5266:
4165:
464:
3899:
1681:
234:
4344:
2798:
2198:
1425:
4160:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}
2442:
612:
4737:
5104:
5235:
4968:
3677:
1819:
1561:
2967:
1064:
459:{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k}}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}}
1190:
1574:
4179:
2602:
3170:
2005:
4538:
1948:
1284:
2507:
3904:
239:
2326:
3293:
3205:
2888:
2255:
3074:
3019:
1989:
4605:
3106:
3855:
188:
957:
3827:
160:
6518:
3399:
3323:
3235:
2357:
501:
2827:
4976:
6506:
5112:
4850:
4763:
4564:
3261:
2568:
79:
5318:
In fact this source gives all non-constant terms with a negative sign, which is not correct for the second equation; one must assume this is an error of transcription.
4600:
3891:
3042:
224:
2588:
1870:
1266:
1226:
3349:
2291:
2542:
2987:
2352:
1724:
1246:
99:
1453:
6628:
6513:
2893:
967:
6496:
6491:
3505:
1676:{\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leq \left|{\alpha \choose k}\right|\leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}
6501:
6486:
5600:
1087:
5788:
4339:{\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}\,.}
6481:
2793:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}
4474:
5424:
4844:(as in the case of integer exponents), thereby implicitly giving a formula for these coefficients. He explicitly writes the following instances
6659:
6098:
5852:
2193:{\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}
3111:
5650:
6596:
6455:
6010:
5926:
5730:
5571:
1894:
1420:{\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .}
6591:
6523:
6148:
6003:
5971:
6224:
5916:
5338:
3434:
6201:
6314:
6252:
6047:
5921:
5593:
5564:
2453:
6664:
6623:
5800:
5778:
6608:
2296:
5988:
5810:
5559:
3266:
3175:
2832:
2225:
6374:
3047:
2992:
1956:
5993:
5763:
3079:
6654:
6412:
6359:
5289:
5820:
6528:
6299:
5847:
5586:
3832:
165:
6294:
5966:
914:
867:
3775:
6669:
6422:
6304:
6125:
6073:
5879:
5857:
5725:
5342:
5279:
111:
106:
4773:
The first results concerning binomial series for other than positive-integer exponents were given by Sir
6548:
6407:
6319:
5976:
5911:
5884:
5874:
5795:
5768:
5740:
2437:{\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}
1873:
830:
5783:
5265:
607:{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}
3354:
6364:
5983:
5830:
5554:
4732:{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}{\frac {1}{1-x}}}
4171:
3298:
3210:
698:
493:
5099:{\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }
6384:
6309:
6196:
6153:
5904:
5889:
5720:
5708:
5695:
5655:
5635:
5457:
5250:
5230:{\displaystyle (1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }
4454:
3745:
1269:
4963:{\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }
2806:
6473:
6448:
6279:
6232:
6173:
6138:
6133:
6113:
6068:
6015:
5998:
5773:
5758:
5703:
5487:
5294:
5271:
3489:
6108:
6103:
5899:
5670:
4742:
4543:
3240:
2547:
45:
6613:
6437:
6369:
6191:
6168:
6042:
6035:
5938:
5753:
5645:
5525:
5506:
5420:
5245:
4569:
3860:
3741:
3461:
3430:
3024:
1883:
674:
193:
2573:
1855:
1251:
1211:
6571:
6354:
6267:
6247:
6178:
6088:
6030:
6022:
5956:
5869:
5630:
5625:
5479:
5357:
5284:
5241:
4465:
4427:
3769:
3328:
814:
651:
102:
39:
5244:. Newton gives no proof and is not explicit about the nature of the series. Later, on 1826
2260:
6633:
6618:
6402:
6257:
6206:
6183:
6163:
6057:
5713:
5660:
2518:
1814:{\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}
1273:
4602:) and, more generally, series obtained by differentiation of the geometric power series:
1556:{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}
6543:
6442:
6289:
6242:
6143:
5946:
2972:
2962:{\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}
2337:
1444:
1231:
744:
717:
84:
6648:
6417:
6272:
6158:
5862:
5837:
5528:
5509:
1059:{\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}
6427:
6397:
6262:
5825:
5374:
5361:
4800:
is a fraction. He found that (written in modern terms) the successive coefficients
4774:
4469:
483:
3672:{\displaystyle 0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)={\big }'\,,}
5675:
5617:
4782:
1185:{\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.}
31:
17:
6392:
6324:
6078:
5951:
5815:
5805:
5748:
5546:
5261:
3410:
3409:
The usual argument to compute the sum of the binomial series goes as follows.
1843:
6586:
6334:
6329:
5640:
5533:
5514:
1228:
is a nonnegative integer (in which case the binomial coefficients vanish as
2829:. Assertion (iv) now follows from the asymptotic behavior of the sequence
6581:
6083:
5961:
5609:
5542:
4353:
is a positive integer, several common sequences are apparent. The case
6432:
5685:
5491:
2509:. This completes the proof of (iii). Turning to (iv), we use identity (
622:
6601:
5665:
5483:
829:
is not a non-negative integer, the situation at the boundary of the
821:
is a non-negative integer, in which case the series is a finite sum.
3165:{\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}
650:. Thus, in this case, the series is finite and gives the algebraic
5680:
4778:
5582:
2257:
is assumed. On the other hand, the series does not converge if
1716:) for the generalized binomial coefficient can be rewritten as
5470:
Coolidge, J. L. (1949), "The Story of the
Binomial Theorem",
4376:, where the coefficient of each term of the series is simply
3413:
term-wise the binomial series within the disk of convergence
3303:
3215:
4819:
are to be found by multiplying the preceding coefficient by
4785:
built upon this work by considering expressions of the form
4457:
as coefficients, and similarly for higher integer values of
4403:, which has the counting numbers as coefficients. The case
1443:
This is essentially equivalent to Euler's definition of the
5578:
4533:{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}
5240:
The binomial series is therefore sometimes referred to as
1943:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}
2222:) again to prove convergence of the right-hand side when
38:
is a generalization of the polynomial that comes from a
5572:"How Isaac Newton Discovered the Binomial Power Series"
3698:
is a constant, which the initial condition tells us is
4464:
The negative binomial series includes the case of the
2456:
2360:
5115:
4979:
4853:
4745:
4608:
4572:
4546:
4477:
4182:
3902:
3863:
3835:
3778:
3508:
3357:
3331:
3301:
3269:
3243:
3213:
3178:
3114:
3082:
3050:
3027:
2995:
2975:
2896:
2835:
2809:
2605:
2576:
2550:
2521:
2502:{\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}
2340:
2299:
2263:
2228:
2008:
1959:
1897:
1858:
1727:
1577:
1456:
1287:
1254:
1234:
1214:
1090:
970:
917:
504:
237:
196:
168:
114:
87:
48:
3473:
The unique solution of this problem is the function
1876:
is exactly 1. Part (ii) follows from formula (
6561:
6472:
6465:
6383:
6345:
6217:
6124:
6056:
5937:
5739:
5694:
5616:
3740:whenever the series converges, as a consequence of
5229:
5098:
4962:
4757:
4731:
4594:
4558:
4532:
4338:
4159:
3885:
3849:
3821:
3671:
3393:
3343:
3317:
3287:
3255:
3229:
3199:
3164:
3100:
3068:
3036:
3013:
2981:
2961:
2882:
2821:
2792:
2582:
2562:
2536:
2501:
2436:
2346:
2320:
2285:
2249:
2192:
1983:
1942:
1864:
1813:
1675:
1555:
1419:
1272:relationship for the binomial coefficients is, in
1260:
1240:
1220:
1184:
1058:
951:
606:
458:
218:
182:
154:
93:
73:
4252:
4225:
4213:
4212:
4206:
4193:
4189:
4188:
2697:
2676:
2644:
2631:
2321:{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq -1}
2164:
2151:
2128:
2107:
2062:
2049:
1744:
1731:
1628:
1615:
1304:
1291:
1173:
1152:
1140:
1127:
1115:
1094:
1020:
1007:
995:
974:
934:
921:
521:
508:
309:
296:
3288:{\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}
3200:{\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}
2883:{\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}
2250:{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}
1473:
5458:Journal für die reine und angewandte Mathematik
3069:{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}
3014:{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}
904:The following hold for any complex number
5254:, treating notably questions of convergence.
5248:discussed the subject in a paper published on
2334:). Alternatively, we may observe that for all
1984:{\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }
5594:
3656:
3611:
2483:
2470:
787:, the series converges if and only if either
677:depends on the values of the complex numbers
8:
4540:(which is the negative binomial series when
3429:), one has that the sum of the series is an
3101:{\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}
101:. Specifically, the binomial series is the
3295:: in the latter case the sequence is dense
1566:and implies immediately the coarser bounds
634:term and all later terms in the series are
6469:
5601:
5587:
5579:
5379:Theory and applications of infinite series
4006:
3966:
2703:
2650:
2627:
2170:
2134:
2103:
2068:
2045:
1919:
1513:
1497:
315:
292:
6629:Regiomontanus' angle maximization problem
5212:
5202:
5188:
5182:
5168:
5162:
5143:
5139:
5129:
5114:
5082:
5076:
5061:
5051:
5036:
5026:
5007:
5003:
4993:
4978:
4946:
4940:
4926:
4920:
4906:
4900:
4881:
4877:
4867:
4852:
4744:
4711:
4696:
4676:
4670:
4643:
4631:
4609:
4607:
4581:
4573:
4571:
4545:
4524:
4514:
4503:
4478:
4476:
4332:
4261:
4251:
4224:
4222:
4205:
4192:
4190:
4181:
4138:
4087:
4078:
4042:
4011:
3974:
3967:
3960:
3949:
3929:
3907:
3903:
3901:
3872:
3864:
3862:
3843:
3842:
3834:
3810:
3777:
3665:
3655:
3654:
3632:
3610:
3609:
3579:
3531:
3507:
3356:
3330:
3306:
3302:
3300:
3268:
3242:
3218:
3214:
3212:
3177:
3135:
3119:
3113:
3081:
3049:
3026:
2994:
2974:
2947:
2934:
2905:
2895:
2856:
2840:
2834:
2808:
2757:
2726:
2717:
2696:
2675:
2673:
2664:
2643:
2630:
2628:
2621:
2610:
2604:
2575:
2549:
2520:
2482:
2469:
2467:
2455:
2404:
2366:
2359:
2339:
2298:
2272:
2264:
2262:
2227:
2175:
2163:
2150:
2148:
2139:
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2106:
2104:
2097:
2086:
2073:
2061:
2048:
2046:
2039:
2028:
2007:
1958:
1929:
1920:
1913:
1902:
1896:
1857:
1779:
1768:
1757:
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1730:
1728:
1726:
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175:
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113:
86:
65:
47:
5392:
5977:Differentiating under the integral sign
5330:
5311:
3850:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
183:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
3717:is the sum of the binomial series for
3172:converges if and only if the sequence
952:{\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}
769:, the series converges if and only if
5853:Inverse functions and differentiation
3822:{\displaystyle g(x)=(1-x)^{-\alpha }}
1991:. To prove (iii), first use formula (
7:
5404:
1999:
1718:
1568:
1278:
1081:
961:
228:
155:{\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}
494:(generalized) binomial coefficients
5651:Free variables and bound variables
5343:"The geometric series in calculus"
4515:
4229:
4197:
3961:
3031:
2816:
2732:
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2111:
2053:
1914:
1872:is not a nonnegative integer, the
1735:
1619:
1483:
1457:
1411:
1337:
1295:
1156:
1131:
1098:
1011:
978:
925:
900:Identities to be used in the proof
855:, the series converges absolutely.
716:, the series converges absolutely
638:, since each contains a factor of
512:
300:
287:
25:
6456:The Method of Mechanical Theorems
5472:The American Mathematical Monthly
5350:The American Mathematical Monthly
4170:which is written in terms of the
6011:Partial fractions in integration
5927:Stochastic differential equation
5264:
3405:Summation of the binomial series
3394:{\displaystyle \log(n+1)-\log n}
1842:To prove (i) and (v), apply the
6149:Jacobian matrix and determinant
6004:Tangent half-angle substitution
5972:Fundamental theorem of calculus
4781:enclosed under certain curves.
3318:{\displaystyle {\bmod {2\pi }}}
3230:{\displaystyle {\bmod {2\pi }}}
2216:and then use (ii) and formula (
1399:
492:) is expressed in terms of the
6225:Arithmetico-geometric sequence
5917:Ordinary differential equation
5425:"Recherches sur la série 1 + (
5362:10.1080/00029890.1998.12004846
5136:
5116:
5000:
4980:
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3515:
3435:ordinary differential equation
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2661:
2651:
2273:
2265:
2021:
2009:
1852:) above to show that whenever
1544:
1532:
1526:
1514:
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1466:
1460:
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198:
143:
130:
124:
118:
62:
49:
1:
6660:Factorial and binomial topics
6048:Integro-differential equation
5922:Partial differential equation
3488:. Indeed, multiplying by the
3237:, which is certainly true if
2822:{\displaystyle n\to \infty }
1699:for some positive constants
843:, is summarized as follows:
6202:Generalized Stokes' theorem
5989:Integration by substitution
5560:Encyclopedia of Mathematics
5553:Solomentsev, E.D. (2001) ,
4430:as coefficients. The case
3425:
2592:
2511:
2446:
2330:
2218:
1993:
1878:
1848:
1712:
669:
488:
486:on the right-hand side of (
6686:
5731:(ε, δ)-definition of limit
1882:), by comparison with the
663:Conditions for convergence
81:for a nonnegative integer
6624:Proof that 22/7 exceeds π
6539:
6413:Gottfried Wilhelm Leibniz
6360:e (mathematical constant)
5290:Table of Newtonian series
5242:Newton's binomial theorem
4758:{\displaystyle \alpha =n}
4566:, convergent in the disc
4559:{\displaystyle \alpha =1}
3256:{\displaystyle \alpha =0}
2563:{\displaystyle \alpha -1}
74:{\displaystyle (1+x)^{n}}
6375:Stirling's approximation
5848:Implicit differentiation
5796:Rules of differentiation
4595:{\displaystyle |x|<1}
3886:{\displaystyle |x|<1}
3766:negative binomial series
3760:Negative binomial series
3730:The equality extends to
3037:{\displaystyle +\infty }
219:{\displaystyle |x|<1}
6609:Euler–Maclaurin formula
6514:trigonometric functions
5967:Constant of integration
3764:Closely related is the
3325:, due to the fact that
2969:certainly converges to
2583:{\displaystyle \alpha }
1865:{\displaystyle \alpha }
1261:{\displaystyle \alpha }
1221:{\displaystyle \alpha }
866:, the series converges
701:for any complex number
697:, the series converges
6578:Differential geometry
6423:Infinitesimal calculus
6126:Multivariable calculus
6074:Directional derivative
5880:Second derivative test
5858:Logarithmic derivative
5831:General Leibniz's rule
5726:Order of approximation
5280:Binomial approximation
5231:
5100:
4964:
4765:, a positive integer.
4759:
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2590:, along with formula (
2584:
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1060:
953:
895:, the series diverges.
608:
460:
291:
220:
184:
156:
95:
75:
6497:logarithmic functions
6492:exponential functions
6408:Generality of algebra
6286:Tests of convergence
5912:Differential equation
5896:Further applications
5885:Extreme value theorem
5875:First derivative test
5769:Differential operator
5741:Differential calculus
5232:
5101:
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96:
76:
6562:Miscellaneous topics
6502:hyperbolic functions
6487:irrational functions
6365:Exponential function
6218:Sequences and series
5984:Integration by parts
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2519:
2454:
2444:. Thus, by formula (
2358:
2338:
2328:, again by formula (
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2226:
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194:
166:
112:
85:
46:
6665:Mathematical series
6549:List of derivatives
6385:History of calculus
6300:Cauchy condensation
6197:Exterior derivative
6154:Lagrange multiplier
5890:Maximum and minimum
5721:Limit of a sequence
5709:Limit of a function
5656:Graph of a function
5636:Continuous function
4455:tetrahedral numbers
3423:and using formula (
831:disk of convergence
27:Mathematical series
6482:rational functions
6449:Method of Fluxions
6295:Alternating series
6192:Differential forms
6174:Partial derivative
6134:Divergence theorem
6016:Quadratic integral
5784:Leibniz's notation
5774:Mean value theorem
5759:Partial derivative
5704:Indeterminate form
5574:. August 31, 2022.
5529:"Binomial Theorem"
5526:Weisstein, Eric W.
5507:Weisstein, Eric W.
5295:Lambert W function
5272:Mathematics portal
5227:
5096:
4960:
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949:
825:In particular, if
685:. More precisely:
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454:
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180:
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91:
71:
6642:
6641:
6568:Complex calculus
6557:
6556:
6438:Law of Continuity
6370:Natural logarithm
6355:Bernoulli numbers
6346:Special functions
6305:Direct comparison
6169:Multiple integral
6043:Integral equation
5939:Integral calculus
5870:Stationary points
5844:Other techniques
5789:Newton's notation
5754:Second derivative
5646:Finite difference
5555:"Binomial series"
5510:"Binomial Series"
5381:, Blackie and Son
5246:Niels Henrik Abel
5222:
5197:
5177:
5091:
5071:
5046:
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4709:
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4638:
4494:
4437:gives the series
4410:gives the series
4387:gives the series
4360:gives the series
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4250:
4204:
4132:
4072:
4004:
3936:
3772:for the function
3462:initial condition
3431:analytic function
2982:{\displaystyle 0}
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1935:
1846:and use formula (
1835:
1834:
1795:
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932:
621:is a nonnegative
599:
519:
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307:
94:{\displaystyle n}
16:(Redirected from
6677:
6655:Complex analysis
6572:Contour integral
6470:
6320:Limit comparison
6229:Types of series
6188:Advanced topics
6179:Surface integral
6023:Trapezoidal rule
5962:Basic properties
5957:Riemann integral
5905:Taylor's theorem
5631:Concave function
5626:Binomial theorem
5603:
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5589:
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5567:
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5539:
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5316:
5285:Binomial theorem
5274:
5269:
5268:
5251:Crelle's Journal
5236:
5234:
5233:
5228:
5223:
5218:
5217:
5216:
5203:
5198:
5193:
5192:
5183:
5178:
5173:
5172:
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5152:
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5015:
5011:
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4890:
4889:
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4871:
4843:
4841:
4840:
4839:
4835:
4832:
4830:
4826:
4818:
4810:
4799:
4795:
4777:in the study of
4764:
4762:
4761:
4756:
4738:
4736:
4735:
4730:
4728:
4726:
4712:
4710:
4708:
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