20:
1744:
1891:
1462:
911:
981:
600:
1597:
762:
2030:
2109:
372:
1611:
1116:
which was affirmed by Ng (2004), based on a heuristic argument, that assumed the
Riemann hypothesis and certain conjectures about the averaged behavior of zeros of the Riemann zeta function.
1775:
1350:
1306:
1114:
845:
1507:
802:
645:
509:
442:
1201:
689:
1152:
586:
244:
80:
2528:
2184:
112:
165:
2039:
is equivalent to the
Riemann hypothesis, which therefore would have followed from the stronger Mertens hypothesis, and follows from the hypothesis of Stieltjes that
2716:
542:
217:
141:
53:
1374:
2144:
850:
920:
1518:
701:
1961:
2752:
2709:
286:). It is a striking example of a mathematical conjecture proven false despite a large amount of computational evidence in its favor.
2619:
2438:
2457:
2853:
2045:
1043:. The actual order of growth may be somewhat smaller; in the early 1990s Steve Gonek conjectured that the order of growth of
2858:
2702:
1739:{\displaystyle {\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s}M(x)\,{\frac {dx}{x}}.}
991:
308:
2501:
Sitzungsberichte der
Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a
2827:
2762:
2807:
1886:{\displaystyle M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds}
2636:
Stieltjes, T. J. (1905), "Lettre a
Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79", in Baillaud, B.; Bourget, H. (eds.),
2419:
Algorithmic number theory. 7th international symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23--28, 2006. Proceedings
2747:
2369:
Cohen, H. and Dress, F. 1979. “Calcul numérique de Mx)” 11–13. , Rapport, de I'ATP A12311 ≪ Informatique 1975 ≫
1750:
1317:
1270:
1057:
998:
is replaced by a random sequence of +1s and −1s then the order of growth of the partial sum of the first
452:
259:
251:
807:
1470:
767:
609:
458:
395:
1168:
656:
2822:
2782:
2777:
2737:
2286:
Hurst, Greg (2016). "Computations of the
Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture".
1242:
In 2006, Kotnik and te Riele improved the upper bound and showed that there are infinitely many values of
1122:
2832:
1365:
2817:
547:
222:
58:
2802:
2797:
2792:
1913:
on the
Riemann hypothesis. From this, the Mellin transform integral must be convergent, and hence
85:
2812:
2742:
2683:
2561:
2480:
2380:
2287:
2217:
1510:
247:
146:
2520:
2176:
378:
2772:
2648:
2615:
2545:
2434:
2201:
2140:
2581:
2252:
2757:
2625:
2594:
2569:
2537:
2488:
2472:
2444:
2426:
2265:
2225:
2193:
2150:
1603:
1361:
512:
299:
188:
24:
2557:
2213:
2629:
2611:
2598:
2573:
2553:
2516:
2448:
2422:
2414:
2269:
2229:
2209:
2172:
2154:
2136:
596:
518:
279:
255:
193:
172:
117:
29:
2353:
2767:
2651:
2512:
2168:
1162:
695:
592:
275:
168:
2847:
2589:
2260:
2128:
1457:{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}
295:
267:
2565:
2332:
2221:
2484:
2476:
19:
914:
2678:
1602:
and after integrating by parts, obtain the reciprocal of the zeta function as a
180:
1161:
and in 2011, Kuznetsov found the largest known negative value (in the sense of
114:. After computing these values, Mertens conjectured that the absolute value of
2726:
2673:
2541:
2197:
2549:
2205:
167:. This hypothesis, known as the Mertens conjecture, was disproved in 1985 by
2656:
2318:"A New Upper Bound On the Smallest Counterexample To The Mertens Conjecture"
2606:
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006),
2694:
2430:
2133:
The
Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike
2687:
2131:; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, eds. (2007).
906:{\displaystyle e^{1.017\times 10^{29}}\approx 10^{4.416\times 10^{28}}}
976:{\displaystyle e^{1.96\times 10^{19}}\approx 10^{8.512\times 10^{18}}}
2379:
Kuznetsov, Eugene (2011). "Computing the
Mertens function on a GPU".
1592:{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}dM(x)}
757:{\displaystyle e^{3.21\times 10^{64}}\approx 10^{1.39\times 10^{64}}}
2417:(2006). "The Mertens Conjecture Revisited". In Hess, Florian (ed.).
2354:"The distribution of the summatory function of the Möbius function"
2317:
2292:
2025:{\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{{\tfrac {1}{2}}+\epsilon }{\Big )}}
2385:
18:
2698:
2499:
Mertens, F. (1897). "Ăśber eine zahlentheoretische
Funktion".
2421:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4076. Berlin:
1649:
1479:
1476:
455:
claimed in 1885 to have proven a weaker result, namely that
1119:
In 1979, Cohen and Dress found the largest known value of
1360:
The connection to the
Riemann hypothesis is based on the
246:. Although now disproven, it had been shown to imply the
2104:{\displaystyle M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{2}}{\Big )}.}
764:
but above 10. The upper bound has since been lowered to
601:
Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm
2079:
1996:
1264:. In 2016, Hurst made further improvements by showing
2048:
1964:
1778:
1614:
1521:
1473:
1377:
1320:
1273:
1171:
1125:
1060:
923:
853:
810:
770:
704:
659:
612:
550:
521:
461:
398:
311:
225:
196:
149:
120:
88:
61:
32:
2103:
2024:
1885:
1738:
1591:
1501:
1456:
1344:
1300:
1260:but without giving any specific value for such an
1195:
1146:
1108:
975:
905:
839:
796:
756:
683:
639:
580:
536:
503:
436:
367:{\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k),}
366:
238:
211:
159:
135:
106:
74:
47:
2582:"An effective disproof of the Mertens conjecture"
2253:"An effective disproof of the Mertens conjecture"
2093:
2069:
2017:
1985:
1321:
1274:
660:
613:
2529:Journal fĂĽr die reine und angewandte Mathematik
2185:Journal fĂĽr die reine und angewandte Mathematik
283:
2333:"On counterexamples to the Mertens conjecture"
599:proved the Mertens conjecture false using the
2710:
2347:
2345:
8:
2686:from the original on 2021-12-21 – via
515:, but did not publish a proof. (In terms of
2640:, Paris: Gauthier—Villars, pp. 160–164
1208:(11609864264058592345) = −1995900927.
1020:which suggests that the order of growth of
2717:
2703:
2695:
2316:Rozmarynowycz, John; Kim, Seungki (2023).
2135:. CMS Books in Mathematics. New York, NY:
2384:
2291:
2092:
2091:
2078:
2068:
2067:
2047:
2016:
2015:
1995:
1994:
1984:
1983:
1963:
1876:
1851:
1845:
1830:
1816:
1794:
1777:
1718:
1717:
1696:
1686:
1681:
1648:
1647:
1615:
1613:
1565:
1555:
1550:
1522:
1520:
1475:
1474:
1472:
1443:
1423:
1417:
1406:
1378:
1376:
1345:{\displaystyle \limsup m(n)>1.826054.}
1319:
1301:{\displaystyle \liminf m(n)<-1.837625}
1272:
1170:
1124:
1109:{\displaystyle (\log \log \log n)^{5/4},}
1093:
1089:
1059:
965:
954:
939:
928:
922:
895:
884:
869:
858:
852:
826:
815:
809:
786:
775:
769:
746:
735:
720:
709:
703:
658:
611:
549:
520:
494:
489:
460:
424:
416:
399:
397:
331:
310:
263:
229:
224:
195:
150:
148:
119:
87:
65:
60:
31:
840:{\displaystyle 10^{6.91\times 10^{39}},}
2674:"A Prime Surprise (Mertens Conjecture)"
2120:
1502:{\displaystyle {\mathcal {Re}}(s)>1}
271:
2458:"On the order of the Mertens function"
797:{\displaystyle e^{1.59\times 10^{40}}}
640:{\displaystyle \liminf m(n)<-1.009}
504:{\displaystyle m(n):=M(n)/{\sqrt {n}}}
437:{\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}}.}
2638:Correspondance d'Hermite et Stieltjes
2281:
2279:
1196:{\displaystyle m(n)\approx -0.585768}
684:{\displaystyle \limsup m(n)>1.06.}
7:
2521:"Disproof of the Mertens conjecture"
2456:Kotnik, T.; van de Lune, J. (2004).
2331:Seungki, Kim; Phong, Nguyen (2024).
2177:"Disproof of the Mertens conjecture"
1356:Connection to the Riemann hypothesis
1147:{\displaystyle m(n)\approx 0.570591}
1002:terms is (with probability 1) about
1840:
1826:
1687:
1556:
1418:
1228:but did not find larger values of
694:It was later shown that the first
14:
544:, the Mertens conjecture is that
16:Disproved mathematical conjecture
2241:Sandor et al (2006) pp. 188–189.
581:{\displaystyle -1<m(n)<1}
239:{\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}
75:{\displaystyle \pm {\sqrt {n}}}
2477:10.1080/10586458.2004.10504556
2058:
2052:
1974:
1968:
1870:
1864:
1788:
1782:
1714:
1708:
1671:
1662:
1633:
1627:
1586:
1580:
1537:
1531:
1490:
1484:
1435:
1429:
1393:
1387:
1333:
1327:
1286:
1280:
1181:
1175:
1135:
1129:
1086:
1061:
672:
666:
625:
619:
569:
563:
531:
525:
486:
480:
471:
465:
417:
413:
407:
400:
358:
352:
321:
315:
206:
200:
130:
124:
42:
36:
1:
2399:Kotnik & te Riele (2006).
1955:. From this it follows that
992:law of the iterated logarithm
1509:. We can rewrite this as a
107:{\displaystyle n\leq 10,000}
2608:Handbook of number theory I
2306:Kotnik and Te Riele (2006).
913:. In 2024, Seungki Kim and
160:{\displaystyle {\sqrt {n}}}
2875:
1364:for the reciprocal of the
1031:might be somewhere around
448:Disproof of the conjecture
266:)), and again in print by
187:is the statement that the
2733:
2542:10.1515/crll.1985.357.138
2198:10.1515/crll.1985.357.138
987:counterexample is known.
250:. It was conjectured by
2465:Experimental Mathematics
1751:Mellin inversion theorem
1210:In 2016, Hurst computed
252:Thomas Joannes Stieltjes
377:where μ(k) is the
254:, in an 1885 letter to
2854:Analytic number theory
2105:
2026:
1887:
1740:
1593:
1503:
1458:
1422:
1346:
1302:
1197:
1148:
1110:
977:
907:
841:
798:
758:
685:
641:
582:
538:
505:
438:
368:
240:
213:
176:
161:
137:
108:
76:
49:
2859:Disproved conjectures
2753:Euler's sum of powers
2106:
2027:
1888:
1741:
1594:
1504:
1459:
1402:
1366:Riemann zeta function
1347:
1303:
1198:
1159:(7766842813) = 50286,
1149:
1111:
978:
917:lowered the bound to
908:
842:
799:
759:
686:
642:
583:
539:
506:
439:
369:
241:
214:
162:
143:is always bounded by
138:
109:
77:
55:and the square roots
50:
22:
2682:. January 23, 2020.
2652:"Mertens conjecture"
2614:, pp. 187–189,
2593:. 147–148: 325–333.
2425:. pp. 156–167.
2264:. 147–148: 325–333.
2046:
1962:
1898:1 < σ < 2
1776:
1612:
1519:
1471:
1467:valid in the region
1375:
1318:
1271:
1169:
1123:
1058:
921:
851:
808:
768:
702:
657:
610:
548:
537:{\displaystyle m(n)}
519:
459:
396:
309:
274:), and disproved by
223:
212:{\displaystyle M(n)}
194:
147:
136:{\displaystyle M(n)}
118:
86:
59:
48:{\displaystyle M(n)}
30:
23:The graph shows the
2431:10.1007/11792086_12
2352:Ng, Nathan (2004).
1935:for every exponent
1896:which is valid for
1844:
1753:we now can express
1691:
1560:
2743:Chinese hypothesis
2649:Weisstein, Eric W.
2580:Pintz, J. (1987).
2517:te Riele, H. J. J.
2251:Pintz, J. (1987).
2173:te Riele, H. J. J.
2101:
2088:
2022:
2005:
1911:< σ < 2
1883:
1812:
1736:
1677:
1589:
1546:
1511:Stieltjes integral
1499:
1454:
1342:
1298:
1193:
1144:
1106:
973:
903:
847:and then again to
837:
794:
754:
681:
637:
578:
534:
501:
434:
383:Mertens conjecture
364:
348:
276:Andrew Odlyzko
248:Riemann hypothesis
236:
209:
185:Mertens conjecture
177:
157:
133:
104:
72:
45:
2841:
2840:
2146:978-0-387-72125-5
2087:
2035:for all positive
2004:
1874:
1810:
1731:
1637:
1541:
1449:
1397:
804:or approximately
499:
429:
327:
268:Franz Mertens
234:
155:
70:
2866:
2793:Ono's inequality
2719:
2712:
2705:
2696:
2691:
2662:
2661:
2641:
2632:
2602:
2586:
2576:
2536:(357): 138–160,
2525:
2508:
2495:
2493:
2487:. Archived from
2462:
2452:
2415:te Riele, Herman
2400:
2397:
2391:
2390:
2388:
2376:
2370:
2367:
2361:
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