3381:
27:
108:
2421:
2146:
1874:
3651:
2881:
1220:
The medians of any triangle dissect it into six equal area smaller triangles as in the figure above where three adjacent pairs of triangles meet at the midpoints D, E and F. If the two triangles in each such pair are rotated about their common midpoint until they meet so as to share a common side,
114:
Each median divides the area of the triangle in half, hence the name, and hence a triangular object of uniform density would balance on any median. (Any other lines that divide triangle's area into two equal parts do not pass through the centroid.) The three medians divide the triangle into six
2150:
1878:
1606:
98:
of an infinitely thin object of uniform density coinciding with the triangle. Thus, the object would balance at the intersection point of the medians. The centroid is twice as close along any median to the side that the median intersects as it is to the vertex it emanates from.
3371:
2657:
3390:
3255:
1479:
1397:
1315:
558: ; these hold because in each case the two triangles have bases of equal length and share a common altitude from the (extended) base, and a triangle's area equals one-half its base times its height.
2416:{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}
3792:
2141:{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}
1869:{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}
3395:
994:
3230:
3086:
2560:
3646:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}
2986:
2653:
850:
316:
237:
201:
165:
556:
1571:
3132:
2876:{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}
3250:
441:
3159:
2597:
1598:
1202:
1508:
3999:
1080:
701:
630:
3012:
2923:
2903:
2564:
The centroid divides each median into parts in the ratio 2:1, with the centroid being twice as close to the midpoint of a side as it is to the opposite vertex.
1528:
754:
491:
523:
62:
of the opposite side, thus bisecting that side. Every triangle has exactly three medians, one from each vertex, and they all intersect at the triangle's
1401:
1319:
1237:
3858:
3740:
2473:
3366:{\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}
3688:. However contrary to the two-dimensional case the centroid divides the medians not in a 2:1 ratio but in a 3:1 ratio (
857:
3164:
3017:
3757:
3927:
Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong
University Press, 1994, pp. 53–54
3689:
3661:
1231:
2932:
2602:
3949:
3879:
Problem 12015, American
Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
759:
253:
210:
174:
138:
3784:
3711:
3706:
532:
1533:
3097:
3972:
3854:
3829:
3736:
63:
55:
3235:
78:
at a vertex whose two adjacent sides are equal in length. The concept of a median extends to
3821:
3677:
321:
20:
3684:
of the tetrahedron. As in the two-dimensional case, the centroid of the tetrahedron is the
3380:
3137:
2570:
1576:
1085:
3796:
3665:
1484:
107:
3809:
999:
638:
567:
3701:
3685:
2997:
2991:
2908:
2888:
1513:
709:
446:
95:
75:
496:
3993:
3940:
2926:
3975:
3953:
3944:
51:
3958:
3848:
3657:
1213:
79:
71:
26:
3964:
3825:
3833:
16:
Line segment joining a triangle's vertex to the midpoint of the opposite side
3980:
1221:
then the three new triangles formed by the union of each pair are congruent.
67:
3669:
91:
59:
47:
39:
31:
3761:
3789:
3379:
106:
25:
3965:
Constructing a median of a triangle with compass and straightedge
526:
116:
1474:{\displaystyle m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}}
1392:{\displaystyle m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}}
1310:{\displaystyle m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}}
3676:
of the tetrahedron. There are four medians, and they are all
3668:. A line segment joining a vertex of a tetrahedron with the
90:
Each median of a triangle passes through the triangle's
3914:
Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle",
3733:
3782:
Dunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle,"
2759:
2662:
1530:
are the sides of the triangle with respective medians
3393:
3258:
3238:
3167:
3140:
3100:
3020:
3000:
2935:
2911:
2891:
2660:
2605:
2573:
2476:
2153:
1881:
1609:
1579:
1536:
1516:
1487:
1404:
1322:
1240:
1088:
1002:
860:
762:
712:
641:
570:
535:
499:
449:
324:
256:
213:
177:
141:
3645:
3365:
3244:
3224:
3153:
3126:
3080:
3006:
2980:
2917:
2897:
2875:
2647:
2591:
2554:
2415:
2140:
1868:
1592:
1565:
1522:
1502:
1473:
1391:
1309:
1196:
1074:
988:
844:
748:
695:
624:
550:
517:
485:
435:
310:
231:
195:
159:
3888:Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T.,
989:{\displaystyle =,={\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}=}
3853:. Medianas de un triángulo. Edunsa. p. 22.
3225:{\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}
1230:The lengths of the medians can be obtained from
3081:{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}
2555:{\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}
8:
3901:Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009),
1082:. Using the same method, one can show that
3758:"Medians and Area Bisectors of a Triangle"
3629:
3618:
3606:
3594:
3587:
3576:
3573:
3556:
3544:
3532:
3525:
3514:
3511:
3500:
3488:
3476:
3469:
3458:
3455:
3444:
3432:
3420:
3413:
3402:
3399:
3394:
3392:
3347:
3321:
3295:
3275:
3265:
3257:
3237:
3214:
3203:
3190:
3177:
3166:
3145:
3139:
3118:
3105:
3099:
3094:can be expressed in terms of its medians
3069:
3064:
3048:
3043:
3030:
3025:
3019:
2999:
2969:
2953:
2940:
2934:
2910:
2890:
2864:
2859:
2846:
2841:
2828:
2823:
2805:
2792:
2779:
2758:
2752:
2727:
2714:
2701:
2661:
2659:
2636:
2623:
2610:
2604:
2572:
2475:
2402:
2397:
2381:
2363:
2357:
2355:
2344:
2339:
2323:
2305:
2299:
2297:
2286:
2281:
2262:
2249:
2237:
2226:
2221:
2205:
2200:
2184:
2179:
2170:
2160:
2152:
2130:
2125:
2109:
2091:
2085:
2083:
2072:
2067:
2051:
2033:
2027:
2025:
2014:
2009:
1990:
1977:
1965:
1954:
1949:
1933:
1928:
1912:
1907:
1898:
1888:
1880:
1858:
1853:
1837:
1819:
1813:
1811:
1800:
1795:
1779:
1761:
1755:
1753:
1742:
1737:
1718:
1705:
1693:
1682:
1677:
1661:
1656:
1640:
1635:
1626:
1616:
1608:
1584:
1578:
1554:
1541:
1535:
1515:
1486:
1458:
1445:
1429:
1418:
1409:
1403:
1376:
1363:
1347:
1336:
1327:
1321:
1294:
1281:
1265:
1254:
1245:
1239:
1087:
1001:
943:
915:
859:
817:
761:
711:
640:
569:
534:
498:
448:
323:
255:
214:
212:
178:
176:
142:
140:
1603:These formulas imply the relationships:
3723:
1226:Formulas involving the medians' lengths
243:be the centroid (most commonly denoted
4000:Straight lines defined for a triangle
7:
2981:{\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}
2885:The medians from sides of lengths
2648:{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}
1216:discovered the following theorem:
536:
14:
3672:of the opposite face is called a
845:{\displaystyle =,={\frac {1}{2}}}
311:{\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}
3890:Challenging Problems in Geometry
232:{\displaystyle {\overline {AC}}}
196:{\displaystyle {\overline {BC}}}
160:{\displaystyle {\overline {AB}}}
3735:. CRC Press. pp. 375–377.
2757:
2751:
3664:object having four triangular
3619:
3595:
3588:
3577:
3557:
3533:
3526:
3515:
3501:
3477:
3470:
3459:
3445:
3421:
3414:
3403:
3161:as follows. If their semi-sum
2691:
2673:
2534:
2507:
2462:, respectively. For any point
2268:
2242:
1996:
1970:
1724:
1698:
1191:
1179:
1173:
1161:
1155:
1143:
1137:
1125:
1119:
1107:
1101:
1089:
1069:
1057:
1051:
1039:
1033:
1021:
1015:
1003:
983:
971:
965:
953:
937:
925:
909:
897:
891:
879:
873:
861:
839:
827:
811:
799:
793:
781:
775:
763:
743:
731:
725:
713:
690:
678:
672:
660:
654:
642:
619:
607:
601:
589:
583:
571:
512:
500:
480:
468:
462:
450:
427:
415:
409:
397:
391:
379:
373:
361:
355:
343:
337:
325:
1:
551:{\displaystyle \triangle ABC}
30:The triangle medians and the
2567:For any triangle with sides
1566:{\displaystyle m_{a},m_{b},}
224:
188:
152:
123:Proof of equal-area property
3788:56, May 1972, 105-108. DOI
3731:Weisstein, Eric W. (2010).
3127:{\displaystyle m_{a},m_{b}}
115:smaller triangles of equal
4016:
3961:With interactive animation
86:Relation to center of mass
18:
3892:, Dover, 1996: pp. 86–87.
3826:10.4169/math.mag.87.5.381
2438:be its centroid, and let
1208:Three congruent triangles
3385:medians of a tetrahedron
19:Not to be confused with
3950:Area of Median Triangle
3918:87, July 2003, 324–326.
3245:{\displaystyle \sigma }
3967:animated demonstration
3847:Déplanche, Y. (1996).
3653:
3647:
3367:
3246:
3226:
3155:
3128:
3082:
3008:
2982:
2919:
2899:
2877:
2649:
2593:
2556:
2417:
2142:
1870:
1600:from their midpoints.
1594:
1567:
1524:
1504:
1475:
1393:
1311:
1225:
1198:
1076:
990:
846:
750:
697:
626:
552:
519:
487:
437:
436:{\displaystyle =,=,=,}
312:
233:
197:
161:
111:
35:
3959:Medians of a triangle
3808:Sallows, Lee (2014).
3648:
3383:
3368:
3247:
3227:
3156:
3154:{\displaystyle m_{c}}
3129:
3083:
3009:
2983:
2920:
2900:
2878:
2650:
2594:
2592:{\displaystyle a,b,c}
2557:
2418:
2143:
1871:
1595:
1593:{\displaystyle m_{c}}
1568:
1525:
1505:
1476:
1394:
1312:
1199:
1197:{\displaystyle =====}
1077:
991:
847:
751:
698:
627:
553:
520:
488:
438:
313:
234:
198:
162:
110:
29:
3916:Mathematical Gazette
3903:Mathematical Gazette
3814:Mathematics Magazine
3810:"A Triangle Theorem"
3785:Mathematical Gazette
3690:Commandino's theorem
3391:
3256:
3236:
3165:
3138:
3098:
3090:Any triangle's area
3018:
2998:
2933:
2909:
2889:
2658:
2603:
2571:
2474:
2450:be the midpoints of
2151:
1879:
1607:
1577:
1534:
1514:
1503:{\displaystyle a,b,}
1485:
1402:
1320:
1238:
1086:
1000:
858:
760:
710:
639:
568:
533:
497:
447:
322:
254:
211:
175:
139:
127:Consider a triangle
74:triangles, a median
3712:Automedian triangle
3707:Altitude (triangle)
3074:
3053:
3035:
2869:
2851:
2833:
2434:be a triangle, let
2407:
2349:
2291:
2231:
2210:
2189:
2135:
2077:
2019:
1959:
1938:
1917:
1863:
1805:
1747:
1687:
1666:
1645:
1232:Apollonius' theorem
1075:{\displaystyle ===}
207:be the midpoint of
171:be the midpoint of
135:be the midpoint of
103:Equal-area division
3973:Weisstein, Eric W.
3795:2023-04-05 at the
3756:Bottomley, Henry.
3654:
3643:
3641:
3363:
3242:
3222:
3151:
3124:
3078:
3060:
3039:
3021:
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