450:
840:
1050:
190:
1110:
Mémoire contenant l'application de la théorie exposée dans le XVII. e Cahier du
Journal de l'École polytechnique, à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre
600:
1157:
645:
705:
1068:
1581:
849:
1501:
748:
937:
445:{\displaystyle L=A\,{\text{det}}(\nabla ^{2}u)+B\Delta u+2Cu_{xy}+(D-B)u_{yy}+E=A(u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2})+Bu_{xx}+2Cu_{xy}+Du_{yy}+E=0,}
1056:
1451:
1397:
1359:
1305:
1251:
121:
1142:
1158:"A nivel de los grandes del siglo: Luis Caffarelli, el Messi de la matemática que ganó el equivalente al Nobel de la disciplina"
1431:
1545:
1435:
46:
1540:
555:
1131:
606:
129:
1535:
156:
were recognized for their work on the regularity of the Monge–Ampère equation, with the former winning the
109:
656:
1557:
1289:
880:
1092:
Monge, Gaspard (1784). "Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles".
884:
846:
74:
101:
independent variables. The most complete results so far have been obtained when the equation is
1554:
1497:
1447:
1393:
1355:
1301:
1247:
1073:
868:
542:
141:
137:
117:
102:
1515:
1489:
1465:
1439:
1411:
1373:
1347:
1319:
1293:
1265:
1239:
133:
1511:
1461:
1407:
1369:
1315:
1261:
1519:
1507:
1485:
1469:
1457:
1415:
1403:
1377:
1365:
1343:
1323:
1311:
1277:
1269:
1257:
1235:
892:
857:
153:
149:
145:
132:
in 1820. Important results in the theory of Monge–Ampère equations have been obtained by
871:, and in particular solutions to the Dirichlet problem are unique, provided they exist.
1477:
1423:
1385:
1335:
66:
31:
1575:
1331:
1281:
1227:
853:
125:
17:
923:∈ Ω so that at each point of the surface the Gauss curvature is given by
157:
113:
1108:
903:, the problem of prescribed Gauss curvature seeks to identify a hypersurface of
888:
62:
38:
1493:
1351:
1243:
161:
891:. One of the simplest of these applications is to the problem of prescribed
1562:
1297:
1286:
Methods of mathematical physics. Volume II: Partial differential equations
1059:, when the "cost functional" therein is given by the Euclidean distance.
1484:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 338. Berlin:
1443:
835:{\displaystyle L=\det D^{2}u-f(\mathbf {x} ,u,Du)=0\qquad \qquad (1)}
1045:{\displaystyle \det D^{2}u-K(\mathbf {x} )(1+|Du|^{2})^{(n+2)/2}=0.}
27:
Nonlinear second-order partial differential equation of special kind
1392:(Third edition of 1975 original ed.). Publish or Perish, Inc.
1390:
A comprehensive introduction to differential geometry: volume five
1342:. Classics in Mathematics (Reprint of the 1998 ed.). Berlin:
49:
of special kind. A second-order equation for the unknown function
879:
Monge–Ampère equations arise naturally in several problems in
742:) is a positive function. Then the Monge–Ampère equation
1340:
Elliptic partial differential equations of second order
710:
then the
Dirichlet problem has at most two solutions.
1096:. Paris, France: Imprimerie Royale. pp. 118–192.
1057:
Monge–Kantorovich optimal mass transportation problem
940:
751:
659:
609:
558:
475:
are functions depending on the first-order variables
193:
97:. The term also applies to analogous equations with
931:). The resulting partial differential equation is
184:, the general Monge–Ampère equation is of the form
1044:
834:
699:
639:
594:
444:
856:is elliptic), provided one confines attention to
1194:
1069:List of nonlinear partial differential equations
941:
767:
61:is of Monge–Ampère type if it is linear in the
1234:. Springer Monographs in Mathematics. Berlin:
1232:Some nonlinear problems in Riemannian geometry
1182:
1055:The Monge–Ampère equations are related to the
595:{\displaystyle L=0,\quad {\text{on}}\ \Omega }
8:
108:Monge–Ampère equations frequently arise in
1026:
1010:
1000:
995:
983:
966:
948:
939:
792:
774:
750:
722:is a variable with values in a domain in
673:
658:
619:
614:
608:
581:
557:
418:
399:
377:
358:
350:
334:
321:
293:
262:
225:
213:
212:
192:
640:{\displaystyle u|_{\partial \Omega }=g.}
1210:
1206:
1084:
895:. Suppose that a real-valued function
850:elliptic partial differential equation
7:
1558:"Monge-Ampère Differential Equation"
1094:Mémoires de l'Académie des Sciences
899:is specified on a domain Ω in
623:
620:
589:
509:Let Ω be a bounded domain in
243:
222:
25:
700:{\displaystyle BD-C^{2}-AE>0,}
122:differential geometry of surfaces
1434:. Vol. 58. Providence, RI:
1428:Topics in optimal transportation
1143:International Mathematical Union
967:
793:
172:Given two independent variables
1432:Graduate Studies in Mathematics
1113:. Paris: De l'Imprimerie royale
822:
821:
580:
1582:Partial differential equations
1482:Optimal transport. Old and new
1023:
1011:
1007:
996:
984:
974:
971:
963:
829:
823:
812:
789:
761:
755:
615:
568:
562:
364:
314:
286:
274:
234:
218:
203:
197:
1:
1436:American Mathematical Society
1074:Complex Monge–Ampère equation
513:, and suppose that on Ω
180:, and one dependent variable
124:. They were first studied by
81:. The independent variables (
47:partial differential equation
1195:Gilbarg & Trudinger 2001
1107:Ampère, André-Marie (1819).
533:are continuous functions of
45:is a nonlinear second-order
1541:Encyclopedia of Mathematics
160:in 2018 and the latter the
89:) vary over a given domain
1598:
1183:Courant & Hilbert 1962
867:satisfies versions of the
863:Accordingly, the operator
29:
1494:10.1007/978-3-540-71050-9
1352:10.1007/978-3-642-61798-0
1244:10.1007/978-3-662-13006-3
73:and in the second-order
30:Not to be confused with
1536:"Monge–Ampère equation"
1290:Interscience Publishers
1132:"Figalli long citation"
852:(in the sense that its
504:
1046:
836:
701:
641:
596:
446:
112:, for example, in the
1298:10.1002/9783527617234
1220:Additional references
1156:De Ambrosio, Martín.
1047:
837:
702:
642:
597:
447:
128:in 1784 and later by
110:differential geometry
43:Monge–Ampère equation
18:Monge-Ampère equation
938:
749:
657:
607:
556:
541:only. Consider the
191:
1288:. New York–London:
881:Riemannian geometry
714:Ellipticity results
363:
75:partial derivatives
1555:Weisstein, Eric W.
1336:Trudinger, Neil S.
1139:Fields Medals 2018
1042:
885:conformal geometry
832:
697:
637:
592:
442:
346:
130:André-Marie Ampère
1503:978-3-540-71049-3
869:maximum principle
718:Suppose now that
588:
584:
543:Dirichlet problem
505:Rellich's theorem
216:
148:. More recently,
142:Charles Fefferman
138:Aleksei Pogorelov
53:of two variables
16:(Redirected from
1589:
1568:
1567:
1549:
1523:
1473:
1419:
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217:
214:
134:Sergei Bernstein
21:
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1591:
1590:
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1587:
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1552:
1534:
1531:
1526:
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1478:Villani, Cédric
1476:
1454:
1444:10.1090/gsm/058
1424:Villani, Cédric
1422:
1400:
1386:Spivak, Michael
1384:
1362:
1344:Springer-Verlag
1330:
1308:
1276:
1254:
1236:Springer-Verlag
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188:
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150:Alessio Figalli
146:Louis Nirenberg
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22:
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12:
11:
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1215:
1199:
1187:
1185:, p. 324.
1175:
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199:
196:
169:
166:
67:Hessian matrix
32:Monge equation
26:
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1459:
1455:
1453:0-8218-3312-X
1449:
1445:
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1395:
1391:
1387:
1383:
1379:
1375:
1371:
1367:
1363:
1361:3-540-41160-7
1357:
1353:
1349:
1345:
1341:
1337:
1333:
1329:
1325:
1321:
1317:
1313:
1309:
1307:9780471504399
1303:
1299:
1295:
1291:
1287:
1283:
1279:
1275:
1271:
1267:
1263:
1259:
1255:
1253:3-540-60752-8
1249:
1245:
1241:
1237:
1233:
1229:
1225:
1224:
1219:
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1208:
1203:
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1184:
1179:
1176:
1163:
1159:
1152:
1149:
1144:
1140:
1133:
1127:
1124:
1112:
1111:
1103:
1100:
1095:
1088:
1085:
1079:
1075:
1072:
1070:
1067:
1066:
1062:
1060:
1058:
1039:
1036:
1031:
1027:
1020:
1017:
1014:
1001:
991:
988:
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977:
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957:
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