1618:
1319:
468:
654:
1613:{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}=T_{1}+iT_{2},\quad A_{1}=-2iT_{3},\quad A_{2}=T_{1}-iT_{2}\\&A(\zeta )=A_{0}+\zeta A_{1}+\zeta ^{2}A_{2},\quad B(\zeta )={\frac {1}{2}}{\frac {dA}{d\zeta }}={\frac {1}{2}}A_{1}+\zeta A_{2},\end{aligned}}}
253:
2049:
Biquard, Olivier (1996). "Sur les Ă©quations de Nahm et la structure de
Poisson des algèbres de Lie semi-simples complexes" [Nahm equations and Poisson structure of complex semisimple Lie algebras].
1324:
248:
1790:
907:
483:
220:
1682:
1263:
1138:
831:
1830:
1298:
938:
1207:
777:
1082:
1056:
1850:
1725:
1705:
1175:
1030:
1010:
958:
745:
717:
697:
677:
240:
990:
2107:
473:
together with certain analyticity properties, reality conditions, and boundary conditions. The three equations can be written concisely using the
1866:
2086:
1988:
2028:
463:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dT_{1}}{dz}}&=\\{\frac {dT_{2}}{dz}}&=\\{\frac {dT_{3}}{dz}}&=,\end{aligned}}}
2102:
40:
2112:
2117:
1733:
1212:
the solutions of Nahm equations satisfying the additional conditions above, modulo the simultaneous conjugation of
649:{\displaystyle {\frac {dT_{i}}{dz}}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}T_{j}T_{k}.}
32:
837:
145:
91:
111:
83:
60:
2052:
1629:
107:
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28:
1215:
1090:
785:
1948:
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119:
1998:
103:
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1920:
1861:
474:
1984:
99:
64:
2060:
2037:
2014:
1956:
1912:
1805:
1268:
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1180:
750:
1932:
115:
79:
52:
1061:
1035:
1952:
1908:
1976:
1835:
1710:
1690:
1160:
1015:
995:
943:
730:
702:
682:
662:
225:
56:
963:
2096:
1968:
1924:
1892:
1800:
75:
2072:
17:
1936:
44:
2018:
2003:"A hyper-Kählerian structure on coadjoint orbits of a semisimple complex group"
63:. The Nahm equations are formally analogous to the algebraic equations in the
2041:
68:
2002:
98:). Among their many applications we can mention: Hitchin's construction of
82:. Conceptually, the equations arise in the process of infinite-dimensional
1310:
699:
matrices, one can consider Nahm's equations with values in a Lie algebra
2064:
1960:
1916:
71:, where finite order matrices are replaced by differential operators.
2026:
Kovalev, A. G. (1996). "Nahm's equations and complex adjoint orbits".
1880:
1687:
As an immediate corollary, we obtain that the spectrum of the matrix
102:, where this approach is critical for establishing nonsingularity of
1983:. M. B. Porter Lectures. Princeton, NJ: Princeton University Press.
1623:
then the system of Nahm equations is equivalent to the Lax equation
242:. The Nahm equations are a system of matrix differential equations
222:
be three matrix-valued meromorphic functions of a complex variable
1141:
2089:– a wiki about the Nahm equations and related topics
1881:"All self-dual multimonopoles for arbitrary gauge groups"
1937:"Nahm's equations and the classification of monopoles"
1838:
1808:
1736:
1713:
1693:
1632:
1322:
1271:
1218:
1183:
1163:
1093:
1064:
1038:
1018:
998:
966:
946:
916:
840:
788:
753:
733:
705:
685:
665:
486:
251:
228:
148:
74:
Deep study of the Nahm equations was carried out by
1844:
1824:
1784:
1719:
1699:
1676:
1612:
1292:
1257:
1201:
1169:
1132:
1076:
1050:
1024:
1004:
984:
952:
932:
901:
825:
771:
739:
711:
691:
671:
648:
462:
234:
214:
1737:
1140:form an irreducible representation of the group
1981:The geometry and dynamics of magnetic monopoles
1785:{\displaystyle \det(\lambda I+A(\zeta ,z))=0,}
940:can be continued to a meromorphic function of
8:
1895:(1983). "On the construction of monopoles".
779:, and the following conditions are imposed:
1149:Nahm–Hitchin description of monopoles
2007:Journal of the London Mathematical Society
1727:. Therefore, the characteristic equation
902:{\displaystyle T_{i}(2-z)=T_{i}(z)^{T};\,}
215:{\displaystyle T_{1}(z),T_{2}(z),T_{3}(z)}
123:
1837:
1816:
1807:
1735:
1712:
1692:
1633:
1631:
1597:
1581:
1567:
1544:
1534:
1509:
1499:
1486:
1470:
1440:
1424:
1411:
1397:
1375:
1361:
1345:
1332:
1323:
1321:
1309:The Nahm equations can be written in the
1270:
1249:
1236:
1223:
1217:
1182:
1162:
1124:
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1037:
1017:
997:
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960:in a neighborhood of the closed interval
945:
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256:
252:
250:
227:
197:
175:
153:
147:
95:
1153:There is a natural equivalence between
659:More generally, instead of considering
131:
127:
1941:Communications in Mathematical Physics
1897:Communications in Mathematical Physics
1867:Yang–Mills–Higgs equations
7:
1209:, modulo gauge transformations, and
747:is restricted to the open interval
92:anti-self-dual Yang-Mills equations
1677:{\displaystyle {\frac {dA}{dz}}=.}
25:
1258:{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}
1133:{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}
826:{\displaystyle T_{i}^{*}=-T_{i};}
106:; Donaldson's description of the
1832:is invariant under the flow in
1795:which determines the so-called
1518:
1406:
1370:
86:. They can also be viewed as a
41:ordinary differential equations
2108:Eponymous equations of physics
1770:
1767:
1755:
1740:
1668:
1656:
1528:
1522:
1460:
1454:
1287:
1275:
1196:
1190:
1087:At the poles, the residues of
979:
967:
886:
879:
863:
851:
766:
754:
585:
559:
450:
424:
383:
357:
316:
290:
209:
203:
187:
181:
165:
159:
1:
1032:, and with simple poles at
2134:
51:– an alternative to
1979:; Hitchin, N. J. (1988).
108:moduli space of monopoles
2019:10.1112/jlms/s2-42.2.193
1157:the monopoles of charge
1885:CERN, Preprint TH. 3172
110:; and the existence of
2103:Differential equations
2029:Quart. J. Math. Oxford
1846:
1826:
1825:{\displaystyle TP^{1}}
1786:
1721:
1701:
1678:
1614:
1294:
1293:{\displaystyle O(k,R)}
1259:
1203:
1171:
1134:
1078:
1052:
1026:
1006:
992:, analytic outside of
986:
954:
934:
933:{\displaystyle T_{i}N}
903:
827:
773:
741:
713:
693:
673:
650:
464:
236:
216:
47:in the context of the
2042:10.1093/qmath/47.1.41
1847:
1827:
1787:
1722:
1702:
1679:
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1295:
1260:
1204:
1202:{\displaystyle SU(2)}
1172:
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935:
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828:
774:
772:{\displaystyle (0,2)}
742:
723:Additional conditions
714:
694:
674:
651:
465:
237:
217:
120:semisimple Lie groups
112:hyperkähler structure
88:dimensional reduction
84:hyperkähler reduction
29:differential geometry
2113:Mathematical physics
1999:Kronheimer, Peter B.
1836:
1806:
1734:
1711:
1691:
1630:
1320:
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838:
786:
751:
731:
703:
683:
663:
484:
249:
226:
146:
18:Nahm's equation
1953:1984CMaPh..96..387D
1909:1983CMaPh..89..145H
1707:does not depend on
1077:{\displaystyle z=2}
1051:{\displaystyle z=0}
803:
2118:Integrable systems
2065:10.1007/BF01446293
1961:10.1007/BF01214583
1917:10.1007/BF01211826
1862:Bogomolny equation
1842:
1822:
1782:
1717:
1697:
1674:
1610:
1608:
1305:Lax representation
1290:
1255:
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769:
737:
709:
689:
669:
646:
606:
542:
475:Levi-Civita symbol
460:
458:
232:
212:
104:monopole solutions
1879:Nahm, W. (1981).
1845:{\displaystyle z}
1720:{\displaystyle z}
1700:{\displaystyle A}
1651:
1575:
1562:
1542:
1170:{\displaystyle K}
1025:{\displaystyle 2}
1005:{\displaystyle 0}
953:{\displaystyle z}
740:{\displaystyle z}
712:{\displaystyle g}
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672:{\displaystyle N}
591:
527:
525:
512:
415:
348:
281:
235:{\displaystyle z}
65:ADHM construction
16:(Redirected from
2125:
2076:
2045:
2022:
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1972:
1933:Donaldson, Simon
1928:
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1336:
1326:
1313:as follows. Set
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1205:
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1174:
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985:{\displaystyle }
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957:
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715:
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675:
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655:
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570:
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557:
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501:
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448:
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405:
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301:
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239:
238:
233:
221:
219:
218:
213:
202:
201:
180:
179:
158:
157:
116:coadjoint orbits
59:construction of
39:are a system of
21:
2133:
2132:
2128:
2127:
2126:
2124:
2123:
2122:
2093:
2092:
2087:Islands project
2083:
2048:
2025:
1997:
1991:
1977:Atiyah, Michael
1975:
1931:
1891:
1878:
1875:
1858:
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1833:
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1708:
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1688:
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1606:
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1407:
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1089:
1088:
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1033:
1014:
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993:
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