617:
1747:
434:
6017:
2491:
2707:
6816:
to be exact on the right hand side. Moreover, for special cases discussed below, we are now considering the quotient as a continuation of the previous sequence as a triangle in some triangulated category. This is because the local stack quotient
2879:
3486:
2346:
215:
3734:
4051:
3112:
6380:
5487:
3569:
6814:
5375:
5253:
2233:
5872:
1241:
7480:
4323:
5003:
1860:
337:
7336:
1491:
1657:
921:
788:
5938:
1674:
7248:
1150:
6944:
5581:
496:
4207:
2356:
4870:
1032:
2351:
2592:
4525:
This construction defines a tool analogous to differential topology where non-transverse intersections are performed in a tubular neighborhood of the intersection. Now, the intersection of
4441:
7720:
2741:
6468:
6422:
5174:
4403:
3160:
1404:
7175:
7604:
6729:
3373:
5933:
4905:
4519:
1324:
667:
2245:
956:
4478:
3317:
125:
5790:
5660:
5076:
3625:
7007:
3945:
3278:
3047:
2131:
1549:
6233:
6293:
6137:
6046:
5689:
5610:
5409:
5404:
5282:
4352:
3898:
2736:
5751:
5720:
3511:
1784:
487:
5527:
3620:
3368:
6734:
3920:
3815:
1355:
7538:
3226:
3193:
3044:
so the points of interest are smooth points on the plane, smooth points on the axis, and the point on their intersection. Any smooth point on the plane is given by a map
5820:
1914:
1062:
6104:
6072:
5898:
4931:
3778:
3042:
7994:
6594:
4091:
2587:
818:
7077:
7042:
4658:
4262:
4146:
2097:
2045:
1982:
1290:
99:
7564:
7506:
7416:
6522:
5126:
5037:
1519:
1176:
7367:
983:
5194:
2549:
2520:
2071:
2016:
2950:
7387:
7268:
7200:
6976:
6634:
6614:
6562:
6542:
6488:
6285:
6261:
6202:
6178:
5202:
5096:
4623:
4603:
4583:
4563:
4543:
4227:
4111:
3940:
3843:
3506:
3010:
2990:
2970:
2927:
2907:
2136:
1934:
1888:
6881:
1188:
4267:
1558:
827:
5293:
5825:
8041:
8006:
1067:
6886:
5532:
1789:
7421:
4151:
4828:
4936:
1409:
7277:
6470:. A concrete interpretation of this stack quotient can be given by looking at its behavior locally in the etale topos of the stack
7609:
742:
7082:
6639:
612:{\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}
7205:
4782:
then its normal cone is a vector bundle, so we are reduced to the problem of finding the intersection product of a subscheme
622:
8033:
2019:
672:
8084:
429:{\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y}
988:
8079:
6425:
6731:
meaning we can understand the intrinsic normal bundle as a stacky incarnation for the failure of the normal sequence
4408:
6181:
6012:{\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,}
1742:{\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}
8028:
7745:
6431:
6385:
5138:
5006:
4361:
3117:
490:
1037:
7569:
3015:
5903:
4875:
4483:
2554:
1255:
928:
8064:
4448:
3283:
5756:
5626:
5042:
2486:{\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}
281:
6981:
3231:
2889:
The normal cone's geometry can be further explored by looking at the fibers for various closed points of
2702:{\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}}{(ya-xb)}}\right)}
2133:
be an effective
Cartier divisor. Then the normal bundle to it (or equivalently the normal cone to it) is
1298:
7740:
2110:
1528:
257:
6207:
1360:
6113:
6022:
5665:
5586:
5380:
5258:
4328:
3848:
2712:
1992:.) This property is a key to an application in intersection theory: given a pair of closed subschemes
5725:
5694:
4825:
Concretely, the deformation to the normal cone can be constructed by means of blowup. Precisely, let
2874:{\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} }{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}
43:
447:
7418:
is a
Deligne-Mumford Type (DM-type) morphism of Artin Stacks which is locally of finite type. Then
5493:
3574:
3322:
7730:
3903:
3783:
3481:{\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} }{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} }
7977:
7951:
7920:
7894:
7852:
7511:
4775:
3198:
3165:
1183:
334:
The normal cone (or rather its projective cousin) appears as a result of blow-up. Precisely, let
312:
5799:
1893:
17:
6083:
6051:
5877:
4910:
3739:
2341:{\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} }{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}
1752:
8037:
8002:
7969:
7912:
7339:
6567:
6236:
4064:
797:
791:
224:
210:{\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}\right).}
7047:
7012:
4628:
4232:
4116:
3729:{\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} }{(0)}}\cong \mathbb {C} }
2076:
2024:
1952:
1329:
1260:
69:
8023:
7961:
7904:
7862:
7543:
7485:
7395:
6501:
5101:
5012:
4046:{\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} /\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)}
3107:{\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}}
1498:
1155:
8051:
8016:
7345:
2047:
has irreducible components of various dimensions, depending delicately on the positions of
961:
8047:
8012:
7998:
5179:
2525:
2496:
1660:
1522:
1179:
6375:{\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}
6048:. Item 3 follows from the fact the blowdown map π is an isomorphism away from the center
5482:{\displaystyle X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).}
2050:
1995:
3564:{\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}}
2932:
7372:
7253:
7185:
6961:
6619:
6599:
6547:
6527:
6473:
6288:
6270:
6246:
6187:
6163:
5081:
4810:. However this intersection product is just given by applying the Gysin isomorphism to
4608:
4588:
4568:
4548:
4528:
4212:
4096:
3925:
3828:
3491:
2995:
2975:
2955:
2912:
2892:
1938:
1919:
1873:
324:
6820:
4700:. Deformation to the normal cone in this case means that we replace the embeddings of
8073:
6809:{\displaystyle {\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}}
253:
120:
39:
7981:
7924:
1551:
is a regular embedding, then there is a natural exact sequence of vector bundles on
7271:
2589:
We can use this to give a presentation of the normal cone as the relative spectrum
249:
820:
is a regular embedding and there is a natural exact sequence of vector bundles on
248:
is a point, then the normal cone and the normal bundle to it are also called the
7735:
28:
5005:, the projective completion of the normal cone; for the notation used here see
7973:
7916:
4669:
2738:
is affine, we can just write out the relative spectrum as the affine scheme
7867:
7844:
5370:{\displaystyle \rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)}
3488:
giving the normal cone as a one dimensional line, as expected. For a point
3228:. Since it is arbitrary which point we take, for convenience let us assume
7965:
7908:
5248:{\displaystyle {\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}
4053:
showing the normal cone has more components than the scheme it lies over.
2228:{\displaystyle N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}.}
7956:
7899:
7843:
Battistella, Luca; Carocci, Francesca; Manolache, Cristina (2020-04-09).
5867:{\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}
1236:{\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}
6080:
Now, the last item in the previous paragraph implies that the image of
683:; there is a natural bijection between the set of closed subschemes of
7942:
Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-01). "The intrinsic normal cone".
7885:
Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-19). "The intrinsic normal cone".
7482:
is characterised as the closed substack such that, for any étale map
6075:
4148:(as the zero section) in the following sense: there is a flat family
7475:{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}
7857:
7775:
7773:
4318:{\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}
4668:
One application of this is to define intersection products in the
4998:{\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}
444:. Then, by definition, the exceptional divisor is the pre-image
6074:. The last two items are seen from explicit local computation.
7849:
Symmetry, Integrability and
Geometry: Methods and Applications
7331:{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}
5796:
Item 1 is clear (check torsion-free-ness). In general, given
1652:{\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0,}
916:{\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0.}
6913:
6896:
6787:
6758:
6741:
2643:
2190:
2164:
549:
533:
7997:. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York:
783:{\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}
227:
the normal cone is the normal bundle, the vector bundle on
4093:
is an embedding. This can be deformed to the embedding of
3780:, the normal cone over that point is again isomorphic to
2348:
then, we can compute the normal cone by first observing
268:
is affine, the definition means that the normal cone to
38:
of a subscheme of a scheme is a scheme analogous to the
7243:{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}
1145:{\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.}
7794:, p. The first part of the proof of Theorem 6.5..
6939:{\displaystyle B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}}
4585:
can be given as the pushforward of an intersection of
3516:
3052:
1679:
991:
499:
7612:
7572:
7546:
7514:
7488:
7424:
7398:
7375:
7348:
7280:
7256:
7208:
7188:
7085:
7050:
7015:
6984:
6964:
6889:
6823:
6737:
6642:
6622:
6602:
6570:
6550:
6530:
6504:
6476:
6434:
6388:
6296:
6273:
6249:
6210:
6190:
6166:
6116:
6086:
6054:
6025:
5941:
5906:
5880:
5828:
5802:
5759:
5728:
5697:
5668:
5629:
5589:
5576:{\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}}
5535:
5496:
5412:
5383:
5296:
5261:
5205:
5182:
5141:
5104:
5084:
5045:
5015:
4939:
4913:
4878:
4831:
4631:
4611:
4591:
4571:
4551:
4531:
4486:
4451:
4411:
4364:
4331:
4270:
4264:
such that there exists a family of closed embeddings
4235:
4215:
4154:
4119:
4099:
4067:
3948:
3928:
3906:
3851:
3831:
3786:
3742:
3628:
3577:
3514:
3494:
3376:
3325:
3286:
3234:
3201:
3168:
3120:
3050:
3018:
2998:
2978:
2958:
2935:
2915:
2895:
2744:
2715:
2595:
2557:
2528:
2499:
2354:
2248:
2139:
2113:
2079:
2053:
2027:
1998:
1955:
1922:
1896:
1876:
1855:{\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}
1792:
1755:
1677:
1561:
1531:
1501:
1412:
1363:
1332:
1301:
1263:
1191:
1158:
1070:
1040:
964:
931:
830:
800:
745:
625:
450:
340:
128:
72:
6498:
More concretely, suppose there is an étale morphism
4688:, and we wish to define the intersection product of
4202:{\displaystyle \pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}}
3942:
the point at the node, the cone has the isomorphism
1989:
7714:
7598:
7558:
7532:
7500:
7474:
7410:
7381:
7361:
7330:
7262:
7242:
7194:
7169:
7071:
7036:
7001:
6970:
6938:
6875:
6808:
6723:
6628:
6608:
6588:
6556:
6536:
6516:
6482:
6462:
6416:
6374:
6279:
6255:
6227:
6196:
6172:
6131:
6098:
6066:
6040:
6011:
5927:
5892:
5866:
5814:
5784:
5745:
5714:
5683:
5654:
5604:
5575:
5521:
5481:
5398:
5369:
5276:
5247:
5188:
5168:
5120:
5090:
5070:
5031:
4997:
4925:
4899:
4865:{\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}
4864:
4652:
4617:
4597:
4577:
4557:
4537:
4513:
4472:
4435:
4397:
4346:
4317:
4256:
4221:
4201:
4140:
4105:
4085:
4045:
3934:
3914:
3892:
3837:
3809:
3772:
3728:
3614:
3563:
3500:
3480:
3362:
3311:
3272:
3220:
3187:
3154:
3106:
3036:
3004:
2984:
2964:
2944:
2921:
2901:
2873:
2730:
2701:
2581:
2543:
2514:
2485:
2340:
2227:
2125:
2091:
2065:
2039:
2010:
1976:
1945:; i.e., every irreducible component has dimension
1928:
1908:
1882:
1854:
1778:
1741:
1659:(which is a special case of an exact sequence for
1651:
1543:
1513:
1485:
1398:
1349:
1318:
1284:
1235:
1170:
1144:
1056:
1027:{\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}
1026:
977:
950:
915:
812:
782:
671:The global sections of the normal bundle classify
661:
611:
481:
428:
209:
93:
7009:, is then defined by replacing the normal bundle
7995:Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
7202:is a local complete intersection if and only if
7845:"Virtual classes for the working mathematician"
1486:{\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}
5620:and is viewed as an effective Cartier divisor.
4436:{\displaystyle X\times \{t\}\hookrightarrow Y}
1786:the vertical map, there is a closed embedding
8:
7715:{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=.}
4424:
4418:
4392:
4386:
1890:be a scheme of finite type over a field and
27:For normal cones in real vector spaces, see
8036:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
7369:, which is a commutative group scheme over
6463:{\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}
6417:{\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}
5900:is already an effective Cartier divisor on
5169:{\displaystyle \rho :M\to \mathbb {P} ^{1}}
5007:Cone (algebraic geometry) § Properties
4770:. This can be much easier: for example, if
4405:the associated embeddings are an embedding
4398:{\displaystyle t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}}
3155:{\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }
7764:
7170:{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=.}
4742:), so that we want to find the product of
7955:
7898:
7866:
7856:
7700:
7695:
7684:
7680:
7671:
7661:
7657:
7641:
7636:
7625:
7621:
7615:
7614:
7611:
7599:{\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}
7584:
7579:
7575:
7574:
7571:
7545:
7513:
7487:
7462:
7458:
7452:
7451:
7437:
7433:
7427:
7426:
7423:
7397:
7374:
7353:
7347:
7322:
7306:
7300:
7299:
7289:
7283:
7282:
7279:
7255:
7234:
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7227:
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7145:
7136:
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7087:
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7014:
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6987:
6986:
6983:
6963:
6918:
6912:
6911:
6901:
6895:
6894:
6888:
6864:
6854:
6845:
6835:
6831:
6822:
6796:
6792:
6786:
6785:
6775:
6770:
6763:
6757:
6756:
6746:
6740:
6739:
6736:
6724:{\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=}
6712:
6702:
6693:
6683:
6679:
6663:
6658:
6651:
6645:
6644:
6641:
6621:
6601:
6569:
6564:together with a locally closed immersion
6549:
6529:
6503:
6475:
6448:
6443:
6437:
6436:
6433:
6402:
6397:
6391:
6390:
6387:
6363:
6357:
6350:
6344:
6343:
6333:
6324:
6318:
6305:
6299:
6298:
6295:
6272:
6248:
6219:
6213:
6212:
6209:
6189:
6165:
6118:
6117:
6115:
6085:
6053:
6027:
6026:
6024:
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5990:
5989:
5967:
5954:
5950:
5949:
5940:
5919:
5915:
5914:
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5879:
5852:
5833:
5827:
5801:
5767:
5760:
5758:
5730:
5729:
5727:
5699:
5698:
5696:
5670:
5669:
5667:
5637:
5630:
5628:
5591:
5590:
5588:
5562:
5561:
5543:
5536:
5534:
5501:
5495:
5461:
5457:
5456:
5428:
5424:
5423:
5411:
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5384:
5382:
5352:
5348:
5347:
5319:
5315:
5314:
5301:
5295:
5268:
5264:
5263:
5260:
5233:
5229:
5228:
5207:
5206:
5204:
5181:
5160:
5156:
5155:
5140:
5109:
5103:
5083:
5053:
5046:
5044:
5020:
5014:
4977:
4966:
4965:
4947:
4940:
4938:
4912:
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4887:
4886:
4877:
4856:
4852:
4851:
4830:
4640:
4636:
4630:
4610:
4590:
4570:
4550:
4530:
4501:
4497:
4485:
4464:
4460:
4459:
4450:
4410:
4377:
4373:
4372:
4363:
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4334:
4333:
4330:
4309:
4300:
4296:
4283:
4279:
4278:
4269:
4244:
4240:
4234:
4214:
4193:
4189:
4188:
4178:
4169:
4165:
4153:
4128:
4124:
4118:
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4027:
4014:
4000:
3981:
3980:
3970:
3957:
3953:
3947:
3927:
3908:
3907:
3905:
3869:
3856:
3850:
3830:
3788:
3787:
3785:
3741:
3707:
3706:
3670:
3669:
3666:
3657:
3652:
3645:
3641:
3640:
3633:
3627:
3603:
3576:
3551:
3515:
3513:
3493:
3465:
3464:
3446:
3418:
3417:
3414:
3405:
3400:
3393:
3389:
3388:
3381:
3375:
3339:
3324:
3303:
3299:
3298:
3291:
3285:
3258:
3239:
3233:
3206:
3200:
3173:
3167:
3148:
3147:
3138:
3125:
3119:
3083:
3065:
3051:
3049:
3017:
2997:
2977:
2957:
2934:
2914:
2894:
2783:
2782:
2779:
2770:
2761:
2757:
2756:
2749:
2743:
2722:
2718:
2717:
2714:
2648:
2642:
2641:
2637:
2627:
2622:
2612:
2608:
2607:
2600:
2594:
2556:
2527:
2498:
2470:
2460:
2447:
2428:
2418:
2398:
2355:
2353:
2332:
2328:
2327:
2268:
2267:
2264:
2255:
2247:
2216:
2211:
2195:
2189:
2188:
2169:
2163:
2162:
2148:
2144:
2138:
2112:
2078:
2052:
2026:
1997:
1964:
1960:
1954:
1921:
1895:
1875:
1842:
1838:
1828:
1806:
1797:
1791:
1754:
1678:
1676:
1630:
1626:
1613:
1608:
1597:
1593:
1576:
1572:
1560:
1530:
1500:
1466:
1452:
1448:
1426:
1417:
1411:
1382:
1362:
1331:
1300:
1272:
1268:
1262:
1224:
1211:
1190:
1157:
1133:
1128:
1117:
1111:
1106:
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1079:
1075:
1069:
1048:
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1012:
1002:
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969:
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936:
930:
897:
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862:
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841:
829:
799:
764:
744:
644:
633:
632:
624:
597:
588:
582:
572:
567:
554:
548:
547:
538:
532:
531:
529:
519:
509:
504:
498:
461:
449:
409:
399:
388:
370:
351:
339:
187:
178:
172:
162:
151:
133:
127:
81:
77:
71:
5928:{\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}
4900:{\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}
4514:{\displaystyle X\hookrightarrow C_{X/Y}}
1988:. (This can be seen as a consequence of
7757:
958:are regular embeddings of codimensions
662:{\displaystyle E=\mathbb {P} (C_{X}Y).}
231:corresponding to the dual of the sheaf
7827:
7815:
7803:
7791:
7779:
1034:is a regular embedding of codimension
951:{\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}
6494:Properties of intrinsic normal bundle
5199:There is an induced closed embedding
4473:{\displaystyle 0\in \mathbb {P} ^{1}}
3312:{\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}}
7:
7880:
7878:
7838:
7836:
6184:locally of finite type over a field
6139:. Thus, one gets the deformation of
5785:{\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}
5655:{\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}
5071:{\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}
3508:on the axis, this is given by a map
7616:
7453:
7428:
7301:
7284:
7229:
7212:
7089:
7002:{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}
6988:
6646:
6438:
6392:
6345:
6300:
6214:
5406:restricts to the trivial embedding
5098:is embedded as a zero-section into
3736:which gives a plane. At the origin
3273:{\displaystyle z_{1}\neq 0,z_{2}=0}
2493:If we make the auxiliary variables
2242:Consider the non-regular embedding
1319:{\displaystyle X\hookrightarrow X'}
673:embedded infinitesimal deformations
2126:{\displaystyle D\hookrightarrow X}
1671:For a Cartesian square of schemes
1544:{\displaystyle X\hookrightarrow Y}
1192:
735:Compositions of regular embeddings
573:
510:
400:
163:
115:, defined by some sheaf of ideals
25:
7767:, p. Ch. III, Exercise 9.7..
6596:into a smooth affine finite-type
6228:{\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}
6143:to the zero-section embedding of
5290:is trivial away from zero; i.e.,
2018:in some ambient space, while the
1399:{\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}
7540:factors through some smooth map
6132:{\displaystyle {\widetilde {Y}}}
6041:{\displaystyle {\widetilde {i}}}
5684:{\displaystyle {\widetilde {Y}}}
5605:{\displaystyle {\widetilde {Y}}}
5399:{\displaystyle {\widetilde {i}}}
5277:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
5196:followed by projection, is flat.
4347:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
3893:{\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}
2731:{\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}
1182:, then the normal bundle to the
18:Normal cone (algebraic geometry)
5746:{\displaystyle \mathbb {P} (C)}
5715:{\displaystyle \mathbb {P} (C)}
1990:#Deformation to the normal cone
7706:
7696:
7650:
7637:
7590:
7550:
7524:
7518:
7492:
7402:
7161:
7115:
7102:
6933:
6924:
6870:
6824:
6781:
6771:
6752:
6718:
6672:
6659:
6580:
6508:
6369:
6339:
6000:
5740:
5734:
5709:
5703:
5516:
5510:
5473:
5452:
5443:
5440:
5419:
5364:
5343:
5331:
5310:
5239:
5151:
4992:
4970:
4841:
4490:
4427:
4289:
4184:
4077:
4057:Deformation to the normal cone
3997:
3985:
3887:
3875:
3804:
3792:
3767:
3749:
3723:
3711:
3697:
3691:
3686:
3674:
3653:
3609:
3584:
3544:
3533:
3522:
3475:
3469:
3455:
3439:
3434:
3422:
3401:
3357:
3332:
3094:
3076:
3058:
2861:
2825:
2820:
2808:
2805:
2787:
2689:
2671:
2666:
2654:
2476:
2411:
2387:
2369:
2323:
2313:
2295:
2290:
2272:
2212:
2207:
2201:
2181:
2175:
2117:
1821:
1770:
1727:
1715:
1709:
1692:
1640:
1619:
1609:
1586:
1565:
1535:
1505:
1341:
1305:
1201:
1162:
1129:
1018:
942:
907:
876:
855:
834:
774:
755:
653:
637:
482:{\displaystyle E=\pi ^{-1}(X)}
476:
470:
420:
1:
8034:Graduate Texts in Mathematics
5522:{\displaystyle \rho ^{-1}(0)}
4933:. The exceptional divisor is
3615:{\displaystyle q=(0,0,z_{3})}
3571:hence the fiber at the point
3363:{\displaystyle p=(z_{1},0,0)}
2020:scheme-theoretic intersection
1357:is a flat morphism such that
1326:is a closed immersion and if
5777:
5647:
5553:
5063:
4957:
3915:{\displaystyle \mathbb {C} }
3810:{\displaystyle \mathbb {C} }
2885:Geometry of this normal cone
1247:-fold) is the direct sum of
315:, then the normal bundle to
7818:, p. Appendix B. 6.6..
7533:{\displaystyle U\to X\to Y}
6524:from an affine finite-type
6382:which is the stack of fppf
3221:{\displaystyle z_{2}\neq 0}
3188:{\displaystyle z_{1}\neq 0}
2881:giving us the normal cone.
702:of dual numbers and having
34:In algebraic geometry, the
8101:
7830:, p. Appendix B.6.2..
7806:, p. Appendix B 7.1..
7782:, p. Appendix B.7.4..
5815:{\displaystyle X\subset Y}
5529:as the divisor is the sum
4521:given by the zero section.
3825:For the nodal cubic curve
2909:. Note that geometrically
1984:is also of pure dimension
1909:{\displaystyle W\subset X}
1057:{\displaystyle \sum c_{i}}
706:as the special fiber, and
46:in differential geometry.
26:
8065:Fibers of the normal cone
7746:Virtual fundamental class
6099:{\displaystyle X\times 0}
6067:{\displaystyle X\times 0}
5893:{\displaystyle X\times 0}
4926:{\displaystyle X\times 0}
4680:are closed subschemes of
3773:{\displaystyle r=(0,0,0)}
3037:{\displaystyle X=H\cup L}
1779:{\displaystyle f:X'\to X}
7989:Fulton, William (1998),
7944:Inventiones Mathematicae
7887:Inventiones Mathematicae
6589:{\displaystyle f:U\to M}
5255:that is a morphism over
5039:is an open subscheme of
4086:{\displaystyle i:X\to Y}
3845:given by the polynomial
2582:{\displaystyle ya-xb=0.}
813:{\displaystyle j\circ i}
7072:{\displaystyle C_{U/M}}
7037:{\displaystyle N_{U/M}}
6265:intrinsic normal bundle
6156:Intrinsic normal bundle
4653:{\displaystyle C_{X/Y}}
4257:{\displaystyle C_{X/Y}}
4141:{\displaystyle C_{X/Y}}
4113:inside the normal cone
2092:{\displaystyle V\cap X}
2040:{\displaystyle V\cap X}
1977:{\displaystyle C_{W/X}}
1916:a closed subscheme. If
1866:Dimension of components
1350:{\displaystyle Y'\to Y}
1285:{\displaystyle T_{X/S}}
1256:relative tangent bundle
94:{\displaystyle C_{X/Y}}
7868:10.3842/SIGMA.2020.026
7716:
7600:
7560:
7559:{\displaystyle M\to Y}
7534:
7502:
7501:{\displaystyle U\to X}
7476:
7412:
7411:{\displaystyle X\to Y}
7383:
7363:
7342:of the tangent bundle
7332:
7264:
7244:
7196:
7171:
7073:
7038:
7003:
6972:
6940:
6883:can be interpreted as
6877:
6810:
6725:
6630:
6610:
6590:
6558:
6538:
6518:
6517:{\displaystyle U\to X}
6484:
6464:
6418:
6376:
6281:
6257:
6229:
6198:
6174:
6147:into the normal cone.
6133:
6100:
6068:
6042:
6013:
5929:
5894:
5868:
5816:
5786:
5747:
5716:
5685:
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5606:
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5483:
5400:
5371:
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5170:
5122:
5121:{\displaystyle C_{X}Y}
5092:
5072:
5033:
5032:{\displaystyle C_{X}Y}
4999:
4927:
4901:
4866:
4806:with the zero section
4716:by their normal cones
4654:
4619:
4599:
4579:
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4539:
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2127:
2099:is of pure dimension.
2093:
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1910:
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1320:
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1237:
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1171:{\displaystyle X\to S}
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1028:
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613:
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514:
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404:
282:associated graded ring
211:
167:
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7909:10.1007/s002220050136
7741:Residual intersection
7717:
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7333:
7265:
7245:
7197:
7172:
7074:
7044:with the normal cone
7039:
7004:
6973:
6956:intrinsic normal cone
6941:
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6811:
6726:
6631:
6611:
6591:
6559:
6539:
6519:
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6465:
6419:
6377:
6282:
6258:
6230:
6199:
6182:Deligne–Mumford stack
6175:
6151:Intrinsic normal cone
6134:
6101:
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6014:
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5717:
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5657:
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5171:
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5000:
4928:
4902:
4867:
4655:
4620:
4605:with the pullback of
4600:
4580:
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4540:
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4400:
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3503:
3483:
3365:
3314:
3280:. Hence the fiber of
3275:
3223:
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2488:
2343:
2238:Non-regular Embedding
2230:
2128:
2094:
2073:, the normal cone to
2068:
2042:
2013:
1979:
1931:
1911:
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1857:
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1516:
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1401:
1352:
1321:
1287:
1238:
1173:
1147:
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1029:
980:
978:{\displaystyle c_{i}}
953:
918:
815:
785:
698:, flat over the ring
664:
614:
563:
500:
484:
431:
384:
260:) to the point. When
258:Zariski tangent space
212:
147:
96:
7610:
7606:), the pullback is:
7570:
7544:
7512:
7486:
7422:
7396:
7392:More generally, let
7373:
7346:
7278:
7254:
7250:. In particular, if
7206:
7186:
7083:
7048:
7013:
6982:
6962:
6887:
6821:
6735:
6640:
6636:. Then one can show
6620:
6600:
6568:
6548:
6528:
6502:
6474:
6432:
6386:
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6247:
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6164:
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5753:sits at infinity in
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5587:
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5494:
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5180:
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5082:
5043:
5013:
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4696:in the Chow ring of
4629:
4609:
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4569:
4549:
4529:
4484:
4480:is the embedding of
4449:
4409:
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2996:
2976:
2956:
2933:
2929:is the union of the
2913:
2893:
2742:
2713:
2593:
2555:
2551:we get the relation
2544:{\displaystyle b=yz}
2526:
2515:{\displaystyle a=xz}
2497:
2352:
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623:
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338:
126:
70:
44:tubular neighborhood
8085:Intersection theory
7991:Intersection theory
7589:
6459:
6413:
6368:
6110:does not intersect
4794:of a vector bundle
4314:
4209:with generic fiber
4183:
2066:{\displaystyle V,X}
2011:{\displaystyle V,X}
280:is the Spec of the
219:When the embedding
8080:Algebraic geometry
8029:Algebraic Geometry
7712:
7596:
7573:
7556:
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6999:
6968:
6946:in certain cases.
6936:
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6606:
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5612:is the blow-up of
5602:
5573:
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5367:
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5166:
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5068:
5029:
5009:. The normal cone
4995:
4923:
4897:
4872:be the blow-up of
4862:
4776:regularly embedded
4684:with intersection
4650:
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4595:
4575:
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4315:
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4254:
4229:and special fiber
4219:
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2945:{\displaystyle xy}
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1233:
1184:diagonal embedding
1168:
1152:In particular, if
1142:
1101:
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948:
913:
810:
792:regular embeddings
780:
659:
609:
479:
436:be the blow-up of
426:
313:diagonal embedding
307:and the embedding
207:
119:is defined as the
91:
8043:978-0-387-90244-9
8024:Hartshorne, Robin
8008:978-3-540-62046-4
7382:{\displaystyle X}
7340:classifying stack
7263:{\displaystyle X}
7195:{\displaystyle X}
6971:{\displaystyle X}
6629:{\displaystyle M}
6609:{\displaystyle k}
6557:{\displaystyle U}
6537:{\displaystyle k}
6483:{\displaystyle X}
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6394:
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6347:
6280:{\displaystyle X}
6256:{\displaystyle k}
6237:cotangent complex
6216:
6197:{\displaystyle k}
6173:{\displaystyle X}
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4558:{\displaystyle Z}
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3973:
3935:{\displaystyle X}
3838:{\displaystyle Y}
3701:
3501:{\displaystyle q}
3459:
3370:is isomorphic to
3005:{\displaystyle L}
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2773:
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2317:
2258:
1929:{\displaystyle X}
1883:{\displaystyle X}
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1661:cotangent sheaves
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