2769:
2194:
1795:
3066:
1955:
1247:
1152:
2295:
1572:
3098:
is a software package for standard eigenvalue problems as well as nonlinear eigenvalue problems, designed from density-matrix representation in quantum mechanics combined with contour integration techniques.
1650:
387:
2014:
2817:
2652:
2077:
340:
2552:
1483:
1431:
415:
2964:
1303:
587:
2854:
2487:
2394:
531:
454:
2928:
2345:
2072:
2969:
661:
1657:
879:
3594:
Lietaert, Pieter; Meerbergen, Karl; PĂ©rez, Javier; Vandereycken, Bart (13 April 2022). "Automatic rational approximation and linearization of nonlinear eigenvalue problems".
1831:
81:
496:
3520:
GĂĽttel, Stefan; Van
Beeumen, Roel; Meerbergen, Karl; Michiels, Wim (1 January 2014). "NLEIGS: A Class of Fully Rational Krylov Methods for Nonlinear Eigenvalue Problems".
835:
244:
3156:
The review paper of GĂĽttel & Tisseur contains MATLAB code snippets implementing basic Newton-type methods and contour integration methods for nonlinear eigenproblems.
1368:
795:
277:
1017:
3832:
3820:
2454:
1335:
1057:
909:
740:
297:
184:
164:
3464:
Betcke, Timo; Higham, Nicholas J.; Mehrmann, Volker; Schröder, Christian; Tisseur, Françoise (February 2013). "NLEVP: A Collection of
Nonlinear Eigenvalue Problems".
763:
110:
687:
2878:
2640:
2609:
3657:
Jarlebring, Elias; Bennedich, Max; Mele, Giampaolo; Ringh, Emil; Upadhyaya, Parikshit (23 November 2018). "NEP-PACK: A Julia package for nonlinear eigenproblems".
3142:(Rational Krylov Toolbox) contains implementations of the rational Krylov method for nonlinear eigenvalue problems as well as features for rational approximation.
613:
3186:
2578:
2434:
2414:
1037:
975:
955:
935:
715:
208:
135:
1846:
2205:
1157:
3429:
Hernandez, Vicente; Roman, Jose E.; Vidal, Vicente (September 2005). "SLEPc: A scalable and flexible toolkit for the solution of eigenvalue problems".
1062:
1383:
32:
1493:
3120:
contains an implementation of the compact rational Krylov algorithm that exploits the
Kronecker structure of the linearization pencils.
3413:
1579:
345:
3870:
3168:
Eigenvector nonlinearities is a related, but different, form of nonlinearity that is sometimes studied. In this case the function
3153:
contains many implementations of various numerical methods for nonlinear eigenvalue problems, as well as many benchmark problems.
1435:
743:
2764:{\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}
2189:{\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1})\in \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\times \dots \times \mathbb {C} ^{n}}
1960:
3146:
2774:
1487:
1313:
1840:
3403:
2857:
914:
317:
2492:
308:
1441:
1389:
392:
2933:
3886:
2555:
2197:
1252:
540:
2826:
2459:
2350:
501:
424:
2883:
2300:
2031:
143:
1790:{\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m_{1}}A_{i}\lambda ^{i}+\sum _{i=1}^{m_{2}}B_{i}r_{i}(\lambda ),}
622:
3128:
3109:
contains an implementation of fully rational Krylov with a dynamically constructed rational interpolant.
840:
3796:
3701:
3529:
3290:
3224:
1800:
719:
139:
113:
45:
463:
616:
814:
217:
3756:
3725:
3691:
3658:
3603:
3576:
3500:
3481:
3446:
3364:
3336:
3314:
3259:
2820:
1344:
771:
253:
984:
3776:
3717:
3409:
3356:
3306:
3251:
2439:
1834:
1320:
1042:
894:
725:
282:
169:
149:
3809:
748:
89:
3766:
3709:
3613:
3568:
3537:
3473:
3438:
3348:
3298:
3243:
3189:
3061:{\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )=\sum _{k=0}^{\ell }x_{k}(\lambda -\lambda _{0})^{k}.}
666:
16:
Mathematical equation involving a matrix-valued function that is singular at the eigenvalue.
3855:
2863:
2618:
2587:
3632:
3332:
592:
3705:
3533:
3294:
3228:
3150:
1950:{\displaystyle M(\lambda )=-I\lambda +A_{0}+\sum _{i=1}^{m}A_{i}e^{-\tau _{i}\lambda },}
3171:
3080:
contains C-implementations of many numerical methods for nonlinear eigenvalue problems.
2563:
2419:
2399:
1022:
960:
940:
920:
700:
193:
120:
3880:
3815:
3745:"A density matrix approach to the convergence of the self-consistent field iteration"
3680:"An Inverse Iteration Method for Eigenvalue Problems with Eigenvector Nonlinearities"
3556:
3399:
1242:{\displaystyle \left.{\frac {d^{\ell }\det(M(z))}{dz^{\ell }}}\right|_{z=\lambda }=0}
3729:
3580:
3450:
3368:
3263:
3485:
3392:
3131:
contains an implementation of CORK with rational approximation by set-valued AAA.
1147:{\displaystyle \left.{\frac {d^{k}\det(M(z))}{dz^{k}}}\right|_{z=\lambda }\neq 0}
3801:
690:
36:
20:
3840:
3679:
3091:
package containing many nonlinear eigenvalue problems with various properties.
3247:
978:
798:
3780:
3721:
3617:
3360:
3310:
3278:
3255:
3866:
3477:
3442:
1338:
3352:
3337:"Nonlinear eigenvalue problems: a challenge for modern eigenvalue methods"
3818:
and Henk A. van der Vorst, "Eigenvalue computation in the 20th century,"
3771:
3744:
2584:
of the Jordan chain, and the maximal length a Jordan chain starting with
1378:
The following examples are special cases of the nonlinear eigenproblem.
801:, but most commonly it is a finite-dimensional, usually square, matrix.
3743:
Upadhyaya, Parikshit; Jarlebring, Elias; Rubensson, Emanuel H. (2021).
3318:
3106:
3713:
3572:
3541:
2290:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\ell }M^{(k)}(\lambda _{0})x_{\ell -k}=0,}
3135:
3124:
3117:
3113:
3102:
3088:
3302:
3084:
39:
on the eigenvalue. Specifically, it refers to equations of the form
3761:
3663:
3608:
3557:"Compact rational Krylov methods for nonlinear eigenvalue problems"
3505:
3696:
3631:
Berljafa, Mario; Steven, Elsworth; GĂĽttel, Stefan (15 July 2020).
3077:
1567:{\displaystyle M(\lambda )=A_{0}+\lambda A_{1}+\lambda ^{2}A_{2}.}
3499:
Polizzi, Eric (2020). "FEAST Eigenvalue Solver v4.0 User Guide".
3851:
3139:
3095:
3678:
Jarlebring, Elias; Kvaal, Simen; Michiels, Wim (2014-01-01).
1645:{\displaystyle M(\lambda )=\sum _{i=0}^{m}\lambda ^{i}A_{i}.}
382:{\displaystyle M:\Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n\times n}}
3555:
Van
Beeumen, Roel; Meerbergen, Karl; Michiels, Wim (2015).
1163:
1068:
3799:
and Karl
Meerbergen, "The quadratic eigenvalue problem,"
3863:
Rational Krylov methods fornonlinear eigenvalue problems
3848:
Robust solution methods fornonlinear eigenvalue problems
389:
be a function that maps scalars to matrices. A scalar
3174:
2972:
2936:
2886:
2866:
2829:
2777:
2655:
2621:
2590:
2566:
2495:
2462:
2442:
2422:
2402:
2353:
2303:
2208:
2080:
2034:
1963:
1849:
1803:
1660:
1582:
1496:
1444:
1392:
1347:
1323:
1255:
1160:
1065:
1045:
1025:
987:
963:
943:
923:
897:
843:
817:
774:
751:
728:
703:
669:
625:
595:
543:
504:
466:
427:
395:
348:
320:
285:
256:
220:
196:
172:
152:
123:
92:
48:
3408:(2 ed.). Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC.
2009:{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\dots ,\tau _{m}}
619:. The definition of the eigenvalue is equivalent to
3180:
3060:
2958:
2922:
2872:
2848:
2812:{\displaystyle M(\lambda )\chi _{\ell }(\lambda )}
2811:
2763:
2634:
2603:
2572:
2546:
2481:
2448:
2428:
2408:
2388:
2339:
2289:
2188:
2066:
2008:
1949:
1825:
1789:
1644:
1566:
1477:
1425:
1362:
1329:
1297:
1241:
1146:
1051:
1031:
1011:
969:
949:
929:
903:
873:
829:
789:
757:
734:
709:
681:
655:
607:
581:
525:
490:
448:
409:
381:
334:
291:
271:
238:
202:
178:
158:
129:
104:
75:
3279:"Algorithms for the Nonlinear Eigenvalue Problem"
3085:NLEVP collection of nonlinear eigenvalue problems
3833:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
3821:Journal of Computational and Applied Mathematics
3561:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
1178:
1083:
988:
844:
670:
626:
3830:Philippe Guillaume, "Nonlinear eigenproblems,"
2771:is a Jordan chain if and only if the function
3749:Numerical Algebra, Control & Optimization
335:{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }
311:the following definition is typically used.
8:
2547:{\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{r-1}}
3770:
3760:
3695:
3662:
3607:
3504:
3466:ACM Transactions on Mathematical Software
3431:ACM Transactions on Mathematical Software
3173:
3049:
3039:
3020:
3010:
2999:
2977:
2971:
2941:
2935:
2885:
2865:
2840:
2828:
2794:
2776:
2755:
2751:
2750:
2734:
2730:
2729:
2719:
2715:
2714:
2695:
2676:
2663:
2654:
2626:
2620:
2595:
2589:
2565:
2532:
2513:
2500:
2494:
2473:
2461:
2441:
2421:
2401:
2377:
2358:
2352:
2302:
2266:
2253:
2234:
2224:
2213:
2207:
2180:
2176:
2175:
2159:
2155:
2154:
2144:
2140:
2139:
2120:
2101:
2088:
2079:
2055:
2042:
2033:
2000:
1981:
1968:
1962:
1933:
1925:
1915:
1905:
1894:
1881:
1848:
1808:
1802:
1769:
1759:
1747:
1742:
1731:
1718:
1708:
1696:
1691:
1680:
1659:
1633:
1623:
1613:
1602:
1581:
1555:
1545:
1532:
1516:
1495:
1443:
1391:
1346:
1322:
1254:
1221:
1208:
1172:
1165:
1159:
1126:
1113:
1077:
1070:
1064:
1044:
1024:
986:
962:
942:
922:
896:
842:
816:
773:
750:
727:
702:
668:
624:
599:
594:
573:
548:
542:
517:
513:
512:
503:
465:
440:
436:
435:
426:
403:
402:
394:
367:
363:
362:
347:
328:
327:
319:
284:
255:
219:
195:
171:
151:
122:
91:
47:
1478:{\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda B.}
1426:{\displaystyle M(\lambda )=A-\lambda I.}
410:{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
31:, is a generalization of the (ordinary)
3633:"An overview of the example collection"
3200:
3188:maps vectors to matrices, or sometimes
2959:{\displaystyle \chi _{\ell }(\lambda )}
1298:{\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,k-1}
957:is the smallest integer such that the
582:{\displaystyle y^{H}M(\lambda )=0^{H}}
2849:{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}
2482:{\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}
2389:{\displaystyle M^{(k)}(\lambda _{0})}
526:{\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{n}}
449:{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}
7:
3684:SIAM Journal on Scientific Computing
3522:SIAM Journal on Scientific Computing
3386:
3384:
3382:
3380:
3378:
3218:
3216:
3214:
3212:
3210:
3208:
3206:
3204:
2923:{\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}
2340:{\displaystyle \ell =0,1,\dots ,r-1}
2074:be an eigenpair. A tuple of vectors
2067:{\displaystyle (\lambda _{0},x_{0})}
2930:, where the vector valued function
2016:are given scalars, known as delays.
1576:The polynomial eigenvalue problem:
656:{\displaystyle \det(M(\lambda ))=0}
3283:SIAM Journal on Numerical Analysis
3229:"The nonlinear eigenvalue problem"
1436:The generalized eigenvalue problem
824:
752:
355:
321:
14:
3596:IMA Journal of Numerical Analysis
1654:The rational eigenvalue problem:
1488:The quadratic eigenvalue problem
874:{\displaystyle \det(M(z))\neq 0}
3393:"Nonlinear eigenvalue problems"
1826:{\displaystyle r_{i}(\lambda )}
76:{\displaystyle M(\lambda )x=0,}
3076:The eigenvalue solver package
3046:
3026:
2989:
2983:
2953:
2947:
2806:
2800:
2787:
2781:
2707:
2656:
2383:
2370:
2365:
2359:
2259:
2246:
2241:
2235:
2132:
2081:
2061:
2035:
1859:
1853:
1820:
1814:
1781:
1775:
1670:
1664:
1592:
1586:
1506:
1500:
1454:
1448:
1402:
1396:
1357:
1351:
1196:
1193:
1187:
1181:
1101:
1098:
1092:
1086:
1006:
1003:
997:
991:
862:
859:
853:
847:
784:
778:
676:
673:
644:
641:
635:
629:
563:
557:
491:{\displaystyle M(\lambda )x=0}
476:
470:
358:
266:
260:
233:
221:
58:
52:
1:
1059:is nonzero. In formulas that
881:. Otherwise it is said to be
498:. Moreover, a nonzero vector
279:is singular at an eigenvalue
1841:The delay eigenvalue problem
830:{\displaystyle z\in \Omega }
718:is usually required to be a
239:{\displaystyle (\lambda ,x)}
186:is known as the (nonlinear)
29:nonlinear eigenvalue problem
1363:{\displaystyle M(\lambda )}
790:{\displaystyle M(\lambda )}
272:{\displaystyle M(\lambda )}
3903:
3405:Handbook of Linear Algebra
1012:{\displaystyle \det(M(z))}
807:The problem is said to be
3335:; Voss, Heinrich (2004).
3248:10.1017/S0962492917000034
35:to equations that depend
3192:to hermitian matrices.
3164:Eigenvector nonlinearity
2557:generalized eigenvectors
2449:{\displaystyle \lambda }
1337:is the dimension of the
1330:{\displaystyle \lambda }
1052:{\displaystyle \lambda }
904:{\displaystyle \lambda }
735:{\displaystyle \lambda }
589:, where the superscript
309:numerical linear algebra
292:{\displaystyle \lambda }
179:{\displaystyle \lambda }
159:{\displaystyle \lambda }
3478:10.1145/2427023.2427024
3443:10.1145/1089014.1089019
3391:Voss, Heinrich (2014).
3096:FEAST eigenvalue solver
758:{\displaystyle \Omega }
421:, and a nonzero vector
105:{\displaystyle x\neq 0}
3618:10.1093/imanum/draa098
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