868:
75:
7142:
4645:
3718:
5959:
is finite. The inequality expressing this fact has constants that do not involve the dimension of the space and, thus, the inequality holds in the setting of a
Gaussian measure on an infinite-dimensional space. It is now known that logarithmic Sobolev inequalities hold for many different types of
4387:
4366:
2640:
1016:
3584:
4938:
2926:
5352:
2060:
5258:
1803:
1120:
1241:
353:
259:
462:
2279:
3853:
4640:{\displaystyle \int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {|x|^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx}
4118:
2418:
547:
3136:
2733:
2504:
3339:
4187:
3438:
2522:
5064:
6021:
operator. This result means that if a function is in the range of the exponential of the
Dirichlet form operatorâwhich means that the function has, in some sense, infinitely many derivatives in
919:
1876:
4787:
4015:
3573:
5802:, that has dimension-independent constants and therefore continues to hold in the infinite-dimensional setting. The logarithmic Sobolev inequality says, roughly, that if a function is in
2997:
5431:
4719:
619:
1885:(compact). Note that the condition is just as in the first part of the Sobolev embedding theorem, with the equality replaced by an inequality, thus requiring a more regular space
3713:{\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\left+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}}
5581:
1406:
1279:
5957:
2126:
782:
4804:
7031:
2158:
6113:
815:
733:
6080:
5512:
1742:
1153:
700:
3916:
1542:
1502:
1357:
1311:
6604:
6046:
6015:
5988:
5901:
5854:
5827:
5765:
5738:
5631:
5458:
2814:
1473:
862:
646:
1129:. Intuitively, this inclusion expresses the fact that the existence of sufficiently many weak derivatives implies some continuity of the classical derivatives. If
5269:
2184:
1337:
2756:
6694:
5874:
5785:
5711:
5691:
5671:
5651:
5604:
5478:
5386:
3936:
1947:
1522:
1446:
1426:
1377:
835:
666:
574:
6857:
5119:
1034:
2663:
1158:
270:
195:
6984:
6839:
378:
5787:). In particular, for functions on an infinite-dimensional space, we cannot expect any direct analog of the classical Sobolev embedding theorems.
2192:
6815:
3729:
6459:
6379:
6320:
6261:
6371:
4031:
2370:
489:
6707:
3042:
2437:
6796:
6687:
6664:
6404:
6354:
6145:
4361:{\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}
3288:
2298:
Sobolev's original proof of the
Sobolev embedding theorem relied on the following, sometimes known as the HardyâLittlewoodâSobolev
1635:
and the boundary is
Lipschitz (meaning that the boundary can be locally represented as a graph of a Lipschitz continuous function).
7066:
5799:
5363:
6711:
6504:
2635:{\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}
3350:
1708:
55:
2186:
to
Gagliardo and Nirenberg independently. The GagliardoâNirenbergâSobolev inequality implies directly the Sobolev embedding
1011:{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}
7176:
6862:
6572:
6451:
6396:
4994:
6918:
7145:
6867:
6852:
6680:
6882:
6567:
1811:
7127:
6887:
4727:
3963:
3500:
2770:
implies that the latter inequality gives a unified way to write the family of inequalities for the Riesz potential.
7081:
7005:
6656:
6218:
Brezis, H.; Nirenberg, L. (September 1995). "Degree theory and BMO; part I: Compact manifolds without boundaries".
7122:
6938:
6872:
6974:
6775:
4022:
2960:
6847:
867:
6017:, this improvement is sufficient to derive an important result, namely hypercontractivity for the associated
5391:
4666:
3159:. This version of the inequality follows from the previous one by applying the norm-preserving extension of
2773:
The HardyâLittlewoodâSobolev lemma implies the
Sobolev embedding essentially by the relationship between the
579:
7171:
7071:
7102:
7046:
7010:
4132:
2299:
1632:
63:
7166:
6562:
6499:
6480:
4144:
3212:
may also be unbounded, but in this case its boundary, if it exists, must be sufficiently well-behaved.)
3182:
2516:, then one has two possible replacement estimates. The first is the more classical weak-type estimate:
1882:
35:
5520:
4933:{\displaystyle \int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}}
1382:
1246:
7085:
6513:
5906:
3022:
2068:
1602:
3599:
738:
7051:
6989:
6703:
1656:
1623:
7076:
6943:
6633:
6615:
6539:
6433:
6346:
6235:
2131:
1646:
59:
6486:
6085:
787:
705:
6051:
5483:
1132:
671:
7056:
6660:
6455:
6400:
6388:
6375:
6350:
6316:
6257:
6141:
4372:
3887:
2921:{\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}
1642:
475:
1527:
1478:
1342:
1287:
7061:
6979:
6948:
6928:
6913:
6908:
6903:
6740:
6625:
6529:
6521:
6472:
6425:
6308:
6227:
5347:{\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}
6582:
6468:
6330:
6292:
6271:
6024:
5993:
5966:
5879:
5832:
5805:
5743:
5716:
5609:
5436:
5368:
The simplest of the
Sobolev embedding theorems, described above, states that if a function
1451:
840:
624:
74:
6923:
6877:
6825:
6820:
6791:
6672:
6476:
6465:
6326:
6304:
6288:
6267:
5085:
case, in which case it is a generalization of the
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality (
2774:
2767:
2759:
2351:
2055:{\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}
1915:
130:
6750:
3491:
2163:
1553:
1316:
890:
6517:
2738:
17:
7112:
6964:
6765:
6649:
6363:
6338:
6018:
5859:
5770:
5696:
5676:
5656:
5636:
5589:
5463:
5371:
3921:
1606:
1507:
1431:
1411:
1362:
820:
651:
559:
7160:
7117:
7041:
6770:
6755:
6745:
6413:
6239:
6180:
Gagliardo, Emilio (1958). "ProprietĂ di alcune classi di funzioni in piĂč variabili".
5791:
1620:
51:
43:
6637:
7107:
6760:
6730:
5253:{\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}
1798:{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}}
1115:{\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}
7036:
7026:
6933:
6735:
6644:
1589:
1236:{\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}
348:{\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}
254:{\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}
31:
6161:
Sobolev, SergeÄ Lâvovich (1938). "Sur un thĂ©orĂšme de l'analyse fonctionnelle".
1524:
will be continuous (and actually Hölder continuous with some positive exponent
92:, embeds into the spaces indicated by red dots, all lying on a line with slope
6969:
6809:
6805:
6801:
6534:
6312:
457:{\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}
6163:
Comptes Rendus (Doklady) de l'Académie des
Sciences de l'URSS, Nouvelle SĂ©rie
2274:{\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}
6279:
Aubin, Thierry (1976), "Espaces de
Sobolev sur les variétés riemanniennes",
3938:
is continuous (and actually Hölder continuous with some positive exponent).
6201:
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Serie III
5829:
with respect to a Gaussian measure and has one derivative that is also in
889:
The second part of the Sobolev embedding theorem applies to embeddings in
552:
This special case of the Sobolev embedding is a direct consequence of the
4966:
3848:{\displaystyle \|u\|_{C^{k-\left-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},}
1592:
668:
itself has improved local behavior, meaning that it belongs to the space
139:
58:
showing that under slightly stronger conditions some Sobolev spaces are
6543:
6502:(1958), "Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations",
6437:
6231:
6199:
Nirenberg, Louis (1959). "On elliptic partial differential equations".
6629:
6368:
Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
6579:
Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2017), "An
6525:
6429:
123:
denote the Sobolev space consisting of all real-valued functions on
6445:
6620:
4113:{\displaystyle \|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}
2413:{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}
157:. The first part of the Sobolev embedding theorem states that if
6303:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 252,
4375:. Indeed, integrating over the complement of the ball of radius
881:(red) holds. White circles indicate intersection points at which
542:{\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.}
6651:
Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions
5790:
There is, however, a type of Sobolev inequality, established by
3131:{\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}
2728:{\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}
556:. The result should be interpreted as saying that if a function
78:
Graphical representation of the embedding conditions. The space
6676:
2763:
2499:{\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}
6256:, Pure and Applied Mathematics, vol. 65, Academic Press,
5693:
is defined is large, the improvement in the local behavior of
1125:
This part of the Sobolev embedding is a direct consequence of
3334:{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.}
871:
If the line from the picture above intersects the y-axis at
3706:
553:
5990:-log condition is a very small improvement over being in
1908:
is a continuously differentiable real-valued function on
6493:, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer-Verlag
3433:{\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}}
3029:, after possibly being redefined on a set of measure 0.
358:
and the embedding is continuous. In the special case of
6301:
Nonlinear analysis on manifolds. Monge-AmpĂšre equations
1558:
The Sobolev embedding theorem holds for Sobolev spaces
102:
indicates the impossibility of optimal embeddings into
974:
6585:
6495:, Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova.
6088:
6054:
6027:
5996:
5969:
5909:
5882:
5862:
5835:
5808:
5773:
5746:
5719:
5699:
5679:
5659:
5639:
5612:
5592:
5523:
5486:
5466:
5439:
5394:
5374:
5272:
5122:
4997:
4807:
4730:
4669:
4390:
4190:
4034:
3966:
3924:
3890:
3732:
3587:
3503:
3353:
3291:
3045:
2963:
2817:
2741:
2666:
2525:
2440:
2373:
2195:
2166:
2134:
2071:
1950:
1814:
1745:
1530:
1510:
1481:
1454:
1434:
1414:
1385:
1365:
1345:
1319:
1290:
1249:
1161:
1135:
1037:
922:
843:
823:
790:
741:
708:
674:
654:
627:
582:
562:
492:
381:
273:
198:
5059:{\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}
4371:
The inequality follows from basic properties of the
7095:
7019:
6998:
6957:
6896:
6838:
6784:
6719:
7032:Spectral theory of ordinary differential equations
6648:
6598:
6553:Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations
6107:
6074:
6040:
6009:
5982:
5951:
5895:
5868:
5848:
5821:
5779:
5759:
5732:
5705:
5685:
5665:
5645:
5625:
5598:
5575:
5506:
5472:
5452:
5425:
5380:
5346:
5252:
5058:
4932:
4781:
4713:
4639:
4360:
4112:
4009:
3930:
3910:
3847:
3712:
3567:
3432:
3333:
3130:
2991:
2920:
2750:
2727:
2634:
2498:
2412:
2273:
2178:
2152:
2120:
2054:
1870:
1797:
1536:
1516:
1496:
1467:
1440:
1420:
1400:
1371:
1351:
1331:
1305:
1273:
1235:
1147:
1114:
1010:
856:
829:
809:
776:
727:
694:
660:
640:
613:
568:
541:
456:
347:
253:
2302:theorem. An equivalent statement is known as the
1581:), both parts of the Sobolev embedding hold when
837:must be more mild than for a typical function in
1871:{\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}
6138:Partial Differential Equations I - Basic Theory
4792:which, when integrated over the ball of radius
27:Theorem about inclusions between Sobolev spaces
6343:Analyse Fonctionnelle: théorie et applications
4782:{\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}
4010:{\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}
3568:{\displaystyle u\in C^{k-\left-1,\gamma }(U),}
6688:
5079:, the Nash inequality can be extended to the
2764:Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2017
8:
6416:(1975), "Logarithmic Sobolev inequalities",
5211:
5204:
5168:
5161:
5130:
5123:
5040:
5033:
5014:
4998:
4909:
4902:
4763:
4756:
4321:
4311:
4264:
4257:
4198:
4191:
4073:
4063:
4042:
4035:
3811:
3804:
3740:
3733:
3399:
3392:
3361:
3354:
3097:
3090:
3053:
3046:
2878:
2871:
2825:
2818:
2713:
2703:
2604:
2597:
2484:
2477:
2015:
2005:
1958:
1951:
1126:
3032:A similar result holds in a bounded domain
6723:
6695:
6681:
6673:
1605:boundary (or whose boundary satisfies the
6619:
6590:
6584:
6533:
6093:
6087:
6064:
6059:
6053:
6032:
6026:
6001:
5995:
5974:
5968:
5944:
5936:
5924:
5919:
5910:
5908:
5887:
5881:
5861:
5840:
5834:
5813:
5807:
5772:
5751:
5745:
5724:
5718:
5698:
5678:
5658:
5638:
5617:
5611:
5591:
5562:
5548:
5536:
5527:
5522:
5496:
5491:
5485:
5465:
5444:
5438:
5414:
5410:
5409:
5399:
5393:
5373:
5331:
5318:
5294:
5281:
5271:
5241:
5219:
5214:
5192:
5176:
5171:
5138:
5133:
5121:
5048:
5043:
5022:
5017:
5002:
5001:
4996:
4924:
4917:
4912:
4896:
4886:
4872:
4866:
4861:
4840:
4839:
4834:
4821:
4813:
4812:
4806:
4771:
4766:
4748:
4737:
4736:
4731:
4729:
4705:
4696:
4690:
4685:
4676:
4668:
4630:
4624:
4619:
4607:
4599:
4594:
4592:
4579:
4565:
4559:
4534:
4533:
4519:
4508:
4503:
4494:
4491:
4478:
4470:
4469:
4455:
4449:
4424:
4423:
4404:
4396:
4395:
4389:
4344:
4339:
4329:
4324:
4301:
4297:
4287:
4282:
4272:
4267:
4241:
4231:
4221:
4216:
4206:
4201:
4189:
4096:
4091:
4081:
4076:
4045:
4033:
3998:
3993:
3977:
3965:
3923:
3900:
3889:
3819:
3814:
3759:
3748:
3743:
3731:
3698:
3685:
3663:
3654:
3641:
3629:
3606:
3594:
3586:
3525:
3514:
3502:
3407:
3402:
3369:
3364:
3352:
3318:
3305:
3292:
3290:
3105:
3100:
3061:
3056:
3044:
2992:{\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}
2976:
2962:
2907:
2902:
2886:
2881:
2854:
2849:
2833:
2828:
2816:
2740:
2716:
2691:
2677:
2665:
2623:
2607:
2594:
2549:
2524:
2487:
2465:
2451:
2439:
2400:
2387:
2374:
2372:
2290:are then obtained by suitable iteration.
2259:
2254:
2242:
2237:
2221:
2216:
2200:
2194:
2165:
2133:
2110:
2096:
2084:
2075:
2070:
2038:
2033:
2023:
2018:
1988:
1983:
1971:
1966:
1961:
1949:
1847:
1819:
1813:
1785:
1772:
1759:
1746:
1744:
1529:
1509:
1480:
1459:
1453:
1433:
1413:
1392:
1388:
1387:
1384:
1364:
1344:
1318:
1313:, the embedding criterion will hold with
1289:
1248:
1224:
1219:
1203:
1187:
1182:
1166:
1160:
1134:
1100:
1095:
1079:
1063:
1058:
1042:
1036:
998:
973:
952:
936:
923:
921:
848:
842:
822:
795:
789:
766:
754:
745:
740:
713:
707:
684:
679:
673:
653:
632:
626:
602:
598:
597:
587:
581:
561:
526:
513:
502:
493:
491:
445:
440:
428:
423:
407:
402:
386:
380:
336:
331:
315:
299:
294:
278:
272:
238:
225:
212:
199:
197:
84:, represented by a blue dot at the point
6985:Group algebra of a locally compact group
3036:with Lipschitz boundary. In this case,
866:
73:
6128:
5426:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}
4714:{\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}
4151:), states that there exists a constant
614:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}
6606:-type estimate for Riesz potentials",
5960:measures, not just Gaussian measures.
5089:, Comments on Chapter 8). In fact, if
5086:
4131:. This estimate is a corollary of the
1900:GagliardoâNirenbergâSobolev inequality
554:GagliardoâNirenbergâSobolev inequality
6372:Springer Science & Business Media
6116:
5795:
2660:. Alternatively one has the estimate
2311:
2307:
1696:
1610:
1578:
1574:
7:
6555:, Springer Monographs in Mathematics
5903:-log", meaning that the integral of
5093:is a bounded interval, then for all
4798:
4381:
4148:
875:, the embedding into a Hölder space
817:.) Thus, any local singularities in
50:, giving inclusions between certain
42:, relating norms including those of
6450:, Graduate Studies in Mathematics,
6281:Bulletin des Sciences Mathématiques
4988:) and applying Parseval's theorem:
4143:The Nash inequality, introduced by
6048:âthen the function does belong to
2284:The embeddings in other orders on
25:
6608:Revista MatemĂĄtica Iberoamericana
5963:Although it might seem as if the
3723:We have in addition the estimate
3344:We have in addition the estimate
7141:
7140:
7067:Topological quantum field theory
6447:A First Course in Sobolev Spaces
5576:{\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}
5364:Logarithmic Sobolev inequalities
4595:
4340:
4283:
4217:
4092:
3994:
3699:
3655:
3181:. The inequality is named after
2903:
2850:
2255:
2217:
2034:
1984:
1401:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1274:{\displaystyle \gamma \in (0,1)}
1220:
1183:
1096:
1059:
441:
403:
332:
295:
62:in others. They are named after
6505:American Journal of Mathematics
6418:American Journal of Mathematics
5952:{\displaystyle |f|^{p}\log |f|}
5113:the following inequality holds
3884:. In particular, the condition
2796:. Then there exists a constant
2160:is due to Sobolev and the case
2121:{\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}
1699:, Section 1.1.5, Theorem 1.4).
1673:with continuous boundary, then
189:are two real numbers such that
6393:Partial Differential Equations
5945:
5937:
5920:
5911:
5800:logarithmic Sobolev inequality
5420:
5405:
5358:Logarithmic Sobolev inequality
5237:
5231:
5188:
5182:
5150:
5144:
5007:
4862:
4857:
4851:
4845:
4835:
4822:
4814:
4749:
4742:
4732:
4686:
4677:
4620:
4608:
4551:
4545:
4539:
4504:
4495:
4479:
4471:
4441:
4435:
4429:
4405:
4397:
4350:
4335:
4293:
4278:
4227:
4212:
4102:
4087:
4004:
3989:
3837:
3831:
3793:
3787:
3680:
3668:
3559:
3553:
3425:
3419:
3381:
3375:
3267:In this case we conclude that
3230:. Then we consider two cases:
3123:
3117:
3079:
3073:
2913:
2898:
2860:
2845:
2687:
2669:
2564:
2558:
2461:
2443:
2310:, Chapter 2). A proof is in (
2294:HardyâLittlewoodâSobolev lemma
2265:
2250:
2227:
2212:
2044:
2029:
1994:
1979:
1865:
1859:
1837:
1831:
1268:
1256:
1230:
1215:
1193:
1178:
1106:
1091:
1069:
1054:
777:{\displaystyle 1/p^{*}<1/p}
608:
593:
451:
436:
413:
398:
342:
327:
305:
290:
149:is a non-negative integer and
46:. These are used to prove the
1:
6863:Uniform boundedness principle
6452:American Mathematical Society
6397:American Mathematical Society
6140:(2nd ed.). p. 286.
5767:is only slightly larger than
4721:. On the other hand, one has
976: or, equivalently,
5713:from having a derivative in
3196:be a bounded open subset of
3188:General Sobolev inequalities
1727:Kondrachov embedding theorem
1703:Kondrachov embedding theorem
6568:Encyclopedia of Mathematics
6136:Taylor, Michael E. (1997).
4984:
4978:
2153:{\displaystyle 1<p<n}
1805:then the Sobolev embedding
1339:and some positive value of
1028:then one has the embedding
7193:
7006:Invariant subspace problem
6657:Princeton University Press
6561:Nikol'skii, S.M. (2001) ,
6108:{\displaystyle p^{*}>p}
5361:
2780:
2777:and the Riesz potentials.
2766:). The boundedness of the
1709:RellichâKondrachov theorem
1706:
1569:on other suitable domains
1551:
1359:. That is, for a function
1284:In particular, as long as
810:{\displaystyle p^{*}>p}
728:{\displaystyle p^{*}>p}
372:, Sobolev embedding gives
56:RellichâKondrachov theorem
7136:
6726:
6313:10.1007/978-1-4612-5734-9
6252:Adams, Robert A. (1975),
6075:{\displaystyle L^{p^{*}}}
5653:. Thus, if the dimension
5507:{\displaystyle L^{p^{*}}}
1684:is compactly embedded in
1667:is a bounded open set in
1645:Riemannian manifold with
1148:{\displaystyle \alpha =1}
885:embeddings are not valid.
695:{\displaystyle L^{p^{*}}}
70:Sobolev embedding theorem
48:Sobolev embedding theorem
6975:Spectrum of a C*-algebra
6444:Leoni, Giovanni (2009),
4976:to minimize the sum of (
4023:bounded mean oscillation
3911:{\displaystyle k>n/p}
2423:there exists a constant
1631:is a compact Riemannian
18:Morrey's inequality
7072:Noncommutative geometry
6299:Aubin, Thierry (1982),
5072:In the special case of
3486:Here, we conclude that
1537:{\displaystyle \alpha }
1497:{\displaystyle pk>n}
1352:{\displaystyle \alpha }
1306:{\displaystyle pk>n}
7128:TomitaâTakesaki theory
7103:Approximation property
7047:Calculus of variations
6600:
6182:Ricerche di Matematica
6109:
6076:
6042:
6011:
5984:
5953:
5897:
5870:
5850:
5823:
5781:
5761:
5734:
5707:
5687:
5673:of the space on which
5667:
5647:
5627:
5600:
5577:
5508:
5474:
5454:
5433:has one derivative in
5427:
5382:
5348:
5254:
5069:gives the inequality.
5060:
4934:
4783:
4715:
4641:
4362:
4114:
4011:
3932:
3912:
3849:
3714:
3569:
3434:
3335:
3132:
2993:
2922:
2752:
2729:
2636:
2500:
2414:
2300:fractional integration
2275:
2180:
2154:
2122:
2056:
1872:
1799:
1713:On a compact manifold
1633:manifold with boundary
1538:
1518:
1498:
1469:
1442:
1422:
1402:
1373:
1353:
1333:
1307:
1275:
1237:
1149:
1116:
1012:
886:
858:
831:
811:
778:
729:
696:
662:
642:
621:has one derivative in
615:
570:
543:
458:
349:
255:
109:
98:. The white circle at
64:Sergei Lvovich Sobolev
7123:BanachâMazur distance
7086:Generalized functions
6601:
6599:{\displaystyle L^{1}}
6110:
6077:
6043:
6041:{\displaystyle L^{p}}
6012:
6010:{\displaystyle L^{p}}
5985:
5983:{\displaystyle L^{p}}
5954:
5898:
5896:{\displaystyle L^{p}}
5871:
5851:
5849:{\displaystyle L^{p}}
5824:
5822:{\displaystyle L^{p}}
5782:
5762:
5760:{\displaystyle p^{*}}
5735:
5733:{\displaystyle L^{p}}
5708:
5688:
5668:
5648:
5628:
5626:{\displaystyle p^{*}}
5601:
5578:
5509:
5475:
5455:
5453:{\displaystyle L^{p}}
5428:
5383:
5349:
5255:
5061:
4965:is the volume of the
4935:
4784:
4716:
4642:
4363:
4115:
4012:
3933:
3913:
3850:
3715:
3570:
3435:
3336:
3183:Charles B. Morrey Jr.
3133:
2994:
2923:
2758:is the vector-valued
2753:
2730:
2637:
2501:
2415:
2276:
2181:
2155:
2123:
2057:
1883:completely continuous
1873:
1800:
1552:Further information:
1539:
1519:
1499:
1470:
1468:{\displaystyle L^{p}}
1443:
1423:
1403:
1374:
1354:
1334:
1308:
1276:
1238:
1150:
1117:
1013:
870:
859:
857:{\displaystyle L^{p}}
832:
812:
779:
730:
697:
663:
643:
641:{\displaystyle L^{p}}
616:
571:
544:
459:
350:
256:
77:
36:mathematical analysis
7177:Compactness theorems
6868:Kakutani fixed-point
6853:Riesz representation
6583:
6563:"Imbedding theorems"
6086:
6052:
6025:
5994:
5967:
5907:
5880:
5860:
5833:
5806:
5771:
5744:
5717:
5697:
5677:
5657:
5637:
5610:
5590:
5521:
5484:
5464:
5437:
5392:
5372:
5270:
5120:
4995:
4805:
4728:
4667:
4388:
4188:
4158:, such that for all
4032:
3964:
3922:
3888:
3730:
3665:any element in
3585:
3501:
3351:
3289:
3043:
2961:
2815:
2800:, depending only on
2739:
2664:
2523:
2438:
2371:
2314:, Chapter V, §1.3).
2193:
2164:
2132:
2069:
1948:
1929:there is a constant
1812:
1743:
1528:
1508:
1479:
1452:
1432:
1412:
1383:
1363:
1343:
1317:
1288:
1247:
1159:
1133:
1035:
920:
841:
821:
788:
739:
706:
672:
652:
625:
580:
560:
490:
379:
271:
196:
40:Sobolev inequalities
7052:Functional calculus
7011:Mahler's conjecture
6990:Von Neumann algebra
6704:Functional analysis
6518:1958AmJM...80..931N
6487:Maz'ja, Vladimir G.
6220:Selecta Mathematica
5606:tends to infinity,
5586:We can see that as
5246:
5203:
4929:
4310:
4250:
4133:Poincaré inequality
3141:where the constant
2781:Morrey's inequality
2179:{\displaystyle p=1}
1657:sectional curvature
1624:Riemannian manifold
1332:{\displaystyle r=0}
1127:Morrey's inequality
7077:Riemann hypothesis
6776:Topological vector
6596:
6551:NeÄas, J. (2012),
6535:10338.dmlcz/101876
6232:10.1007/BF01671566
6105:
6072:
6038:
6007:
5980:
5949:
5893:
5866:
5846:
5819:
5777:
5757:
5730:
5703:
5683:
5663:
5643:
5623:
5596:
5573:
5504:
5470:
5450:
5423:
5378:
5344:
5250:
5210:
5167:
5056:
4930:
4908:
4779:
4711:
4637:
4358:
4263:
4197:
4127:depending only on
4123:for some constant
4110:
4007:
3928:
3908:
3862:depending only on
3845:
3710:
3705:
3565:
3494:, more precisely:
3448:depending only on
3430:
3331:
3128:
2989:
2918:
2751:{\displaystyle Rf}
2748:
2725:
2632:
2496:
2427:depending only on
2410:
2271:
2176:
2150:
2118:
2052:
1933:depending only on
1868:
1795:
1647:injectivity radius
1534:
1514:
1494:
1465:
1438:
1418:
1398:
1369:
1349:
1329:
1303:
1271:
1233:
1145:
1112:
1008:
978:
887:
854:
827:
807:
774:
725:
692:
658:
638:
611:
566:
539:
454:
345:
251:
110:
60:compactly embedded
7154:
7153:
7057:Integral operator
6834:
6833:
6655:, Princeton, NJ:
6461:978-0-8218-4768-8
6395:, Providence RI:
6381:978-0-387-70913-0
6322:978-0-387-90704-8
6263:978-0-12-044150-1
5869:{\displaystyle f}
5798:) and known as a
5780:{\displaystyle p}
5706:{\displaystyle f}
5686:{\displaystyle f}
5666:{\displaystyle n}
5646:{\displaystyle p}
5599:{\displaystyle n}
5473:{\displaystyle f}
5381:{\displaystyle f}
5339:
5326:
5302:
5289:
5010:
4954:
4953:
4848:
4745:
4661:
4660:
4542:
4525:
4432:
4373:Fourier transform
4021:is a function of
3931:{\displaystyle u}
3767:
3693:
3666:
3649:
3637:
3614:
3533:
3326:
3313:
3300:
3023:Hölder continuous
2984:
2617:
2408:
2395:
2382:
1793:
1780:
1767:
1754:
1573:. In particular (
1517:{\displaystyle f}
1441:{\displaystyle k}
1421:{\displaystyle f}
1372:{\displaystyle f}
1006:
977:
968:
944:
931:
830:{\displaystyle f}
661:{\displaystyle f}
569:{\displaystyle f}
534:
521:
508:
476:Sobolev conjugate
246:
233:
220:
207:
137:are functions in
16:(Redirected from
7184:
7144:
7143:
7062:Jones polynomial
6980:Operator algebra
6724:
6697:
6690:
6683:
6674:
6669:
6654:
6640:
6623:
6605:
6603:
6602:
6597:
6595:
6594:
6575:
6556:
6546:
6537:
6494:
6464:
6440:
6424:(4): 1061â1083,
6409:
6384:
6359:
6333:
6295:
6274:
6244:
6243:
6215:
6209:
6208:
6196:
6190:
6189:
6177:
6171:
6170:
6158:
6152:
6151:
6133:
6114:
6112:
6111:
6106:
6098:
6097:
6081:
6079:
6078:
6073:
6071:
6070:
6069:
6068:
6047:
6045:
6044:
6039:
6037:
6036:
6016:
6014:
6013:
6008:
6006:
6005:
5989:
5987:
5986:
5981:
5979:
5978:
5958:
5956:
5955:
5950:
5948:
5940:
5929:
5928:
5923:
5914:
5902:
5900:
5899:
5894:
5892:
5891:
5875:
5873:
5872:
5867:
5855:
5853:
5852:
5847:
5845:
5844:
5828:
5826:
5825:
5820:
5818:
5817:
5786:
5784:
5783:
5778:
5766:
5764:
5763:
5758:
5756:
5755:
5739:
5737:
5736:
5731:
5729:
5728:
5712:
5710:
5709:
5704:
5692:
5690:
5689:
5684:
5672:
5670:
5669:
5664:
5652:
5650:
5649:
5644:
5632:
5630:
5629:
5624:
5622:
5621:
5605:
5603:
5602:
5597:
5582:
5580:
5579:
5574:
5566:
5552:
5541:
5540:
5531:
5513:
5511:
5510:
5505:
5503:
5502:
5501:
5500:
5479:
5477:
5476:
5471:
5459:
5457:
5456:
5451:
5449:
5448:
5432:
5430:
5429:
5424:
5419:
5418:
5413:
5404:
5403:
5387:
5385:
5384:
5379:
5353:
5351:
5350:
5345:
5340:
5332:
5327:
5319:
5314:
5310:
5303:
5295:
5290:
5282:
5259:
5257:
5256:
5251:
5245:
5240:
5230:
5229:
5202:
5191:
5181:
5180:
5154:
5153:
5143:
5142:
5112:
5100:
5092:
5084:
5078:
5065:
5063:
5062:
5057:
5055:
5054:
5053:
5052:
5029:
5028:
5027:
5026:
5012:
5011:
5003:
4975:
4969:
4964:
4948:
4939:
4937:
4936:
4931:
4928:
4923:
4922:
4921:
4901:
4900:
4891:
4890:
4871:
4870:
4865:
4850:
4849:
4841:
4838:
4833:
4832:
4825:
4817:
4799:
4795:
4788:
4786:
4785:
4780:
4778:
4777:
4776:
4775:
4752:
4747:
4746:
4738:
4735:
4720:
4718:
4717:
4712:
4710:
4709:
4700:
4695:
4694:
4689:
4680:
4655:
4646:
4644:
4643:
4638:
4629:
4628:
4623:
4611:
4606:
4605:
4604:
4603:
4598:
4587:
4586:
4564:
4563:
4558:
4554:
4544:
4543:
4535:
4526:
4524:
4523:
4514:
4513:
4512:
4507:
4498:
4492:
4490:
4489:
4482:
4474:
4454:
4453:
4448:
4444:
4434:
4433:
4425:
4416:
4415:
4408:
4400:
4382:
4378:
4367:
4365:
4364:
4359:
4354:
4353:
4349:
4348:
4343:
4334:
4333:
4309:
4305:
4296:
4292:
4291:
4286:
4277:
4276:
4249:
4245:
4230:
4226:
4225:
4220:
4211:
4210:
4180:
4157:
4130:
4126:
4119:
4117:
4116:
4111:
4106:
4105:
4101:
4100:
4095:
4086:
4085:
4056:
4055:
4020:
4016:
4014:
4013:
4008:
4003:
4002:
3997:
3988:
3987:
3956:
3937:
3935:
3934:
3929:
3918:guarantees that
3917:
3915:
3914:
3909:
3904:
3883:
3879:
3861:
3854:
3852:
3851:
3846:
3841:
3840:
3830:
3829:
3797:
3796:
3786:
3785:
3772:
3768:
3760:
3719:
3717:
3716:
3711:
3709:
3708:
3702:
3694:
3686:
3667:
3664:
3658:
3650:
3642:
3638:
3630:
3619:
3615:
3607:
3574:
3572:
3571:
3566:
3552:
3551:
3538:
3534:
3526:
3489:
3482:
3465:
3461:
3447:
3439:
3437:
3436:
3431:
3429:
3428:
3418:
3417:
3385:
3384:
3374:
3373:
3340:
3338:
3337:
3332:
3327:
3319:
3314:
3306:
3301:
3293:
3281:
3263:
3256:
3246:
3229:
3211:
3207:
3201:
3195:
3180:
3169:
3158:
3154:
3144:
3137:
3135:
3134:
3129:
3127:
3126:
3116:
3115:
3083:
3082:
3072:
3071:
3035:
3028:
3020:
3016:
2998:
2996:
2995:
2990:
2985:
2977:
2953:
2927:
2925:
2924:
2919:
2917:
2916:
2912:
2911:
2906:
2897:
2896:
2864:
2863:
2859:
2858:
2853:
2844:
2843:
2807:
2803:
2799:
2795:
2775:Riesz transforms
2768:Riesz transforms
2757:
2755:
2754:
2749:
2734:
2732:
2731:
2726:
2721:
2720:
2696:
2695:
2690:
2686:
2682:
2681:
2659:
2641:
2639:
2638:
2633:
2628:
2627:
2622:
2618:
2613:
2612:
2611:
2595:
2582:
2578:
2571:
2567:
2554:
2553:
2515:
2505:
2503:
2502:
2497:
2492:
2491:
2470:
2469:
2464:
2460:
2456:
2455:
2430:
2426:
2419:
2417:
2416:
2411:
2409:
2401:
2396:
2388:
2383:
2375:
2363:
2359:
2349:
2339:
2327:
2289:
2280:
2278:
2277:
2272:
2264:
2263:
2258:
2249:
2248:
2247:
2246:
2226:
2225:
2220:
2211:
2210:
2185:
2183:
2182:
2177:
2159:
2157:
2156:
2151:
2127:
2125:
2124:
2119:
2114:
2100:
2089:
2088:
2079:
2061:
2059:
2058:
2053:
2048:
2047:
2043:
2042:
2037:
2028:
2027:
1998:
1997:
1993:
1992:
1987:
1978:
1977:
1976:
1975:
1940:
1936:
1932:
1928:
1913:
1907:
1895:
1877:
1875:
1874:
1869:
1858:
1857:
1830:
1829:
1804:
1802:
1801:
1796:
1794:
1786:
1781:
1773:
1768:
1760:
1755:
1747:
1738:
1724:
1718:
1694:
1683:
1672:
1666:
1654:
1640:
1630:
1618:
1600:
1587:
1572:
1568:
1543:
1541:
1540:
1535:
1523:
1521:
1520:
1515:
1503:
1501:
1500:
1495:
1474:
1472:
1471:
1466:
1464:
1463:
1447:
1445:
1444:
1439:
1427:
1425:
1424:
1419:
1407:
1405:
1404:
1399:
1397:
1396:
1391:
1378:
1376:
1375:
1370:
1358:
1356:
1355:
1350:
1338:
1336:
1335:
1330:
1312:
1310:
1309:
1304:
1280:
1278:
1277:
1272:
1242:
1240:
1239:
1234:
1229:
1228:
1223:
1214:
1213:
1192:
1191:
1186:
1177:
1176:
1154:
1152:
1151:
1146:
1121:
1119:
1118:
1113:
1105:
1104:
1099:
1090:
1089:
1068:
1067:
1062:
1053:
1052:
1027:
1017:
1015:
1014:
1009:
1007:
999:
979:
975:
969:
964:
953:
945:
937:
932:
924:
912:
902:
880:
863:
861:
860:
855:
853:
852:
836:
834:
833:
828:
816:
814:
813:
808:
800:
799:
783:
781:
780:
775:
770:
759:
758:
749:
734:
732:
731:
726:
718:
717:
701:
699:
698:
693:
691:
690:
689:
688:
667:
665:
664:
659:
647:
645:
644:
639:
637:
636:
620:
618:
617:
612:
607:
606:
601:
592:
591:
575:
573:
572:
567:
548:
546:
545:
540:
535:
527:
522:
514:
509:
507:
506:
494:
482:
472:
463:
461:
460:
455:
450:
449:
444:
435:
434:
433:
432:
412:
411:
406:
397:
396:
371:
364:
354:
352:
351:
346:
341:
340:
335:
326:
325:
304:
303:
298:
289:
288:
260:
258:
257:
252:
247:
239:
234:
226:
221:
213:
208:
200:
188:
176:
166:
156:
148:
144:
136:
131:weak derivatives
128:
122:
107:
101:
97:
91:
83:
21:
7192:
7191:
7187:
7186:
7185:
7183:
7182:
7181:
7157:
7156:
7155:
7150:
7132:
7096:Advanced topics
7091:
7015:
6994:
6953:
6919:HilbertâSchmidt
6892:
6883:GelfandâNaimark
6830:
6780:
6715:
6701:
6667:
6643:
6630:10.4171/rmi/937
6586:
6581:
6580:
6578:
6560:
6550:
6526:10.2307/2372841
6498:
6485:
6462:
6443:
6430:10.2307/2373688
6412:
6407:
6389:Evans, Lawrence
6387:
6382:
6362:
6357:
6337:
6323:
6305:Springer-Verlag
6298:
6278:
6264:
6251:
6248:
6247:
6217:
6216:
6212:
6198:
6197:
6193:
6179:
6178:
6174:
6160:
6159:
6155:
6148:
6135:
6134:
6130:
6125:
6089:
6084:
6083:
6060:
6055:
6050:
6049:
6028:
6023:
6022:
5997:
5992:
5991:
5970:
5965:
5964:
5918:
5905:
5904:
5883:
5878:
5877:
5858:
5857:
5836:
5831:
5830:
5809:
5804:
5803:
5769:
5768:
5747:
5742:
5741:
5720:
5715:
5714:
5695:
5694:
5675:
5674:
5655:
5654:
5635:
5634:
5613:
5608:
5607:
5588:
5587:
5532:
5519:
5518:
5492:
5487:
5482:
5481:
5462:
5461:
5440:
5435:
5434:
5408:
5395:
5390:
5389:
5370:
5369:
5366:
5360:
5280:
5276:
5268:
5267:
5215:
5172:
5134:
5129:
5118:
5117:
5102:
5094:
5090:
5080:
5073:
5044:
5039:
5018:
5013:
4993:
4992:
4973:
4967:
4962:
4957:
4946:
4913:
4892:
4882:
4860:
4808:
4803:
4802:
4793:
4767:
4762:
4726:
4725:
4701:
4684:
4665:
4664:
4653:
4618:
4593:
4588:
4575:
4532:
4528:
4527:
4515:
4502:
4493:
4465:
4422:
4418:
4417:
4391:
4386:
4385:
4376:
4338:
4325:
4320:
4281:
4268:
4215:
4202:
4186:
4185:
4159:
4152:
4141:
4139:Nash inequality
4128:
4124:
4090:
4077:
4072:
4041:
4030:
4029:
4018:
3992:
3973:
3962:
3961:
3958:
3943:
3920:
3919:
3886:
3885:
3881:
3863:
3859:
3815:
3810:
3755:
3744:
3739:
3728:
3727:
3704:
3703:
3683:
3660:
3659:
3639:
3602:
3595:
3583:
3582:
3521:
3510:
3499:
3498:
3487:
3484:
3470:
3463:
3449:
3445:
3403:
3398:
3365:
3360:
3349:
3348:
3287:
3286:
3268:
3265:
3258:
3248:
3234:
3216:
3209:
3203:
3197:
3193:
3190:
3171:
3160:
3156:
3146:
3145:depends now on
3142:
3101:
3096:
3057:
3052:
3041:
3040:
3033:
3026:
3018:
3003:
2959:
2958:
2932:
2901:
2882:
2877:
2848:
2829:
2824:
2813:
2812:
2805:
2801:
2797:
2786:
2783:
2760:Riesz transform
2737:
2736:
2712:
2673:
2672:
2668:
2667:
2662:
2661:
2646:
2603:
2596:
2590:
2589:
2545:
2544:
2540:
2533:
2529:
2521:
2520:
2510:
2483:
2447:
2446:
2442:
2441:
2436:
2435:
2428:
2424:
2369:
2368:
2361:
2355:
2352:Riesz potential
2346:
2341:
2329:
2318:
2296:
2285:
2253:
2238:
2233:
2215:
2196:
2191:
2190:
2162:
2161:
2130:
2129:
2080:
2067:
2066:
2032:
2019:
2014:
1982:
1967:
1962:
1957:
1946:
1945:
1938:
1934:
1930:
1919:
1916:compact support
1909:
1905:
1902:
1886:
1843:
1815:
1810:
1809:
1741:
1740:
1730:
1729:states that if
1720:
1714:
1711:
1705:
1685:
1674:
1668:
1664:
1649:
1638:
1628:
1616:
1596:
1585:
1570:
1559:
1556:
1550:
1548:Generalizations
1526:
1525:
1506:
1505:
1477:
1476:
1455:
1450:
1449:
1448:derivatives in
1430:
1429:
1410:
1409:
1386:
1381:
1380:
1361:
1360:
1341:
1340:
1315:
1314:
1286:
1285:
1245:
1244:
1218:
1199:
1181:
1162:
1157:
1156:
1131:
1130:
1094:
1075:
1057:
1038:
1033:
1032:
1022:
954:
918:
917:
904:
893:
876:
844:
839:
838:
819:
818:
791:
786:
785:
750:
737:
736:
709:
704:
703:
680:
675:
670:
669:
650:
649:
628:
623:
622:
596:
583:
578:
577:
558:
557:
498:
488:
487:
480:
468:
439:
424:
419:
401:
382:
377:
376:
366:
359:
330:
311:
293:
274:
269:
268:
194:
193:
178:
168:
158:
150:
146:
138:
134:
124:
113:
103:
99:
93:
85:
79:
72:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
7190:
7188:
7180:
7179:
7174:
7172:Sobolev spaces
7169:
7159:
7158:
7152:
7151:
7149:
7148:
7137:
7134:
7133:
7131:
7130:
7125:
7120:
7115:
7113:Choquet theory
7110:
7105:
7099:
7097:
7093:
7092:
7090:
7089:
7079:
7074:
7069:
7064:
7059:
7054:
7049:
7044:
7039:
7034:
7029:
7023:
7021:
7017:
7016:
7014:
7013:
7008:
7002:
7000:
6996:
6995:
6993:
6992:
6987:
6982:
6977:
6972:
6967:
6965:Banach algebra
6961:
6959:
6955:
6954:
6952:
6951:
6946:
6941:
6936:
6931:
6926:
6921:
6916:
6911:
6906:
6900:
6898:
6894:
6893:
6891:
6890:
6888:BanachâAlaoglu
6885:
6880:
6875:
6870:
6865:
6860:
6855:
6850:
6844:
6842:
6836:
6835:
6832:
6831:
6829:
6828:
6823:
6818:
6816:Locally convex
6813:
6799:
6794:
6788:
6786:
6782:
6781:
6779:
6778:
6773:
6768:
6763:
6758:
6753:
6748:
6743:
6738:
6733:
6727:
6721:
6717:
6716:
6702:
6700:
6699:
6692:
6685:
6677:
6671:
6670:
6665:
6641:
6614:(1): 291â304,
6593:
6589:
6576:
6558:
6548:
6512:(4): 931â954,
6496:
6491:Sobolev Spaces
6483:
6460:
6441:
6414:Gross, Leonard
6410:
6405:
6385:
6380:
6360:
6355:
6335:
6321:
6296:
6287:(2): 149â173,
6276:
6262:
6254:Sobolev Spaces
6246:
6245:
6226:(2): 197â263.
6210:
6191:
6172:
6153:
6146:
6127:
6126:
6124:
6121:
6104:
6101:
6096:
6092:
6067:
6063:
6058:
6035:
6031:
6019:Dirichlet form
6004:
6000:
5977:
5973:
5947:
5943:
5939:
5935:
5932:
5927:
5922:
5917:
5913:
5890:
5886:
5865:
5843:
5839:
5816:
5812:
5776:
5754:
5750:
5727:
5723:
5702:
5682:
5662:
5642:
5620:
5616:
5595:
5584:
5583:
5572:
5569:
5565:
5561:
5558:
5555:
5551:
5547:
5544:
5539:
5535:
5530:
5526:
5499:
5495:
5490:
5469:
5447:
5443:
5422:
5417:
5412:
5407:
5402:
5398:
5377:
5362:Main article:
5359:
5356:
5355:
5354:
5343:
5338:
5335:
5330:
5325:
5322:
5317:
5313:
5309:
5306:
5301:
5298:
5293:
5288:
5285:
5279:
5275:
5261:
5260:
5249:
5244:
5239:
5236:
5233:
5228:
5225:
5222:
5218:
5213:
5209:
5206:
5201:
5198:
5195:
5190:
5187:
5184:
5179:
5175:
5170:
5166:
5163:
5160:
5157:
5152:
5149:
5146:
5141:
5137:
5132:
5128:
5125:
5067:
5066:
5051:
5047:
5042:
5038:
5035:
5032:
5025:
5021:
5016:
5009:
5006:
5000:
4960:
4952:
4951:
4942:
4940:
4927:
4920:
4916:
4911:
4907:
4904:
4899:
4895:
4889:
4885:
4881:
4878:
4875:
4869:
4864:
4859:
4856:
4853:
4847:
4844:
4837:
4831:
4828:
4824:
4820:
4816:
4811:
4790:
4789:
4774:
4770:
4765:
4761:
4758:
4755:
4751:
4744:
4741:
4734:
4708:
4704:
4699:
4693:
4688:
4683:
4679:
4675:
4672:
4659:
4658:
4649:
4647:
4636:
4633:
4627:
4622:
4617:
4614:
4610:
4602:
4597:
4591:
4585:
4582:
4578:
4574:
4571:
4568:
4562:
4557:
4553:
4550:
4547:
4541:
4538:
4531:
4522:
4518:
4511:
4506:
4501:
4497:
4488:
4485:
4481:
4477:
4473:
4468:
4464:
4461:
4458:
4452:
4447:
4443:
4440:
4437:
4431:
4428:
4421:
4414:
4411:
4407:
4403:
4399:
4394:
4369:
4368:
4357:
4352:
4347:
4342:
4337:
4332:
4328:
4323:
4319:
4316:
4313:
4308:
4304:
4300:
4295:
4290:
4285:
4280:
4275:
4271:
4266:
4262:
4259:
4256:
4253:
4248:
4244:
4240:
4237:
4234:
4229:
4224:
4219:
4214:
4209:
4205:
4200:
4196:
4193:
4140:
4137:
4121:
4120:
4109:
4104:
4099:
4094:
4089:
4084:
4080:
4075:
4071:
4068:
4065:
4062:
4059:
4054:
4051:
4048:
4044:
4040:
4037:
4006:
4001:
3996:
3991:
3986:
3983:
3980:
3976:
3972:
3969:
3957:
3940:
3927:
3907:
3903:
3899:
3896:
3893:
3856:
3855:
3844:
3839:
3836:
3833:
3828:
3825:
3822:
3818:
3813:
3809:
3806:
3803:
3800:
3795:
3792:
3789:
3784:
3781:
3778:
3775:
3771:
3766:
3763:
3758:
3754:
3751:
3747:
3742:
3738:
3735:
3721:
3720:
3707:
3701:
3697:
3692:
3689:
3684:
3682:
3679:
3676:
3673:
3670:
3662:
3661:
3657:
3653:
3648:
3645:
3640:
3636:
3633:
3628:
3625:
3622:
3618:
3613:
3610:
3605:
3601:
3600:
3598:
3593:
3590:
3576:
3575:
3564:
3561:
3558:
3555:
3550:
3547:
3544:
3541:
3537:
3532:
3529:
3524:
3520:
3517:
3513:
3509:
3506:
3483:
3468:
3442:
3441:
3427:
3424:
3421:
3416:
3413:
3410:
3406:
3401:
3397:
3394:
3391:
3388:
3383:
3380:
3377:
3372:
3368:
3363:
3359:
3356:
3342:
3341:
3330:
3325:
3322:
3317:
3312:
3309:
3304:
3299:
3296:
3264:
3232:
3189:
3186:
3139:
3138:
3125:
3122:
3119:
3114:
3111:
3108:
3104:
3099:
3095:
3092:
3089:
3086:
3081:
3078:
3075:
3070:
3067:
3064:
3060:
3055:
3051:
3048:
3000:
2999:
2988:
2983:
2980:
2975:
2972:
2969:
2966:
2929:
2928:
2915:
2910:
2905:
2900:
2895:
2892:
2889:
2885:
2880:
2876:
2873:
2870:
2867:
2862:
2857:
2852:
2847:
2842:
2839:
2836:
2832:
2827:
2823:
2820:
2782:
2779:
2747:
2744:
2724:
2719:
2715:
2711:
2708:
2705:
2702:
2699:
2694:
2689:
2685:
2680:
2676:
2671:
2643:
2642:
2631:
2626:
2621:
2616:
2610:
2606:
2602:
2599:
2593:
2588:
2585:
2581:
2577:
2574:
2570:
2566:
2563:
2560:
2557:
2552:
2548:
2543:
2539:
2536:
2532:
2528:
2507:
2506:
2495:
2490:
2486:
2482:
2479:
2476:
2473:
2468:
2463:
2459:
2454:
2450:
2445:
2421:
2420:
2407:
2404:
2399:
2394:
2391:
2386:
2381:
2378:
2344:
2295:
2292:
2282:
2281:
2270:
2267:
2262:
2257:
2252:
2245:
2241:
2236:
2232:
2229:
2224:
2219:
2214:
2209:
2206:
2203:
2199:
2175:
2172:
2169:
2149:
2146:
2143:
2140:
2137:
2117:
2113:
2109:
2106:
2103:
2099:
2095:
2092:
2087:
2083:
2078:
2074:
2063:
2062:
2051:
2046:
2041:
2036:
2031:
2026:
2022:
2017:
2013:
2010:
2007:
2004:
2001:
1996:
1991:
1986:
1981:
1974:
1970:
1965:
1960:
1956:
1953:
1901:
1898:
1879:
1878:
1867:
1864:
1861:
1856:
1853:
1850:
1846:
1842:
1839:
1836:
1833:
1828:
1825:
1822:
1818:
1792:
1789:
1784:
1779:
1776:
1771:
1766:
1763:
1758:
1753:
1750:
1725:boundary, the
1707:Main article:
1704:
1701:
1661:
1660:
1636:
1626:
1614:
1613:, Theorem 5.4)
1607:cone condition
1549:
1546:
1533:
1513:
1493:
1490:
1487:
1484:
1462:
1458:
1437:
1417:
1395:
1390:
1368:
1348:
1328:
1325:
1322:
1302:
1299:
1296:
1293:
1270:
1267:
1264:
1261:
1258:
1255:
1252:
1232:
1227:
1222:
1217:
1212:
1209:
1206:
1202:
1198:
1195:
1190:
1185:
1180:
1175:
1172:
1169:
1165:
1144:
1141:
1138:
1123:
1122:
1111:
1108:
1103:
1098:
1093:
1088:
1085:
1082:
1078:
1074:
1071:
1066:
1061:
1056:
1051:
1048:
1045:
1041:
1019:
1018:
1005:
1002:
997:
994:
991:
988:
985:
982:
972:
967:
963:
960:
957:
951:
948:
943:
940:
935:
930:
927:
851:
847:
826:
806:
803:
798:
794:
773:
769:
765:
762:
757:
753:
748:
744:
724:
721:
716:
712:
687:
683:
678:
657:
635:
631:
610:
605:
600:
595:
590:
586:
565:
550:
549:
538:
533:
530:
525:
520:
517:
512:
505:
501:
497:
465:
464:
453:
448:
443:
438:
431:
427:
422:
418:
415:
410:
405:
400:
395:
392:
389:
385:
356:
355:
344:
339:
334:
329:
324:
321:
318:
314:
310:
307:
302:
297:
292:
287:
284:
281:
277:
262:
261:
250:
245:
242:
237:
232:
229:
224:
219:
216:
211:
206:
203:
71:
68:
52:Sobolev spaces
44:Sobolev spaces
34:, there is in
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
7189:
7178:
7175:
7173:
7170:
7168:
7165:
7164:
7162:
7147:
7139:
7138:
7135:
7129:
7126:
7124:
7121:
7119:
7118:Weak topology
7116:
7114:
7111:
7109:
7106:
7104:
7101:
7100:
7098:
7094:
7087:
7083:
7080:
7078:
7075:
7073:
7070:
7068:
7065:
7063:
7060:
7058:
7055:
7053:
7050:
7048:
7045:
7043:
7042:Index theorem
7040:
7038:
7035:
7033:
7030:
7028:
7025:
7024:
7022:
7018:
7012:
7009:
7007:
7004:
7003:
7001:
6999:Open problems
6997:
6991:
6988:
6986:
6983:
6981:
6978:
6976:
6973:
6971:
6968:
6966:
6963:
6962:
6960:
6956:
6950:
6947:
6945:
6942:
6940:
6937:
6935:
6932:
6930:
6927:
6925:
6922:
6920:
6917:
6915:
6912:
6910:
6907:
6905:
6902:
6901:
6899:
6895:
6889:
6886:
6884:
6881:
6879:
6876:
6874:
6871:
6869:
6866:
6864:
6861:
6859:
6856:
6854:
6851:
6849:
6846:
6845:
6843:
6841:
6837:
6827:
6824:
6822:
6819:
6817:
6814:
6811:
6807:
6803:
6800:
6798:
6795:
6793:
6790:
6789:
6787:
6783:
6777:
6774:
6772:
6769:
6767:
6764:
6762:
6759:
6757:
6754:
6752:
6749:
6747:
6744:
6742:
6739:
6737:
6734:
6732:
6729:
6728:
6725:
6722:
6718:
6713:
6709:
6705:
6698:
6693:
6691:
6686:
6684:
6679:
6678:
6675:
6668:
6666:0-691-08079-8
6662:
6658:
6653:
6652:
6646:
6642:
6639:
6635:
6631:
6627:
6622:
6617:
6613:
6609:
6591:
6587:
6577:
6574:
6570:
6569:
6564:
6559:
6554:
6549:
6545:
6541:
6536:
6531:
6527:
6523:
6519:
6515:
6511:
6507:
6506:
6501:
6497:
6492:
6488:
6484:
6482:
6478:
6474:
6470:
6467:
6463:
6457:
6453:
6449:
6448:
6442:
6439:
6435:
6431:
6427:
6423:
6419:
6415:
6411:
6408:
6406:0-8218-0772-2
6402:
6398:
6394:
6390:
6386:
6383:
6377:
6373:
6369:
6365:
6361:
6358:
6356:0-8218-0772-2
6352:
6348:
6344:
6340:
6336:
6332:
6328:
6324:
6318:
6314:
6310:
6306:
6302:
6297:
6294:
6290:
6286:
6282:
6277:
6273:
6269:
6265:
6259:
6255:
6250:
6249:
6241:
6237:
6233:
6229:
6225:
6221:
6214:
6211:
6206:
6202:
6195:
6192:
6187:
6183:
6176:
6173:
6168:
6164:
6157:
6154:
6149:
6147:0-387-94653-5
6143:
6139:
6132:
6129:
6122:
6120:
6118:
6102:
6099:
6094:
6090:
6065:
6061:
6056:
6033:
6029:
6020:
6002:
5998:
5975:
5971:
5961:
5941:
5933:
5930:
5925:
5915:
5888:
5884:
5863:
5841:
5837:
5814:
5810:
5801:
5797:
5793:
5792:Leonard Gross
5788:
5774:
5752:
5748:
5725:
5721:
5700:
5680:
5660:
5640:
5618:
5614:
5593:
5570:
5567:
5563:
5559:
5556:
5553:
5549:
5545:
5542:
5537:
5533:
5528:
5524:
5517:
5516:
5515:
5497:
5493:
5488:
5480:itself is in
5467:
5445:
5441:
5415:
5400:
5396:
5375:
5365:
5357:
5341:
5336:
5333:
5328:
5323:
5320:
5315:
5311:
5307:
5304:
5299:
5296:
5291:
5286:
5283:
5277:
5273:
5266:
5265:
5264:
5247:
5242:
5234:
5226:
5223:
5220:
5216:
5207:
5199:
5196:
5193:
5185:
5177:
5173:
5164:
5158:
5155:
5147:
5139:
5135:
5126:
5116:
5115:
5114:
5110:
5106:
5098:
5088:
5083:
5076:
5070:
5049:
5045:
5036:
5030:
5023:
5019:
5004:
4991:
4990:
4989:
4987:
4986:
4981:
4980:
4971:
4963:
4950:
4943:
4941:
4925:
4918:
4914:
4905:
4897:
4893:
4887:
4883:
4879:
4876:
4873:
4867:
4854:
4842:
4829:
4826:
4818:
4809:
4801:
4800:
4797:
4772:
4768:
4759:
4753:
4739:
4724:
4723:
4722:
4706:
4702:
4697:
4691:
4681:
4673:
4670:
4657:
4650:
4648:
4634:
4631:
4625:
4615:
4612:
4600:
4589:
4583:
4580:
4576:
4572:
4569:
4566:
4560:
4555:
4548:
4536:
4529:
4520:
4516:
4509:
4499:
4486:
4483:
4475:
4466:
4462:
4459:
4456:
4450:
4445:
4438:
4426:
4419:
4412:
4409:
4401:
4392:
4384:
4383:
4380:
4374:
4355:
4345:
4330:
4326:
4317:
4314:
4306:
4302:
4298:
4288:
4273:
4269:
4260:
4254:
4251:
4246:
4242:
4238:
4235:
4232:
4222:
4207:
4203:
4194:
4184:
4183:
4182:
4178:
4174:
4170:
4166:
4162:
4155:
4150:
4146:
4145:John Nash
4138:
4136:
4134:
4107:
4097:
4082:
4078:
4069:
4066:
4060:
4057:
4052:
4049:
4046:
4038:
4028:
4027:
4026:
4024:
3999:
3984:
3981:
3978:
3974:
3970:
3967:
3954:
3950:
3946:
3941:
3939:
3925:
3905:
3901:
3897:
3894:
3891:
3878:
3874:
3870:
3866:
3858:the constant
3842:
3834:
3826:
3823:
3820:
3816:
3807:
3801:
3798:
3790:
3782:
3779:
3776:
3773:
3769:
3764:
3761:
3756:
3752:
3749:
3745:
3736:
3726:
3725:
3724:
3695:
3690:
3687:
3677:
3674:
3671:
3651:
3646:
3643:
3634:
3631:
3626:
3623:
3620:
3616:
3611:
3608:
3603:
3596:
3591:
3588:
3581:
3580:
3579:
3562:
3556:
3548:
3545:
3542:
3539:
3535:
3530:
3527:
3522:
3518:
3515:
3511:
3507:
3504:
3497:
3496:
3495:
3493:
3490:belongs to a
3481:
3477:
3473:
3469:
3467:
3460:
3456:
3452:
3444:the constant
3422:
3414:
3411:
3408:
3404:
3395:
3389:
3386:
3378:
3370:
3366:
3357:
3347:
3346:
3345:
3328:
3323:
3320:
3315:
3310:
3307:
3302:
3297:
3294:
3285:
3284:
3283:
3279:
3275:
3271:
3261:
3255:
3251:
3245:
3241:
3237:
3233:
3231:
3227:
3223:
3219:
3213:
3206:
3200:
3187:
3185:
3184:
3178:
3174:
3167:
3163:
3153:
3149:
3120:
3112:
3109:
3106:
3102:
3093:
3087:
3084:
3076:
3068:
3065:
3062:
3058:
3049:
3039:
3038:
3037:
3030:
3024:
3014:
3010:
3006:
2986:
2981:
2978:
2973:
2970:
2967:
2964:
2957:
2956:
2955:
2951:
2947:
2943:
2939:
2935:
2908:
2893:
2890:
2887:
2883:
2874:
2868:
2865:
2855:
2840:
2837:
2834:
2830:
2821:
2811:
2810:
2809:
2793:
2789:
2778:
2776:
2771:
2769:
2765:
2761:
2745:
2742:
2722:
2717:
2709:
2706:
2700:
2697:
2692:
2683:
2678:
2674:
2658:
2654:
2650:
2629:
2624:
2619:
2614:
2608:
2600:
2591:
2586:
2583:
2579:
2575:
2572:
2568:
2561:
2555:
2550:
2546:
2541:
2537:
2534:
2530:
2526:
2519:
2518:
2517:
2513:
2493:
2488:
2480:
2474:
2471:
2466:
2457:
2452:
2448:
2434:
2433:
2432:
2405:
2402:
2397:
2392:
2389:
2384:
2379:
2376:
2367:
2366:
2365:
2360:. Then, for
2358:
2353:
2347:
2337:
2333:
2326:
2322:
2315:
2313:
2309:
2305:
2304:Sobolev lemma
2301:
2293:
2291:
2288:
2268:
2260:
2243:
2239:
2234:
2230:
2222:
2207:
2204:
2201:
2197:
2189:
2188:
2187:
2173:
2170:
2167:
2147:
2144:
2141:
2138:
2135:
2115:
2111:
2107:
2104:
2101:
2097:
2093:
2090:
2085:
2081:
2076:
2072:
2049:
2039:
2024:
2020:
2011:
2008:
2002:
1999:
1989:
1972:
1968:
1963:
1954:
1944:
1943:
1942:
1927:
1923:
1917:
1912:
1899:
1897:
1893:
1889:
1884:
1862:
1854:
1851:
1848:
1844:
1840:
1834:
1826:
1823:
1820:
1816:
1808:
1807:
1806:
1790:
1787:
1782:
1777:
1774:
1769:
1764:
1761:
1756:
1751:
1748:
1737:
1733:
1728:
1723:
1717:
1710:
1702:
1700:
1698:
1692:
1688:
1681:
1677:
1671:
1658:
1652:
1648:
1644:
1637:
1634:
1627:
1625:
1622:
1615:
1612:
1608:
1604:
1599:
1594:
1591:
1584:
1583:
1582:
1580:
1577:, Chapter 2;
1576:
1566:
1562:
1555:
1547:
1545:
1531:
1511:
1491:
1488:
1485:
1482:
1460:
1456:
1435:
1415:
1393:
1366:
1346:
1326:
1323:
1320:
1300:
1297:
1294:
1291:
1282:
1265:
1262:
1259:
1253:
1250:
1225:
1210:
1207:
1204:
1200:
1196:
1188:
1173:
1170:
1167:
1163:
1142:
1139:
1136:
1128:
1109:
1101:
1086:
1083:
1080:
1076:
1072:
1064:
1049:
1046:
1043:
1039:
1031:
1030:
1029:
1025:
1003:
1000:
995:
992:
989:
986:
983:
980:
970:
965:
961:
958:
955:
949:
946:
941:
938:
933:
928:
925:
916:
915:
914:
911:
907:
900:
896:
892:
891:Hölder spaces
884:
879:
874:
869:
865:
849:
845:
824:
804:
801:
796:
792:
771:
767:
763:
760:
755:
751:
746:
742:
735:. (Note that
722:
719:
714:
710:
685:
681:
676:
655:
633:
629:
603:
588:
584:
563:
555:
536:
531:
528:
523:
518:
515:
510:
503:
499:
495:
486:
485:
484:
478:
477:
471:
446:
429:
425:
420:
416:
408:
393:
390:
387:
383:
375:
374:
373:
369:
362:
337:
322:
319:
316:
312:
308:
300:
285:
282:
279:
275:
267:
266:
265:
248:
243:
240:
235:
230:
227:
222:
217:
214:
209:
204:
201:
192:
191:
190:
186:
182:
175:
171:
165:
161:
154:
143:
142:
132:
127:
120:
116:
106:
96:
89:
82:
76:
69:
67:
65:
61:
57:
53:
49:
45:
41:
37:
33:
19:
7167:Inequalities
7108:Balanced set
7082:Distribution
7020:Applications
6873:KreinâMilman
6858:Closed graph
6650:
6645:Stein, Elias
6611:
6607:
6566:
6552:
6509:
6503:
6490:
6446:
6421:
6417:
6392:
6367:
6364:Brezis, HaĂŻm
6342:
6339:Brezis, HaĂŻm
6300:
6284:
6283:, 2e SĂ©rie,
6280:
6253:
6223:
6219:
6213:
6204:
6200:
6194:
6185:
6181:
6175:
6166:
6162:
6156:
6137:
6131:
6119:Theorem 6).
5962:
5789:
5585:
5367:
5262:
5108:
5104:
5096:
5081:
5074:
5071:
5068:
4983:
4977:
4972:. Choosing
4958:
4955:
4944:
4791:
4662:
4651:
4370:
4176:
4172:
4168:
4164:
4160:
4153:
4142:
4122:
3959:
3952:
3948:
3944:
3876:
3872:
3868:
3864:
3857:
3722:
3577:
3492:Hölder space
3485:
3479:
3475:
3471:
3458:
3454:
3450:
3443:
3343:
3277:
3273:
3269:
3266:
3259:
3253:
3249:
3243:
3239:
3235:
3225:
3221:
3217:
3214:
3204:
3198:
3191:
3176:
3172:
3165:
3161:
3151:
3147:
3140:
3031:
3025:of exponent
3012:
3008:
3004:
3001:
2949:
2945:
2941:
2937:
2933:
2930:
2808:, such that
2791:
2787:
2784:
2772:
2656:
2652:
2648:
2644:
2511:
2508:
2422:
2356:
2342:
2335:
2331:
2324:
2320:
2316:
2303:
2297:
2286:
2283:
2064:
1925:
1921:
1910:
1904:Assume that
1903:
1891:
1887:
1880:
1735:
1731:
1726:
1721:
1715:
1712:
1690:
1686:
1679:
1675:
1669:
1662:
1655:and bounded
1650:
1597:
1564:
1560:
1557:
1554:SouÄek space
1283:
1124:
1023:
1020:
909:
905:
898:
894:
888:
882:
877:
872:
551:
474:
469:
466:
367:
360:
357:
263:
184:
180:
173:
169:
163:
159:
152:
140:
133:up to order
125:
118:
114:
111:
104:
94:
87:
80:
47:
39:
29:
7037:Heat kernel
7027:Hardy space
6934:Trace class
6848:HahnâBanach
6810:Topological
5633:approaches
5087:Brezis 2011
3208:boundary. (
3021:is in fact
2364:defined by
2128:. The case
1918:. Then for
483:, given by
38:a class of
32:mathematics
7161:Categories
6970:C*-algebra
6785:Properties
6481:MAA review
6477:1180.46001
6207:: 115â162.
6188:: 102â137.
6123:References
6117:Gross 1975
5796:Gross 1975
5740:is small (
2762:, c.f. (
2431:such that
2312:Stein 1970
2308:Aubin 1982
1941:such that
1920:1 ≤
1697:NeÄas 2012
1611:Adams 1975
1579:Aubin 1976
1575:Aubin 1982
1243:for every
784:, so that
54:, and the
6944:Unbounded
6939:Transpose
6897:Operators
6826:Separable
6821:Reflexive
6806:Algebraic
6792:Barrelled
6621:1411.2318
6573:EMS Press
6345:, Paris:
6240:195270732
6095:∗
6082:for some
6066:∗
5934:
5753:∗
5619:∗
5557:−
5538:∗
5498:∗
5329:−
5292:−
5212:‖
5205:‖
5197:−
5169:‖
5162:‖
5156:≤
5131:‖
5124:‖
5041:‖
5034:‖
5015:‖
5008:^
4999:‖
4910:‖
4903:‖
4894:ω
4884:ρ
4880:≤
4846:^
4830:ρ
4827:≤
4810:∫
4764:‖
4757:‖
4754:≤
4743:^
4703:ρ
4674:≤
4590:∫
4581:−
4577:ρ
4573:≤
4540:^
4517:ρ
4487:ρ
4484:≥
4467:∫
4463:≤
4430:^
4413:ρ
4410:≥
4393:∫
4322:‖
4312:‖
4265:‖
4258:‖
4252:≤
4199:‖
4192:‖
4074:‖
4064:‖
4058:≤
4043:‖
4036:‖
3971:∈
3812:‖
3805:‖
3799:≤
3783:γ
3774:−
3753:−
3741:‖
3734:‖
3696:∈
3652:∉
3627:−
3589:γ
3549:γ
3540:−
3519:−
3508:∈
3400:‖
3393:‖
3387:≤
3362:‖
3355:‖
3316:−
3202:, with a
3098:‖
3091:‖
3085:≤
3069:γ
3054:‖
3047:‖
2974:−
2965:γ
2879:‖
2872:‖
2866:≤
2841:γ
2826:‖
2819:‖
2714:‖
2704:‖
2698:≤
2679:α
2615:λ
2605:‖
2598:‖
2584:≤
2576:λ
2551:α
2485:‖
2478:‖
2472:≤
2453:α
2403:α
2398:−
2244:∗
2231:⊂
2105:−
2086:∗
2016:‖
2006:‖
2000:≤
1973:∗
1959:‖
1952:‖
1849:ℓ
1841:⊂
1788:ℓ
1783:−
1757:−
1603:Lipschitz
1532:α
1347:α
1254:∈
1251:γ
1211:γ
1197:⊂
1137:α
1087:α
1073:⊂
996:−
987:α
962:α
950:−
934:−
873:s = r + α
797:∗
756:∗
715:∗
686:∗
524:−
504:∗
430:∗
417:⊆
317:ℓ
309:⊆
241:ℓ
236:−
210:−
7146:Category
6958:Algebras
6840:Theorems
6797:Complete
6766:Schwartz
6712:glossary
6647:(1970),
6638:55497245
6500:Nash, J.
6489:(1985),
6391:(1998),
6366:(2011),
6341:(1983),
5514:, where
5101:and all
4663:because
3282:, where
3002:Thus if
2954:, where
2931:for all
2688:‖
2670:‖
2462:‖
2444:‖
1643:complete
1593:open set
1026:â (0, 1)
145:. Here
6949:Unitary
6929:Nuclear
6914:Compact
6909:Bounded
6904:Adjoint
6878:Minâmax
6771:Sobolev
6756:Nuclear
6746:Hilbert
6741:Fréchet
6706: (
6544:2372841
6514:Bibcode
6469:2527916
6438:2373688
6331:0681859
6293:0488125
6272:0450957
5876:is in "
5856:, then
5460:, then
5263:where:
4982:) and (
4147: (
4017:, then
3215:Assume
3017:, then
2785:Assume
2350:be the
2340:. Let
2330:1 <
2319:0 <
1621:compact
1590:bounded
1504:, then
883:optimal
648:, then
473:is the
6924:Normal
6761:Orlicz
6751:Hölder
6731:Banach
6720:Spaces
6708:topics
6663:
6636:
6542:
6475:
6458:
6436:
6403:
6378:
6353:
6347:Masson
6329:
6319:
6291:
6270:
6260:
6238:
6169:: 5â9.
6144:
5111:< â
5099:< â
4956:where
4796:gives
4156:> 0
3880:, and
3578:where
3462:, and
2735:where
2651:= 1 â
2645:where
2348:= (âÎ)
2338:< â
1653:> 0
702:where
467:where
187:< â
155:< â
129:whose
6736:Besov
6634:S2CID
6616:arXiv
6540:JSTOR
6434:JSTOR
6236:S2CID
4970:-ball
3942:Case
3474:>
3238:<
2790:<
2334:<
2323:<
2065:with
1924:<
1914:with
1734:>
1719:with
1641:is a
1619:is a
1601:with
1588:is a
1408:, if
1155:then
1021:with
908:<
903:. If
264:then
183:<
172:<
162:>
100:(0,0)
7084:(or
6802:Dual
6661:ISBN
6456:ISBN
6401:ISBN
6376:ISBN
6351:ISBN
6317:ISBN
6258:ISBN
6142:ISBN
6100:>
5103:1 â€
5095:1 â€
4171:) â©
4149:1958
4025:and
3895:>
3192:Let
3155:and
2944:) â©
2804:and
2573:>
2328:and
2317:Let
2306:in (
2145:<
2139:<
1937:and
1770:<
1489:>
1475:and
1428:has
1298:>
913:and
802:>
761:<
720:>
365:and
179:1 â€
177:and
151:1 â€
112:Let
90:, 3)
6626:doi
6530:hdl
6522:doi
6473:Zbl
6426:doi
6309:doi
6285:100
6228:doi
5931:log
5388:in
5077:= 1
3960:If
3262:= 1
3247:or
3170:to
2794:†â
2514:= 1
2509:If
2354:on
1881:is
1739:and
1663:If
1595:in
1544:).
1379:on
576:in
479:of
370:= 0
363:= 1
86:(1/
30:In
7163::
6710:â
6659:,
6632:,
6624:,
6612:33
6610:,
6571:,
6565:,
6538:,
6528:,
6520:,
6510:80
6508:,
6479:,
6471:,
6466:MR
6454:,
6432:,
6422:97
6420:,
6399:,
6374:,
6370:,
6349:,
6327:MR
6325:,
6315:,
6307:,
6289:MR
6268:MR
6266:,
6234:.
6222:.
6205:13
6203:.
6184:.
6167:20
6165:.
5107:â€
4379:,
4181:,
4163:â
4135:.
3955:=1
3951:,
3875:,
3871:,
3867:,
3466:.
3457:,
3453:,
3272:â
3257:,
3252:=
3220:â
3150:,
3007:â
2936:â
2647:1/
1896:.
1609:;
1281:.
910:pk
864:.
167:,
66:.
7088:)
6812:)
6808:/
6804:(
6714:)
6696:e
6689:t
6682:v
6628::
6618::
6592:1
6588:L
6557:.
6547:.
6532::
6524::
6516::
6428::
6334:.
6311::
6275:.
6242:.
6230::
6224:1
6186:7
6150:.
6115:(
6103:p
6091:p
6062:p
6057:L
6034:p
6030:L
6003:p
5999:L
5976:p
5972:L
5946:|
5942:f
5938:|
5926:p
5921:|
5916:f
5912:|
5889:p
5885:L
5864:f
5842:p
5838:L
5815:p
5811:L
5794:(
5775:p
5749:p
5726:p
5722:L
5701:f
5681:f
5661:n
5641:p
5615:p
5594:n
5571:.
5568:n
5564:/
5560:1
5554:p
5550:/
5546:1
5543:=
5534:p
5529:/
5525:1
5494:p
5489:L
5468:f
5446:p
5442:L
5421:)
5416:n
5411:R
5406:(
5401:p
5397:L
5376:f
5342:.
5337:p
5334:1
5324:q
5321:1
5316:=
5312:)
5308:1
5305:+
5300:r
5297:1
5287:q
5284:1
5278:(
5274:a
5248:,
5243:a
5238:)
5235:I
5232:(
5227:r
5224:,
5221:1
5217:W
5208:u
5200:a
5194:1
5189:)
5186:I
5183:(
5178:q
5174:L
5165:u
5159:C
5151:)
5148:I
5145:(
5140:p
5136:L
5127:u
5109:p
5105:q
5097:r
5091:I
5082:L
5075:n
5050:2
5046:L
5037:u
5031:=
5024:2
5020:L
5005:u
4985:2
4979:1
4974:Ï
4968:n
4961:n
4959:Ï
4949:)
4947:2
4945:(
4926:2
4919:1
4915:L
4906:u
4898:n
4888:n
4877:x
4874:d
4868:2
4863:|
4858:)
4855:x
4852:(
4843:u
4836:|
4823:|
4819:x
4815:|
4794:Ï
4773:1
4769:L
4760:u
4750:|
4740:u
4733:|
4707:2
4698:/
4692:2
4687:|
4682:x
4678:|
4671:1
4656:)
4654:1
4652:(
4635:x
4632:d
4626:2
4621:|
4616:u
4613:D
4609:|
4601:n
4596:R
4584:2
4570:x
4567:d
4561:2
4556:|
4552:)
4549:x
4546:(
4537:u
4530:|
4521:2
4510:2
4505:|
4500:x
4496:|
4480:|
4476:x
4472:|
4460:x
4457:d
4451:2
4446:|
4442:)
4439:x
4436:(
4427:u
4420:|
4406:|
4402:x
4398:|
4377:Ï
4356:.
4351:)
4346:n
4341:R
4336:(
4331:2
4327:L
4318:u
4315:D
4307:n
4303:/
4299:2
4294:)
4289:n
4284:R
4279:(
4274:1
4270:L
4261:u
4255:C
4247:n
4243:/
4239:2
4236:+
4233:1
4228:)
4223:n
4218:R
4213:(
4208:2
4204:L
4195:u
4179:)
4177:R
4175:(
4173:W
4169:R
4167:(
4165:L
4161:u
4154:C
4129:n
4125:C
4108:,
4103:)
4098:n
4093:R
4088:(
4083:n
4079:L
4070:u
4067:D
4061:C
4053:O
4050:M
4047:B
4039:u
4019:u
4005:)
4000:n
3995:R
3990:(
3985:n
3982:,
3979:1
3975:W
3968:u
3953:k
3949:n
3947:=
3945:p
3926:u
3906:p
3902:/
3898:n
3892:k
3882:U
3877:Îł
3873:n
3869:p
3865:k
3860:C
3843:,
3838:)
3835:U
3832:(
3827:p
3824:,
3821:k
3817:W
3808:u
3802:C
3794:)
3791:U
3788:(
3780:,
3777:1
3770:]
3765:p
3762:n
3757:[
3750:k
3746:C
3737:u
3700:Z
3691:p
3688:n
3681:)
3678:1
3675:,
3672:0
3669:(
3656:Z
3647:p
3644:n
3635:p
3632:n
3624:1
3621:+
3617:]
3612:p
3609:n
3604:[
3597:{
3592:=
3563:,
3560:)
3557:U
3554:(
3546:,
3543:1
3536:]
3531:p
3528:n
3523:[
3516:k
3512:C
3505:u
3488:u
3480:p
3478:/
3476:n
3472:k
3464:U
3459:n
3455:p
3451:k
3446:C
3440:,
3426:)
3423:U
3420:(
3415:p
3412:,
3409:k
3405:W
3396:u
3390:C
3382:)
3379:U
3376:(
3371:q
3367:L
3358:u
3329:.
3324:n
3321:k
3311:p
3308:1
3303:=
3298:q
3295:1
3280:)
3278:U
3276:(
3274:L
3270:u
3260:p
3254:n
3250:k
3244:p
3242:/
3240:n
3236:k
3228:)
3226:U
3224:(
3222:W
3218:u
3210:U
3205:C
3199:R
3194:U
3179:)
3177:R
3175:(
3173:W
3168:)
3166:U
3164:(
3162:W
3157:U
3152:p
3148:n
3143:C
3124:)
3121:U
3118:(
3113:p
3110:,
3107:1
3103:W
3094:u
3088:C
3080:)
3077:U
3074:(
3066:,
3063:0
3059:C
3050:u
3034:U
3027:Îł
3019:u
3015:)
3013:R
3011:(
3009:W
3005:u
2987:.
2982:p
2979:n
2971:1
2968:=
2952:)
2950:R
2948:(
2946:L
2942:R
2940:(
2938:C
2934:u
2914:)
2909:n
2904:R
2899:(
2894:p
2891:,
2888:1
2884:W
2875:u
2869:C
2861:)
2856:n
2851:R
2846:(
2838:,
2835:0
2831:C
2822:u
2806:n
2802:p
2798:C
2792:p
2788:n
2746:f
2743:R
2723:,
2718:1
2710:f
2707:R
2701:C
2693:q
2684:f
2675:I
2657:n
2655:/
2653:α
2649:q
2630:,
2625:q
2620:)
2609:1
2601:f
2592:(
2587:C
2580:}
2569:|
2565:)
2562:x
2559:(
2556:f
2547:I
2542:|
2538::
2535:x
2531:{
2527:m
2512:p
2494:.
2489:p
2481:f
2475:C
2467:q
2458:f
2449:I
2429:p
2425:C
2406:n
2393:p
2390:1
2385:=
2380:q
2377:1
2362:q
2357:R
2345:α
2343:I
2336:q
2332:p
2325:n
2321:α
2287:R
2269:.
2266:)
2261:n
2256:R
2251:(
2240:p
2235:L
2228:)
2223:n
2218:R
2213:(
2208:p
2205:,
2202:1
2198:W
2174:1
2171:=
2168:p
2148:n
2142:p
2136:1
2116:n
2112:/
2108:1
2102:p
2098:/
2094:1
2091:=
2082:p
2077:/
2073:1
2050:.
2045:)
2040:n
2035:R
2030:(
2025:p
2021:L
2012:u
2009:D
2003:C
1995:)
1990:n
1985:R
1980:(
1969:p
1964:L
1955:u
1939:p
1935:n
1931:C
1926:n
1922:p
1911:R
1906:u
1894:)
1892:M
1890:(
1888:W
1866:)
1863:M
1860:(
1855:q
1852:,
1845:W
1838:)
1835:M
1832:(
1827:p
1824:,
1821:k
1817:W
1791:n
1778:q
1775:1
1765:n
1762:k
1752:p
1749:1
1736:â
1732:k
1722:C
1716:M
1695:(
1693:)
1691:M
1689:(
1687:L
1682:)
1680:M
1678:(
1676:W
1670:R
1665:M
1659:.
1651:ÎŽ
1639:M
1629:M
1617:M
1598:R
1586:M
1571:M
1567:)
1565:M
1563:(
1561:W
1512:f
1492:n
1486:k
1483:p
1461:p
1457:L
1436:k
1416:f
1394:n
1389:R
1367:f
1327:0
1324:=
1321:r
1301:n
1295:k
1292:p
1269:)
1266:1
1263:,
1260:0
1257:(
1231:)
1226:n
1221:R
1216:(
1208:,
1205:r
1201:C
1194:)
1189:n
1184:R
1179:(
1174:p
1171:,
1168:k
1164:W
1143:1
1140:=
1110:.
1107:)
1102:n
1097:R
1092:(
1084:,
1081:r
1077:C
1070:)
1065:n
1060:R
1055:(
1050:p
1047:,
1044:k
1040:W
1024:α
1004:p
1001:n
993:k
990:=
984:+
981:r
971:,
966:n
959:+
956:r
947:=
942:n
939:k
929:p
926:1
906:n
901:)
899:R
897:(
895:C
878:C
850:p
846:L
825:f
805:p
793:p
772:p
768:/
764:1
752:p
747:/
743:1
723:p
711:p
682:p
677:L
656:f
634:p
630:L
609:)
604:n
599:R
594:(
589:p
585:L
564:f
537:.
532:n
529:1
519:p
516:1
511:=
500:p
496:1
481:p
470:p
452:)
447:n
442:R
437:(
426:p
421:L
414:)
409:n
404:R
399:(
394:p
391:,
388:1
384:W
368:â
361:k
343:)
338:n
333:R
328:(
323:q
320:,
313:W
306:)
301:n
296:R
291:(
286:p
283:,
280:k
276:W
249:,
244:n
231:q
228:1
223:=
218:n
215:k
205:p
202:1
185:q
181:p
174:n
170:p
164:â
160:k
153:p
147:k
141:L
135:k
126:R
121:)
119:R
117:(
115:W
108:.
105:L
95:n
88:p
81:W
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
