31:
362:
2965:
1672:
4813:
3228:
2112:
2700:
1463:
1474:
349:. The Morse potential can also be used to model other interactions such as the interaction between an atom and a surface. Due to its simplicity (only three fitting parameters), it is not used in modern spectroscopy. However, its mathematical form inspired the MLR (
369:(blue) and harmonic oscillator potential (green). Unlike the energy levels of the harmonic oscillator potential, which are evenly spaced by ħω, the Morse potential level spacing decreases as the energy approaches the dissociation energy. The dissociation energy
1810:
2388:
834:, the equation for the Morse potential can be rewritten any number of ways by adding or subtracting a constant value. When it is used to model the atom-surface interaction, the energy zero can be redefined so that the Morse potential becomes
2980:
2563:
1961:
5441:
Henderson, R. D. E.; A. Shayesteh; J. Tao; C. Haugen; P. F. Bernath; R. J. Le Roy (4 October 2013). "Accurate
Analytic Potential and Born–Oppenheimer Breakdown Functions for MgH and MgD from a Direct-Potential-Fit Data Analysis".
1915:
4229:
4378:
977:
3775:
2184:
3441:
2641:
6243:
Meshkov, Vladimir V.; Stolyarov, Andrey V.; Heaven, Michael C.; Haugen, Carl; Leroy, Robert J. (2014). "Direct-potential-fit analyses yield improved empirical potentials for the ground XÎŁg+1 state of Be2".
5078:
Zhou, Yaoqi; Karplus, Martin; Ball, Keith D.; Bery, R. Stephen (2002). "The distance fluctuation criterion for melting: Comparison of square-well and Morse
Potential models for clusters and homopolymers".
4816:
Harmonic oscillator (grey) and Morse (black) potentials curves are shown along with their eigenfunctions (respectively green and blue for harmonic oscillator and morse) for the same vibrational levels for
3587:
2960:{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {z^{-\alpha }e^{z}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(z^{n+\alpha }e^{-z}\right)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)/\Gamma (\alpha +1)}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,z).}
1110:
3952:
1318:
4443:
1667:{\displaystyle x=ar{\text{; }}x_{e}=ar_{e}{\text{; }}\lambda ={\frac {\sqrt {2mD_{e}}}{a\hbar }}{\text{; }}\varepsilon _{n}={\frac {2m}{a^{2}\hbar ^{2}}}E_{n}={\frac {\lambda ^{2}}{D_{e}}}E_{n}.}
6208:
Coxon, John A.; Hajigeorgiou, Photos G. (2015). "Improved direct potential fit analyses for the ground electronic states of the hydrogen halides: HF/DF/TF, HCl/DCl/TCl, HBr/DBr/TBr and HI/DI/TI".
488:
5954:
Piticco, Lorena; F. Merkt; A. A. Cholewinski; F. R. W. McCourt; R. J. Le Roy (December 2010). "Rovibrational structure and potential energy function of the ground electronic state of ArXe".
6340:
Walji, Sadru-Dean; Sentjens, Katherine M.; Le Roy, Robert J. (2015). "Dissociation energies and potential energy functions for the ground X 1ÎŁ+ and "avoided-crossing" A 1ÎŁ+ states of NaH".
1687:
795:
2241:
4510:
4296:
2688:
3869:
2213:
4836:) potential. The MLR potential is used as a standard for representing spectroscopic and/or virial data of diatomic molecules by a potential energy curve. It has been used on N
4807:
3297:
1218:. It clearly shows that the Morse potential is the combination of a short-range repulsion term (the former) and a long-range attractive term (the latter), analogous to the
1279:
4774:
4738:
4473:
4259:
677:
6077:
Yukiya, T.; N. Nishimiya; Y. Samejima; K. Yamaguchi; M. Suzuki; C. D. Boonec; I. Ozier; R. J. Le Roy (January 2013). "Direct-potential-fit analysis for the system of Br
3624:
3223:{\displaystyle \left\langle \Psi _{m}|x|\Psi _{n}\right\rangle ={\frac {2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)}}{\sqrt {\frac {(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}}.}
3491:
1216:
710:
3257:
1183:
4704:
4675:
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3987:
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1949:
1306:
825:
639:
565:
538:
296:
4100:
is a good approximation for the true vibrational structure in non-rotating diatomic molecules. In fact, the real molecular spectra are generally fit to the form
2107:{\displaystyle \varepsilon _{n}=\lambda ^{2}-\left(\lambda -n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=2\lambda \left(n+{\frac {1}{2}}\right)-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2},}
6166:
Li, Gang; I. E. Gordon; P. G. Hajigeorgiou; J. A. Coxon; L. S. Rothman (July 2013). "Reference spectroscopic data for hydrogen halides, Part II:The line lists".
4619:
4599:
4579:
4559:
3644:
3511:
3464:
2396:
2233:
1153:
1133:
734:
605:
585:
511:
5999:
Ivanova, Milena; A. Stein; A. Pashov; A. V. Stolyarov; H. Knockel; E. Tiemann (2011). "The XÎŁ state of LiCa studied by
Fourier-transform spectroscopy".
5334:
Le Roy, Robert J.; R. D. E. Henderson (2007). "A new potential function form incorporating extended long-range behaviour: application to ground-state Ca
5028:
Lincoln, R. C.; Kilowad, K. M.; Ghate, P. B. (1967). "Morse-potential evaluation of second- and third-order elastic constants of some cubic metals".
1816:
4106:
4304:
6411:
5562:
Shayesteh, A.; R. D. E. Henderson; R. J. Le Roy; P. F. Bernath (2007). "Ground State
Potential Energy Curve and Dissociation Energy of MgH".
5228:
Le Roy, Robert J.; N. S. Dattani; J. A. Coxon; A. J. Ross; Patrick Crozet; C. Linton (25 November 2009). "Accurate analytic potentials for Li
3652:
2123:
5499:
840:
3305:
2568:
289:
5676:
Gunton, Will; Semczuk, Mariusz; Dattani, Nikesh S.; Madison, Kirk W. (2013). "High-resolution photoassociation spectroscopy of the Li
187:
3519:
4970:
Shore, Bruce W. (1973). "Comparison of matrix methods applied to the radial Schrödinger eigenvalue equation: The Morse potential".
988:
3877:
1458:{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+V(r)\right)\Psi _{n}(r)=E_{n}\Psi _{n}(r),}
337:
because it explicitly includes the effects of bond breaking, such as the existence of unbound states. It also accounts for the
152:
1234:, the energies and eigenstates of the Morse potential can be found using operator methods. One approach involves applying the
4389:
282:
55:
45:
5803:
Xie, F.; L. Li; D. Li; V. B. Sovkov; K. V. Minaev; V. S. Ivanov; A. M. Lyyra; S. Magnier (2011). "Joint analysis of the Cs
4832:
An extension of the Morse potential that made the Morse form useful for modern (high-resolution) spectroscopy is the MLR (
147:
110:
60:
5742:
Semczuk, M.; Li, X.; Gunton, W.; Haw, M.; Dattani, N. S.; Witz, J.; Mills, A. K.; Jones, D. J.; Madison, K. W. (2013).
397:
3593:
1231:
334:
1805:{\displaystyle \left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\Psi _{n}(x)=\varepsilon _{n}\Psi _{n}(x),}
6401:
4833:
4827:
350:
82:
6042:
Steinke, M.; H. Knockel; E. Tiemann (27 April 2012). "X-state of LiNa studied by
Fourier-transform spectroscopy".
6396:
5182:
Lima, Emanuel F de; Hornos, José E M. (2005). "Matrix elements for the Morse potential under an external field".
137:
3780:
This trend matches the anharmonicity found in real molecules. However, this equation fails above some value of
2383:{\displaystyle \Psi _{n}(z)=N_{n}z^{\lambda -n-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}z}L_{n}^{(2\lambda -2n-1)}(z),}
742:
608:
117:
6406:
6287:
Dattani, Nikesh S. (2015). "Beryllium monohydride (BeH): Where we are now, after 86 years of spectroscopy".
6116:
Knockel, H.; S. Ruhmann; E. Tiemann (2013). "The X-state of Mg2 studied by
Fourier-transform spectroscopy".
4877:
1678:
1309:
1219:
177:
132:
87:
50:
40:
5615:
Dattani, N. S.; R. J. Le Roy (8 May 2013). "A DPF data analysis yields accurate analytic potentials for Li
5579:
4478:
4264:
2646:
1235:
3810:
318:
127:
22:
4931:
Girifalco, L. A.; Weizer, G. V. (1959). "Application of the Morse
Potential Function to cubic metals".
2192:
353:) potential, which is the most popular potential energy function used for fitting spectroscopic data.
6349:
6306:
6253:
6217:
6175:
6125:
6090:
6051:
6008:
5963:
5920:
5863:
5816:
5769:
5708:
5642:
5571:
5514:
5451:
5394:
5347:
5292:
5245:
5191:
5148:
5088:
5037:
5008:
4979:
4940:
4911:
4783:
4710:
2971:
253:
122:
5584:
5500:"Long-range damping functions improve the short-range behaviour of 'MLR' potential energy functions"
5383:"A full analytic potential energy curve for the aÎŁ state of KLi from a limited vibrational data set"
5279:
Le Roy, R. J.; Y. Huang; C. Jary (2006). "An accurate analytic potential function for ground-state N
3262:
4902:
Morse, P. M. (1929). "Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels".
4882:
2691:
268:
157:
65:
1248:
6373:
6322:
6296:
5936:
5910:
5785:
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5724:
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5538:
3599:
6365:
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6059:
6016:
5979:
5971:
5928:
5871:
5854:
electronic state of the cesium dimer: Application of a direct potential fitting procedure".
5824:
5777:
5716:
5650:
5589:
5522:
5459:
5402:
5355:
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5253:
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5016:
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3992:
3965:
3783:
1927:
1284:
803:
648:
617:
543:
516:
4999:
Keyes, Robert W. (1975). "Bonding and antibonding potentials in group-IV semiconductors".
2558:{\displaystyle z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left^{\frac {1}{2}}}
1135:
is now the coordinate perpendicular to the surface. This form approaches zero at infinite
314:
6353:
6310:
6257:
6221:
6179:
6129:
6094:
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6012:
5967:
5924:
5867:
5820:
5773:
5712:
5646:
5575:
5518:
5455:
5398:
5351:
5296:
5249:
5195:
5152:
5092:
5057:
Dong, Shi-Hai; Lemus, R.; Frank, A. (2001). "Ladder operators for the Morse potential".
5041:
5012:
4983:
4944:
4915:
5107:
I.G. Kaplan, in
Handbook of Molecular Physics and Quantum Chemistry, Wiley, 2003, p207.
4604:
4584:
4564:
4544:
3629:
3496:
3449:
2218:
1138:
1118:
719:
642:
590:
570:
496:
248:
238:
182:
142:
5381:
Salami, H.; A. J. Ross; P. Crozet; W. Jastrzebski; P. Kowalczyk; R. J. Le Roy (2007).
6390:
6326:
5940:
5789:
5728:
5662:
5211:
5203:
342:
338:
5534:
5479:
5424:
5367:
5320:
5168:
4961:
6377:
3493:
has units of frequency. The latter is mathematically related to the particle mass,
4298:
can be directly related to the parameters for the Morse potential. Specifically,
5932:
5743:
5526:
4713:, for historical reasons the last equation uses spectroscopic notation in which
716:
of the potential energy function, from which it can be shown that the parameter,
6229:
6187:
5020:
4868:, BeH, and NaH. More sophisticated versions are used for polyatomic molecules.
330:
263:
6063:
5984:
5781:
5720:
6318:
6102:
5975:
5654:
5359:
4741:
1952:
1921:
1910:{\displaystyle V(x)=\lambda ^{2}\left(1-e^{-\left(x-x_{e}\right)}\right)^{2}.}
713:
361:
5133:
4894:
CRC Handbook of chemistry and physics, Ed David R. Lide, 87th ed, Section 9,
4224:{\displaystyle E_{n}/hc=\omega _{e}(n+1/2)-\omega _{e}\chi _{e}(n+1/2)^{2}\,}
5049:
4952:
6369:
6273:
6145:
6028:
5883:
5836:
5601:
5471:
5416:
5312:
5265:
5897:
Stein, A.; H. Knockel; E. Tiemann (April 2010). "The 1S+1S asymptote of Sr
4923:
4373:{\displaystyle a={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}c\ m\ \omega _{e}\chi _{e}}{h}}}}
5134:"The Morse Oscillator in Position Space, Momentum Space, and Phase Space"
346:
3646:
in the Morse oscillator. Mathematically, the spacing of Morse levels is
6361:
6265:
6137:
6020:
5875:
5828:
5593:
5463:
5407:
5382:
5304:
5257:
5100:
5070:
4991:
3770:{\displaystyle E_{n+1}-E_{n}=h\nu _{0}-(n+1)(h\nu _{0})^{2}/2D_{e}.\,}
2179:{\displaystyle n=0,1,\ldots ,\lfloor \lambda -{\frac {1}{2}}\rfloor ,}
5160:
4812:
5236:(A) from 2 to 90 Angstroms, and the radiative lifetime of Li(2p)".
972:{\displaystyle V(r)=V'(r)-D_{e}=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}-D_{e}}
567:
is the well depth (defined relative to the dissociated atoms), and
6301:
5915:
5764:
5703:
5637:
4016:, all the possible energy levels are allowed and the equation for
3436:{\displaystyle E_{n}=h\nu _{0}(n+1/2)-{\frac {\left^{2}}{4D_{e}}}}
2636:{\displaystyle \int \mathrm {d} r\,\Psi _{n}^{*}(r)\Psi _{n}(r)=1}
5623:(c) that incorporate 3-state mixing near the c-state asymptote".
3962:
number of bound levels in the Morse potential, and some maximum
3626:, the energy between adjacent levels decreases with increasing
3582:{\displaystyle \nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {2D_{e}/m}}.}
6168:
5283:
from a direct-potential-fit analysis of spectroscopic data".
3592:
Whereas the energy spacing between vibrational levels in the
1105:{\displaystyle V(r)=D_{e}(e^{-2a(r-r_{e})}-2e^{-a(r-r_{e})})}
5498:
Le Roy, R. J.; C. C. Haugen; J. Tao; H. Li (February 2011).
3299:. The eigenenergies in the initial variables have the form:
645:(stiffness) of the bond can be found by Taylor expansion of
6210:
3947:{\displaystyle n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}}
2970:
There also exists the following analytical expression for
341:
of real bonds and the non-zero transition probability for
376:
is larger than the true energy required for dissociation
5850:
Coxon, J. A.; P. G. Hajigeorgiou (2010). "The ground X ÎŁ
5744:"High-resolution photoassociation spectroscopy of the Li
6161:
6159:
6157:
6155:
4438:{\displaystyle D_{e}={\frac {\omega _{e}}{4\chi _{e}}}}
4786:
4750:
4719:
4683:
4656:
4627:
4607:
4587:
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4547:
4518:
4481:
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4392:
4307:
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4240:
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3995:
3968:
3880:
3813:
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3655:
3632:
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3522:
3499:
3472:
3452:
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3239:
2983:
2703:
2649:
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2126:
1964:
1930:
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593:
573:
546:
519:
499:
400:
16:
Model for the potential energy of a diatomic molecule
6203:
6201:
6199:
6197:
5436:
5434:
3871:
is calculated to be zero or negative. Specifically,
587:controls the 'width' of the potential (the smaller
391:The Morse potential energy function is of the form
4801:
4768:
4732:
4698:
4669:
4642:
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1666:
1457:
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1273:
1210:
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1127:
1104:
971:
827:is the force constant at the minimum of the well.
819:
789:
728:
704:
671:
633:
599:
579:
559:
532:
505:
482:
1468:it is convenient to introduce the new variables:
611:of the bond can be calculated by subtracting the
483:{\displaystyle V(r)=D_{e}(1-e^{-a(r-r_{e})})^{2}}
5493:
5491:
5489:
4896:SPECTROSCOPIC CONSTANTS OF DIATOMIC MOLECULES
2565:(which satisfies the normalization condition
290:
8:
5901:studied by Fourier-transform spectroscopy".
5223:
5221:
2202:
2196:
2170:
2151:
383:due to the zero point energy of the lowest (
4844:, KLi, MgH, several electronic states of Li
2215:denoting the largest integer smaller than
297:
283:
29:
18:
6300:
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5111:
4793:
3989:that remains bound. For energies above
1602:
1556:
1333:
1245:on the Morse potential, i.e. solutions
329:. It is a better approximation for the
21:
3466:is the vibrational quantum number and
2974:elements of the coordinate operator:
832:zero of potential energy is arbitrary
7:
4505:{\displaystyle \omega _{e}\chi _{e}}
4291:{\displaystyle \omega _{e}\chi _{e}}
2683:{\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)}
5564:The Journal of Physical Chemistry A
5444:The Journal of Physical Chemistry A
5132:Dahl, J.P.; Springborg, M. (1988).
5122:, World Scientific, 2001, Table 4.1
3864:{\displaystyle E(n_{m}+1)-E(n_{m})}
513:is the distance between the atoms,
333:structure of the molecule than the
5807:a-state and 1 g (33Î 1g ) states".
5120:Supersymmetry in Quantum Mechanics
5118:F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme,
3180:
3145:
3013:
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1402:
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1355:
1253:
540:is the equilibrium bond distance,
14:
6289:Journal of Molecular Spectroscopy
6083:Journal of Molecular Spectroscopy
5956:Journal of Molecular Spectroscopy
5625:Journal of Molecular Spectroscopy
2208:{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
641:from the depth of the well. The
6342:The Journal of Chemical Physics
6246:The Journal of Chemical Physics
5903:The European Physical Journal D
5141:The Journal of Chemical Physics
4802:{\displaystyle E=\hbar \omega }
1226:Vibrational states and energies
153:Smoothed particle hydrodynamics
4211:
4190:
4164:
4144:
3858:
3845:
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3719:
3716:
3704:
3513:, and the Morse constants via
3402:
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3335:
3292:{\displaystyle N=\lambda -1/2}
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666:
660:
607:is, the larger the well). The
471:
465:
446:
426:
410:
404:
1:
6412:Quantum mechanical potentials
319:interatomic interaction model
148:Dissipative particle dynamics
5527:10.1080/00268976.2010.527304
1274:{\displaystyle \Psi _{n}(r)}
982:which is usually written as
6230:10.1016/j.jqsrt.2014.08.028
6188:10.1016/j.jqsrt.2013.07.019
6118:Journal of Chemical Physics
6001:Journal of Chemical Physics
5856:Journal of Chemical Physics
5809:Journal of Chemical Physics
5387:Journal of Chemical Physics
5285:Journal of Chemical Physics
5238:Journal of Chemical Physics
5021:10.1103/PhysRevLett.34.1334
4864:, HF, HCl, HBr, HI, MgD, Be
4769:{\displaystyle E=hc\omega }
4733:{\displaystyle \omega _{e}}
4468:{\displaystyle \omega _{e}}
4254:{\displaystyle \omega _{e}}
3958:This failure is due to the
3594:quantum harmonic oscillator
1232:quantum harmonic oscillator
335:quantum harmonic oscillator
6428:
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5933:10.1140/epjd/e2010-00058-y
5782:10.1103/PhysRevA.87.052505
5721:10.1103/PhysRevA.88.062510
5204:10.1088/0953-4075/38/7/004
4828:Morse/Long-range potential
4825:
4822:Morse/Long-range potential
83:Morse/Long-range potential
6319:10.1016/j.jms.2014.09.005
6103:10.1016/j.jms.2012.12.006
5976:10.1016/j.jms.2010.08.007
5655:10.1016/j.jms.2011.03.030
5360:10.1080/00268970701241656
3619:{\displaystyle h\nu _{0}}
357:Potential energy function
4962:2027/uiug.30112106908442
3486:{\displaystyle \nu _{0}}
313:, named after physicist
5050:10.1103/PhysRev.157.463
4953:10.1103/PhysRev.114.687
4878:Lennard-Jones potential
4234:in which the constants
1681:takes the simple form:
1220:Lennard-Jones potential
1211:{\displaystyle r=r_{e}}
705:{\displaystyle r=r_{e}}
387:= 0) vibrational level.
88:Lennard-Jones potential
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4803:
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4734:
4700:
4671:
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4595:
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4561:is in cm/s (not m/s),
4555:
4535:
4506:
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3437:
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1178:{\displaystyle -D_{e}}
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4038:
4036:{\displaystyle E_{n}}
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4009:{\displaystyle n_{m}}
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3949:
3866:
3802:
3800:{\displaystyle n_{m}}
3772:
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3584:
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1944:{\displaystyle D_{e}}
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1669:
1460:
1303:
1301:{\displaystyle E_{n}}
1276:
1213:
1185:at its minimum, i.e.
1180:
1150:
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820:{\displaystyle k_{e}}
792:
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707:
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636:
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602:
582:
562:
560:{\displaystyle D_{e}}
535:
533:{\displaystyle r_{e}}
508:
485:
364:
23:Computational physics
5184:Journal of Physics B
5059:Int. J. Quantum Chem
4784:
4748:
4717:
4711:dimensional analysis
4681:
4654:
4625:
4605:
4585:
4565:
4545:
4516:
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4305:
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4238:
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4077:
4050:
4043:is no longer valid.
4020:
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1928:
1817:
1688:
1679:Schrödinger equation
1475:
1319:
1310:Schrödinger equation
1285:
1249:
1238:to the Hamiltonian.
1236:factorization method
1189:
1159:
1139:
1119:
989:
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720:
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571:
544:
517:
497:
398:
188:Metropolis algorithm
6354:2015JChPh.142d4305W
6311:2015JMoSp.311...76D
6258:2014JChPh.140f4315M
6222:2015JQSRT.151..133C
6180:2013JQSRT.130..284L
6130:2013JChPh.138i4303K
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5570:(49): 12495–12505.
5519:2011MolPh.109..435L
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4883:Molecular mechanics
3233:which is valid for
2724:
2692:Laguerre polynomial
2670:
2598:
2367:
1955:can be written as:
609:dissociation energy
317:, is a convenient
171:Monte Carlo methods
4819:
4799:
4766:
4730:
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