6698:
1389:
3278:
6692:
6258:
2629:
477:
4459:
4354:
7274:-trees, considered up to equivariant isometry. It is known that the Gromov topology and the axes topology on the space of irreducible actions coincide, so the closure can be understood in either sense. The projectivization of
1213:
2990:
A basic general fact from the theory of group actions on real trees says that a point of the Outer space is uniquely determined by its translation length function. Namely if two trees with minimal free isometric actions of
3528:
3805:
6880:
6578:
5771:
7743:
5391:
1735:
6334:
5588:
6137:
2833:
2495:
627:
3129:
6505:
7526:
7119:
5954:
5696:
5627:
5143:
3431:
296:
5915:
6743:
5287:
6411:
7350:
7311:
7167:
5423:
5175:
703:
664:
566:
3049:
6550:
2698:
397:
3838:
3724:
501:
7272:
7030:
3653:
2981:
2734:
753:
5807:
5519:
7737:
3686:
2860:
6950:
5851:
3928:
3863:
1918:
1774:
994:
7384:
7197:
6918:
6011:
5726:
5657:
5483:
5453:
5317:
5238:
5205:
5055:
5016:
7487:
7460:
7411:
7250:
7057:
6977:
6085:
5981:
5104:
3631:
3604:
3562:
730:
593:
532:
392:
354:
323:
245:
7948:
6049:
8066:
7077:
6997:
6780:
6570:
6129:
6109:
3948:
3903:
3883:
3744:
4369:
4290:
1384:{\displaystyle \Delta _{k}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k}\,{\Big |}\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=1,x_{i}>0{\text{ for }}i=1,\dots ,k\right\}}
8015:
4806:
arise from decreasing towards zero lengths of edges for homotopically nontrivial subgraphs (e.g. an essential circuit) of a metric graph Γ.
3449:
7928:). Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), pp. 373-384, Higher Ed. Press, Beijing, 2002;
8051:
7933:
4772:
3573:
6791:
8111:
7807:
6687:{\displaystyle \Lambda _{R}(x,y)=\max _{\gamma \in \operatorname {cand} (x)}{\frac {\ell _{y}(\gamma )}{\ell _{x}(\gamma )}}}
632:
Later a combination of the results of Cohen and Lustig and of
Bestvina and Feighn identified (see Section 1.3 of ) the space
6785:
The stretching factor also equals the minimal
Lipschitz constant of a homotopy equivalence carrying over the marking, i.e.
7782:
6253:{\displaystyle \Lambda _{R}(x,y):=\sup _{\gamma \in F_{n}\setminus \{1\}}{\frac {\ell _{y}(\gamma )}{\ell _{x}(\gamma )}}}
5731:
4847:
3749:
5330:
1682:
7826:
6263:
5524:
2624:{\displaystyle \ell _{T}:F_{n}\to \mathbb {R} ,\quad \ell _{T}(g)=\min _{t\in T}d(t,gt),\quad {\text{ for }}g\in F_{n}.}
3273:{\displaystyle V_{T}(K,\epsilon )=\{T'\in X_{n}:|\ell _{T}(g)-\ell _{T'}(g)|<\epsilon {\text{ for every }}g\in K\}.}
8116:
2764:
598:
6419:
3297:
76:
7492:
7085:
5920:
5662:
5593:
5109:
3958:
An important basic result states that the Gromov topology, the weak topology and the length function topology on
3387:
262:
7678:
2873:
In the marked metric graph model of Outer space translation length functions can be interpreted as follows. Let
7594:
7421:
5859:
4874:− 4. The reason is that if Γ is a finite connected graph without degree-one and degree-two vertices with
4737:
which consists of isometry types of finite connected graphs Γ without degree-one and degree-two vertices, with
80:
7435:, for marked metric graphs with base-points, was constructed by Hatcher and Vogtmann in 1998. The Auter space
6716:
5247:
7877:
2256:
2205:
6346:
2383:
on a real tree with the quotient being a metric graph of volume one arises in this fashion from some point
8043:
8042:. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002), pp. 373–384,
7538:
7316:
7277:
7133:
5396:
5148:
669:
472:{\displaystyle \mathbb {P} ^{\,{\mathcal {C}}}=\mathbb {R} ^{\mathcal {C}}\!-\!\{0\}/\mathbb {R} _{>0}}
21:
5027:
where the volume of the metric graph in the marking is allowed to be any positive real number. The space
635:
537:
4867:
3021:
2151:
6513:
2661:
3810:
7603:
4118:
2351:
2279:
891:
256:
113:
7586:
482:
7543:
4921:
3350:
7255:
7002:
3636:
2950:
2703:
736:
7975:
7957:
7886:
7853:
7835:
7619:
7225:-trees. Here the closure is taken in the space of all minimal isometric "irreducible" actions of
5776:
5488:
4825:
4698:
is also sometimes considered in the literature although most sources work with the right action.
4483:
4018:
3691:
357:
7700:
4495:) is contained in the kernel of this action, that is every inner automorphism acts trivially on
3658:
2838:
8047:
7929:
6923:
6088:
4875:
4759:
4738:
4122:
1149:
814:
801:
45:
5812:
1903:
1759:
979:
7967:
7896:
7845:
7752:
7657:
7611:
7359:
7172:
6888:
6022:
5986:
5701:
5632:
5458:
5428:
5292:
5213:
5180:
5030:
4991:
116:
of a hyperbolic surface. Outer space is used to study homology and cohomology groups of Out(
7465:
7438:
7389:
7228:
7035:
6955:
6063:
5959:
5082:
3609:
3582:
3540:
708:
571:
510:
370:
332:
301:
223:
7548:
6759:
6755:
6706:
6702:
6025:, for Outer space corresponds to the Thurston metric in Teichmüller space. For two points
2863:
2197:
907:
504:
6028:
5079:-equivariant isometry. The unprojectivized Outer space inherits the same structures that
7607:
4454:{\displaystyle \ell _{T\alpha }(g)=\ell _{T}(\alpha (g))\quad {\text{ for }}g\in F_{n}.}
3908:
3843:
8077:
8057:
8008:
7582:
7062:
6982:
6765:
6555:
6114:
6094:
4851:
3933:
3888:
3868:
3729:
2354:. Since Γ is a finite connected graph with no degree-one vertices, this action is also
252:
109:
8081:
7756:
7696:
2943:
to get a closed loop in Γ and then tighten this loop to an immersed circuit in Γ. The
8105:
7662:
7623:
6552:
is always obtained and can be calculated by a finite set the so called candidates of
5241:
4794:
4002:
2405:
and the set of equivalence classes of minimal free and discrete isometric actions of
7824:
Francaviglia, Stefano; Martino, Armando (2011). "Metric properties of Outer Space".
5106:
has, including the coincidence of the three topologies (Gromov, axes, weak), and an
5057:
can also be thought of as the set of all free minimal discrete isometric actions of
4349:{\displaystyle g{\underset {T\alpha }{\cdot }}t=\alpha (g){\underset {T}{\cdot }}t.}
7979:
7857:
7417:
4751:
4053:
3998:
2347:
2229:
326:
177:
4639:
can be turned into a left action via a standard conversion procedure. Namely, for
4220:
be a real tree with a minimal free and discrete co-volume-one isometric action of
7946:
Guirardel, Vincent; Levitt, Gilbert (2007). "The outer space of a free product".
8089:
7578:
7082:
The induced topology is the same as the weak topology and the isometry group is
6340:
1001:
248:
105:
17:
7638:
4895:− 3 edges when Γ is trivalent. Hence the top-dimensional open simplex in
1629:
be the number of topological edges in Γ. As before, we order the edges of Γ as
7901:
7872:
33:
7849:
2241:
1521:
733:
190:
48:
consisting of the so-called "marked metric graph structures" of volume 1 on
7971:
2058:→ Γ where the graph Γ is tri-valent belongs to a unique closed simplex in
7994:
5018:
consists of equivalence classes of all marked metric graph structures on
911:
143:
130:
363:
In the same paper Culler and
Vogtmann constructed an embedding, via the
7615:
7553:
7416:
Analogs and generalizations of the Outer space have been developed for
6697:
3985:
1399:
126:
83:
1023:
of a metric graph is the sum of the lengths of its topological edges.
7962:
3353:
in the length function topology can be characterized as follows. For
7413:, analogous to Thurston's compactification of the Teichmüller space.
4207:
In the real tree model this action can be described as follows. Let
3950:
almost agree. For the formal definition of the Gromov topology see.
2414:
on a real trees with volume-one quotients. Here two such actions of
1191:
be the number of topological edges in Γ. We order the edges of Γ as
7313:
with respect to multiplication by positive scalars gives the space
705:
of projective classes of "very small" minimal isometric actions of
7891:
7840:
6696:
3954:
Coincidence of the weak, the length function and Gromov topologies
3523:{\displaystyle \lim _{i\to \infty }\ell _{T_{i}}(g)=\ell _{T}(g).}
3579:
When defining the Gromov topology, one should think of points of
1586:
is the union of open simplices corresponding to all markings on
259:
of a hyperbolic surface. They showed that the natural action of
1530:
correspond to non-equivalent marked metric graph structures on
4854:
in their original 1986 paper where Outer space was introduced.
2374:
Moreover, every minimal free and discrete isometric action of
2036:
belongs to only finitely many closed simplices and a point of
4967:)-invariant and has compact quotient under the action of Out(
3746:
in the Gromov topology, if for some large finite subtrees of
2212:
is a topological tree. We can also lift the metric structure
2224:
the same length as the length of its image in Γ. This turns
612:
488:
429:
411:
7462:
shares many properties in common with the Outer space, but
7121:
for both, the symmetric and asymmetric
Lipschitz distance.
6875:{\displaystyle \Lambda _{R}(x,y)=\min _{h\in H(x,y)}Lip(h)}
910:
without degree-one and degree-two vertices. Up to a (free)
7199:
in the length function topology is known to consist of (
1152:
of all the volume-one marked metric graph structures on
5956:-equivariant homeomorphism. For this reason the spaces
2638:≠ 1 there is a (unique) isometrically embedded copy of
996:
together with the assignment to every topological edge
6339:
This is an asymmetric metric (also sometimes called a
4359:
At the level of translation length functions the tree
1686:
7703:
7495:
7468:
7441:
7392:
7362:
7319:
7280:
7258:
7231:
7175:
7136:
7088:
7065:
7038:
7005:
6985:
6958:
6926:
6891:
6794:
6768:
6719:
6581:
6558:
6516:
6422:
6349:
6266:
6140:
6117:
6097:
6066:
6031:
5989:
5962:
5923:
5862:
5815:
5779:
5734:
5704:
5665:
5635:
5596:
5527:
5491:
5461:
5431:
5399:
5333:
5295:
5250:
5216:
5183:
5151:
5112:
5085:
5033:
4994:
4372:
4293:
3936:
3911:
3891:
3871:
3846:
3813:
3752:
3732:
3694:
3661:
3639:
3612:
3585:
3576:
adapted to the setting of an isometric group action.
3543:
3452:
3390:
3132:
3024:
2953:
2841:
2767:
2706:
2664:
2498:
1906:
1762:
1685:
1216:
982:
739:
711:
672:
638:
601:
574:
540:
513:
485:
400:
373:
335:
304:
265:
226:
5766:{\displaystyle \phi \in \operatorname {Out} (F_{n})}
5327:
The projectivized Outer space is the quotient space
3800:{\displaystyle Y\subseteq T,Y'\subseteq T'\in X_{n}}
104:. The Outer space was introduced in a 1986 paper of
7744:
7587:"Moduli of graphs and automorphisms of free groups"
6413:. The symmetric Lipschitz metric normally denotes:
5485:is equipped with the quotient topology. For a tree
5386:{\displaystyle CV_{n}:=cv_{n}/\mathbb {R} _{>0}}
5145:-action. In addition, there is a natural action of
1730:{\displaystyle \textstyle {\sum _{i=1}^{k}x_{i}=1}}
7731:
7520:
7481:
7454:
7405:
7378:
7344:
7305:
7266:
7244:
7191:
7161:
7113:
7071:
7051:
7024:
6991:
6971:
6944:
6912:
6874:
6774:
6737:
6686:
6564:
6544:
6499:
6405:
6329:{\displaystyle d_{R}(x,y):=\log \Lambda _{R}(x,y)}
6328:
6252:
6123:
6103:
6079:
6043:
6005:
5975:
5948:
5909:
5845:
5801:
5765:
5720:
5690:
5651:
5621:
5583:{\displaystyle =\{cT\mid c>0\}\subseteq cv_{n}}
5582:
5513:
5477:
5447:
5417:
5385:
5311:
5281:
5232:
5199:
5169:
5137:
5098:
5049:
5010:
4758:) equipped with volume-one metric structures. The
4453:
4348:
3942:
3922:
3897:
3877:
3857:
3832:
3799:
3738:
3718:
3680:
3647:
3625:
3598:
3556:
3522:
3425:
3272:
3043:
2975:
2947:-length of this circuit is the translation length
2854:
2827:
2728:
2692:
2623:
2396:. This defines a bijective correspondence between
1912:
1768:
1729:
1383:
988:
747:
724:
697:
658:
621:
587:
560:
526:
495:
471:
386:
348:
317:
290:
239:
4464:One then checks that for the above action of Aut(
3570:equivariant Gromov–Hausdorff convergence topology
1288:
439:
435:
7871:Francaviglia, Stefano; Martino, Armando (2012).
6824:
6611:
6170:
3454:
3392:
2828:{\displaystyle \ell _{T}(ugu^{-1})=\ell _{T}(g)}
2658:acts on this axis by a translation of magnitude
2557:
3885:with respect to which the (partial) actions of
622:{\displaystyle \mathbb {P} ^{\,{\mathcal {C}}}}
394:into the infinite-dimensional projective space
7949:Proceedings of the London Mathematical Society
7431:A base-pointed version of Outer space, called
112:, and it serves as a free group analog of the
8067:Bulletin of the American Mathematical Society
7992:Corey Bregman, Ruth Charney, Karen Vogtmann,
6500:{\displaystyle d(x,y):=d_{R}(x,y)+d_{R}(y,x)}
5659:naturally quotients through to the action of
4775:between metric graphs representing points of
4091:→ Γ with a volume-one metric graph structure
3000:define equal translation length functions on
2899:→ Γ with a volume-one metric graph structure
2188:→ Γ with a volume-one metric graph structure
8:
7428:of group actions and in some other contexts.
6199:
6193:
6091:of the maximally stretched closed path from
5561:
5540:
5521:its projective equivalence class is denoted
4810:Basic properties and facts about Outer space
3264:
3161:
446:
440:
7637:Cohen, Marshall M.; Lustig, Martin (1995).
7521:{\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{n})}
7114:{\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}
5949:{\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}
5691:{\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}
5622:{\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}
5138:{\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}
3426:{\displaystyle \lim _{i\to \infty }T_{i}=T}
2320:(Γ), we also obtain an isometric action of
2104:is closed if and only if for every marking
1052:→ Γ together with a metric graph structure
291:{\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}
8016:Journal of the London Mathematical Society
6745:is the finite set of conjugacy classes in
4196:we simply precompose the marking defining
3840:there exists an "almost isometry" between
3283:In the length function topology for every
1950:and then assigning to each surviving edge
918:is uniquely determined by the isomorphism
7961:
7900:
7890:
7839:
7720:
7702:
7661:
7509:
7494:
7473:
7467:
7446:
7440:
7397:
7391:
7370:
7361:
7336:
7321:
7318:
7297:
7282:
7279:
7260:
7259:
7257:
7236:
7230:
7183:
7174:
7153:
7138:
7135:
7102:
7087:
7064:
7043:
7037:
7016:
7004:
6984:
6963:
6957:
6925:
6890:
6827:
6799:
6793:
6767:
6718:
6666:
6645:
6638:
6614:
6586:
6580:
6557:
6521:
6515:
6476:
6448:
6421:
6382:
6354:
6348:
6305:
6271:
6265:
6232:
6211:
6204:
6184:
6173:
6145:
6139:
6116:
6096:
6071:
6065:
6030:
5997:
5988:
5967:
5961:
5937:
5922:
5910:{\displaystyle X_{n}\to CV_{n},T\mapsto }
5883:
5867:
5861:
5814:
5793:
5778:
5754:
5733:
5712:
5703:
5679:
5664:
5643:
5634:
5610:
5595:
5574:
5526:
5505:
5490:
5469:
5460:
5439:
5430:
5406:
5402:
5401:
5398:
5374:
5370:
5369:
5363:
5357:
5341:
5332:
5303:
5294:
5255:
5249:
5224:
5215:
5191:
5182:
5158:
5154:
5153:
5150:
5126:
5111:
5090:
5084:
5041:
5032:
5002:
4993:
4593:) is an actual automorphism representing
4442:
4427:
4402:
4377:
4371:
4330:
4297:
4292:
3935:
3910:
3890:
3870:
3845:
3824:
3812:
3791:
3751:
3731:
3710:
3693:
3672:
3660:
3641:
3640:
3638:
3617:
3611:
3590:
3584:
3548:
3542:
3502:
3478:
3473:
3457:
3451:
3411:
3395:
3389:
3250:
3239:
3219:
3197:
3188:
3179:
3137:
3131:
3035:
3023:
2958:
2952:
2846:
2840:
2810:
2791:
2772:
2766:
2711:
2705:
2669:
2663:
2612:
2597:
2560:
2538:
2526:
2525:
2516:
2503:
2497:
2158:Points of Outer space as actions on trees
1905:
1761:
1713:
1703:
1692:
1687:
1684:
1479:together with the metric graph structure
1350:
1338:
1319:
1309:
1298:
1293:
1287:
1286:
1285:
1279:
1275:
1274:
1261:
1242:
1221:
1215:
981:
741:
740:
738:
716:
710:
689:
674:
671:
650:
640:
637:
611:
610:
609:
608:
604:
603:
600:
579:
573:
552:
542:
539:
518:
512:
487:
486:
484:
460:
456:
455:
449:
428:
427:
423:
422:
410:
409:
408:
407:
403:
402:
399:
378:
372:
340:
334:
309:
303:
279:
264:
231:
225:
7768:
7766:
6738:{\displaystyle \operatorname {cand} (x)}
3018:-equivariantly isometric. Hence the map
1115:such that, up to free homotopy, we have
7677:Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1994).
7565:
6190:
5282:{\displaystyle X_{n}\times (0,\infty )}
1975:It can be shown that for every marking
1746:≥ 0 and such that the set of all edges
7797:
7795:
7573:
7571:
7569:
7208:-equivariant isometry classes of) all
4522:quotients through to an action of Out(
146:and individual outer automorphisms of
6406:{\displaystyle d_{R}(x,y)=d_{R}(y,x)}
164:can also be thought of as the set of
7:
7643:-trees and Dehn twist automorphisms"
7345:{\displaystyle {\overline {CV}}_{n}}
7306:{\displaystyle {\overline {cv}}_{n}}
7162:{\displaystyle {\overline {cv}}_{n}}
6754:which correspond to embeddings of a
5455:by scalar multiplication. The space
5418:{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}
5170:{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}
4891:− 3 edges and it has exactly 3
4504:. It follows that the action of Aut(
698:{\displaystyle {\overline {CV}}_{n}}
534:. They also proved that the closure
199:such that the quotient metric graph
7873:"The isometry group of Outer Space"
7801:Vincent Guirardel, Gilbert Levitt,
7032:is freely homotopic to the marking
6782:via the marking (see the diagram).
2091:is defined by saying that a subset
1059:Two marked metric graph structures
659:{\displaystyle {\overline {X}}_{n}}
561:{\displaystyle {\overline {X}}_{n}}
7998:, arXiv:2007.09725, preprint, 2020
6796:
6583:
6518:
6302:
6142:
6021:The Lipschitz distance, named for
5856:A key observation is that the map
5273:
4017:First we define the action of the
3464:
3402:
3044:{\displaystyle T\mapsto \ell _{T}}
1907:
1886:is obtained by taking the marking
1763:
1595:. Note that two open simplices in
1524:map, that is, distinct points of Δ
1218:
247:was introduced in a 1986 paper of
125:) and to obtain information about
14:
6545:{\displaystyle \Lambda _{R}(x,y)}
4771:is the same as that given by the
3655:-trees. Informally, given a tree
2693:{\displaystyle \ell _{T}(g)>0}
1998:is still injective. The image of
1625:→ Γ where Γ is a marking and let
1604:either are disjoint or coincide.
1187:→ Γ where Γ is a marking and let
845:. From this point on we identify
7354:length function compactification
7125:Applications and generalizations
4117:be a homotopy equivalence whose
3833:{\displaystyle B\subseteq F_{n}}
2131:′. In particular, the map
1165:Weak topology on the Outer space
133:and dynamical properties of Out(
75:, comes equipped with a natural
7739:on the boundary of outer space"
6343:), i.e. it only fails symmetry
6060:the (right) Lipschitz distance
4426:
2596:
2533:
255:, inspired by analogy with the
8062:On the geometry of outer space
7808:Groups, Geometry, and Dynamics
7726:
7713:
7515:
7502:
7108:
7095:
6936:
6907:
6895:
6869:
6863:
6849:
6837:
6817:
6805:
6732:
6726:
6678:
6672:
6657:
6651:
6633:
6627:
6604:
6592:
6539:
6527:
6494:
6482:
6466:
6454:
6438:
6426:
6400:
6388:
6372:
6360:
6323:
6311:
6289:
6277:
6244:
6238:
6223:
6217:
6163:
6151:
5943:
5930:
5904:
5898:
5895:
5873:
5840:
5831:
5822:
5816:
5760:
5747:
5685:
5672:
5616:
5603:
5534:
5528:
5276:
5264:
5132:
5119:
4850:, as was proved by Culler and
4571:) is an outer automorphism of
4423:
4420:
4414:
4408:
4392:
4386:
4327:
4321:
4184:→ Γ with the metric structure
3572:, which provides a version of
3514:
3508:
3492:
3486:
3461:
3399:
3240:
3236:
3230:
3209:
3203:
3189:
3155:
3143:
3028:
2970:
2964:
2822:
2816:
2800:
2778:
2723:
2717:
2681:
2675:
2590:
2575:
2550:
2544:
2522:
2450:-equivariant isometry between
2259:which are also isometries of (
1267:
1235:
496:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
285:
272:
180:discrete isometric actions of
1:
7783:Topology and its Applications
7757:10.1016/S0012-9593(00)00117-8
7639:"Very small group actions on
7489:only comes with an action of
7212:minimal isometric actions of
6920:are the continuous functions
2485:as above, one can define the
1028:marked metric graph structure
8082:"What Is . . . Outer Space?"
7663:10.1016/0040-9383(94)00038-m
7331:
7292:
7267:{\displaystyle \mathbb {R} }
7148:
7025:{\displaystyle h\circ f_{x}}
6087:is defined as the (natural)
3648:{\displaystyle \mathbb {R} }
3574:Gromov–Hausdorff convergence
2976:{\displaystyle \ell _{T}(g)}
2886:be represented by a marking
2729:{\displaystyle \ell _{T}(g)}
2489:associate with this action:
1930:= 0 to obtain a new marking
1103:if there exists an isometry
976:is a finite connected graph
951:, that is by an isomorphism
748:{\displaystyle \mathbb {R} }
684:
645:
547:
365:translation length functions
81:group of outer automorphisms
7803:Deformation spaces of trees
5802:{\displaystyle T\in cv_{n}}
5514:{\displaystyle T\in cv_{n}}
4987:unprojectivized Outer space
4981:Unprojectivized Outer space
3719:{\displaystyle T'\in X_{n}}
2487:translation length function
2267:), with the quotient space
796:circles wedged at a vertex
57:. The Outer space, denoted
26:Culler–Vogtmann Outer space
8133:
7732:{\displaystyle Out(F_{n})}
7695:Guiradel, Vincent (2000).
6952:such that for the marking
5207:by scalar multiplication.
4945:of Outer space. The spine
4125:level is the automorphism
3807:and a large finite subset
3681:{\displaystyle T\in X_{n}}
2288:is an isomorphism between
176:isometry types of minimal
7902:10.1016/j.aim.2012.07.011
7827:Publicacions Matemàtiques
7422:right-angled Artin groups
5323:Projectivized Outer space
5070:-trees, considered up to
4773:Gromov–Hausdorff distance
4750:(that is, with the first
3433:if and only if for every
2855:{\displaystyle \ell _{T}}
2045:represented by a marking
1786:= 0 is a subforest in Γ.
1413:, there is a natural map
503:is the set of nontrivial
7850:10.5565/PUBLMAT_55211_09
7595:Inventiones Mathematicae
6945:{\displaystyle h:x\to y}
4680:This left action of Out(
4621:The right action of Out(
4167:is given by the marking
3351:Convergence of sequences
3078:length function topology
2257:covering transformations
2244:. The fundamental group
2220:by giving every edge of
1890:, contracting all edges
1475:is given by the marking
906:→ Γ where Γ is a finite
874:) via this isomorphism.
774:≥ 2. For the free group
8021:(1998), no. 3, 633–655.
8013:Cerf theory for graphs.
7878:Advances in Mathematics
7814:(2007), no. 2, 135–181.
7789:(1989), no. 3, 197–221.
7774:The Gromov topology on
5846:{\displaystyle \phi :=}
3997:admits a natural right
3313:is given by the family
3009:then the two trees are
2835:, that is the function
1913:{\displaystyle \Gamma }
1769:{\displaystyle \Gamma }
989:{\displaystyle \gamma }
8112:Geometric group theory
8044:Higher Education Press
7733:
7539:Geometric group theory
7522:
7483:
7456:
7407:
7380:
7379:{\displaystyle CV_{n}}
7346:
7307:
7268:
7246:
7193:
7192:{\displaystyle cv_{n}}
7163:
7115:
7073:
7053:
7026:
6993:
6973:
6946:
6914:
6913:{\displaystyle H(x,y)}
6876:
6776:
6739:
6710:
6688:
6566:
6546:
6501:
6407:
6330:
6254:
6125:
6105:
6081:
6045:
6013:are often identified.
6007:
6006:{\displaystyle CV_{n}}
5977:
5950:
5911:
5847:
5803:
5767:
5722:
5721:{\displaystyle CV_{n}}
5692:
5653:
5652:{\displaystyle cv_{n}}
5623:
5584:
5515:
5479:
5478:{\displaystyle CV_{n}}
5449:
5448:{\displaystyle cv_{n}}
5419:
5387:
5319:is also contractible.
5313:
5312:{\displaystyle cv_{n}}
5283:
5234:
5233:{\displaystyle cv_{n}}
5201:
5200:{\displaystyle cv_{n}}
5171:
5139:
5100:
5051:
5050:{\displaystyle cv_{n}}
5012:
5011:{\displaystyle cv_{n}}
4887:, then Γ has at most 3
4848:properly discontinuous
4828:and the action of Out(
4455:
4350:
4242:). As a metric space,
4188:on Γ. That is, to get
3944:
3924:
3899:
3879:
3859:
3834:
3801:
3740:
3720:
3682:
3649:
3627:
3600:
3558:
3524:
3427:
3334:is a finite subset of
3274:
3106:, every finite subset
3093:as follows. For every
3045:
2977:
2856:
2829:
2730:
2694:
2625:
2206:simply connected graph
1914:
1770:
1731:
1708:
1398:− 1)-dimensional open
1385:
1314:
1039:consists of a marking
990:
792:, that is a wedge, of
749:
726:
699:
660:
623:
589:
562:
528:
497:
473:
388:
350:
327:properly discontinuous
319:
292:
241:
22:geometric group theory
8073:(2015), no. 1, 27–46.
8036:The topology of Out(F
7995:Outer space for RAAGs
7734:
7523:
7484:
7482:{\displaystyle A_{n}}
7457:
7455:{\displaystyle A_{n}}
7408:
7406:{\displaystyle X_{n}}
7381:
7347:
7308:
7269:
7247:
7245:{\displaystyle F_{n}}
7194:
7164:
7116:
7074:
7054:
7052:{\displaystyle f_{y}}
7027:
6994:
6974:
6972:{\displaystyle f_{x}}
6947:
6915:
6877:
6777:
6740:
6700:
6689:
6567:
6547:
6502:
6408:
6331:
6255:
6126:
6106:
6082:
6080:{\displaystyle d_{R}}
6046:
6008:
5978:
5976:{\displaystyle X_{n}}
5951:
5912:
5848:
5804:
5768:
5723:
5693:
5654:
5624:
5585:
5516:
5480:
5450:
5420:
5388:
5314:
5284:
5235:
5202:
5172:
5140:
5101:
5099:{\displaystyle X_{n}}
5052:
5013:
4868:topological dimension
4456:
4351:
3945:
3925:
3900:
3880:
3860:
3835:
3802:
3741:
3721:
3683:
3650:
3628:
3626:{\displaystyle F_{n}}
3601:
3599:{\displaystyle X_{n}}
3559:
3557:{\displaystyle X_{n}}
3525:
3428:
3275:
3252: for every
3064:-valued functions on
3046:
2978:
2857:
2830:
2731:
2695:
2626:
2371:-invariant subtrees.
2152:topological embedding
1915:
1771:
1732:
1688:
1386:
1294:
991:
750:
727:
725:{\displaystyle F_{n}}
700:
661:
624:
590:
588:{\displaystyle X_{n}}
563:
529:
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8007:Allen Hatcher, and
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7608:1986InMat..84...91C
7544:Mapping class group
6044:{\displaystyle x,y}
4922:deformation retract
4797:and the "cusps" in
4784:. The moduli space
4706:The quotient space
4484:inner automorphisms
4078:given by a marking
2441:if there exists an
2278:(Γ) = Γ. Since the
2175:given by a marking
2082:on the Outer space
1150:equivalence classes
1000:of Γ of a positive
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2472:Give an action of
2027:). Every point in
2019:and is denoted by
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4473:) on Outer space
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1863:′ − Δ
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1737:, such that each
1565:corresponding to
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