28:
387:
2994:
1346:
3179:
1872:
3256:
3313:
623:
1557:
1041:
288:
1676:
1140:
3045:
2703:
2615:
2399:
1467:
856:
2842:
1937:
436:
159:
1804:
1765:
1722:
1597:
1630:
231:
2904:
2660:
2572:
2356:
2464:
2276:
2046:
658:
577:
518:
2110:
2083:
1221:
1194:
1167:
1075:
964:
937:
910:
883:
804:
545:
258:
2436:
2326:
2252:
2204:
2171:
2139:
2023:
1974:
1404:
1375:
736:
707:
492:
2866:
2783:
1994:
1487:
764:
678:
460:
278:
204:
183:
113:
93:
3431:
3525:
3446:
3412:
3549:
Bauer, Ulrich; Kerber, Michael; Roll, Fabian; Rolle, Alexander (2023). "A unified view on the functorial nerve theorem and its variations".
2909:
1226:
3099:
3634:
32:
1809:
939:
is an arc covering its lower half, with some overlap at both sides (they must overlap at both sides in order to cover all of
1976:
is a simple combinatorial object. Often, it is much simpler than the underlying topological space (the union of the sets in
3436:
3195:
3509:
3261:
2517:
2494:
739:
52:
382:{\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}
582:
3396:
1494:
1499:
969:
3749:
3551:
3347:(1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung".
2284:
3744:
1635:
1080:
3007:
2665:
2577:
2361:
2177:. For example, if a circle is covered by three open arcs, intersecting in pairs as in Example 2 above, then
3349:
1490:
1421:
809:
2792:
1887:
395:
118:
3458:
1773:
1727:
1684:
1562:
67:. It captures many of the interesting topological properties in an algorithmic or combinatorial way.
2845:
2622:
2439:
2207:
1602:
210:
3716:
3556:
3366:
2329:
2883:
2639:
2551:
2335:
2283:
is a nerve theorem that is functorial in an approriate sense, which is, for example, crucial in
2446:
2258:
2028:
628:
55:
that records the pattern of intersections between the sets in the family. It was introduced by
3739:
3708:
3653:
3625:
3607:
3531:
3521:
3454:
3442:
3408:
2706:
2633:
1768:
550:
3700:
3643:
3597:
3566:
3513:
3400:
3384:
3358:
3344:
3001:
497:
56:
2088:
2061:
1199:
1172:
1145:
1053:
942:
915:
888:
861:
782:
523:
236:
3388:
2877:
2412:
2302:
2228:
2180:
2147:
2115:
1999:
1950:
1380:
1351:
712:
683:
468:
2851:
2768:
2734:
2722:
1979:
1881:
1472:
749:
663:
445:
263:
189:
168:
98:
78:
3648:
3629:
3733:
3720:
3691:
3497:
3370:
3325:
3058:
64:
2476:
27:
3570:
3501:
3473:
3670:
2406:
2296:
1416:
48:
3712:
3657:
3611:
3535:
17:
3602:
1559:, which in the case of a topological space are precisely the intersections
3704:
3689:
Meshulam, Roy (2001-01-01). "The Clique
Complex and Hypergraph Matching".
3404:
2141:
is an abstract 1-simplex, which is similar to a line but not to a sphere.
2112:
that have a non-empty intersection, as in example 1 above. In this case,
2052:
439:
40:
3517:
3362:
2051:
In general, this need not be the case. For example, one can cover any
3561:
2989:{\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}
1341:{\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}
26:
3586:"On the imbedding of systems of compacta in simplicial complexes"
1599:. The collection of all such intersections can be referred to as
3674:
3585:
3439:: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry
3174:{\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}
59:
and now has many variants and generalisations, among them the
1377:
since the common intersection of all three sets is empty; so
1996:). Therefore, a natural question is whether the topology of
2765:
Another nerve theorem relates to the Čech nerve above: if
1867:{\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}
2880:
of intersections of sets in the cover. For each finite
3264:
3198:
3102:
3010:
2912:
2886:
2854:
2795:
2771:
2668:
2642:
2580:
2554:
2449:
2415:
2364:
2338:
2305:
2261:
2231:
2183:
2150:
2118:
2091:
2064:
2031:
2002:
1982:
1953:
1890:
1812:
1776:
1730:
1687:
1638:
1605:
1565:
1502:
1475:
1424:
1383:
1354:
1229:
1202:
1175:
1148:
1083:
1056:
972:
945:
918:
891:
864:
812:
785:
752:
715:
686:
666:
631:
585:
553:
526:
500:
471:
448:
398:
291:
266:
239:
213:
192:
171:
121:
101:
81:
3441:(2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag.
3251:{\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}
2475:
There is a discrete version, which is attributed to
2221:) is a theorem that gives sufficient conditions on
3307:
3250:
3173:
3039:
2988:
2898:
2860:
2836:
2777:
2697:
2654:
2609:
2566:
2458:
2430:
2393:
2350:
2320:
2270:
2246:
2198:
2165:
2133:
2104:
2077:
2040:
2017:
1988:
1968:
1931:
1866:
1798:
1759:
1716:
1670:
1624:
1591:
1551:
1481:
1461:
1398:
1369:
1340:
1215:
1188:
1161:
1134:
1069:
1035:
958:
931:
904:
877:
850:
798:
758:
730:
701:
672:
652:
617:
571:
539:
512:
486:
454:
430:
381:
272:
252:
225:
198:
177:
153:
107:
87:
3308:{\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}
371:
309:
2206:is a 2-simplex (without its interior) and it is
2401:is either empty or contractible; equivalently:
618:{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }
392:In Alexandrov's original definition, the sets
8:
2785:is compact and all intersections of sets in
1552:{\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}
1456:
1431:
1335:
1332:
1320:
1314:
1302:
1296:
1284:
1278:
1272:
1266:
1260:
1254:
1248:
1245:
1129:
1090:
1036:{\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}
1030:
1027:
1015:
1009:
1003:
997:
991:
988:
845:
819:
185:is a set of finite subsets of the index set
63:of a cover, which in turn is generalised by
2789:are contractible or empty, then the space
2299:says that, if any intersection of sets in
3647:
3601:
3560:
3278:
3267:
3266:
3263:
3212:
3201:
3200:
3197:
3156:
3145:
3144:
3116:
3105:
3104:
3101:
3031:
3015:
3009:
2974:
2958:
2945:
2934:
2933:
2917:
2911:
2885:
2853:
2829:
2811:
2796:
2794:
2770:
2689:
2673:
2667:
2641:
2601:
2585:
2579:
2553:
2448:
2414:
2385:
2369:
2363:
2337:
2304:
2260:
2254:reflects, in some sense, the topology of
2230:
2182:
2149:
2117:
2096:
2090:
2069:
2063:
2030:
2001:
1981:
1952:
1924:
1906:
1891:
1889:
1855:
1842:
1826:
1811:
1790:
1775:
1748:
1735:
1729:
1708:
1692:
1686:
1671:{\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}
1659:
1646:
1637:
1613:
1604:
1583:
1570:
1564:
1543:
1533:
1523:
1507:
1501:
1474:
1438:
1423:
1382:
1353:
1228:
1207:
1201:
1180:
1174:
1153:
1147:
1123:
1110:
1097:
1082:
1061:
1055:
971:
950:
944:
923:
917:
896:
890:
869:
863:
839:
826:
811:
790:
784:
751:
714:
685:
665:
630:
603:
590:
584:
552:
531:
525:
499:
470:
447:
416:
406:
397:
370:
369:
364:
346:
330:
308:
307:
290:
265:
244:
238:
212:
191:
170:
139:
129:
120:
100:
80:
1880:By taking connected components we get a
547:is non-empty), pairs (pairs of elements
3336:
1135:{\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}
355:
3040:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
2698:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
2617:is either empty or contractible, then
2610:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
2394:{\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}
1884:, which we can realise topologically:
1196:, with some overlap with the adjacent
2876:The following nerve theorem uses the
885:is an arc covering the upper half of
7:
3630:"Nerves, fibers and homotopy groups"
3426:
3424:
1874:, n-fold fibre product. This is the
1462:{\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}
612:
233:such that the intersection of the
25:
3393:Foundations of Algebraic Topology
2632:A stronger theorem was proved by
2025:is equivalent to the topology of
1489:, or more generally a cover in a
1043:, which is an abstract 1-simplex.
851:{\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}
742:. Hence N(C) is often called the
494:may contain singletons (elements
207:. It contains all finite subsets
2837:{\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}
1932:{\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}
1681:By considering the natural maps
1632:and the triple intersections as
1169:is an arc covering one third of
431:{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
154:{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
3635:Journal of Combinatorial Theory
2332:(equivalently: for each finite
1799:{\displaystyle S(C)_{\bullet }}
1760:{\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}
1717:{\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}
1592:{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}
1493:, we can consider the pairwise
35:containing 3 sets in the plane.
3296:
3290:
3272:
3239:
3236:
3230:
3224:
3206:
3168:
3162:
3150:
3137:
3134:
3128:
3122:
3110:
3089:) is "homology-equivalent" to
2980:
2951:
2939:
2830:
2826:
2823:
2817:
2804:
2797:
2425:
2419:
2315:
2309:
2241:
2235:
2193:
2187:
2160:
2154:
2128:
2122:
2012:
2006:
1963:
1957:
1925:
1921:
1918:
1912:
1899:
1892:
1823:
1816:
1787:
1780:
1741:
1701:
1393:
1387:
1364:
1358:
1348:. Note that {1,2,3} is not in
1239:
1233:
982:
976:
725:
719:
696:
690:
647:
641:
481:
475:
413:
399:
301:
295:
136:
122:
1:
3649:10.1016/S0097-3165(03)00015-3
3437:Using the Borsuk-Ulam Theorem
2495:abstract simplicial complexes
2470:
2290:
2173:does reflect the topology of
1625:{\displaystyle C\times _{X}C}
31:Constructing the nerve of an
3571:10.1016/j.exmath.2023.04.005
3510:Lecture Notes in Mathematics
3453:Written in cooperation with
2497:, and denote their union by
226:{\displaystyle J\subseteq I}
2527:, and denote the nerve of {
2295:The basic nerve theorem of
2058:with two contractible sets
740:abstract simplicial complex
625:), triplets, and so on. If
3766:
3397:Princeton University Press
2899:{\displaystyle J\subset I}
2749:-connected if-and-only-if
2655:{\displaystyle J\subset I}
2567:{\displaystyle J\subset I}
2351:{\displaystyle J\subset I}
442:of some topological space
3552:Expositiones Mathematicae
2872:Homological nerve theorem
2459:{\displaystyle \bigcup C}
2285:topological data analysis
2271:{\displaystyle \bigcup C}
2041:{\displaystyle \bigcup C}
653:{\displaystyle J\in N(C)}
3093:in the following sense:
2636:. if, for each nonempty
2281:functorial nerve theorem
2210:to the original circle.
1406:is an unfilled triangle.
572:{\displaystyle i,j\in I}
260:whose subindices are in
95:be a set of indices and
3603:10.4064/fm-35-1-217-234
3590:Fundamenta Mathematicae
2144:However, in some cases
1469:of a topological space
3584:Borsuk, Karol (1948).
3309:
3252:
3175:
3041:
2990:
2900:
2862:
2838:
2779:
2699:
2656:
2611:
2568:
2548:If, for each nonempty
2471:Borsuk's nerve theorem
2460:
2432:
2395:
2352:
2322:
2272:
2248:
2200:
2167:
2135:
2106:
2079:
2042:
2019:
1990:
1970:
1933:
1868:
1800:
1761:
1718:
1672:
1626:
1593:
1553:
1483:
1463:
1400:
1371:
1342:
1217:
1190:
1163:
1136:
1071:
1037:
960:
933:
906:
879:
852:
800:
760:
732:
703:
674:
654:
619:
573:
541:
514:
513:{\displaystyle i\in I}
488:
456:
432:
383:
274:
254:
227:
200:
179:
155:
109:
89:
36:
3705:10.1007/s004930170006
3405:10.1515/9781400877492
3350:Mathematische Annalen
3310:
3253:
3176:
3042:
2991:
2901:
2863:
2839:
2780:
2729:is isomorphic to the
2700:
2657:
2612:
2569:
2518:geometric realization
2461:
2433:
2396:
2353:
2323:
2291:Leray's nerve theorem
2273:
2249:
2201:
2168:
2136:
2107:
2105:{\displaystyle U_{2}}
2080:
2078:{\displaystyle U_{1}}
2043:
2020:
1991:
1971:
1934:
1869:
1801:
1767:, we can construct a
1762:
1719:
1673:
1627:
1594:
1554:
1484:
1464:
1401:
1372:
1343:
1218:
1216:{\displaystyle U_{i}}
1191:
1189:{\displaystyle S^{1}}
1164:
1162:{\displaystyle U_{i}}
1137:
1072:
1070:{\displaystyle S^{1}}
1038:
961:
959:{\displaystyle S^{1}}
934:
932:{\displaystyle U_{2}}
907:
905:{\displaystyle S^{1}}
880:
878:{\displaystyle U_{1}}
853:
801:
799:{\displaystyle S^{1}}
761:
733:
704:
675:
660:, then any subset of
655:
620:
574:
542:
540:{\displaystyle U_{i}}
515:
489:
457:
433:
384:
275:
255:
253:{\displaystyle U_{i}}
228:
201:
180:
156:
110:
90:
30:
3474:"Čech nerve in nLab"
3262:
3196:
3100:
3008:
2910:
2884:
2852:
2793:
2769:
2666:
2662:, the intersection
2640:
2578:
2552:
2447:
2431:{\displaystyle N(C)}
2413:
2362:
2336:
2321:{\displaystyle N(C)}
2303:
2259:
2247:{\displaystyle N(C)}
2229:
2199:{\displaystyle N(C)}
2181:
2166:{\displaystyle N(C)}
2148:
2134:{\displaystyle N(C)}
2116:
2089:
2062:
2029:
2018:{\displaystyle N(C)}
2000:
1980:
1969:{\displaystyle N(C)}
1951:
1888:
1810:
1774:
1728:
1685:
1636:
1603:
1563:
1500:
1473:
1422:
1399:{\displaystyle N(C)}
1381:
1370:{\displaystyle N(C)}
1352:
1227:
1200:
1173:
1146:
1081:
1054:
970:
943:
916:
889:
862:
810:
783:
750:
731:{\displaystyle N(C)}
713:
702:{\displaystyle N(C)}
684:
664:
629:
583:
551:
524:
498:
487:{\displaystyle N(C)}
469:
446:
396:
289:
264:
237:
211:
190:
169:
119:
115:be a family of sets
99:
79:
3345:Aleksandroff, P. S.
2846:homotopy-equivalent
2707:(k-|J|+1)-connected
2705:is either empty or
2623:homotopy-equivalent
2574:, the intersection
2440:homotopy-equivalent
2208:homotopy-equivalent
3518:10.1007/bfb0080957
3363:10.1007/BF01451612
3305:
3248:
3171:
3037:
3026:
2986:
2969:
2896:
2858:
2834:
2775:
2761:Čech nerve theorem
2695:
2684:
2652:
2607:
2596:
2564:
2456:
2428:
2391:
2380:
2348:
2318:
2268:
2244:
2225:guaranteeing that
2196:
2163:
2131:
2102:
2075:
2038:
2015:
1986:
1966:
1947:The nerve complex
1929:
1864:
1796:
1757:
1714:
1668:
1622:
1589:
1549:
1479:
1459:
1396:
1367:
1338:
1213:
1186:
1159:
1132:
1067:
1033:
956:
929:
902:
875:
848:
796:
756:
728:
699:
670:
650:
615:
569:
537:
510:
484:
452:
428:
379:
341:
270:
250:
223:
196:
175:
151:
105:
85:
37:
3527:978-3-540-04619-6
3512:. Vol. 100.
3459:Günter M. Ziegler
3448:978-3-540-00362-5
3414:978-1-4008-7749-2
3385:Eilenberg, Samuel
3275:
3209:
3153:
3113:
3011:
2954:
2942:
2861:{\displaystyle X}
2778:{\displaystyle X}
2741:. In particular,
2709:, then for every
2669:
2581:
2365:
1989:{\displaystyle C}
1769:simplicial object
1482:{\displaystyle X}
759:{\displaystyle C}
673:{\displaystyle J}
455:{\displaystyle X}
367:
326:
273:{\displaystyle J}
199:{\displaystyle I}
178:{\displaystyle C}
108:{\displaystyle C}
88:{\displaystyle I}
16:(Redirected from
3757:
3750:Families of sets
3725:
3724:
3686:
3680:
3668:
3662:
3661:
3651:
3622:
3616:
3615:
3605:
3581:
3575:
3574:
3564:
3546:
3540:
3539:
3494:
3488:
3487:
3485:
3484:
3470:
3464:
3462:
3428:
3419:
3418:
3389:Steenrod, Norman
3381:
3375:
3374:
3341:
3314:
3312:
3311:
3306:
3289:
3288:
3277:
3276:
3268:
3257:
3255:
3254:
3249:
3223:
3222:
3211:
3210:
3202:
3180:
3178:
3177:
3172:
3161:
3160:
3155:
3154:
3146:
3121:
3120:
3115:
3114:
3106:
3046:
3044:
3043:
3038:
3036:
3035:
3025:
3002:reduced homology
2995:
2993:
2992:
2987:
2979:
2978:
2968:
2950:
2949:
2944:
2943:
2935:
2928:
2927:
2905:
2903:
2902:
2897:
2867:
2865:
2864:
2859:
2843:
2841:
2840:
2835:
2833:
2816:
2815:
2800:
2784:
2782:
2781:
2776:
2704:
2702:
2701:
2696:
2694:
2693:
2683:
2661:
2659:
2658:
2653:
2616:
2614:
2613:
2608:
2606:
2605:
2595:
2573:
2571:
2570:
2565:
2465:
2463:
2462:
2457:
2437:
2435:
2434:
2429:
2400:
2398:
2397:
2392:
2390:
2389:
2379:
2357:
2355:
2354:
2349:
2327:
2325:
2324:
2319:
2277:
2275:
2274:
2269:
2253:
2251:
2250:
2245:
2205:
2203:
2202:
2197:
2172:
2170:
2169:
2164:
2140:
2138:
2137:
2132:
2111:
2109:
2108:
2103:
2101:
2100:
2084:
2082:
2081:
2076:
2074:
2073:
2047:
2045:
2044:
2039:
2024:
2022:
2021:
2016:
1995:
1993:
1992:
1987:
1975:
1973:
1972:
1967:
1938:
1936:
1935:
1930:
1928:
1911:
1910:
1895:
1873:
1871:
1870:
1865:
1860:
1859:
1847:
1846:
1831:
1830:
1805:
1803:
1802:
1797:
1795:
1794:
1766:
1764:
1763:
1758:
1756:
1755:
1740:
1739:
1723:
1721:
1720:
1715:
1713:
1712:
1700:
1699:
1677:
1675:
1674:
1669:
1664:
1663:
1651:
1650:
1631:
1629:
1628:
1623:
1618:
1617:
1598:
1596:
1595:
1590:
1588:
1587:
1575:
1574:
1558:
1556:
1555:
1550:
1548:
1547:
1538:
1537:
1528:
1527:
1515:
1514:
1488:
1486:
1485:
1480:
1468:
1466:
1465:
1460:
1443:
1442:
1405:
1403:
1402:
1397:
1376:
1374:
1373:
1368:
1347:
1345:
1344:
1339:
1222:
1220:
1219:
1214:
1212:
1211:
1195:
1193:
1192:
1187:
1185:
1184:
1168:
1166:
1165:
1160:
1158:
1157:
1141:
1139:
1138:
1133:
1128:
1127:
1115:
1114:
1102:
1101:
1076:
1074:
1073:
1068:
1066:
1065:
1042:
1040:
1039:
1034:
965:
963:
962:
957:
955:
954:
938:
936:
935:
930:
928:
927:
911:
909:
908:
903:
901:
900:
884:
882:
881:
876:
874:
873:
857:
855:
854:
849:
844:
843:
831:
830:
805:
803:
802:
797:
795:
794:
765:
763:
762:
757:
737:
735:
734:
729:
708:
706:
705:
700:
679:
677:
676:
671:
659:
657:
656:
651:
624:
622:
621:
616:
608:
607:
595:
594:
578:
576:
575:
570:
546:
544:
543:
538:
536:
535:
519:
517:
516:
511:
493:
491:
490:
485:
461:
459:
458:
453:
437:
435:
434:
429:
427:
426:
411:
410:
388:
386:
385:
380:
375:
374:
368:
366: finite set
365:
351:
350:
340:
313:
312:
279:
277:
276:
271:
259:
257:
256:
251:
249:
248:
232:
230:
229:
224:
205:
203:
202:
197:
184:
182:
181:
176:
160:
158:
157:
152:
150:
149:
134:
133:
114:
112:
111:
106:
94:
92:
91:
86:
71:Basic definition
57:Pavel Alexandrov
53:abstract complex
21:
3765:
3764:
3760:
3759:
3758:
3756:
3755:
3754:
3745:Simplicial sets
3730:
3729:
3728:
3688:
3687:
3683:
3669:
3665:
3626:Björner, Anders
3624:
3623:
3619:
3583:
3582:
3578:
3548:
3547:
3543:
3528:
3496:
3495:
3491:
3482:
3480:
3472:
3471:
3467:
3449:
3430:
3429:
3422:
3415:
3383:
3382:
3378:
3343:
3342:
3338:
3334:
3322:
3265:
3260:
3259:
3199:
3194:
3193:
3143:
3103:
3098:
3097:
3069:-skeleton of N(
3055:
3027:
3006:
3005:
2970:
2932:
2913:
2908:
2907:
2882:
2881:
2878:homology groups
2874:
2850:
2849:
2807:
2791:
2790:
2767:
2766:
2763:
2685:
2664:
2663:
2638:
2637:
2597:
2576:
2575:
2550:
2549:
2539:
2532:
2525:
2513:
2506:
2491:
2487:
2473:
2445:
2444:
2411:
2410:
2407:good open cover
2381:
2360:
2359:
2334:
2333:
2301:
2300:
2293:
2257:
2256:
2227:
2226:
2179:
2178:
2146:
2145:
2114:
2113:
2092:
2087:
2086:
2065:
2060:
2059:
2027:
2026:
1998:
1997:
1978:
1977:
1949:
1948:
1945:
1902:
1886:
1885:
1851:
1838:
1822:
1808:
1807:
1786:
1772:
1771:
1744:
1731:
1726:
1725:
1704:
1688:
1683:
1682:
1655:
1642:
1634:
1633:
1609:
1601:
1600:
1579:
1566:
1561:
1560:
1539:
1529:
1519:
1503:
1498:
1497:
1471:
1470:
1434:
1420:
1419:
1413:
1379:
1378:
1350:
1349:
1225:
1224:
1203:
1198:
1197:
1176:
1171:
1170:
1149:
1144:
1143:
1119:
1106:
1093:
1079:
1078:
1057:
1052:
1051:
968:
967:
946:
941:
940:
919:
914:
913:
892:
887:
886:
865:
860:
859:
835:
822:
808:
807:
786:
781:
780:
772:
748:
747:
711:
710:
682:
681:
662:
661:
627:
626:
599:
586:
581:
580:
549:
548:
527:
522:
521:
496:
495:
467:
466:
444:
443:
412:
402:
394:
393:
342:
287:
286:
262:
261:
240:
235:
234:
209:
208:
188:
187:
167:
166:
135:
125:
117:
116:
97:
96:
77:
76:
73:
33:open good cover
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3763:
3761:
3753:
3752:
3747:
3742:
3732:
3731:
3727:
3726:
3681:
3663:
3628:(2003-04-01).
3617:
3596:(1): 217–234.
3576:
3541:
3526:
3506:Etale Homotopy
3498:Artin, Michael
3489:
3465:
3455:Anders Björner
3447:
3432:Matoušek, Jiří
3420:
3413:
3391:(1952-12-31).
3376:
3335:
3333:
3330:
3329:
3328:
3321:
3318:
3317:
3316:
3304:
3301:
3298:
3295:
3292:
3287:
3284:
3281:
3274:
3271:
3247:
3244:
3241:
3238:
3235:
3232:
3229:
3226:
3221:
3218:
3215:
3208:
3205:
3190:
3170:
3167:
3164:
3159:
3152:
3149:
3142:
3139:
3136:
3133:
3130:
3127:
3124:
3119:
3112:
3109:
3073:) and for all
3053:
3034:
3030:
3024:
3021:
3018:
3014:
2985:
2982:
2977:
2973:
2967:
2964:
2961:
2957:
2953:
2948:
2941:
2938:
2931:
2926:
2923:
2920:
2916:
2895:
2892:
2889:
2873:
2870:
2857:
2832:
2828:
2825:
2822:
2819:
2814:
2810:
2806:
2803:
2799:
2774:
2762:
2759:
2735:homotopy group
2723:homotopy group
2692:
2688:
2682:
2679:
2676:
2672:
2651:
2648:
2645:
2634:Anders Bjorner
2604:
2600:
2594:
2591:
2588:
2584:
2563:
2560:
2557:
2537:
2530:
2523:
2511:
2504:
2489:
2485:
2472:
2469:
2455:
2452:
2427:
2424:
2421:
2418:
2388:
2384:
2378:
2375:
2372:
2368:
2347:
2344:
2341:
2317:
2314:
2311:
2308:
2292:
2289:
2267:
2264:
2243:
2240:
2237:
2234:
2195:
2192:
2189:
2186:
2162:
2159:
2156:
2153:
2130:
2127:
2124:
2121:
2099:
2095:
2072:
2068:
2037:
2034:
2014:
2011:
2008:
2005:
1985:
1965:
1962:
1959:
1956:
1944:
1943:Nerve theorems
1941:
1927:
1923:
1920:
1917:
1914:
1909:
1905:
1901:
1898:
1894:
1882:simplicial set
1863:
1858:
1854:
1850:
1845:
1841:
1837:
1834:
1829:
1825:
1821:
1818:
1815:
1793:
1789:
1785:
1782:
1779:
1754:
1751:
1747:
1743:
1738:
1734:
1711:
1707:
1703:
1698:
1695:
1691:
1667:
1662:
1658:
1654:
1649:
1645:
1641:
1621:
1616:
1612:
1608:
1586:
1582:
1578:
1573:
1569:
1546:
1542:
1536:
1532:
1526:
1522:
1518:
1513:
1510:
1506:
1495:fibre products
1478:
1458:
1455:
1452:
1449:
1446:
1441:
1437:
1433:
1430:
1427:
1412:
1411:The Čech nerve
1409:
1408:
1407:
1395:
1392:
1389:
1386:
1366:
1363:
1360:
1357:
1337:
1334:
1331:
1328:
1325:
1322:
1319:
1316:
1313:
1310:
1307:
1304:
1301:
1298:
1295:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1250:
1247:
1244:
1241:
1238:
1235:
1232:
1210:
1206:
1183:
1179:
1156:
1152:
1131:
1126:
1122:
1118:
1113:
1109:
1105:
1100:
1096:
1092:
1089:
1086:
1064:
1060:
1050:be the circle
1044:
1032:
1029:
1026:
1023:
1020:
1017:
1014:
1011:
1008:
1005:
1002:
999:
996:
993:
990:
987:
984:
981:
978:
975:
953:
949:
926:
922:
899:
895:
872:
868:
847:
842:
838:
834:
829:
825:
821:
818:
815:
793:
789:
779:be the circle
771:
768:
755:
727:
724:
721:
718:
698:
695:
692:
689:
669:
649:
646:
643:
640:
637:
634:
614:
611:
606:
602:
598:
593:
589:
568:
565:
562:
559:
556:
534:
530:
509:
506:
503:
483:
480:
477:
474:
451:
425:
422:
419:
415:
409:
405:
401:
390:
389:
378:
373:
363:
360:
357:
354:
349:
345:
339:
336:
333:
329:
325:
322:
319:
316:
311:
306:
303:
300:
297:
294:
269:
247:
243:
222:
219:
216:
195:
174:
148:
145:
142:
138:
132:
128:
124:
104:
84:
72:
69:
65:hypercoverings
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3762:
3751:
3748:
3746:
3743:
3741:
3738:
3737:
3735:
3722:
3718:
3714:
3710:
3706:
3702:
3698:
3694:
3693:
3692:Combinatorica
3685:
3682:
3679:
3677:
3672:
3671:Nerve theorem
3667:
3664:
3659:
3655:
3650:
3645:
3641:
3637:
3636:
3631:
3627:
3621:
3618:
3613:
3609:
3604:
3599:
3595:
3591:
3587:
3580:
3577:
3572:
3568:
3563:
3558:
3554:
3553:
3545:
3542:
3537:
3533:
3529:
3523:
3519:
3515:
3511:
3507:
3503:
3499:
3493:
3490:
3479:
3475:
3469:
3466:
3463:, Section 4.3
3461:
3460:
3456:
3450:
3444:
3440:
3438:
3433:
3427:
3425:
3421:
3416:
3410:
3406:
3402:
3398:
3395:. Princeton:
3394:
3390:
3386:
3380:
3377:
3372:
3368:
3364:
3360:
3356:
3352:
3351:
3346:
3340:
3337:
3331:
3327:
3326:Hypercovering
3324:
3323:
3319:
3302:
3299:
3293:
3285:
3282:
3279:
3269:
3245:
3242:
3233:
3227:
3219:
3216:
3213:
3203:
3191:
3188:
3184:
3165:
3157:
3147:
3140:
3131:
3125:
3117:
3107:
3096:
3095:
3094:
3092:
3088:
3084:
3080:
3076:
3072:
3068:
3064:
3060:
3059:trivial group
3056:
3048:
3032:
3028:
3022:
3019:
3016:
3012:
3003:
2999:
2983:
2975:
2971:
2965:
2962:
2959:
2955:
2946:
2936:
2929:
2924:
2921:
2918:
2914:
2893:
2890:
2887:
2879:
2871:
2869:
2855:
2847:
2820:
2812:
2808:
2801:
2788:
2772:
2760:
2758:
2756:
2752:
2748:
2744:
2740:
2736:
2732:
2728:
2724:
2720:
2716:
2712:
2708:
2690:
2686:
2680:
2677:
2674:
2670:
2649:
2646:
2643:
2635:
2630:
2628:
2624:
2620:
2602:
2598:
2592:
2589:
2586:
2582:
2561:
2558:
2555:
2546:
2544:
2540:
2533:
2526:
2519:
2515:
2507:
2500:
2496:
2492:
2481:
2478:
2468:
2466:
2453:
2450:
2441:
2422:
2416:
2408:
2404:
2386:
2382:
2376:
2373:
2370:
2366:
2345:
2342:
2339:
2331:
2312:
2306:
2298:
2288:
2286:
2282:
2278:
2265:
2262:
2238:
2232:
2224:
2220:
2216:
2215:nerve theorem
2211:
2209:
2190:
2184:
2176:
2157:
2151:
2142:
2125:
2119:
2097:
2093:
2070:
2066:
2057:
2055:
2049:
2035:
2032:
2009:
2003:
1983:
1960:
1954:
1942:
1940:
1915:
1907:
1903:
1896:
1883:
1878:
1877:
1861:
1856:
1852:
1848:
1843:
1839:
1835:
1832:
1827:
1819:
1813:
1791:
1783:
1777:
1770:
1752:
1749:
1745:
1736:
1732:
1709:
1705:
1696:
1693:
1689:
1679:
1665:
1660:
1656:
1652:
1647:
1643:
1639:
1619:
1614:
1610:
1606:
1584:
1580:
1576:
1571:
1567:
1544:
1540:
1534:
1530:
1524:
1520:
1516:
1511:
1508:
1504:
1496:
1492:
1476:
1453:
1450:
1447:
1444:
1439:
1435:
1428:
1425:
1418:
1410:
1390:
1384:
1361:
1355:
1329:
1326:
1323:
1317:
1311:
1308:
1305:
1299:
1293:
1290:
1287:
1281:
1275:
1269:
1263:
1257:
1251:
1242:
1236:
1230:
1208:
1204:
1181:
1177:
1154:
1150:
1142:, where each
1124:
1120:
1116:
1111:
1107:
1103:
1098:
1094:
1087:
1084:
1062:
1058:
1049:
1045:
1024:
1021:
1018:
1012:
1006:
1000:
994:
985:
979:
973:
951:
947:
924:
920:
897:
893:
870:
866:
840:
836:
832:
827:
823:
816:
813:
791:
787:
778:
774:
773:
769:
767:
753:
745:
744:nerve complex
741:
722:
716:
693:
687:
667:
644:
638:
635:
632:
609:
604:
600:
596:
591:
587:
566:
563:
560:
557:
554:
532:
528:
507:
504:
501:
478:
472:
463:
449:
441:
423:
420:
417:
407:
403:
376:
361:
358:
352:
347:
343:
337:
334:
331:
327:
323:
320:
317:
314:
304:
298:
292:
285:
284:
283:
282:
280:is non-empty:
267:
245:
241:
220:
217:
214:
206:
193:
172:
164:
146:
143:
140:
130:
126:
102:
82:
70:
68:
66:
62:
58:
54:
50:
46:
45:nerve complex
42:
34:
29:
19:
18:Nerve theorem
3699:(1): 89–94.
3696:
3690:
3684:
3675:
3666:
3642:(1): 88–93.
3639:
3638:. Series A.
3633:
3620:
3593:
3589:
3579:
3550:
3544:
3505:
3502:Mazur, Barry
3492:
3481:. Retrieved
3477:
3468:
3452:
3435:
3392:
3379:
3354:
3348:
3339:
3186:
3185:in {0, ...,
3182:
3090:
3086:
3085:)}, then N(
3082:
3078:
3077:in {0, ...,
3074:
3070:
3066:
3062:
3051:
3049:
2997:
2875:
2786:
2764:
2757:-connected.
2754:
2750:
2746:
2742:
2738:
2730:
2726:
2718:
2714:
2710:
2631:
2626:
2618:
2547:
2542:
2535:
2528:
2521:
2509:
2502:
2498:
2483:
2480:
2474:
2443:
2402:
2330:contractible
2294:
2280:
2255:
2222:
2218:
2214:
2212:
2174:
2143:
2053:
2050:
1946:
1879:
1875:
1680:
1414:
1047:
776:
743:
464:
440:open subsets
391:
281:
186:
162:
74:
60:
44:
38:
3478:ncatlab.org
3357:: 617–635.
2219:nerve lemma
1876:Čech nerve.
1806:defined by
680:is also in
3734:Categories
3562:2203.03571
3483:2020-08-07
3332:References
2297:Jean Leray
1417:open cover
579:such that
520:such that
61:Čech nerve
49:set family
3721:207006642
3713:1439-6912
3658:0097-3165
3612:0016-2736
3536:0075-8434
3371:119590045
3273:~
3207:~
3151:~
3141:≅
3111:~
3020:∈
3013:⋂
3004:group of
2963:∈
2956:⋂
2940:~
2906:, denote
2891:⊂
2809:π
2678:∈
2671:⋂
2647:⊂
2590:∈
2583:⋂
2559:⊂
2451:⋃
2374:∈
2367:⋂
2343:⊂
2263:⋃
2033:⋃
1904:π
1853:×
1849:⋯
1840:×
1792:∙
1742:→
1702:→
1657:×
1644:×
1611:×
1577:∩
1531:×
1451:∈
1415:Given an
709:, making
636:∈
613:∅
610:≠
597:∩
564:∈
505:∈
421:∈
356:∅
353:≠
335:∈
328:⋂
318:⊆
218:⊆
144:∈
3740:Topology
3504:(1969).
3434:(2007).
3320:See also
3300:≇
3243:≇
3181:for all
3061:for all
2534:, ... ,
2409:), then
2358:the set
966:). Then
858:, where
770:Examples
465:The set
41:topology
3673:at the
3065:in the
3057:is the
2056:-sphere
1223:. Then
3719:
3711:
3656:
3610:
3534:
3524:
3445:
3411:
3369:
2717:, the
2516:= the
2501:. Let
2488:,...,K
2477:Borsuk
161:. The
51:is an
43:, the
3717:S2CID
3557:arXiv
3367:S2CID
3258:then
3081:-dim(
2541:} by
2405:is a
163:nerve
47:of a
3709:ISSN
3654:ISSN
3608:ISSN
3532:ISSN
3522:ISBN
3457:and
3443:ISBN
3409:ISBN
3000:-th
2996:the
2733:-th
2721:-th
2508:= ||
2482:Let
2279:. A
2217:(or
2085:and
1724:and
1491:site
1077:and
1046:Let
912:and
806:and
775:Let
438:are
75:Let
3701:doi
3678:Lab
3644:doi
3640:102
3598:doi
3567:doi
3514:doi
3401:doi
3359:doi
3192:if
3054:J,j
3050:If
2848:to
2844:is
2753:is
2745:is
2737:of
2725:of
2625:to
2621:is
2520:of
2493:be
2442:to
2438:is
2328:is
2048:.
746:of
738:an
165:of
39:In
3736::
3715:.
3707:.
3697:21
3695:.
3652:.
3632:.
3606:.
3594:35
3592:.
3588:.
3565:.
3555:.
3530:.
3520:.
3508:.
3500:;
3476:.
3451:.
3423:^
3407:.
3399:.
3387:;
3365:.
3355:98
3353:.
3189:};
3047:.
2930::=
2868:.
2713:≤
2629:.
2545:.
2514:||
2467:.
2287:.
2213:A
1939:.
1678:.
766:.
462:.
305::=
3723:.
3703::
3676:n
3660:.
3646::
3614:.
3600::
3573:.
3569::
3559::
3538:.
3516::
3486:.
3417:.
3403::
3373:.
3361::
3315:.
3303:0
3297:)
3294:X
3291:(
3286:1
3283:+
3280:k
3270:H
3246:0
3240:)
3237:)
3234:C
3231:(
3228:N
3225:(
3220:1
3217:+
3214:k
3204:H
3187:k
3183:j
3169:)
3166:X
3163:(
3158:j
3148:H
3138:)
3135:)
3132:C
3129:(
3126:N
3123:(
3118:j
3108:H
3091:X
3087:C
3083:J
3079:k
3075:j
3071:C
3067:k
3063:J
3052:H
3033:i
3029:U
3023:J
3017:i
2998:j
2984:=
2981:)
2976:i
2972:U
2966:J
2960:i
2952:(
2947:j
2937:H
2925:j
2922:,
2919:J
2915:H
2894:I
2888:J
2856:X
2831:|
2827:)
2824:)
2821:C
2818:(
2813:0
2805:(
2802:S
2798:|
2787:C
2773:X
2755:k
2751:K
2747:k
2743:N
2739:K
2731:j
2727:N
2719:j
2715:k
2711:j
2691:i
2687:U
2681:J
2675:i
2650:I
2644:J
2627:K
2619:N
2603:i
2599:U
2593:J
2587:i
2562:I
2556:J
2543:N
2538:n
2536:U
2531:1
2529:U
2524:i
2522:K
2512:i
2510:K
2505:i
2503:U
2499:K
2490:n
2486:1
2484:K
2479:.
2454:C
2426:)
2423:C
2420:(
2417:N
2403:C
2387:i
2383:U
2377:J
2371:i
2346:I
2340:J
2316:)
2313:C
2310:(
2307:N
2266:C
2242:)
2239:C
2236:(
2233:N
2223:C
2194:)
2191:C
2188:(
2185:N
2175:X
2161:)
2158:C
2155:(
2152:N
2129:)
2126:C
2123:(
2120:N
2098:2
2094:U
2071:1
2067:U
2054:n
2036:C
2013:)
2010:C
2007:(
2004:N
1984:C
1964:)
1961:C
1958:(
1955:N
1926:|
1922:)
1919:)
1916:C
1913:(
1908:0
1900:(
1897:S
1893:|
1862:C
1857:X
1844:X
1836:C
1833:=
1828:n
1824:)
1820:C
1817:(
1814:S
1788:)
1784:C
1781:(
1778:S
1753:i
1750:i
1746:U
1737:i
1733:U
1710:i
1706:U
1697:j
1694:i
1690:U
1666:C
1661:X
1653:C
1648:X
1640:C
1620:C
1615:X
1607:C
1585:j
1581:U
1572:i
1568:U
1545:j
1541:U
1535:X
1525:i
1521:U
1517:=
1512:j
1509:i
1505:U
1477:X
1457:}
1454:I
1448:i
1445::
1440:i
1436:U
1432:{
1429:=
1426:C
1394:)
1391:C
1388:(
1385:N
1365:)
1362:C
1359:(
1356:N
1336:}
1333:}
1330:1
1327:,
1324:3
1321:{
1318:,
1315:}
1312:3
1309:,
1306:2
1303:{
1300:,
1297:}
1294:2
1291:,
1288:1
1285:{
1282:,
1279:}
1276:3
1273:{
1270:,
1267:}
1264:2
1261:{
1258:,
1255:}
1252:1
1249:{
1246:{
1243:=
1240:)
1237:C
1234:(
1231:N
1209:i
1205:U
1182:1
1178:S
1155:i
1151:U
1130:}
1125:3
1121:U
1117:,
1112:2
1108:U
1104:,
1099:1
1095:U
1091:{
1088:=
1085:C
1063:1
1059:S
1048:X
1031:}
1028:}
1025:2
1022:,
1019:1
1016:{
1013:,
1010:}
1007:2
1004:{
1001:,
998:}
995:1
992:{
989:{
986:=
983:)
980:C
977:(
974:N
952:1
948:S
925:2
921:U
898:1
894:S
871:1
867:U
846:}
841:2
837:U
833:,
828:1
824:U
820:{
817:=
814:C
792:1
788:S
777:X
754:C
726:)
723:C
720:(
717:N
697:)
694:C
691:(
688:N
668:J
648:)
645:C
642:(
639:N
633:J
605:j
601:U
592:i
588:U
567:I
561:j
558:,
555:i
533:i
529:U
508:I
502:i
482:)
479:C
476:(
473:N
450:X
424:I
418:i
414:)
408:i
404:U
400:(
377:.
372:}
362:J
359:,
348:j
344:U
338:J
332:j
324::
321:I
315:J
310:{
302:)
299:C
296:(
293:N
268:J
246:i
242:U
221:I
215:J
194:I
173:C
147:I
141:i
137:)
131:i
127:U
123:(
103:C
83:I
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
