851:
of a vector bundle, while the second mimics the local triviality condition on a bundle. An important distinction here is that "local triviality" for microbundles only holds near a neighborhood of the zero section. The space
714:
1539:
781:
2644:
1755:
2729:
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1058:
563:
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2135:
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1988:
650:
606:
2673:
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1119:
2507:
1903:
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1239:
2982:
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1876:
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1019:
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379:
298:
172:
112:
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874:
could look very wild away from that neighborhood. Also, the maps gluing together locally trivial patches of the microbundle may only overlap the fibers.
3026:
41:
in 1964. It allows the creation of bundle-like objects in situations where they would not ordinarily be thought to exist. For example, the
660:
2954:
2801:
over each point in the chart, and gluing these trivial bundles together by overlapping the fibers according to the transition maps.
1790:
is a vector bundle, the pullback microbundle of its underlying microbundle is precisely the underlying microbundle of the standard
1448:
721:
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2685:
3072:
3067:
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333:
2946:
2454:. The local triviality condition in the definition of microbundle can therefore be restated as follows: for every
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1028:
533:
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1247:
2240:
2164:
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2022:
2933:
2886:
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882:
613:
569:
2649:
2570:
2319:
1192:
474:
439:
50:
2370:
1086:
653:
2486:
1882:
384:
338:
2903:
2845:
2364:
2679:. Thus every microbundle can be refined to an actual fiber bundle in an essentially unique way.
2513:
1218:
3022:
2950:
2280:
2204:
1761:
1416:
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904:
255:
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91:
1822:
1356:
825:
or the fibre dimension of the microbundle. Similarly, note that the first condition suggests
796:
118:
2991:
2895:
2854:
2813:
2458:
308:
3036:
3005:
2964:
2915:
2866:
3032:
3018:
3001:
2960:
2911:
2862:
2597:
1791:
410:
244:
46:
889:, by replacing topological spaces and continuous maps by suitable objects and morphisms.
2783:
2761:
2739:
2437:
2413:
2140:
2002:
1861:
1801:
1590:
1566:
1545:
1395:
1335:
1311:
1286:
1198:
1171:
1151:
1126:
1064:
1004:
980:
958:
936:
856:
829:
509:
364:
283:
157:
97:
70:
42:
1168:. Equivalently, it is the underlying microbundle of the trivial vector bundle of rank
3061:
2858:
2314:
899:
527:
35:
32:
28:
2929:
2817:
2805:
2564:
1242:
2996:
2977:
2881:
2840:
2560:
38:
20:
2937:
3051:
2735:. Intuitively, this bundle is obtained by taking a system of small charts for
2939:
Foundational essays on topological manifolds, smoothings, and triangulations
2821:
2563:
states that there is a neighborhood of the zero section which is actually a
2676:
2907:
789:
247:(respectively, the "zero section" and the "projection map") such that:
2899:
2945:. Annals of Mathematics Studies. Vol. 88. Princeton, N.J.:
2434:
if it is isomorphic to the standard trivial microbundle of rank
709:{\displaystyle \mathrm {pr} _{1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U}
2682:
Taking the fiber bundle contained in the tangent microbundle
1964:, is the pullback microbundle with respect to the inclusion
1534:{\displaystyle f^{*}E:=\{(a,e)\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}}
1241:
together with the projection on the first component and the
776:{\displaystyle U\to U\times \mathbb {R} ^{n},x\mapsto (x,0)}
2639:{\displaystyle \operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)}
1750:{\displaystyle i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f)(x))}
2407:
between neighbourhoods of the zero sections as above.
2804:
Microbundle theory is an integral part of the work of
2356:
commuting with the projections and the zero sections.
877:
The definition of microbundle can be adapted to other
2786:
2764:
2742:
2688:
2675:
fixing the origin. This neighborhood is unique up to
2652:
2605:
2573:
2516:
2489:
2461:
2440:
2416:
2373:
2322:
2283:
2243:
2207:
2167:
2143:
2084:
2025:
2005:
1970:
1915:
1885:
1864:
1825:
1804:
1764:
1676:
1614:
1593:
1569:
1548:
1451:
1419:
1398:
1359:
1338:
1314:
1289:
1250:
1221:
1201:
1174:
1154:
1129:
1089:
1067:
1031:
1007:
983:
961:
939:
907:
859:
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724:
663:
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572:
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512:
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341:
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286:
258:
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100:
73:
2792:
2770:
2748:
2723:
2667:
2638:
2588:
2532:
2501:
2473:
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2422:
2399:
2348:
2305:
2269:
2229:
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2149:
2129:
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2011:
1982:
1956:
1897:
1870:
1849:
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1660:
1599:
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1554:
1533:
1437:
1404:
1383:
1344:
1320:
1295:
1274:
1233:
1207:
1180:
1160:
1135:
1113:
1073:
1052:
1013:
989:
967:
945:
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865:
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775:
708:
644:
600:
557:
518:
498:
463:
428:
399:
373:
353:
323:
292:
270:
234:
200:
166:
145:
106:
79:
2724:{\displaystyle (M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )}
53:; use of microbundles allows the definition of a
2983:Proceedings of the American Mathematical Society
1661:{\displaystyle p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A}
2161:(or equivalent) if there exist a neighborhood
16:Generalization of the concept of vector bundle
3017:. Classics in Mathematics. Berlin, New York:
8:
1528:
1468:
175:is a topological space (the "total space"),
2978:"Microbundles, manifolds and metrisability"
2995:
2785:
2763:
2741:
2710:
2687:
2659:
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2654:
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2616:
2604:
2580:
2576:
2575:
2572:
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2515:
2488:
2460:
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2415:
2391:
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2372:
2340:
2327:
2321:
2288:
2282:
2261:
2248:
2242:
2212:
2206:
2185:
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2166:
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2118:
2105:
2092:
2083:
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2046:
2033:
2024:
2004:
1969:
1936:
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1914:
1884:
1863:
1824:
1803:
1763:
1693:
1675:
1643:
1630:
1622:
1613:
1592:
1568:
1547:
1456:
1450:
1418:
1397:
1358:
1337:
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1288:
1249:
1220:
1200:
1173:
1153:
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1088:
1066:
1044:
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1030:
1006:
982:
960:
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858:
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798:
743:
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738:
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673:
665:
662:
621:
615:
577:
571:
549:
545:
544:
535:
511:
476:
441:
412:
386:
366:
340:
310:
285:
257:
215:
181:
159:
120:
99:
72:
3015:Algebraic topology—homotopy and homology
1053:{\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}
558:{\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}
115:(the "base space") consists of a triple
2832:
2551:if its tangent microbundle is trivial.
2976:Gauld, David; Greenwood, Sina (2000).
1275:{\displaystyle \Delta :M\to M\times M}
27:is a generalization of the concept of
7:
2270:{\displaystyle V_{2}\subseteq E_{2}}
2194:{\displaystyle V_{1}\subseteq E_{1}}
1957:{\displaystyle E_{\mid A}=p^{-1}(A)}
788:In analogy with vector bundles, the
2547:, a topological manifold is called
2363:between microbundles consists of a
2130:{\displaystyle (E_{2},i_{2},p_{2})}
2071:{\displaystyle (E_{1},i_{1},p_{1})}
2714:
2711:
2704:
1983:{\displaystyle A\hookrightarrow B}
1626:
1623:
1251:
669:
666:
14:
2646:, the group of homeomorphisms of
1585:pullback (or induced) microbundle
1060:(together with the projection on
847:should be thought of as the zero
645:{\displaystyle i_{\mid U}:U\to V}
601:{\displaystyle p_{\mid V}:V\to U}
2882:"Microbundles are fibre bundles"
2668:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2589:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2349:{\displaystyle V_{1}\cong V_{2}}
2545:parallelisable smooth manifolds
1607:, together with the projection
499:{\displaystyle p(V)\subseteq U}
464:{\displaystyle i(U)\subseteq V}
2718:
2689:
2633:
2612:
2559:A theorem of James Kister and
2522:
2400:{\displaystyle V_{1}\to V_{2}}
2384:
2300:
2294:
2224:
2218:
2124:
2085:
2065:
2026:
1974:
1951:
1945:
1921:
1844:
1826:
1774:
1744:
1741:
1735:
1732:
1720:
1711:
1708:
1686:
1652:
1525:
1519:
1510:
1504:
1483:
1471:
1429:
1378:
1360:
1260:
1114:{\displaystyle x\mapsto (x,0)}
1108:
1096:
1093:
917:
770:
758:
755:
728:
700:
636:
622:
592:
578:
487:
481:
452:
446:
423:
417:
226:
192:
140:
122:
1:
2997:10.1090/s0002-9939-00-05343-0
2859:10.1016/0040-9383(64)90005-9
2549:topologically parallelisable
2502:{\displaystyle U\subseteq B}
1898:{\displaystyle A\subseteq B}
1146:standard trivial microbundle
1000:Given any topological space
400:{\displaystyle V\subseteq E}
354:{\displaystyle U\subseteq B}
3013:Switzer, Robert M. (2002).
2843:(1964). "Microbundles. I".
3089:
2947:Princeton University Press
2733:topological tangent bundle
2533:{\displaystyle E_{\mid U}}
2510:such that the restriction
887:piecewise linear manifolds
2880:Kister, James M. (1964).
2482:there is a neighbourhood
1304:-microbundle, called the
1234:{\displaystyle M\times M}
1144:-microbundle, called the
2306:{\displaystyle i_{2}(B)}
2230:{\displaystyle i_{1}(B)}
1783:{\displaystyle p:E\to B}
1438:{\displaystyle f:A\to B}
1215:, the cartesian product
926:{\displaystyle p:E\to B}
271:{\displaystyle p\circ i}
235:{\displaystyle p:E\to B}
201:{\displaystyle i:B\to E}
2430:-microbundle is called
1850:{\displaystyle (E,i,p)}
1384:{\displaystyle (E,i,p)}
812:{\displaystyle n\geq 0}
146:{\displaystyle (E,i,p)}
3054:at the Manifold Atlas.
2934:Siebenmann, Laurent C.
2794:
2772:
2750:
2725:
2669:
2640:
2590:
2534:
2503:
2475:
2474:{\displaystyle b\in B}
2448:
2424:
2401:
2350:
2307:
2271:
2231:
2195:
2151:
2131:
2072:
2013:
1984:
1958:
1907:restricted microbundle
1899:
1872:
1851:
1812:
1784:
1751:
1662:
1601:
1577:
1556:
1535:
1439:
1406:
1385:
1346:
1322:
1297:
1276:
1235:
1209:
1182:
1162:
1137:
1115:
1075:
1054:
1015:
991:
969:
947:
927:
881:more general than the
867:
840:
813:
777:
710:
646:
602:
559:
520:
500:
465:
430:
401:
375:
355:
325:
324:{\displaystyle b\in B}
294:
272:
236:
202:
168:
147:
108:
81:
2887:Annals of Mathematics
2810:Laurent C. Siebenmann
2795:
2773:
2757:, letting each chart
2751:
2726:
2670:
2641:
2591:
2535:
2504:
2476:
2449:
2425:
2402:
2351:
2308:
2272:
2232:
2196:
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2132:
2073:
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1985:
1959:
1900:
1873:
1852:
1813:
1785:
1752:
1669:and the zero section
1663:
1602:
1578:
1557:
1536:
1440:
1413:and a continuous map
1407:
1386:
1347:
1323:
1298:
1277:
1236:
1210:
1183:
1163:
1138:
1116:
1076:
1055:
1016:
992:
970:
948:
928:
868:
841:
814:
778:
711:
647:
603:
560:
521:
501:
466:
431:
402:
376:
356:
326:
295:
273:
237:
203:
169:
148:
109:
82:
2841:Milnor, John Willard
2784:
2762:
2740:
2686:
2650:
2603:
2571:
2514:
2487:
2459:
2438:
2414:
2371:
2320:
2281:
2241:
2205:
2165:
2141:
2137:over the same space
2082:
2023:
2003:
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