2942:
2486:
954:
1311:
2937:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}
3826:
1120:
5050:
has been translated from Latin into
English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished
1971:
3071:
3542:
1434:
4067:
3222:
4599:
4749:. One distinguished member of this algebra is that poset's "Möbius function". The classical Möbius function treated in this article is essentially equal to the Möbius function of the set of all positive integers partially ordered by
1675:
1106:
3319:
3411:
2144:
3939:
1584:
1803:
4883:
4695:
385:
3628:
1306:{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }
1503:
2491:
4448:
1831:
2968:
2449:
3439:
4212:, and therefore, by the induction hypothesis, has an equal number of odd- and even-cardinality subsets. These subsets in turn correspond bijectively to the even- and odd-cardinality
3581:
1322:
3601:
2481:
3956:
3111:
2332:
1695:
4489:
491:
2384:
2355:
1590:
1018:
2235:
4355:
2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (sequence
3255:
4362:
4344:
4288:
102:
3330:
4236:
2055:
3842:
1509:
5447:
5402:
5222:
4995:
occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically". (
1715:
4796:
4610:
4193:. There is an obvious bijection between these two subclasses, pairing those subsets that have the same complement relative to the subset
3821:{\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}
312:
4132:. The asserted result follows from the fact that every non-empty finite set has an equal number of odd- and even-cardinality subsets.
4936:
5623:
5570:
5540:
5369:
5344:
5323:
5361:
1440:
4227:
A related result is that the binomial coefficients exhibit alternating entries of odd and even power which sum symmetrically.
5311:
116:
Möbius (or
Moebius) function mu(n). mu(1) = 1; mu(n) = (-1)^k if n is the product of k different primes; otherwise mu(n) = 0.
3246:. (However, the computational complexity of this definition is at least the same as that of the Euler product definition.)
5467:
3099:
5462:
5046:
5010:
207:
3077:
2150:
160:
4095:
However it is also possible to prove this identity from first principles. First note that it is trivially true when
1966:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}
5474:
3105:
There is a formula for calculating the Möbius function without directly knowing the factorization of its argument:
167:
in the 1960s, generalizations of the Möbius function were introduced into combinatorics, and are similarly denoted
148:
76:
58:
3066:{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}
4920:
4388:
3537:{\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}
3417:
The first of these is a classical result while the second was published in 2020. Similar identities hold for the
2234:
The free
Riemann gas has a number of other interesting connections to number theory, including the fact that the
2211:
3611:
2389:
43:
5500:
4337:
30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (sequence
5394:
5249:"Hecke Algebras, Type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory"
2259:
1986:
140:
4281:
4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... (sequence
3614:
is again multiplicative. Thus it suffices to prove the formula for powers of primes. Indeed, for any prime
953:
156:
3554:
5337:
Untersuchungen uber hohere
Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory)
4787:
4742:
4458:
3604:
3548:
2239:
1429:{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}
1005:
452:
219:
5040:) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the
30:
This article is about the number-theoretic Möbius function. For the combinatorial Möbius function, see
5457:
5353:
5332:
5015:
4240:
434:
415:
257:
3479:
3008:
5483:
5478:
4375:
2181:
1698:
1001:
253:
3586:
2454:
2195:. This follows from the fact that the factorization of the natural numbers into primes is unique.
5300:
5268:
4949:
4915:
4477:
4462:
4062:{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}
3217:{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}
2247:
410:
4959:
4594:{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}
5596:
5566:
5536:
5443:
5416:
5398:
5365:
5340:
5319:
5218:
4754:
4746:
456:
35:
31:
2311:
1680:
5576:
5546:
5408:
5292:
5260:
5236:
4954:
4379:
3418:
2166:
997:
461:
5524:
5232:
5580:
5562:
5550:
5520:
5435:
5240:
5228:
2360:
395:
164:
4925:
2337:
5210:
4964:
4721:
4710:
4330:
4271:
3243:
1706:
39:
975:
5617:
5599:
5387:
5272:
4738:
2170:
1670:{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}
1112:
1101:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}
144:
4790:
of the Möbius function with itself. It is thus again a multiplicative function with
5382:
5296:
4757:
for the precise definition and several examples of these general Möbius functions.
3610:
One way of proving this formula is by noting that the
Dirichlet convolution of two
2243:
2220:
that distinguishes fermions and bosons is then none other than the Möbius function
2019:
229:
5304:
5280:
3314:{\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}
5496:
5378:
4277:
is divisible by the square of a prime. The first numbers with this property are
4185:
into two subclasses depending on whether they contain or not some fixed element
17:
4931:
4239:
of the Möbius function is zero. This statement is, in fact, equivalent to the
3406:{\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}
2199:
2162:
5217:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York; Heidelberg: Springer-Verlag,
5604:
5360:, Arthur A. Clarke (English translator) (corrected 2nd ed.), New York:
2139:{\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}
5511:
Popovici, Constantin P. (1963), "A generalization of the Möbius function",
4201:. Also, one of these two subclasses consists of all the subsets of the set
5557:
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006),
3934:{\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}
3084:
is of relevance in the theory of multiplicative and arithmetic functions.
1579:{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}
5264:
4750:
2298:
2216:
2207:
2173:. In this theory, the fundamental particles or "primons" have energies
1798:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}
980:
187:
4457:. This function is closely linked with the positions of zeroes of the
279:
is a square-free positive integer with an odd number of prime factors.
5248:
4878:{\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }
4690:{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}
4135:
This last fact can be shown easily by induction on the cardinality
5339:, H. Maser (German translator) (2nd ed.), New York: Chelsea,
2203:
380:{\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),}
4224:. The inductive step follows directly from these two bijections.
2184:, multiparticle excitations are considered; these are given by
2198:
In the free
Riemann gas, any natural number can occur, if the
4351:
and the first such numbers with 5 distinct prime factors are
4072:
The formula above is then a consequence of the fact that the
3950:
Another way of proving this formula is by using the identity
2947:
The sum of the Möbius function over all positive divisors of
4652:
4329:. The first such numbers with three distinct prime factors (
1498:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}
952:
4357:
4339:
4283:
3530:
3059:
1004:
the Möbius function is the (multiplicative) inverse of the
5069:
5067:
4765:
Constantin
Popovici defined a generalised Möbius function
3249:
Other identities satisfied by the Möbius function include
1012:
is a complex number with real part larger than 1 we have
4167:
itself, and exactly one even-cardinality subset, namely
3102:
in combinatorial groups and combinatorial enumerations.
306:
The Möbius function can alternatively be represented as
950:
The first 50 values of the function are plotted below:
4888:
where the binomial coefficient is taken to be zero if
4799:
4613:
4492:
4391:
3959:
3845:
3631:
3589:
3557:
3442:
3333:
3258:
3114:
2971:
2489:
2457:
2392:
2363:
2340:
2314:
2058:
1834:
1718:
1683:
1593:
1512:
1443:
1325:
1123:
1021:
464:
315:
111:
4310:, but the converse is not true. The first non prime
4128:and the subsets of the set of all prime factors of
3098:in combinatorics are connected with the use of the
159:and most often appears as part of its namesake the
101:
93:
82:
72:
64:
54:
5479:"Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen"
5386:
4877:
4689:
4593:
4465:for more information about the connection between
4442:
4061:
3933:
3820:
3595:
3575:
3536:
3405:
3313:
3216:
3065:
2936:
2475:
2443:
2378:
2349:
2326:
2138:
1965:
1797:
1689:
1669:
1578:
1497:
1428:
1305:
1100:
485:
379:
5417:"Unital Sums of the Möbius and Mertens Functions"
4866:
4853:
4604:it follows that the Mertens function is given by
4159:, there is exactly one odd-cardinality subset of
5281:"Computing the summation of the Möbius function"
5037:
4516:
4109:. Then there is a bijection between the factors
3983:
3138:
5484:Journal für die reine und angewandte Mathematik
2030:is necessarily a prime power), then the number
5501:"The Möbius function (and squarefree numbers)"
4378:closely related to the Möbius function is the
155:) in 1832. It is ubiquitous in elementary and
5193:
8:
5018:showed that the sum of the primitive roots (
4898:. The definition may be extended to complex
426:is the number of distinct prime divisors of
49:
5121:
4996:
4984:Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "...
4902:by reading the binomial as a polynomial in
4443:{\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}
4237:mean value (in the sense of average orders)
2034:of monic irreducible polynomials of degree
5531:Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004),
5109:
3076:The equality above leads to the important
48:
5318:, Mineola, New York: Dover Publications,
4865:
4852:
4850:
4844:
4818:
4804:
4798:
4720:This formula is used in the proof of the
4669:
4657:
4651:
4650:
4642:
4612:
4576:
4566:
4541:
4515:
4513:
4512:
4491:
4422:
4411:
4390:
4084:th root of unity for exactly one divisor
4044:
4034:
4009:
3995:
3982:
3980:
3979:
3958:
3871:
3844:
3809:
3760:
3732:
3675:
3664:
3648:
3630:
3588:
3556:
3513:
3487:
3474:
3447:
3441:
3363:
3338:
3332:
3279:
3263:
3257:
3199:
3189:
3164:
3150:
3137:
3135:
3134:
3113:
3042:
3016:
3003:
2976:
2970:
2845:
2836:
2810:
2806:
2708:
2689:
2685:
2628:
2623:
2621:
2620:
2573:
2569:
2512:
2508:
2490:
2488:
2456:
2444:{\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}
2391:
2362:
2339:
2313:
2122:
2094:
2080:
2057:
1952:
1944:
1933:
1928:
1912:
1890:
1878:
1856:
1850:
1839:
1833:
1777:
1759:
1740:
1734:
1723:
1717:
1682:
1634:
1615:
1609:
1598:
1592:
1534:
1528:
1517:
1511:
1465:
1459:
1448:
1442:
1388:
1377:
1367:
1350:
1347:
1341:
1330:
1324:
1287:
1278:
1254:
1245:
1221:
1212:
1184:
1175:
1163:
1156:
1152:
1124:
1122:
1074:
1063:
1043:
1037:
1026:
1020:
463:
335:
314:
5389:An Introduction to the Theory of Numbers
5181:
5097:
862:
775:
688:
601:
514:
27:Multiplicative function in number theory
5169:
5157:
5133:
5063:
4977:
4928:C++, Python3, Java, C#, PHP, Javascript
4076:th roots of unity sum to 0, since each
2161:The Möbius function also arises in the
147:introduced by the German mathematician
5215:Introduction to analytic number theory
5085:
512:for the first 50 positive numbers are
5279:Deléglise, Marc; Rivat, Joël (1996),
5145:
5073:
1981:Gauss proved that for a prime number
7:
5442:(2nd ed.), Dover Publications,
3425:Proof of the formula for the sum of
5247:Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995),
3576:{\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }
1595:
1514:
1327:
4857:
2955:itself and 1) is zero except when
1851:
1735:
1610:
1529:
1460:
1342:
1038:
971:Larger values can be checked in:
442:is the number of prime factors of
348:
25:
4080:th root of unity is a primitive
97:1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
2214:excludes squares. The operator
2149:Möbius function is used in the
5535:, Dordrecht: Kluwer Academic,
5513:Studii şi Cercetări Matematice
5297:10.1080/10586458.1996.10504594
4841:
4831:
4623:
4617:
4531:
4519:
4502:
4496:
4437:
4431:
4401:
4395:
3999:
3986:
3969:
3963:
3928:
3922:
3907:
3901:
3892:
3886:
3861:
3855:
3815:
3802:
3766:
3753:
3722:
3716:
3707:
3701:
3692:
3686:
3654:
3641:
3605:identity under the convolution
3468:
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468:
451:It can also be defined as the
371:
365:
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351:
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339:
325:
319:
83:
1:
4181:, then divide the subsets of
448:, counted with multiplicity.
5533:Handbook of number theory II
5424:Journal of Integer Sequences
5358:Disquisitiones Arithemeticae
5038:#Properties and applications
3596:{\displaystyle \varepsilon }
3238:is the sum of the primitive
2476:{\displaystyle m>n\geq 1}
2308:: Given two coprime numbers
5559:Handbook of number theory I
5463:Encyclopedia of Mathematics
5047:Disquisitiones Arithmeticae
5011:Disquisitiones Arithmeticae
3080:and is the main reason why
1709:for the Möbius function is
302:has a squared prime factor.
5640:
4145:of a non-empty finite set
2246:'s attempted proof of the
1111:This may be seen from its
29:
5194:Sándor & Crstici 2004
4461:. See the article on the
4453:for every natural number
4374:In number theory another
3100:Pólya enumeration theorem
2212:Pauli exclusion principle
256:positive integer with an
5624:Multiplicative functions
5393:(5th ed.), Oxford:
5285:Experimental Mathematics
4760:
3612:multiplicative functions
3078:Möbius inversion formula
2151:Möbius inversion formula
260:number of prime factors.
161:Möbius inversion formula
5456:Klimov, N. I. (2001) ,
5415:Kline, Jeffery (2020),
5395:Oxford University Press
5316:Riemann's Zeta Function
5122:Hardy & Wright 1980
4997:Hardy & Wright 1980
4745:(poset) is assigned an
4741:, every locally finite
4220:-containing subsets of
2327:{\displaystyle m\geq n}
2258:The Möbius function is
2206:. If they are taken as
2191:for any natural number
1977:Algebraic number theory
1690:{\displaystyle \gamma }
957:The 50 first values of
149:August Ferdinand Möbius
141:multiplicative function
77:August Ferdinand Möbius
59:August Ferdinand Möbius
5110:Bost & Connes 1995
4879:
4691:
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3087:Other applications of
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2242:. This idea underlies
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968:
487:
486:{\displaystyle f(n)=1}
381:
157:analytic number theory
5354:Gauss, Carl Friedrich
5333:Gauss, Carl Friedrich
4880:
4788:Dirichlet convolution
4753:. See the article on
4743:partially ordered set
4722:Franel–Landau theorem
4692:
4596:
4459:Riemann zeta function
4445:
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3547:Can be written using
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1308:
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1022:
1006:Riemann zeta function
956:
488:
453:Dirichlet convolution
382:
151:(also transliterated
73:Author of publication
44:Möbius transformation
5565:, pp. 187–226,
5505:Ed Pegg's Math Games
5016:Carl Friedrich Gauss
4797:
4611:
4490:
4389:
4241:prime number theorem
4102:. Suppose then that
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313:
163:. Following work of
5253:Selecta Mathematica
5184:, pp. 493–499.
5124:, (16.6.4), p. 239.
5112:, pp. 411–457.
5088:, pp. 105–123.
4999:, Notes on ch. XVI)
4761:Popovici's function
4376:arithmetic function
2182:second quantization
992:Mathematical series
214:. It has values in
51:
5597:Weisstein, Eric W.
5265:10.1007/BF01589495
4950:Liouville function
4875:
4755:incidence algebras
4733:Incidence algebras
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981:the b-file of OEIS
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483:
411:Liouville function
377:
206:as the sum of the
36:rational functions
5600:"Möbius function"
5458:"Möbius function"
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5100:, §4.13.
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4476:and the
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