for B. The probabilities in these four cells sum to 1, as with all probability distributions.
511:
on all possible pairs of outputs. The joint distribution can just as well be considered for any given number of random variables. The joint distribution encodes the
5938:
5858:
6911:
148:
116:
7482:
7410:
5006:
4960:
4227:
3389:
3365:
3339:
2970:
2191:
1455:
1429:
1403:
1377:
6718:
6648:
6620:
6600:
6476:
6456:
6331:
6311:
6189:
6169:
5986:
5966:
5860:
were initially defined in such a way that one could not collectively assign it either a probability density function or a probability mass function. Formally,
5822:
5122:
5102:
4980:
4934:
2741:
2441:
2418:
2398:
2375:
2355:
2159:
where the first integral is over all points in the range of (X,Y) for which X=x and the second integral is over all points in the range of (X,Y) for which Y=y.
1923:
1903:
1570:
1550:
1002:
982:
799:
779:
747:
723:
703:
612:
592:
84:
61:
7723:
8970:
6481:
While the number of independent random events grows, the related joint probability value decreases rapidly to zero, according to a negative exponential law.
4662:
4530:
8975:
4101:
8206:
8114:
8901:
7281:
8767:
7979:
7738:
7587:
166:
Many samples observations (black) are shown from a joint probability distribution. The marginal densities are shown as well (in blue and in red).
519:, which deal with how the outputs of one random variable are distributed when given information on the outputs of the other random variable(s).
8662:
8426:
475:
8100:
7543:
7458:
7433:
7386:
1245:
8421:
8365:
8025:
7663:
516:
8171:
2981:
8707:
8441:
8294:
7969:
7713:
163:
8949:
8166:
1153:
8939:
8611:
8587:
7580:
7361:
2235:
8808:
8436:
8685:
8646:
8618:
8592:
8510:
7859:
7607:
7277:
681:
468:
456:
415:
5789:{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathrm {P} (Y=y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)f_{X}(x).\end{aligned}}}
3610:{\displaystyle p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathrm {P} (X_{1}=x_{1}{\text{ and }}\dots {\text{ and }}X_{n}=x_{n})}
890:
815:
6339:
8796:
8762:
8628:
8623:
8468:
8276:
7974:
7728:
7269:
7265:
7108:
There is another measure of the relationship between two random variables that is often easier to interpret than the covariance.
542:
8546:
8459:
8431:
8340:
8289:
8263:
8161:
7944:
7909:
801:
be discrete random variables associated with the outcomes of the first and second coin flips respectively. Each coin flip is a
346:
282:
6128:{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X,Y}(x,y)&=\sum \limits _{t\leq y}\int _{s=-\infty }^{x}f_{X,Y}(s,t)\;ds.\end{aligned}}}
5365:
3252:{\displaystyle p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)}
1010:
8477:
8314:
8061:
7939:
7914:
7778:
7773:
7768:
255:
8238:
7748:
7743:
2749:
6975:
8876:
8742:
8450:
8299:
8231:
8216:
8109:
8083:
8015:
7854:
7685:
7670:
7528:
7510:
5828:
use the "mixed" joint density when finding the cumulative distribution of this binary outcome because the input variables
8393:
6490:
6201:
8772:
8712:
8702:
8319:
8020:
7879:
4460:
2699:{\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}(x_{1},\ldots ,x_{N})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}
546:
538:
8121:
7864:
7793:
6780:
6723:
8757:
8752:
8697:
8633:
8398:
8176:
8073:
7658:
7523:
7505:
7312:
7112:
distribution of X and Y that receive positive probability tend to fall along a line of positive (or negative) slope, Ï
6953:
5611:{\displaystyle \int _{x_{1}}\ldots \int _{x_{n}}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{n}\ldots \;dx_{1}=1}
1871:{\displaystyle \mathrm {P} (A=0,B=1)=P\{3,5\}={\frac {2}{6}},\quad \quad \mathrm {P} (A=1,B=1)=P\{2\}={\frac {1}{6}}.}
1719:{\displaystyle \mathrm {P} (A=0,B=0)=P\{1\}={\frac {1}{6}},\quad \quad \mathrm {P} (A=1,B=0)=P\{4,6\}={\frac {2}{6}},}
8577:
8385:
7518:
2080:
2000:
8891:
8667:
8486:
8268:
8221:
8090:
8066:
8046:
7889:
7763:
7643:
7102:
5804:
in predicting the probability of a binary outcome Y conditional on the value of a continuously distributed outcome
4512:
554:
250:
8896:
7839:
8680:
8641:
8515:
8352:
8196:
8141:
8039:
8003:
7874:
4442:{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}\dots \sum _{k}\mathrm {P} (X_{1}=x_{1i},X_{2}=x_{2j},\dots ,X_{n}=x_{nk})=1.\;}
2940:
550:
366:
8582:
8370:
8136:
8095:
8010:
7964:
7904:
7869:
7758:
7653:
7603:
7327:
7273:
6192:
5945:
4913:
4089:
3265:
2944:
558:
508:
425:
420:
309:
294:
7695:
7250:{\displaystyle \rho _{XY}={\frac {cov(X,Y)}{\sqrt {V(X)V(Y)}}}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}
4232:
3394:
5988:. Either of these two decompositions can then be used to recover the joint cumulative distribution function:
2492:
8881:
8823:
8494:
8281:
8191:
8146:
8131:
8051:
7949:
7899:
7894:
7675:
7322:
7307:
7285:
3312:
404:
275:
1239:
Since the coin flips are independent, the joint probability mass function is the product of the marginals:
8747:
8735:
8724:
8606:
8502:
8309:
7753:
7733:
7638:
7317:
6837:
6697:
6138:
The definition generalizes to a mixture of arbitrary numbers of discrete and continuous random variables.
4867:
4819:
2919:{\displaystyle F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})}
806:
299:
6653:
2446:
8871:
8828:
8672:
8347:
8201:
8181:
8078:
7648:
7500:
7332:
5081:
1992:
1934:
512:
399:
304:
270:
440:
8921:
8916:
8911:
8906:
8843:
8813:
8692:
8335:
8226:
8126:
7829:
7788:
7783:
7680:
7297:
430:
324:
217:
17:
190:
8855:
8380:
8360:
8330:
8304:
8258:
8186:
7998:
7934:
5801:
531:
527:
389:
331:
319:
314:
6884:. Therefore, it can be efficiently represented by the lower-dimensional probability distributions
5863:
4466:
1946:
8886:
8375:
8156:
8151:
8056:
7993:
7988:
7844:
7834:
7718:
7476:
7404:
376:
265:
205:
182:
7302:
6916:
3370:
The generalization of the preceding two-variable case is the joint probability distribution of
8784:
8211:
7954:
7884:
7849:
7798:
7567:
7539:
7464:
7454:
7429:
7392:
7382:
7357:
5047:
5011:
500:
435:
341:
240:
2196:
7959:
7633:
6949:
530:, by the map obtained by pairing together the given random variables, of the sample space's
260:
155:
5911:
5831:
6887:
5941:
802:
496:
336:
287:
124:
92:
4985:
4939:
4211:
3373:
3344:
3318:
2949:
2170:
1434:
1408:
1382:
1356:
7554:
7426:
Fundamentals of
Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications
8032:
6703:
6633:
6605:
6585:
6461:
6441:
6316:
6296:
6174:
6154:
5971:
5951:
5807:
5107:
5087:
4965:
4919:
2726:
2426:
2403:
2383:
2360:
2340:
1908:
1888:
1555:
1535:
987:
967:
784:
764:
732:
708:
688:
597:
577:
523:
351:
69:
46:
4806:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_{Y}(y)}
4632:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\frac {\partial ^{2}F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\partial y}}}
8964:
8655:
8403:
7690:
6484:
Similarly, two absolutely continuous random variables are independent if and only if
4198:{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}\mathrm {P} (X=x_{i}\ \mathrm {and} \ Y=y_{j})=1,\,}
2744:
537:
In the case of real-valued random variables, the joint distribution, as a particular
224:
7536:
A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how
6720:
of these variables, then the probability mass function of the joint distribution is
7572:
6970:
The covariance between the random variable X and Y, denoted as cov(X,Y), is :
451:
361:
245:
1147:
Since each outcome is equally likely the joint probability mass function becomes
557:, it is sufficient to consider probability density functions, and in the case of
4515:
is defined as the derivative of the joint cumulative distribution function (see
2334:
371:
212:
200:
7559:
7354:
An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition
6960:
229:
175:
7468:
7396:
6333:
are independent if and only if the joint probability mass function satisfies
515:, i.e. the distributions of each of the individual random variables and the
758:
1004:
defines probabilities for each pair of outcomes. All possible outcomes are
7264:
Named joint distributions that arise frequently in statistics include the
1991:, the marginal probability density function of X and Y, which defines the
1943:
If the joint probability density function of random variable X and Y is
356:
1334:{\displaystyle P(A,B)=P(A)P(B)\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}.}
6948:. Such conditional independence relations can be represented with a
6195:
if and only if the joint cumulative distribution function satisfies
5127:
The definition extends naturally to more than two random variables:
3068:{\displaystyle p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)}
1881:
These probabilities necessarily sum to 1, since the probability of
1229:{\displaystyle P(A,B)=1/4\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}.}
7547:
2309:{\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x,Y\leq y)}
1350:
7576:
954:{\displaystyle P(B)=1/2\quad {\text{for}}\quad B\in \{0,1\}.}
879:{\displaystyle P(A)=1/2\quad {\text{for}}\quad A\in \{0,1\};}
7124:
The correlation between random variable X and Y, denoted as
6428:{\displaystyle P(X=x\ {\mbox{and}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}
561:, it is sufficient to consider probability mass functions.
5359:
Again, since these are probability distributions, one has
6626:
Joint distribution for conditionally dependent variables
5443:{\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1}
4095:
Since these are probabilities, in the two-variable case
1137:{\displaystyle (A=0,B=0),(A=0,B=1),(A=1,B=0),(A=1,B=1).}
6362:
2806:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}}
680:
Moreover, the final row and the final column give the
7132:
7092:{\displaystyle \sigma _{XY}=E=E(XY)-\mu _{x}\mu _{y}}
6978:
6919:
6890:
6840:
6783:
6726:
6706:
6656:
6636:
6608:
6588:
6493:
6464:
6444:
6342:
6319:
6299:
6204:
6177:
6157:
5997:
5974:
5954:
5914:
5866:
5834:
5810:
5635:
5462:
5368:
5139:
5110:
5090:
5050:
5014:
4988:
4968:
4942:
4922:
4870:
4822:
4665:
4533:
4469:
4297:
4235:
4214:
4104:
3643:
3462:
3397:
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7453:. Runger, George C. (Sixth ed.). Hoboken, NJ.
7381:. Runger, George C. (Sixth ed.). Hoboken, NJ.
6572:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)}
6283:{\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)}
2193:, the joint cumulative distribution function (CDF)
7538:. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005.
7249:
7091:
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6905:
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6827:{\displaystyle \mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})}
6770:{\displaystyle \mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})}
3092:or written in terms of conditional distributions
541:distribution, may be expressed by a multivariate
7451:Applied statistics and probability for engineers
7379:Applied statistics and probability for engineers
1572:, expressed as a probability mass function, is
2150:{\displaystyle f_{Y}(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\;dx}
2070:{\displaystyle f_{X}(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\;dy}
7588:
1431:if the number is prime (i.e. 2, 3, or 5) and
476:
8:
6147:Joint distribution for independent variables
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1843:
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1772:
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1685:
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1620:
1379:if the number is even (i.e. 2, 4, or 6) and
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7449:Montgomery, Douglas C. (19 November 2013).
7377:Montgomery, Douglas C. (19 November 2013).
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7409:: CS1 maint: location missing publisher (
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3304:{\displaystyle \mathrm {P} (Y=y\mid X=x)}
3269:
3267:
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2728:
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2342:
2333:where the right-hand side represents the
2243:
2237:
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690:
599:
579:
526:, the joint distribution is given by the
126:
94:
71:
48:
7282:multivariate hypergeometric distribution
4281:{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}
3443:{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}
1459:
617:
7344:
7121:relationship between random variables.
5908:is the probability density function of
2930:Joint density function or mass function
2535:{\displaystyle F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}}
2400:takes on a value less than or equal to
2357:takes on a value less than or equal to
964:The joint probability mass function of
181:
7568:Mathworld: Joint Distribution Function
7474:
7402:
2163:Joint cumulative distribution function
517:conditional probability distributions
18:Multivariate probability distribution
7:
8945:
6877:{\displaystyle P(B)\cdot P(A\mid B)}
5130:
4905:{\displaystyle f_{X\mid Y}(x\mid y)}
4857:{\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)}
4524:
3453:
2975:
2545:
2229:
522:In the formal mathematical setup of
8971:Theory of probability distributions
7555:"Joint continuous density function"
6689:{\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}
6041:
2482:{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}
8976:Types of probability distributions
6785:
6728:
6070:
5729:
5706:
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5300:
5218:
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7333:Pairwise independent distribution
7278:negative multinomial distribution
1929:Marginal probability distribution
682:marginal probability distribution
8944:
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8934:
7519:"Multi-dimensional distribution"
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7266:multivariate normal distribution
6151:In general two random variables
2839:
2829:
2754:
1532:Then, the joint distribution of
543:cumulative distribution function
189:
35:
27:Type of probability distribution
2167:For a pair of random variables
1804:
1803:
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6293:Two discrete random variables
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4517:
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4486:
4429:
4336:
4182:
4130:
4088:This identity is known as the
4064:
3942:
3916:
3838:
3820:
3768:
3757:
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3716:
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3165:
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3130:
3118:
3062:
3024:
3013:
3001:
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2267:
2255:
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2100:
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2045:
2020:
2014:
1978:
1966:
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1739:
1676:
1652:
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1074:
1068:
1044:
1038:
1014:
903:
897:
828:
822:
505:joint probability distribution
256:Collectively exhaustive events
137:
131:
105:
99:
1:
7260:Important named distributions
549:together with a multivariate
499:that are defined on the same
5901:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
4504:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
4461:probability density function
1984:{\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}
1405:otherwise. Furthermore, let
1349:Consider the roll of a fair
749:, in a margin of the table.
547:probability density function
7524:Encyclopedia of Mathematics
7506:Encyclopedia of Mathematics
7313:Copula (probability theory)
4513:continuous random variables
2813:yields a shorter notation:
555:continuous random variables
8992:
8768:Wrapped asymmetric Laplace
7739:Extended negative binomial
6941:{\displaystyle P(A\mid B)}
4229:discrete random variables
3391:discrete random variables
1932:
8930:
8427:Generalized extreme value
8207:Relativistic BreitâWigner
7604:Probability distributions
4914:conditional distributions
4090:chain rule of probability
2945:discrete random variables
2941:probability mass function
2337:that the random variable
757:Consider the flip of two
559:discrete random variables
553:. In the special case of
551:probability mass function
7352:Feller, William (1957).
7328:Statistical interference
7274:multinomial distribution
7116:is near +1 (or â1). If Ï
5073:{\displaystyle f_{Y}(y)}
5037:{\displaystyle f_{X}(x)}
509:probability distribution
426:Law of total probability
421:Conditional independence
310:Exponential distribution
295:Probability distribution
8422:Generalized chi-squared
8366:Normal-inverse Gaussian
7323:Multivariate statistics
7308:Conditional probability
7286:elliptical distribution
6698:conditionally dependent
2219:{\displaystyle F_{X,Y}}
545:, or by a multivariate
405:Conditional probability
8734:Univariate (circular)
8295:Generalized hyperbolic
7724:ConwayâMaxwellâPoisson
7714:Beta negative binomial
7318:Disintegration theorem
7251:
7093:
6942:
6907:
6878:
6828:
6771:
6714:
6690:
6644:
6616:
6596:
6573:
6472:
6452:
6429:
6327:
6307:
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6185:
6165:
6129:
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5962:
5934:
5902:
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