5734:
5325:
2706:
5752:
1828:
5729:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}
3636:
1400:
980:
4705:
3342:
5062:
447:
5215:
4872:
4477:
1823:{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\biggl (}{\frac {p'_{n}(x)}{x^{2n}}}-2n{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+1}}}+{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+2}}}{\biggr )}f(x)\\&={\frac {x^{2}p'_{n}(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}{x^{2n+2}}}f(x)\\&={\frac {p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}}f(x),\end{aligned}}}
2266:
2070:
760:
1377:
4506:
249:
2680:
1167:
3939:
3631:{\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}
6063:
4887:
2865:
2538:
294:
5870:
5311:
5084:
2952:
2415:
699:
4731:
4350:
4321:
2111:
610:
4223:
1881:
975:{\displaystyle {\frac {1}{x^{m}}}=x{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{m+1}\leq (m+1)!\,x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{n}=(m+1)!\,xe^{\frac {1}{x}},\qquad x>0,}
5965:
defined in this article to be analytic in spite of its being infinitely differentiable is an indication of one of the most dramatic differences between real-variable and complex-variable analysis.
1405:
4700:{\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}
1233:
142:
2567:
3072:
3783:
5943:
3811:
3274:
3128:
3100:
2980:
2758:
1059:
1047:
3818:
3727:
3687:
4080:
3187:
4038:
3980:
1015:
3334:
3300:
3246:
3213:
3020:
5994:
1192:, and the fact that the derivative of the exponential function is again the exponential function, we see that the formula is correct for the first derivative of
4058:
4000:
3148:
752:
5057:{\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}
2765:
442:{\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}
4116:
on the real line which has these numbers as derivatives at the origin. In particular, every sequence of numbers can appear as the coefficients of the
2300:
2466:
121:
5210:{\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}
5777:
5226:
2873:
2317:
631:
4867:{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}
4472:{\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}
4246:
2261:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}
5958:
6158:
6143:
See e.g. Chapter V, Section 2, Theorem 2.8 and
Corollary 2.9 about the differentiability of the limits of sequences of functions in
6132:
2065:{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\,e^{-1/x}=0.}
4141:
495:
6076:, it attains every complex value (with the exception of zero) infinitely many times in every neighbourhood of the origin.
1372:{\displaystyle f'(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x}}=0.}
244:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}
2709:
Approximation of the smooth-everywhere, but nowhere-analytic function mentioned here. This partial sum is taken from
2675:{\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}
2721:
74:
5316:
is well defined and can be differentiated term-by-term infinitely many times. To this end, observe that for every
6200:
622:. From this formula, it is not completely clear that the derivatives are continuous at 0; this follows from the
3029:
4232:
is also smooth; it equals 1 on the closed interval and vanishes outside the open interval (−2,2). Using
4003:
93:
28:
6177:
1181:
468:
43:
36:
1162:{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}\leq (m+1)!\lim _{x\searrow 0}x=0.}
6069:
5973:
5892:
3945:
3934:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}
3732:
81:
5906:
3788:
3251:
3105:
3077:
2957:
2735:
1020:
6150:
6073:
2090:
728:
66:
5126:
4392:
3692:
3644:
331:
166:
4483:
2987:
274:
4063:
3153:
80:
The existence of smooth but non-analytic functions represents one of the main differences between
5896:
2983:
104:
2299:
4013:
3955:
2705:
988:
120:
6154:
6128:
4006:. Since the set of analyticity of a function is an open set, and since dyadic rationals are
3305:
2982:, this function is easily seen to be of class C, by a standard inductive application of the
2288:
32:
3279:
3218:
2448: ≥ 1, hence it provides a smooth transition from the level 0 to the level 1 in the
6058:{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}
5954:
4121:
4091:
3192:
85:
70:
47:
6090:
5888:
3023:
2996:
1189:
1050:
623:
58:
24:
5876:
5751:
4125:
4109:
4043:
3985:
3133:
2729:
737:
732:
92:, this difference can be stated as follows: the sheaf of differentiable functions on a
51:
6194:
6095:
6085:
5985:
4711:
4117:
3949:
2694:
2449:
2102:
2094:
6120:
89:
2860:{\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}
705:
255:
40:
20:
2533:{\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}
6182:
5740:
4878:
1185:
464:
277:
97:
1219: < 0. It remains to show that the right-hand side derivative of
6100:
6072:
at the origin, and hence is not even continuous, much less analytic. By the
5865:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}
5306:{\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}
4007:
475:
285:
62:
2947:{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}
2410:{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}
4327:
2685:
equals 1 on the closed interval and vanishes outside the open interval (
694:{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}=0}
4725:
derivatives, are well-defined real numbers. Define the scaled functions
2724:
example is an infinitely differentiable function which is not analytic
2420:
has a strictly positive denominator everywhere on the real line, hence
616:
4112:, the following construction shows the existence of a smooth function
5750:
4316:{\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}
2704:
2298:
119:
57:
One of the most important applications of smooth functions with
4333:
on and vanishes outside the interval (−2,2). Hence, the
4218:{\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}
1211:) is a polynomial of degree 0. Of course, the derivative of
5175:
4437:
3729:, and we bounded the first sum from below by the term with
2452:. To have the smooth transition in the real interval with
1227: = 0 is zero. Using the above limit, we see that
435:
237:
6178:"Infinitely-differentiable function that is not analytic"
1867: < 0. For the right-hand side derivative of
605:{\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}
16:
Mathematical functions which are smooth but not analytic
729:
power series representation of the exponential function
39:. One can easily prove that any analytic function of a
5972:
has derivatives of all orders over the real line, the
5997:
5909:
5780:
5739:
where the remaining infinite series converges by the
5328:
5229:
5087:
4890:
4734:
4509:
4353:
4249:
4144:
4066:
4046:
4016:
3988:
3958:
3821:
3791:
3735:
3695:
3647:
3345:
3308:
3282:
3254:
3221:
3195:
3156:
3136:
3108:
3080:
3032:
2999:
2960:
2876:
2768:
2738:
2570:
2469:
2320:
2114:
1884:
1855: + 1) − 1. Of course, the (
1403:
1236:
1062:
1023:
991:
763:
740:
634:
498:
334:
297:
145:
103:The functions below are generally used to build up
6057:
5937:
5864:
5728:
5305:
5209:
5056:
4866:
4699:
4471:
4315:
4217:
4074:
4052:
4032:
3994:
3974:
3933:
3805:
3777:
3721:
3681:
3630:
3328:
3294:
3268:
3240:
3207:
3181:
3142:
3122:
3094:
3066:
3014:
2974:
2946:
2859:
2752:
2674:
2532:
2409:
2260:
2064:
1822:
1371:
1161:
1041:
1017:are added. Therefore, dividing this inequality by
1009:
974:
746:
693:
604:
441:
243:
2667:
2634:
2623:
2590:
2522:
2489:
1596:
1448:
905:
887:
807:
789:
5953:This pathology cannot occur with differentiable
4523:
3823:
2701:A smooth function which is nowhere real analytic
1975:
1886:
1321:
1258:
1135:
1064:
636:
4120:of a smooth function. This result is known as
1875: = 0 we obtain with the above limit
4667:
4528:
8:
6012:
6006:
5957:rather than of a real variable. Indeed, all
5850:
5843:
5681:
5656:
5495:
5470:
5375:
5350:
4656:
4631:
4613:
4588:
4576:
4562:
1394: > 0 we get for the derivative
5039:
4849:
3615:
3067:{\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}
2101:at the origin converges everywhere to the
2089:is smooth, and all its derivatives at the
715:
6048:
6047:
6032:
6028:
5999:
5998:
5996:
5914:
5908:
5853:
5834:
5806:
5787:
5783:
5782:
5779:
5711:
5707:
5695:
5684:
5668:
5663:
5652:
5645:
5641:
5629:
5619:
5613:
5604:
5600:
5593:
5589:
5565:
5560:
5550:
5534:
5528:
5511:
5498:
5482:
5477:
5455:
5450:
5445:
5432:
5426:
5417:
5414:
5402:
5391:
5378:
5362:
5357:
5344:
5333:
5327:
5296:
5295:
5270:
5260:
5249:
5228:
5198:
5194:
5193:
5167:
5141:
5133:
5121:
5097:
5092:
5086:
5047:
5046:
5030:
5026:
5025:
4996:
4977:
4972:
4953:
4948:
4943:
4930:
4924:
4900:
4895:
4889:
4857:
4856:
4840:
4836:
4835:
4812:
4799:
4786:
4781:
4776:
4763:
4757:
4739:
4733:
4688:
4684:
4683:
4666:
4665:
4659:
4643:
4638:
4616:
4600:
4595:
4579:
4569:
4554:
4548:
4539:
4527:
4526:
4514:
4508:
4460:
4456:
4455:
4429:
4403:
4387:
4363:
4358:
4352:
4306:
4305:
4282:
4276:
4254:
4248:
4208:
4207:
4178:
4143:
4068:
4067:
4065:
4045:
4021:
4015:
3987:
3963:
3957:
3927:
3908:
3904:
3884:
3863:
3855:
3846:
3843:
3826:
3820:
3799:
3798:
3790:
3769:
3753:
3740:
3734:
3713:
3700:
3694:
3661:
3646:
3607:
3594:
3581:
3568:
3558:
3550:
3539:
3533:
3529:
3506:
3505:
3496:
3477:
3458:
3448:
3440:
3429:
3423:
3419:
3396:
3395:
3386:
3358:
3350:
3344:
3318:
3307:
3281:
3262:
3261:
3253:
3232:
3220:
3194:
3161:
3155:
3150:terms is analytic, we need only consider
3135:
3116:
3115:
3107:
3088:
3087:
3079:
3055:
3031:
2998:
2968:
2967:
2959:
2938:
2928:
2920:
2909:
2903:
2899:
2889:
2888:
2881:
2875:
2839:
2816:
2810:
2806:
2796:
2795:
2788:
2767:
2746:
2745:
2737:
2666:
2665:
2639:
2633:
2632:
2628:
2622:
2621:
2595:
2589:
2588:
2572:
2571:
2569:
2521:
2520:
2494:
2488:
2487:
2471:
2470:
2468:
2400:
2399:
2336:
2319:
2251:
2250:
2228:
2209:
2203:
2192:
2179:
2143:
2136:
2130:
2119:
2113:
2046:
2039:
2034:
2017:
1997:
1990:
1978:
1936:
1908:
1901:
1889:
1883:
1778:
1752:
1745:
1706:
1686:
1640:
1630:
1623:
1595:
1594:
1577:
1557:
1550:
1530:
1510:
1503:
1483:
1460:
1453:
1447:
1446:
1412:
1404:
1402:
1346:
1342:
1336:
1324:
1273:
1261:
1235:
1138:
1105:
1089:
1085:
1079:
1067:
1061:
1028:
1022:
990:
945:
937:
910:
904:
903:
892:
886:
885:
870:
864:
853:
845:
812:
806:
805:
794:
788:
787:
773:
764:
762:
739:
677:
661:
657:
651:
639:
633:
587:
541:
531:
503:
497:
415:
389:
373:
362:
342:
335:
326:
302:
296:
217:
191:
177:
173:
161:
144:
6145:Amann, Herbert; Escher, Joachim (2005),
2271:and so the Taylor series does not equal
288:. The formula for these derivatives is
6112:
6003:
5067:and, using the previous result for the
2728:. It can be constructed by means of a
5961:, so that the failure of the function
100:, in contrast with the analytic case.
50:is not true, as demonstrated with the
5220:It remains to show that the function
4500:is bounded. Therefore, the constants
4240:(including zero) the smooth function
65:, which are important in theories of
7:
4131:With the smooth transition function
985:because all the positive terms for
5959:holomorphic functions are analytic
5911:
5803:
5720:
5685:
5529:
5499:
5379:
5345:
5261:
4660:
4617:
4580:
4236:, define for every natural number
3924:
3833:
3778:{\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}
3622:
3611:
3608:
3497:
3387:
2204:
2131:
865:
14:
5938:{\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}
3806:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
3269:{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
3123:{\displaystyle q\in \mathbb {N} }
3095:{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }
2975:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2753:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
2283: > 0. Consequently,
1172:We now prove the formula for the
124:The non-analytic smooth function
61:is the construction of so-called
5968:Note that although the function
5883:|| defines a smooth function on
5747:Application to higher dimensions
3785:. As a consequence, at any such
3215:. For all orders of derivation
1859: + 1)st derivative of
1042:{\displaystyle e^{\frac {1}{x}}}
35:are two very important types of
6127:. McGraw-Hill, New Delhi 1980,
5955:functions of a complex variable
5288:
5179:
5011:
4877:By repeated application of the
4827:
4675:
4441:
4298:
4200:
3603:
3026:multiple of π, that is, at any
2990:of each series of derivatives.
2392:
2243:
1390: + 1 is similar. For
959:
6021:
5926:
5920:
5859:
5827:
5818:
5812:
5799:
5675:
5669:
5620:
5605:
5489:
5483:
5433:
5418:
5369:
5363:
5282:
5276:
5239:
5233:
5115:
5109:
5104:
5098:
5005:
4989:
4984:
4978:
4918:
4912:
4907:
4901:
4821:
4805:
4751:
4745:
4650:
4644:
4607:
4601:
4555:
4540:
4381:
4375:
4370:
4364:
4292:
4286:
4266:
4260:
4194:
4182:
4175:
4163:
4154:
4148:
3885:
3881:
3875:
3870:
3864:
3847:
3830:
3722:{\displaystyle 2^{k}>2^{q}}
3682:{\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}
3670:
3654:
3625:
3619:
3604:
3564:
3551:
3486:
3470:
3454:
3441:
3376:
3370:
3365:
3359:
3176:
3170:
3130:. Since the sum of the first
3009:
3003:
2934:
2921:
2848:
2832:
2778:
2772:
2582:
2481:
2383:
2371:
2362:
2356:
2348:
2342:
2330:
2324:
2161:
2155:
2150:
2144:
2085:As seen earlier, the function
2009:
2003:
1982:
1954:
1948:
1943:
1937:
1926:
1920:
1915:
1909:
1893:
1810:
1804:
1794:
1782:
1770:
1764:
1732:
1726:
1698:
1692:
1679:
1661:
1655:
1649:
1610:
1604:
1569:
1563:
1522:
1516:
1475:
1469:
1436:
1430:
1425:
1413:
1328:
1300:
1294:
1285:
1279:
1265:
1251:
1245:
1142:
1128:
1116:
1071:
931:
919:
839:
827:
643:
599:
593:
580:
562:
556:
550:
521:
515:
383:
377:
354:
348:
320:
314:
309:
303:
155:
149:
1:
4108:, . . . of real or
2424:is also smooth. Furthermore,
280:of all orders at every point
107:on differentiable manifolds.
5980:from the positive half-line
4086:Application to Taylor series
4075:{\displaystyle \mathbb {R} }
3641:where we used the fact that
3189:, the sum of the terms with
3182:{\displaystyle F_{>q}(x)}
2081:The function is not analytic
1847:) is a polynomial of degree
720:Detailed proof of smoothness
132:) considered in the article.
6119:Exercise 12 on page 418 in
2732:as follows. Define for all
2693:), hence it can serve as a
2295:Smooth transition functions
2093:are 0. Therefore, the
1200: > 0 and that
474: − 1 given
6217:
4089:
116:Definition of the function
6125:Real and Complex Analysis
5984: > 0 to the
4060:, is nowhere analytic in
4033:{\displaystyle F_{>q}}
3975:{\displaystyle F_{>q}}
2307:from 0 to 1 defined here.
1010:{\displaystyle n\neq m+1}
5988:, that is, the function
4493:and every derivative of
4344:at the origin satisfies
3329:{\displaystyle m>q/2}
2460:, consider the function
1382:The induction step from
27:(also called infinitely
4004:Cauchy-Hadamard formula
3295:{\displaystyle m\geq 2}
3241:{\displaystyle n=2^{m}}
3022:is not analytic at any
94:differentiable manifold
6059:
5939:
5866:
5764:
5730:
5533:
5413:
5349:
5307:
5265:
5211:
5058:
4868:
4701:
4473:
4326:which agrees with the
4317:
4219:
4076:
4054:
4034:
3996:
3976:
3935:
3807:
3779:
3723:
3683:
3632:
3330:
3296:
3270:
3242:
3209:
3208:{\displaystyle k>q}
3183:
3144:
3124:
3096:
3068:
3016:
2976:
2948:
2861:
2754:
2717:
2676:
2561:, the smooth function
2534:
2411:
2308:
2303:The smooth transition
2262:
2208:
2135:
2066:
1824:
1373:
1182:mathematical induction
1163:
1043:
1011:
976:
869:
748:
695:
606:
443:
265:The function is smooth
245:
136:Consider the function
133:
6070:essential singularity
6060:
5974:analytic continuation
5940:
5867:
5754:
5731:
5507:
5387:
5329:
5308:
5245:
5212:
5059:
4869:
4702:
4474:
4318:
4220:
4077:
4055:
4035:
3997:
3977:
3946:radius of convergence
3936:
3808:
3780:
3724:
3684:
3633:
3331:
3297:
3271:
3243:
3210:
3184:
3145:
3125:
3097:
3069:
3017:
2977:
2949:
2862:
2755:
2708:
2677:
2535:
2412:
2302:
2263:
2188:
2115:
2067:
1825:
1374:
1164:
1044:
1012:
977:
849:
749:
696:
607:
444:
246:
123:
82:differential geometry
67:generalized functions
6153:, pp. 373–374,
6074:great Picard theorem
5995:
5907:
5778:
5326:
5227:
5085:
4888:
4732:
4507:
4351:
4247:
4142:
4096:For every sequence α
4064:
4044:
4014:
4010:, we conclude that
3986:
3956:
3819:
3789:
3733:
3693:
3645:
3343:
3306:
3280:
3252:
3219:
3193:
3154:
3134:
3106:
3078:
3030:
3015:{\displaystyle F(x)}
2997:
2958:
2874:
2766:
2736:
2568:
2467:
2444:) = 1 for
2432:) = 0 for
2318:
2112:
1882:
1401:
1234:
1060:
1021:
989:
761:
738:
731:, we have for every
632:
496:
489:) = 1 and
295:
143:
5771: > 0,
5763:) in one dimension.
5679:
5582:
5493:
5466:
5373:
5108:
4988:
4964:
4911:
4791:
4654:
4611:
4484:boundedness theorem
4374:
3874:
3369:
2988:uniform convergence
2436: ≤ 0 and
1648:
1468:
549:
111:An example function
105:partitions of unity
6055:
5935:
5862:
5765:
5726:
5716:
5705:
5659:
5650:
5639:
5598:
5587:
5556:
5473:
5446:
5353:
5303:
5207:
5174:
5088:
5071:-th derivative of
5054:
4968:
4944:
4891:
4864:
4777:
4697:
4634:
4591:
4469:
4436:
4354:
4337:-th derivative of
4313:
4215:
4072:
4050:
4030:
3992:
3972:
3931:
3851:
3837:
3803:
3775:
3719:
3679:
3628:
3524:
3414:
3346:
3326:
3292:
3266:
3238:
3205:
3179:
3140:
3120:
3092:
3064:
3012:
2984:Weierstrass M-test
2972:
2954:converges for all
2944:
2894:
2857:
2801:
2750:
2718:
2672:
2530:
2407:
2309:
2258:
2062:
1989:
1900:
1820:
1818:
1636:
1456:
1369:
1335:
1272:
1159:
1149:
1078:
1039:
1007:
972:
744:
691:
650:
602:
537:
439:
434:
386:
254:defined for every
241:
236:
134:
33:analytic functions
6151:Birkhäuser Verlag
6040:
5767:For every radius
5701:
5653:
5651:
5635:
5601:
5599:
5583:
5551:
5549:
5547:
5468:
5170:
5144:
4966:
4793:
4432:
4406:
4135:as above, define
4053:{\displaystyle F}
3995:{\displaystyle x}
3898:
3822:
3545:
3522:
3492:
3435:
3412:
3382:
3143:{\displaystyle q}
2993:We now show that
2915:
2877:
2870:Since the series
2853:
2822:
2784:
2663:
2619:
2543:For real numbers
2518:
2387:
2222:
2173:
2077:
2076:
2032:
1974:
1969:
1885:
1799:
1721:
1592:
1545:
1492:
1361:
1354:
1320:
1315:
1257:
1176:th derivative of
1134:
1111:
1097:
1063:
1036:
953:
900:
883:
802:
779:
754:(including zero)
747:{\displaystyle m}
683:
669:
635:
615:for any positive
418:
392:
371:
220:
194:
185:
86:analytic geometry
6208:
6201:Smooth functions
6187:
6164:
6163:
6141:
6135:
6117:
6064:
6062:
6061:
6056:
6051:
6043:
6042:
6041:
6033:
6002:
5949:Complex analysis
5944:
5942:
5941:
5936:
5919:
5918:
5871:
5869:
5868:
5863:
5858:
5857:
5839:
5838:
5811:
5810:
5792:
5791:
5786:
5735:
5733:
5732:
5727:
5715:
5706:
5700:
5699:
5690:
5689:
5688:
5678:
5667:
5654:
5649:
5640:
5634:
5633:
5624:
5623:
5618:
5617:
5608:
5602:
5597:
5588:
5581:
5564:
5552:
5548:
5546:
5535:
5532:
5527:
5503:
5502:
5492:
5481:
5469:
5467:
5465:
5454:
5437:
5436:
5431:
5430:
5421:
5415:
5412:
5401:
5383:
5382:
5372:
5361:
5348:
5343:
5312:
5310:
5309:
5304:
5299:
5275:
5274:
5264:
5259:
5216:
5214:
5213:
5208:
5203:
5202:
5197:
5178:
5177:
5171:
5168:
5145:
5142:
5138:
5137:
5107:
5096:
5063:
5061:
5060:
5055:
5050:
5035:
5034:
5029:
5001:
5000:
4987:
4976:
4967:
4965:
4963:
4952:
4935:
4934:
4925:
4910:
4899:
4873:
4871:
4870:
4865:
4860:
4845:
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