5772:
6046:
1295:
2311:
36:
47:
1895:
1331:
25:
3765:
4417:
1464:
1320:
2306:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(defining equation)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(recurrence hypothesis)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(regrouping)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(recurrence on }}K_{n}).\end{aligned}}}
3329:
4401:
3312:
4228:
3760:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}
4982:
487:
3967:
5090:
4234:
4069:
3055:
2438:
4080:
867:
4799:
3334:
3060:
1900:
1633:
286:
4633:
1764:
770:
2937:
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2500:
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2869:
3020:
4862:
1386:
179:
4560:
4732:
4684:
687:
232:
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3047:
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1663:
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897:
1887:
1858:
1796:
1210:
1006:
578:
552:
522:
299:
632:
609:
140:
5761:. With a foreword by Roger Penrose. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 149. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-86991-1.
4396:{\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}
3839:
4993:
5927:
5729:
5711:
5693:
5675:
5657:
5639:
5621:
5603:
5585:
5570:
3307:{\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}
3984:
2327:
4223:{\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}
778:
5870:
4464:
1511:
5947:
4740:
4442:
4438:
1489:
1485:
580:), and terms using other metals names (such as copper or nickel), are occasionally used to name subsequent metallic means.
5997:
5920:
972:, this formula implies that the quotient of two consecutive elements of such a sequence tends to the metallic mean, when
5798:
4427:
1474:
6045:
5841:
1561:
698:
694:
4446:
4431:
1493:
1478:
239:
4585:
5913:
1423:
to the original rectangle; that is, a rectangle with the same ratio of the length to the width (see figures).
1698:
704:
6065:
2874:
2532:
584:
5525:
4570:
2450:
1666:
4810:
3776:
1118:
5987:
4977:{\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}
2818:
1420:
1294:
2973:
1352:
145:
4517:
1690:
4689:
4641:
644:
189:
5967:
2707:
1108:
291:
184:
1112:
5565:"Sequence A001622 (Decimal expansion of golden ratio phi (or tau) = (1 + sqrt(5))/2)"
6021:
6002:
5962:
5866:
5817:
2633:
1801:
1074:
635:
588:
46:
35:
2674:
2600:
1252:
1219:
1041:
5977:
4480:
3049:
is an integer that satisfies the given recurrence relation. This results from the identity
2786:
941:
482:{\displaystyle =n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}
91:
5884:
3025:
2946:
2754:
2505:
1641:
1527:
1010:
914:
875:
5972:
1863:
1837:
1775:
1431:
1186:
982:
1306:
th metallic mean, one gets a rectangle with the same ratio length/width (in the figures,
557:
531:
501:
5863:
The
Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science
614:
5982:
594:
125:
78:
6059:
5992:
5540:
2443:
The odd powers of a metallic mean are themselves metallic means. More precisely, if
1330:
6011:
5957:
5952:
5232:
5227:
5192:
5187:
3962:{\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}
1443:
1435:
1427:
1213:
1180:
1035:
525:
495:
24:
5085:{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}
5820:
1302:
largest possible squares from a rectangle with ratio length/width equal to the
6016:
5560:
4416:
1463:
1283:
85:
5896:
Further
Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation
4064:{\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}
2433:{\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}
1343:= red/ green = green/blue = blue/purple) and silver ratio within the octagon.
5825:
1396:
554:), and share some of their interesting properties. The term "bronze ratio" (
1319:
772:
It follows that, given such a recurrence the solution can be expressed as
1439:
4638:
Another generalization consists of changing the defining equation from
1447:
862:{\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}
5895:
1392:
th metallic mean induces the following geometrical interpretation.
55:
Gold, silver, and bronze ratios within their respective rectangles.
5535:
1293:
1286:. The third metallic mean is sometimes called the "bronze ratio".
5905:
5758:
5530:
5909:
4410:
1457:
5733:
5715:
5697:
5679:
5661:
5643:
5625:
5607:
5589:
5564:
118:
that satisfies the following equivalent characterizations:
5647:, Decimal expansion of [5, 5, ...] = (5 + sqrt(29))/2.
5611:, Decimal expansion of [3, 3, ...] = (3 + sqrt(13))/2.
1434:
and its diagonals. This is in particular the case for the
5150:
5883:
Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea
Crasmareanu (2013). "
5842:
4794:{\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}
444:
432:
418:
406:
392:
380:
366:
354:
1355:
447:
435:
421:
409:
395:
383:
369:
357:
242:
148:
4996:
4865:
4813:
4743:
4692:
4644:
4588:
4520:
4483:
4237:
4083:
3987:
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2976:
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2677:
2636:
2603:
2535:
2508:
2453:
2330:
1898:
1866:
1840:
1804:
1778:
1701:
1644:
1564:
1530:
1411:
th metallic ratio. If one remove from this rectangle
1255:
1222:
1189:
1121:
1077:
1044:
1013:
985:
944:
917:
878:
781:
707:
647:
617:
597:
560:
534:
504:
302:
192:
128:
94:
5805:. Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba: 141–157.
5780:
Nonlinear analysis, theory, methods and applications
5773:"The metallic means family and multifractal spectra"
5797:de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.).
5759:Aperiodic order. Vol. 1. A mathematical invitation
5593:, Decimal expansion of the silver mean, 1+sqrt(2).
5084:
4976:
4841:
4793:
4726:
4678:
4627:
4554:
4499:
4395:
4222:
4063:
3961:
3822:
3759:
3320:given that the initial values are easy to verify.
3306:
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3014:
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1099:
1063:
1026:
1000:
968:Since the inverse of a metallic mean is less than
960:
930:
891:
861:
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681:
626:
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516:
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226:
173:
134:
110:
3931:
3905:
1216:, and the elements of the sequence starting with
3972:For even powers, things are more complicate. If
2751:The definition of metallic means implies that
5921:
1628:{\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}
281:{\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}
8:
5885:Metallic Structures on Riemannian Manifolds
5629:, Decimal expansion of phi^3 = 2 + sqrt(5).
4445:. Unsourced material may be challenged and
1492:. Unsourced material may be challenged and
5928:
5914:
5906:
5099:
4628:{\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}
587:, the metallic means are exactly the real
494:Metallic means are generalizations of the
16:Generalization of golden and silver ratios
5571:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
5065:
5040:
5039:
5012:
5006:
4997:
4995:
4964:
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4935:
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4905:
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4883:
4870:
4864:
4826:
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4759:
4750:
4742:
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4691:
4649:
4643:
4614:
4605:
4593:
4587:
4525:
4519:
4514:as the positive solution of the equation
4488:
4482:
4465:Learn how and when to remove this message
4371:
4355:
4339:
4329:
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2071:
2055:
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2017:
2001:
1976:
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1956:
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1512:Learn how and when to remove this message
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258:
252:
243:
241:
197:
191:
161:
147:
127:
99:
93:
5889:Revista de la Unión Matemática Argentina
5102:
5750:
5737:, Decimal expansion of (10+sqrt(104)/2.
5552:
1759:{\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}
765:{\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}
5865:, p. 228, 231. World Scientific.
5803:Nexus II: Architecture and Mathematics
5719:, Decimal expansion of (9+sqrt(85))/2.
5683:, Decimal expansion of (7+sqrt(53))/2.
2932:{\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}
2590:{\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}}
2529:is defined by the recurrence relation
4987:Another form of the metallic mean is
4804:is any root of the equation, one has
1772:The equality is immediately true for
7:
4443:adding citations to reliable sources
2495:{\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}
1490:adding citations to reliable sources
5861:Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009).
4842:{\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}
3823:{\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}
1339:Golden ratio within the pentagram (
1172:{\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}
5701:, Decimal expansion of 4+sqrt(17).
5665:, Decimal expansion of 3+sqrt(10).
5062:
5056:
5053:
5050:
5047:
5044:
5041:
3909:
2864:{\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}
1860:Supposing the equality true up to
1834:which makes the equality true for
1399:such that the ratio of its length
14:
4477:One may define the metallic mean
290:the number whose expression as a
6044:
4415:
3978:is a positive even integer then
3015:{\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}
1798:The recurrence relation implies
1462:
1329:
1318:
1310:is the number of dotted lines).
1212:the metallic mean is called the
911:are constants depending only on
122:the unique positive real number
45:
34:
23:
5799:"The Metallic Means and Design"
5786:(6). Elsevier Science: 721–745.
2447:is an odd natural number, then
1381:{\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}
174:{\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}
5073:
5059:
4856:is also given by the integral
4543:
4534:
3294:
3256:
3250:
3212:
3196:
3158:
3146:
3108:
3105:
3093:
2911:
2901:
2391:
2371:
2293:
2215:
2174:
2158:
2117:
2096:
2048:
2042:
1994:
1426:Some metallic means appear as
339:
303:
1:
5771:de Spinadel, Vera W. (1999).
4555:{\displaystyle x^{2}-(-n)-1.}
3022:So, it remains to prove that
4727:{\displaystyle x^{2}-nx-c=0}
4679:{\displaystyle x^{2}-nx-1=0}
682:{\displaystyle x^{2}-nx-1=0}
227:{\displaystyle x^{2}-nx-1=0}
2744:{\displaystyle b=-1/S_{m}.}
2597:and the initial conditions
1111:, and the above formula is
6082:
5757:M. Baake, U. Grimm (2013)
5561:Sloane, N. J. A.
1669:by the initial conditions
1430:in the figure formed by a
699:linear recurrence relation
6042:
5943:
3318:This completes the proof,
183:the positive root of the
4573:of the metallic mean of
3323:In particular, one has
2659:{\displaystyle M_{1}=m.}
1827:{\displaystyle K_{2}=m,}
1100:{\displaystyle x_{1}=1,}
693:th metallic mean is the
5821:"Table of Silver means"
2697:{\displaystyle a=S_{m}}
2623:{\displaystyle M_{0}=2}
2104:(recurrence hypothesis)
1419:, one gets a rectangle
1415:squares of side length
1275:{\displaystyle x_{1}=1}
1242:{\displaystyle x_{0}=0}
1064:{\displaystyle x_{0}=0}
976:tends to the infinity.
695:characteristic equation
585:algebraic number theory
5894:Rakočević, Miloje M. "
5086:
4978:
4843:
4795:
4728:
4680:
4629:
4571:multiplicative inverse
4556:
4507:of a negative integer
4501:
4500:{\displaystyle S_{-n}}
4397:
4224:
4065:
3963:
3869:
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3761:
3308:
3043:
3016:
2964:
2933:
2865:
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2808:{\displaystyle ab=-1.}
2777:
2745:
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2660:
2624:
2591:
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1883:
1854:
1828:
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1760:
1659:
1629:
1545:
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1349:The defining equation
1311:
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1173:
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1065:
1028:
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962:
961:{\displaystyle x_{1}.}
932:
903:th metallic mean, and
893:
863:
766:
683:
641:The defining equation
628:
605:
591:that are greater than
574:
548:
518:
483:
282:
228:
175:
136:
112:
111:{\displaystyle S_{n},}
5103:First metallic means
5087:
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4844:
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4681:
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2776:{\displaystyle a+b=m}
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1884:
1855:
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1793:
1761:
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1658:{\displaystyle K_{n}}
1630:
1551:the metallic mean of
1546:
1544:{\displaystyle S_{m}}
1383:
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1277:
1244:
1207:
1174:
1102:
1066:
1029:
1027:{\displaystyle S_{n}}
1003:
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931:{\displaystyle x_{0}}
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892:{\displaystyle S_{n}}
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4586:
4518:
4481:
4439:improve this section
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2280:(recurrence on
1896:
1882:{\displaystyle n-1,}
1864:
1853:{\displaystyle k=2.}
1838:
1802:
1791:{\displaystyle n=1.}
1776:
1699:
1642:
1562:
1528:
1486:improve this section
1353:
1253:
1220:
1205:{\displaystyle n=2,}
1187:
1119:
1107:the sequence is the
1075:
1042:
1011:
1001:{\displaystyle n=1,}
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942:
915:
876:
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615:
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558:
532:
502:
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146:
126:
92:
4893:
4852:The silver mean of
4310:
4280:
4258:
4156:
4126:
4104:
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3555:
3471:
3403:
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2468:
2367:
1978:(defining equation)
1972:
1948:
1917:
1691:recurrence relation
1579:
812:
573:{\displaystyle n=3}
547:{\displaystyle n=2}
517:{\displaystyle n=1}
446:
434:
420:
408:
394:
382:
368:
356:
5968:Fibonacci sequence
5846:maths.surrey.ac.uk
5818:Weisstein, Eric W.
5574:. OEIS Foundation.
5082:
4974:
4879:
4839:
4791:
4724:
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4266:
4244:
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4090:
4061:
4040:
4011:
3989:
3959:
3820:
3780:
3770:and, in general,
3757:
3755:
3641:
3541:
3457:
3389:
3337:
3304:
3302:
3039:
3012:
2960:
2943:is odd, the power
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1756:
1655:
1638:where the numbers
1625:
1565:
1541:
1378:
1312:
1272:
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1202:
1169:
1109:Fibonacci sequence
1097:
1061:
1024:
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958:
928:
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859:
798:
762:
679:
627:{\displaystyle -1}
624:
601:
589:quadratic integers
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224:
185:quadratic equation
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6022:Supersilver ratio
6003:Supergolden ratio
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2424:
2317:End of the proof.
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2966:
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2868:
2867:
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2856:
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