28:
387:
2994:
1346:
3179:
1872:
3256:
3313:
623:
1557:
1041:
288:
1676:
1140:
3045:
2703:
2615:
2399:
1467:
856:
2842:
1937:
436:
159:
1804:
1765:
1722:
1597:
1630:
231:
2904:
2660:
2572:
2356:
2464:
2276:
2046:
658:
577:
518:
2110:
2083:
1221:
1194:
1167:
1075:
964:
937:
910:
883:
804:
545:
258:
2436:
2326:
2252:
2204:
2171:
2139:
2023:
1974:
1404:
1375:
736:
707:
492:
2866:
2783:
1994:
1487:
764:
678:
460:
278:
204:
183:
113:
93:
3431:
3525:
3446:
3412:
3549:
Bauer, Ulrich; Kerber, Michael; Roll, Fabian; Rolle, Alexander (2023). "A unified view on the functorial nerve theorem and its variations".
2909:
1226:
3099:
3634:
32:
1809:
939:
is an arc covering its lower half, with some overlap at both sides (they must overlap at both sides in order to cover all of
1976:
is a simple combinatorial object. Often, it is much simpler than the underlying topological space (the union of the sets in
3436:
3195:
3509:
3261:
2517:
2494:
739:
52:
382:{\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}
582:
3396:
1494:
1499:
969:
3749:
3551:
3347:(1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung".
2284:
3744:
1635:
1080:
3007:
2665:
2577:
2361:
2177:. For example, if a circle is covered by three open arcs, intersecting in pairs as in Example 2 above, then
3349:
1490:
1421:
809:
2792:
1887:
395:
118:
3458:
1773:
1727:
1684:
1562:
67:. It captures many of the interesting topological properties in an algorithmic or combinatorial way.
2845:
2622:
2439:
2207:
1602:
210:
3716:
3556:
3366:
2329:
2883:
2639:
2551:
2335:
2283:
is a nerve theorem that is functorial in an approriate sense, which is, for example, crucial in
2446:
2258:
2028:
628:
55:
that records the pattern of intersections between the sets in the family. It was introduced by
3739:
3708:
3653:
3625:
3607:
3531:
3521:
3454:
3442:
3408:
2706:
2633:
1768:
550:
3700:
3643:
3597:
3566:
3513:
3400:
3384:
3358:
3344:
3001:
497:
56:
2088:
2061:
1199:
1172:
1145:
1053:
942:
915:
888:
861:
782:
523:
236:
3388:
2877:
2412:
2302:
2228:
2180:
2147:
2115:
1999:
1950:
1380:
1351:
712:
683:
468:
17:
2851:
2768:
2734:
2722:
1979:
1881:
1472:
749:
663:
445:
263:
189:
168:
98:
78:
3648:
3629:
3733:
3720:
3691:
3497:
3370:
3325:
3058:
64:
2476:
27:
3570:
3501:
3473:
3670:
2406:
2296:
1416:
48:
3712:
3657:
3611:
3535:
3602:
1559:, which in the case of a topological space are precisely the intersections
3704:
3689:
Meshulam, Roy (2001-01-01). "The Clique
Complex and Hypergraph Matching".
3404:
2141:
is an abstract 1-simplex, which is similar to a line but not to a sphere.
2112:
that have a non-empty intersection, as in example 1 above. In this case,
2052:
439:
40:
3517:
3362:
2051:
In general, this need not be the case. For example, one can cover any
3561:
2989:{\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}
1341:{\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}
26:
3586:"On the imbedding of systems of compacta in simplicial complexes"
1599:. The collection of all such intersections can be referred to as
3674:
3585:
3439:: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry
3174:{\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}
59:
and now has many variants and generalisations, among them the
1377:
since the common intersection of all three sets is empty; so
1996:). Therefore, a natural question is whether the topology of
2765:
Another nerve theorem relates to the Čech nerve above: if
1867:{\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}
2880:
of intersections of sets in the cover. For each finite
3264:
3198:
3102:
3010:
2912:
2886:
2854:
2795:
2771:
2668:
2642:
2580:
2554:
2449:
2415:
2364:
2338:
2305:
2261:
2231:
2183:
2150:
2118:
2091:
2064:
2031:
2002:
1982:
1953:
1890:
1812:
1776:
1730:
1687:
1638:
1605:
1565:
1502:
1475:
1424:
1383:
1354:
1229:
1202:
1175:
1148:
1083:
1056:
972:
945:
918:
891:
864:
812:
785:
752:
715:
686:
666:
631:
585:
553:
526:
500:
471:
448:
398:
291:
266:
239:
213:
192:
171:
121:
101:
81:
3441:(2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag.
3251:{\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}
2475:
There is a discrete version, which is attributed to
2221:) is a theorem that gives sufficient conditions on
3307:
3250:
3173:
3039:
2988:
2898:
2860:
2836:
2777:
2697:
2654:
2609:
2566:
2458:
2430:
2393:
2350:
2320:
2270:
2246:
2198:
2165:
2133:
2104:
2077:
2040:
2017:
1988:
1968:
1931:
1866:
1798:
1759:
1716:
1670:
1624:
1591:
1551:
1481:
1461:
1398:
1369:
1340:
1215:
1188:
1161:
1134:
1069:
1035:
958:
931:
904:
877:
850:
798:
758:
730:
701:
672:
652:
617:
571:
539:
512:
486:
454:
430:
381:
272:
252:
225:
198:
177:
153:
107:
87:
3308:{\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}
371:
309:
2206:is a 2-simplex (without its interior) and it is
2401:is either empty or contractible; equivalently:
618:{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }
392:In Alexandrov's original definition, the sets
8:
2785:is compact and all intersections of sets in
1552:{\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}
1456:
1431:
1335:
1332:
1320:
1314:
1302:
1296:
1284:
1278:
1272:
1266:
1260:
1254:
1248:
1245:
1129:
1090:
1036:{\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}
1030:
1027:
1015:
1009:
1003:
997:
991:
988:
845:
819:
185:is a set of finite subsets of the index set
63:of a cover, which in turn is generalised by
2789:are contractible or empty, then the space
2299:says that, if any intersection of sets in
3647:
3601:
3560:
3278:
3267:
3266:
3263:
3212:
3201:
3200:
3197:
3156:
3145:
3144:
3116:
3105:
3104:
3101:
3031:
3015:
3009:
2974:
2958:
2945:
2934:
2933:
2917:
2911:
2885:
2853:
2829:
2811:
2796:
2794:
2770:
2689:
2673:
2667:
2641:
2601:
2585:
2579:
2553:
2448:
2414:
2385:
2369:
2363:
2337:
2304:
2260:
2254:reflects, in some sense, the topology of
2230:
2182:
2149:
2117:
2096:
2090:
2069:
2063:
2030:
2001:
1981:
1952:
1924:
1906:
1891:
1889:
1855:
1842:
1826:
1811:
1790:
1775:
1748:
1735:
1729:
1708:
1692:
1686:
1671:{\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}
1659:
1646:
1637:
1613:
1604:
1583:
1570:
1564:
1543:
1533:
1523:
1507:
1501:
1474:
1438:
1423:
1382:
1353:
1228:
1207:
1201:
1180:
1174:
1153:
1147:
1123:
1110:
1097:
1082:
1061:
1055:
971:
950:
944:
923:
917:
896:
890:
869:
863:
839:
826:
811:
790:
784:
751:
714:
685:
665:
630:
603:
590:
584:
552:
531:
525:
499:
470:
447:
416:
406:
397:
370:
369:
364:
346:
330:
308:
307:
290:
265:
244:
238:
212:
191:
170:
139:
129:
120:
100:
80:
1880:By taking connected components we get a
547:is non-empty), pairs (pairs of elements
3336:
1135:{\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}
355:
3040:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
2698:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
2617:is either empty or contractible, then
2610:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
2394:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
1884:, which we can realise topologically:
1196:, with some overlap with the adjacent
2876:The following nerve theorem uses the
885:is an arc covering the upper half of
7:
3630:"Nerves, fibers and homotopy groups"
3426:
3424:
1874:, n-fold fibre product. This is the
1462:{\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}
612:
233:such that the intersection of the
25:
3393:Foundations of Algebraic Topology
2632:A stronger theorem was proved by
2025:is equivalent to the topology of
1489:, or more generally a cover in a
1043:, which is an abstract 1-simplex.
851:{\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}
742:. Hence N(C) is often called the
494:may contain singletons (elements
207:. It contains all finite subsets
2837:{\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}
1932:{\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}
1681:By considering the natural maps
1632:and the triple intersections as
1169:is an arc covering one third of
431:{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
154:{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
3635:Journal of Combinatorial Theory
2332:(equivalently: for each finite
1799:{\displaystyle S(C)_{\bullet }}
1760:{\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}
1717:{\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}
1592:{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}
1493:, we can consider the pairwise
35:containing 3 sets in the plane.
3296:
3290:
3272:
3239:
3236:
3230:
3224:
3206:
3168:
3162:
3150:
3137:
3134:
3128:
3122:
3110:
3089:) is "homology-equivalent" to
2980:
2951:
2939:
2830:
2826:
2823:
2817:
2804:
2797:
2425:
2419:
2315:
2309:
2241:
2235:
2193:
2187:
2160:
2154:
2128:
2122:
2012:
2006:
1963:
1957:
1925:
1921:
1918:
1912:
1899:
1892:
1823:
1816:
1787:
1780:
1741:
1701:
1393:
1387:
1364:
1358:
1348:. Note that {1,2,3} is not in
1239:
1233:
982:
976:
725:
719:
696:
690:
647:
641:
481:
475:
413:
399:
301:
295:
136:
122:
1:
3649:10.1016/S0097-3165(03)00015-3
3437:Using the Borsuk-Ulam Theorem
2495:abstract simplicial complexes
2470:
2290:
2173:does reflect the topology of
1625:{\displaystyle C\times _{X}C}
31:Constructing the nerve of an
3571:10.1016/j.exmath.2023.04.005
3510:Lecture Notes in Mathematics
3453:Written in cooperation with
2497:, and denote their union by
226:{\displaystyle J\subseteq I}
2527:, and denote the nerve of {
2295:The basic nerve theorem of
2058:with two contractible sets
740:abstract simplicial complex
625:), triplets, and so on. If
3766:
3397:Princeton University Press
2899:{\displaystyle J\subset I}
2749:-connected if-and-only-if
2655:{\displaystyle J\subset I}
2567:{\displaystyle J\subset I}
2351:{\displaystyle J\subset I}
442:of some topological space
3552:Expositiones Mathematicae
2872:Homological nerve theorem
2459:{\displaystyle \bigcup C}
2285:topological data analysis
2271:{\displaystyle \bigcup C}
2041:{\displaystyle \bigcup C}
653:{\displaystyle J\in N(C)}
18:Nerve of an open covering
3093:in the following sense:
2636:. if, for each nonempty
2281:functorial nerve theorem
2210:to the original circle.
1406:is an unfilled triangle.
572:{\displaystyle i,j\in I}
260:whose subindices are in
95:be a set of indices and
3603:10.4064/fm-35-1-217-234
3590:Fundamenta Mathematicae
2144:However, in some cases
1469:of a topological space
3584:Borsuk, Karol (1948).
3309:
3252:
3175:
3041:
2990:
2900:
2862:
2838:
2779:
2699:
2656:
2611:
2568:
2548:If, for each nonempty
2471:Borsuk's nerve theorem
2460:
2432:
2395:
2352:
2322:
2272:
2248:
2200:
2167:
2135:
2106:
2079:
2042:
2019:
1990:
1970:
1933:
1868:
1800:
1761:
1718:
1672:
1626:
1593:
1553:
1483:
1463:
1400:
1371:
1342:
1217:
1190:
1163:
1136:
1071:
1037:
960:
933:
906:
879:
852:
800:
760:
732:
703:
674:
654:
619:
573:
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