6679:
1871:
6244:
6674:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}}
80:
6239:
2101:
5373:
5164:
6037:
6030:
4743:
4938:
1329:
4528:
3422:
3565:
2341:
4128:
3961:
5602:
5170:
4961:
5891:
4558:
4251:
4770:
718:
5774:
4378:
6234:{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}
3280:
2480:
2140:
3986:
3769:
3667:
3776:
2601:
194:
1303:
in his 1952 article "Information theory and inverse probability in telecommunication", in which he said that the function "occurs so often in
Fourier analysis and its applications that it does seem to merit some notation of its own", and his 1953 book
1655:
1866:
5400:
3428:
1505:
2750:
2856:
2095:
3121:
910:
4137:
1991:
5613:
1176:
3241:
5368:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
5159:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},}
594:
786:
6025:{\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.}
1084:
4738:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
2346:
607:
988:
4933:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.}
2502:
1710:
6249:
5861:
of the unit hexagon in the frequency space. For a non-Cartesian lattice this function can not be obtained by a simple tensor product. However, the explicit formula for the sinc function for the
1524:
502:
4523:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}
1758:
1415:
2657:
3673:
3571:
3417:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,}
2767:
2001:
3042:
100:
442:
3560:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .}
2336:{\displaystyle \prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,}
410:
4123:{\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).}
253:
1870:
1896:
3956:{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.}
1098:
3141:
804:
378:
5597:{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
299:
6753:
4270:, the number of oscillations per unit length of the sinc function approaches infinity. Nevertheless, the expression always oscillates inside an envelope of
1222:
1025:
31:
6788:
919:
4321:, and illustrates the problem of thinking of the delta function as a function rather than as a distribution. A similar situation is found in the
4246:{\displaystyle \lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)}
943:
520:
731:
7306:
7007:
6974:
6832:
6797:
1226:
5873:
and other higher-dimensional lattices can be explicitly derived using the geometric properties of
Brillouin zones and their connection to
1660:
5769:{\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }
7110:
6741:
713:{\displaystyle \operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}
1332:
The local maxima and minima (small white dots) of the unnormalized, red sinc function correspond to its intersections with the blue
3978:
6720:
3136:
1200:
of the function over the real numbers to equal 1 (whereas the same integral of the unnormalized sinc function has a value of
2475:{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).}
1890:
920:
2865:
2485:
5833:
of a square in the frequency space (i.e., the brick wall defined in 2-D space). The sinc function for a non-Cartesian
1237:
460:
7301:
4260:
3764:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.}
3662:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.}
1004:
6759:
2596:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),}
189:{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}
1206:). As a further useful property, the zeros of the normalized sinc function are the nonzero integer values of
1650:{\displaystyle x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,}
918:
6747:
6736:
5794:
513:
415:
310:
30:"Sinc" redirects here. For the designation used in the United Kingdom for areas of wildlife interest, see
1861:{\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}
1248:
6877:
1500:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.}
7228:
7065:
6696:
3973:
2745:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1}
2604:
2490:
1412:
is zero and thus a local extremum is reached. This follows from the derivative of the sinc function:
1233:
1218:
1193:
389:
229:
633:
529:
121:
7137:
6966:
6924:
5870:
5866:
259:
236:
7252:
7194:
7175:
7167:
7032:
6905:
6714:
6708:
5858:
5846:
5830:
2851:{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}
2757:
1008:
921:
453:
2090:{\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),}
3116:{\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x).}
84:
Part of the normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale
7274:
7244:
7013:
7003:
6999:
6970:
6897:
6828:
6793:
6779:
5881:
5862:
5854:
5853:
of that lattice. For example, the sinc function for the hexagonal lattice is a function whose
5842:
5838:
5826:
2926:
2761:
2753:
2644:
1351:
The local maxima and minima of the unnormalized sinc correspond to its intersections with the
1252:
1214:
993:
7219:
Ye, W.; Entezari, A. (June 2012). "A Geometric
Construction of Multivariate Sinc Functions".
6839:
905:{\displaystyle \operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k+1)!}}}
7236:
7157:
7149:
7114:
7081:
7073:
6991:
6958:
6939:
6889:
6702:
4322:
4132:
This is not an ordinary limit, since the left side does not converge. Rather, it means that
1752:
1313:
1276:
7054:"A highly efficient Shannon wavelet inverse Fourier technique for pricing European options"
6807:
6803:
6725:
5834:
2993:
2648:
2104:
1333:
1317:
1300:
1256:
1186:
6959:
5781:
famously compared this series to the expansion of the infinite product form to solve the
357:
7232:
7069:
17:
6684:
5850:
5778:
4256:
1879:
724:
266:
7295:
7133:
6992:
6909:
5798:
5782:
5383:
3036:
2861:
1341:
1309:
797:
7256:
5390:
function can be obtained from that of the sine (which also yields its value of 1 at
7153:
7118:
1986:{\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.}
7277:
7179:
2860:
The normalized sinc function has properties that make it ideal in relationship to
1874:
The cardinal sine function sinc(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i
6822:
6730:
5885:
2930:
2868:
2640:
325:
52:
44:
35:
6893:
5874:
1171:{\displaystyle \operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}
600:
7240:
7017:
6901:
3773:
The following improper integral involves the (not normalized) sinc function:
3236:{\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.}
7282:
3135:(not normalized) is one of two linearly independent solutions to the linear
7248:
6943:
7162:
6782:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010),
6699: – Mathematical transformation reducing the damage caused by aliasing
1348:, while zero crossings of the normalized sinc occur at non-zero integers.
589:{\displaystyle {\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}
2934:
1251:
at zero is understood to be the limit value 1. The sinc function is then
1232:
The only difference between the two definitions is in the scaling of the
1197:
7171:
781:{\displaystyle \int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C}
7086:
7077:
2100:
1308:. The function itself was first mathematically derived in this form by
48:
6932:
Proceedings of the IEE - Part III: Radio and
Communication Engineering
7037:
4748:
2888:
1352:
7199:
1079:{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.}
79:
4333:
All sums in this section refer to the unnormalized sinc function.
2099:
1995:
1869:
1328:
1327:
992:
Alternatively, the unnormalized sinc function is often called the
916:
6925:"Information theory and inverse probability in telecommunication"
6852:
925:
The sinc function as audio, at 2000 Hz (±1.5 seconds around zero)
7031:
Euler, Leonhard (1735). "On the sums of series of reciprocals".
6827:(illustrated ed.). Tata McGraw-Hill Education. p. 15.
1751:
The normalized sinc function has a simple representation as the
6878:"The cardinal sine function and the Chebyshev–Stirling numbers"
6762: – Pseudoazimuthal compromise map projection (cartography)
6241:
one can derive the sinc function for this hexagonal lattice as
34:. For the signal processing filter based on this function, see
7053:
6994:
Probability and information theory, with applications to radar
1344:
of the unnormalized sinc are at non-zero integer multiples of
1306:
Probability and
Information Theory, with Applications to Radar
6744: – Important functions in solving differential equations
2639:, and zero otherwise. This corresponds to the fact that the
6783:
1288:
1201:
983:{\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.}
706:
582:
182:
4942:
The alternating sums of the squares and cubes also equal
1285:
7140:(December 2008). "Surprising Sinc Sums and Integrals".
6280:
6207:
6146:
6100:
6057:
5979:
5915:
1225:
a continuous bandlimited signal from uniformly spaced
6247:
6040:
5894:
5793:
The product of 1-D sinc functions readily provides a
5616:
5403:
5173:
4964:
4773:
4561:
4381:
4140:
3989:
3779:
3676:
3574:
3431:
3283:
3144:
3045:
2770:
2660:
2505:
2349:
2143:
2004:
1899:
1761:
1663:
1527:
1418:
1291:
1282:
1101:
1028:
946:
807:
734:
637:
610:
523:
463:
418:
392:
360:
269:
239:
125:
103:
2992:
The unnormalized sinc is the zeroth-order spherical
2988:
Other properties of the two sinc functions include:
1705:{\displaystyle q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,}
7193:Baillie, Robert (2008). "Fun with Fourier series".
1720:to a local maximum. Because of symmetry around the
1509:The first few terms of the infinite series for the
1279:
796:
791:
723:
599:
512:
507:
452:
447:
383:
350:
342:
334:
324:
319:
309:
304:
258:
228:
223:
215:
207:
199:
94:
89:
72:
6673:
6233:
6024:
5768:
5596:
5367:
5158:
4932:
4737:
4522:
4245:
4122:
3955:
3763:
3661:
3559:
3416:
3235:
3115:
2850:
2744:
2654:This Fourier integral, including the special case
2595:
2488:of the normalized sinc (to ordinary frequency) is
2474:
2335:
2089:
1985:
1860:
1704:
1649:
1499:
1247:. In both cases, the value of the function at the
1170:
1078:
982:
904:
780:
712:
588:
496:
436:
404:
372:
293:
247:
188:
7052:Luis Ortiz-Gracia; Cornelis W. Oosterlee (2016).
6733: – Ideal low-pass filter or averaging filter
27:Special mathematical function defined as sin(x)/x
6711: – Integral of sin(x)/x from 0 to infinity.
4142:
4053:
3991:
2378:
1115:
497:{\displaystyle \pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}
6750: – Special function defined by an integral
1738:. In addition, there is an absolute maximum at
3971:The normalized sinc function can be used as a
1221:with no scaling. It is used in the concept of
67:, has two forms, normalized and unnormalized.
6923:Woodward, P. M.; Davies, I. L. (March 1952).
6717: – Application of a mathematical formula
6659:
6293:
5797:sinc function for the square Cartesian grid (
8:
3967:Relationship to the Dirac delta distribution
4751:alternate and begin with +, the sum equals
2097:and because of the product-to-sum identity
6756: – Signal (re-)construction algorithm
2647:, meaning rectangular frequency response)
32:Site of Importance for Nature Conservation
7214:
7212:
7210:
7198:
7161:
7085:
7036:
6658:
6657:
6647:
6638:
6633:
6611:
6602:
6597:
6575:
6566:
6561:
6541:
6524:
6515:
6510:
6488:
6479:
6474:
6452:
6443:
6438:
6418:
6401:
6392:
6387:
6365:
6356:
6351:
6329:
6320:
6315:
6292:
6291:
6279:
6268:
6256:
6248:
6246:
6202:
6194:
6181:
6176:
6166:
6161:
6145:
6133:
6128:
6117:
6112:
6099:
6090:
6085:
6074:
6069:
6056:
6047:
6042:
6039:
5999:
5982:
5974:
5965:
5960:
5953:
5932:
5918:
5910:
5901:
5896:
5893:
5743:
5733:
5726:
5706:
5696:
5689:
5669:
5659:
5652:
5617:
5615:
5610:. The normalized version follows easily:
5572:
5566:
5547:
5541:
5522:
5516:
5472:
5462:
5446:
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6683:This construction can be used to design
6789:NIST Handbook of Mathematical Functions
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6043:
3274:, unlike its sinc function counterpart.
2875:It is an interpolating function, i.e.,
2343:Euler's product can be recast as a sum
6965:. Morgan Kaufmann Publishers. p.
6705: – Type of mathematical integrals
1262:The function has also been called the
69:
7221:IEEE Transactions on Image Processing
7:
1213:The normalized sinc function is the
1095:is defined to be the limiting value
437:{\displaystyle x=\pm 4.49341\ldots }
7111:Mathematical Association of America
6821:Singh, R. P.; Sapre, S. D. (2008).
6742:Trigonometric functions of matrices
4532:The sum of the squares also equals
1185:(the limit can be proven using the
6998:. London: Pergamon Press. p.
5884:can be generated by the (integer)
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2317:
1724:axis, there exist extrema with
929:In mathematics, the historical
405:{\displaystyle -0.21723\ldots }
219:Signal processing, spectroscopy
7154:10.1080/00029890.2008.11920606
7119:10.1080/00029890.1980.11995075
6792:, Cambridge University Press,
6721:List of mathematical functions
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288:
270:
1:
7142:American Mathematical Monthly
7103:American Mathematical Monthly
6990:Woodward, Phillip M. (1953).
5606:The series converges for all
4292:, regardless of the value of
3977:, meaning that the following
1088:In either case, the value at
7307:Elementary special functions
6957:Poynton, Charles A. (2003).
6876:Merca, Mircea (2016-03-01).
2486:continuous Fourier transform
343:Value at −∞
248:{\displaystyle \mathbb {R} }
7113:: 496–498. June–July 1980.
2607:is 1 for argument between −
1517:-th extremum with positive
7323:
4259:, as can be seen from the
3267:, which is not bounded at
1891:Euler's reflection formula
931:unnormalized sinc function
335:Value at +∞
224:Domain, codomain and image
29:
7101:"Advanced Problem 6241".
6894:10.1016/j.jnt.2015.08.018
6824:Communication Systems, 2E
4261:Fourier inversion theorem
3010:. The normalized sinc is
1005:digital signal processing
77:
7241:10.1109/TIP.2011.2162421
6882:Journal of Number Theory
6760:Winkel tripel projection
1388:where the derivative of
1255:everywhere and hence an
1015:is commonly defined for
1013:normalized sinc function
18:Normalized sinc function
3277:Using normalized sinc,
2760:) and not a convergent
1301:Philip M. Woodward
200:Motivation of invention
6961:Digital video and HDTV
6944:10.1049/pi-3.1952.0011
6748:Trigonometric integral
6737:Sinc numerical methods
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5841:) is a function whose
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1878:and is related to the
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6857:mathworld.wolfram.com
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7138:Jonathan M. Borwein
7070:2016SJSC...38B.118O
7058:SIAM J. Sci. Comput
6851:Weisstein, Eric W.
6784:"Numerical methods"
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2996:of the first kind,
2788:
2678:
2523:
1355:function. That is,
1320:of the first kind.
1312:in his expression (
1270:function. The term
373:{\displaystyle x=0}
90:General information
7275:Weisstein, Eric W.
7078:10.1137/15M1014164
6840:Extract of page 15
6780:Olver, Frank W. J.
6715:Lanczos resampling
6709:Dirichlet integral
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