570:
3518:
2154:
1100:
3232:
2346:
559:
2717:
3783:
1889:
3077:
595:. To approximate the mean line segment length of a given shape, two points are randomly chosen in its interior and the distance is measured. After several repetitions of these steps, the average of these distances will eventually converge to the true value.
2560:
3673:
299:
1403:
4157:
670:
1857:
2956:
1292:
3513:{\displaystyle \beta _{n}={\begin{cases}{\dfrac {2^{3n+1}\,(n/2)!^{2}\,n!}{(n+1)\,(2n)!\,\pi }}&({\text{for even }}n)\\{\dfrac {2^{n+1}\,n!^{3}}{(n+1)\,((n-1)/2)!^{2}\,(2n)!}}&({\text{for odd }}n)\end{cases}}}
2192:
361:
2571:
2883:
120:
3137:
2774:
2149:{\displaystyle \Delta (n)=\underbrace {\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}} _{2n}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,dx_{1}\cdots \,dx_{n}\,dy_{1}\cdots \,dy_{n}}
3696:
3206:
2967:
2382:
1755:
3546:
163:
1702:
1312:
1095:{\displaystyle {\frac {4ss_{a}s_{b}s_{c}}{15}}\left+{\frac {a+b+c}{15}}+{\frac {(b+c)(b-c)^{2}}{30a^{2}}}+{\frac {(a+c)(a-c)^{2}}{30b^{2}}}+{\frac {(a+b)(a-b)^{2}}{30c^{2}}},}
2818:
4023:
1766:
1155:
1186:
1212:
2897:
2362:
1227:
38:
Even for simple shapes such as a square or a triangle, solving for the exact value of their mean line segment lengths can be difficult because their
2341:{\displaystyle \Delta (3)={\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}
554:{\displaystyle {\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\iint _{S}\iint _{S}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}.}
2712:{\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{75}}+{\frac {7\ln {(1+{\sqrt {2}})}}{25}}+{\frac {14\ln {(2+{\sqrt {3}})}}{25}}.}
2838:
3981:
Robbins, David P.; Bolis, Theodore S. (1978), "Average distance between two points in a box (solution to elementary problem E2629)",
55:
3097:
2737:
25:
3778:{\displaystyle L\leq {\frac {229}{800}}+{\frac {44}{75}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}+{\frac {19}{480}}{\sqrt {5}}=0.678442\ldots }
4327:
3983:
3155:
3072:{\displaystyle {\frac {32}{135\pi ^{2}}}(6\ln {(2{\sqrt {2}}-2)}-94{\sqrt {2}}+48\pi +3)\approx 0.473877262\ldots }
584:
Since computing the mean line segment length involves calculating multidimensional integrals, various methods for
2555:{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}n^{1/2}\leq \Delta (n)\leq ({\tfrac {1}{6}}n)^{1/2}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left}}.}
3668:{\displaystyle L\leq {\sqrt {\frac {2n}{n+1}}}{\frac {2^{n-2}\Gamma (n/2)^{2}}{\Gamma (n-1/2){\sqrt {\pi }}}}}
1760:
If the two points are instead chosen to be on different sides of the square, the average distance is given by
294:{\displaystyle \mathbb {E} ={\frac {1}{\lambda (S)^{2}}}\int _{S}\int _{S}\|x-y\|\,d\lambda (x)\,d\lambda (y)}
1710:
2565:
Choosing points from two different faces of the unit cube also gives a result with a closed form, given by,
1422:
569:
39:
1398:{\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}\right)s\approx 0.521405433\ldots s.}
585:
4152:{\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})^{1/2}dx_{1}\cdots dx_{k}}
2793:
1852:{\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{9}}\right)s\approx 0.869009\ldots s.}
3254:
52:
While the question may seem simple, it has a fairly complicated answer; the exact value for this is
47:
What is the average distance between two randomly chosen points inside a square with side length 1?
4000:
3938:
3088:
1108:
592:
573:
146:
32:
598:
These methods can only give an approximation; they cannot be used to determine its exact value.
4270:
4295:
4267:
4242:
4217:
4192:
3957:
3930:
3872:
3844:
2171:
4173:
3992:
3920:
3912:
3823:
2183:
324:
313:
4298:
1164:
4322:
3960:
320:
3847:
1191:
35:
between two random points, where each point in the shape is equally likely to be chosen.
2951:{\displaystyle {\frac {64}{135}}{\frac {12\pi -23}{\pi ^{2}}}\approx 0.706053409\ldots }
4220:
4195:
4019:
3875:
3683:
3529:
1872:
143:
29:
4316:
4245:
1158:
3899:
Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Kapoor, Vishaal; Weisstein, Eric W. (2006).
2727:
The average chord length between points on the circumference of a circle of radius
664:, the average distance between two points in its interior is given by the formula
1287:{\displaystyle \left({\frac {4+3\ln 3}{20}}\right)a\approx 0.364791843\ldots a.}
577:
3828:
3811:
1408:
More generally, the mean line segment length of a rectangle with side lengths
3934:
4303:
4275:
4250:
4225:
4200:
3965:
3880:
3852:
2175:
135:
3536:-dimensional Euclidean space with diameter 1, its mean line segment length
42:
can get quite complicated. As an example, consider the following question:
3925:
1302:
The average distance between two points inside a square with side length
17:
3942:
3900:
4004:
4018:
Anderssen, R. S.; Brent, R. P.; Daley, D. J.; Moran, P. A. P. (1976).
3916:
3143:
2780:
24:
is the average length of a line segment connecting two points chosen
4177:
3996:
2878:{\displaystyle {\frac {128}{45\pi }}r\approx 0.905414787\ldots r.}
568:
2167:, refer to the unit line segment and unit square respectively.
115:{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}}
3132:{\displaystyle {\frac {36}{35}}r\approx 1.028571428\ldots r.}
2769:{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}r\approx 1.273239544\ldots r}
2888:
The values for a half disk and quarter disk are also known.
2828:
The average distance between points inside a disk of radius
3506:
2357:
3810:
Burgstaller, Bernhard; Pillichshammer, Friedrich (2009).
3528:
2438:
2387:
4026:
3699:
3549:
3377:
3258:
3235:
3158:
3100:
2970:
2900:
2841:
2796:
2740:
2574:
2385:
2195:
1892:
1769:
1713:
1425:
1315:
1230:
1194:
1167:
1111:
673:
588:
can be used to approximate this value for any shape.
364:
166:
58:
3142:More generally, the mean line segment length of an
4151:
3777:
3667:
3512:
3200:
3131:
3071:
2950:
2877:
2812:
2768:
2711:
2554:
2340:
2148:
1851:
1749:
1696:
1397:
1286:
1206:
1180:
1149:
1094:
553:
293:
114:
576:to approximate the mean line segment length of a
3816:Bulletin of the Australian Mathematical Society
1867:The average distance between points inside an
3201:{\displaystyle {\frac {2n}{2n+1}}\beta _{n}r}
1217:For an equilateral triangle with side length
617:, the average distance between two points is
8:
256:
244:
187:
175:
28:in a given shape. In other words, it is the
1757:is the length of the rectangle's diagonal.
3901:"Ten Problems in Experimental Mathematics"
4143:
4127:
4110:
4106:
4096:
4091:
4072:
4067:
4054:
4049:
4036:
4031:
4025:
3924:
3827:
3812:"The Average Distance Between Two Points"
3759:
3749:
3737:
3729:
3719:
3706:
3698:
3655:
3644:
3621:
3609:
3588:
3581:
3556:
3548:
3492:
3467:
3461:
3446:
3427:
3404:
3396:
3384:
3376:
3361:
3348:
3332:
3308:
3302:
3287:
3280:
3265:
3257:
3249:
3240:
3234:
3189:
3159:
3157:
3101:
3099:
3035:
3012:
3005:
2984:
2971:
2969:
2931:
2911:
2901:
2899:
2842:
2840:
2797:
2795:
2741:
2739:
2689:
2679:
2667:
2647:
2637:
2625:
2600:
2587:
2575:
2573:
2532:
2528:
2508:
2472:
2470:
2460:
2456:
2437:
2406:
2402:
2386:
2384:
2319:
2298:
2279:
2261:
2236:
2223:
2211:
2194:
2140:
2132:
2123:
2115:
2109:
2101:
2092:
2084:
2076:
2066:
2053:
2031:
2021:
2008:
1992:
1982:
1969:
1960:
1951:
1939:
1934:
1921:
1916:
1909:
1891:
1811:
1783:
1774:
1768:
1739:
1726:
1720:
1712:
1662:
1641:
1635:
1610:
1589:
1583:
1568:
1552:
1542:
1536:
1525:
1515:
1509:
1484:
1474:
1468:
1457:
1447:
1441:
1426:
1424:
1357:
1329:
1320:
1314:
1235:
1229:
1193:
1172:
1166:
1139:
1110:
1080:
1065:
1031:
1019:
1004:
970:
958:
943:
909:
882:
862:
853:
835:
826:
811:
802:
784:
775:
760:
751:
733:
724:
707:
697:
687:
674:
672:
542:
534:
528:
520:
514:
506:
500:
492:
484:
474:
461:
445:
435:
422:
413:
407:
397:
384:
365:
363:
275:
259:
238:
228:
215:
196:
168:
167:
165:
96:
68:
59:
57:
2174:case, the mean line segment length of a
3793:
2779:And picking points on the surface of a
1750:{\displaystyle d={\sqrt {l^{2}+w^{2}}}}
2368:Andersson et. al. (1976) showed that
2351:Its numerical value is approximately
7:
3894:
3892:
3866:
3864:
3805:
3803:
3801:
3799:
3797:
1697:{\displaystyle {\frac {1}{15}}\left}
130:The mean line segment length for an
4166:SIAM Journal on Applied Mathematics
2186:. This constant has a closed form,
3629:
3600:
2419:
2196:
1893:
14:
3905:The American Mathematical Monthly
646:For a triangle with side lengths
2961:For a quarter disk of radius 1:
323:case, this is defined using the
149:||⋅|| between two random points
2813:{\displaystyle {\frac {4}{3}}r}
142:may formally be defined as the
4271:"Circular Sector Line Picking"
4103:
4060:
3690:= 2, a stronger bound exists.
3652:
3632:
3618:
3603:
3500:
3489:
3477:
3468:
3454:
3443:
3431:
3428:
3424:
3412:
3369:
3358:
3342:
3333:
3329:
3317:
3295:
3281:
3057:
3025:
3006:
2993:
2696:
2680:
2654:
2638:
2453:
2434:
2428:
2422:
2326:
2310:
2286:
2270:
2205:
2199:
2073:
2046:
2028:
2001:
1989:
1962:
1902:
1896:
1818:
1802:
1364:
1348:
1136:
1118:
1062:
1049:
1046:
1034:
1001:
988:
985:
973:
940:
927:
924:
912:
481:
454:
442:
415:
381:
374:
288:
282:
272:
266:
212:
205:
190:
172:
103:
87:
1:
3984:American Mathematical Monthly
2891:For a half disk of radius 1:
611:For a line segment of length
4159:and a Taylor Series Method"
1150:{\displaystyle s=(a+b+c)/2}
4344:
4299:"Mean Line Segment Length"
3829:10.1017/S0004972709000707
3220:depends on the parity of
3961:"Hypercube Line Picking"
3087:For a three-dimensional
22:mean line segment length
3848:"Triangle Line Picking"
591:One such method is the
40:closed-form expressions
4153:
3779:
3669:
3514:
3202:
3133:
3073:
2952:
2879:
2814:
2770:
2713:
2556:
2342:
2159:The first two values,
2150:
1853:
1751:
1698:
1399:
1288:
1208:
1182:
1151:
1096:
581:
555:
295:
116:
4221:"Sphere Line Picking"
4196:"Circle Line Picking"
4154:
3876:"Square Line Picking"
3780:
3670:
3515:
3203:
3134:
3074:
2953:
2880:
2815:
2771:
2714:
2557:
2376:satisfies the bounds
2343:
2151:
1854:
1752:
1699:
1400:
1298:Square and rectangles
1289:
1209:
1183:
1181:{\displaystyle s_{i}}
1152:
1097:
586:numerical integration
572:
565:Approximation methods
556:
296:
117:
4328:Probability problems
4024:
3697:
3547:
3233:
3156:
3098:
2968:
2898:
2839:
2794:
2738:
2572:
2383:
2193:
1890:
1767:
1711:
1423:
1313:
1228:
1192:
1165:
1109:
671:
362:
164:
56:
4246:"Disk Line Picking"
4101:
4077:
4059:
4041:
1944:
1926:
1863:Cube and hypercubes
1221:, this is equal to
1207:{\displaystyle s-i}
26:uniformly at random
4296:Weisstein, Eric W.
4268:Weisstein, Eric W.
4243:Weisstein, Eric W.
4218:Weisstein, Eric W.
4193:Weisstein, Eric W.
4149:
4087:
4063:
4045:
4027:
3958:Weisstein, Eric W.
3873:Weisstein, Eric W.
3845:Weisstein, Eric W.
3775:
3665:
3510:
3505:
3485:
3354:
3198:
3129:
3069:
2948:
2875:
2810:
2766:
2709:
2552:
2447:
2396:
2338:
2146:
1959:
1949:
1930:
1912:
1883:, and is given as
1849:
1747:
1694:
1395:
1284:
1204:
1178:
1147:
1092:
593:Monte Carlo method
582:
574:Monte Carlo method
551:
291:
147:Euclidean distance
112:
33:Euclidean distance
3764:
3757:
3744:
3742:
3727:
3714:
3663:
3660:
3579:
3578:
3495:
3484:
3364:
3353:
3183:
3109:
3040:
3017:
2991:
2937:
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