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1957:
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1196:
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67:
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1107:
1100:
1093:
1079:
1072:
3496:
407:
of a triangular tiling. (Naming the colors by indices on the 6 triangles around a vertex: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Three of them can be derived from others by repeating colors: 111212 and 111112 from 121213 by combining 1 and 3, while 111213 is reduced
415:, 111112, (marked with a *) which is not 1-uniform, containing alternate rows of triangles where every third is colored. The example shown is 2-uniform, but there are infinitely many such Archimedean colorings that can be created by arbitrary horizontal shifts of the rows.
1255:
Drawing the tiles colored as red on the original faces, yellow at the original vertices, and blue along the original edges, there are 8 forms, 7 which are topologically distinct. (The
2809:
2694:
2651:
2608:
2565:
2767:
2731:
999:
1680:
1989:, sharing the vertices of the triangular tiling. Regular complex apeirogons have vertices and edges, where edges can contain 2 or more vertices. Regular apeirogons
3405:
315:
4429:
3694:
3627:
992:
836:
Triangular tilings can be made with the equivalent {3,6} topology as the regular tiling (6 triangles around every vertex). With identical faces (
4434:
3649:
3383:
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1673:
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1750:
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1554:
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1534:
1525:
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1476:
1467:
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1428:
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1370:
1360:
1331:
1149:
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775:
770:
765:
752:
747:
734:
716:
703:
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693:
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598:
593:
588:
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220:
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179:
174:
166:
156:
138:
2134:
2114:
2094:
2074:
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4324:
4279:
4219:
4204:
4194:
4169:
3530:
3313:
2951:
1807:
1788:
1769:
1486:
1457:
1447:
1418:
1409:
1389:
1380:
1351:
1341:
880:
729:
711:
624:
606:
212:
202:
146:
128:
118:
4488:
4229:
4149:
4004:
1275:
866:
238:
2395:
2129:
2109:
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1549:
1539:
1520:
1510:
1491:
1481:
1462:
1452:
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1375:
1365:
1346:
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207:
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151:
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4049:
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3969:
3949:
3934:
3924:
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4463:
4419:
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4409:
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3979:
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3376:
2361:
1291:
3520:
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4254:
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4044:
4014:
4009:
3989:
3974:
3964:
3959:
3879:
3107:
3052:
3003:
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1986:
1311:
1144:
1139:
368:
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4389:
4384:
4379:
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4304:
4299:
4294:
3994:
3874:
3869:
2870:
2488:
2314:
2024:
The first is made of 2-edges, and next two are triangular edges, and the last has overlapping hexagonal edges.
1321:
3542:
4054:
3904:
3854:
2902:
2221:
51:
4174:
4164:
4134:
3816:
3431:
2284:
2177:
4274:
4179:
4139:
4124:
4119:
4114:
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3864:
3654:
3369:
3351:
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3159:
3097:
3042:
2993:
2931:
2772:
2657:
2614:
2571:
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1211:
39:
467:
2736:
2700:
4319:
4059:
3772:
3760:
3644:
3573:
3549:
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3301:
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3289:
2247:
2211:
1627:
918:
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654:
412:
327:
58:
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514:
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453:
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3730:
3689:
3684:
3564:
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3075:
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3020:
2976:
2971:
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1189:
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1245:
1174:
937:
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642:
341:
74:
2330:
960:
571:
331:
84:
4344:
3894:
3664:
3447:
3149:
3087:
3032:
2983:
2961:
2941:
2509:
2505:
2446:
2427:
2408:
2388:
2369:
2342:
2319:
841:
282:
330:
is 60 degrees, six triangles at a point occupy a full 360 degrees. The triangular tiling has
4374:
4189:
4154:
3831:
3795:
3740:
3706:
3659:
3633:
3622:
3537:
3509:
3452:
3426:
3421:
2924:
2860:
1961:
1901:
1301:
1286:
1226:
964:
856:
404:
376:
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1064:
387:
3735:
3559:
3469:
2882:
1217:
1057:
837:
319:
290:
286:
267:
259:
2449:
2430:
17:
2052:
2045:
2038:
2031:
1967:
1956:
824:
3672:
3585:
3554:
3443:
3191:
3184:
3177:
3124:
3117:
3062:
2818:
2467:
1945:
1923:
1692:
1619:
1612:
1249:
941:
902:
787:
783:
349:
96:
1934:
1912:
1890:
1605:
1591:
1577:
1050:
1043:
1036:
4457:
3826:
3790:
3590:
3578:
3436:
2850:
2840:
2830:
2521:
1884:
1252:
that can be based from the regular hexagonal tiling (or the dual triangular tiling).
1170:
959:
This tiling is topologically related as a part of sequence of regular polyhedra with
936:. Putting fewer triangles on a vertex leaves a gap and allows it to be folded into a
372:
2411:
1598:
1584:
1570:
1206:
3725:
3462:
3392:
2149:
808:
323:
254:
243:
1195:
1184:
3711:
2357:, p. 58-65, Chapter 2.9 Archimedean and Uniform colorings pp. 102–107)
1129:
1119:
1085:
1029:
953:
945:
646:
2185:
2172:
2159:
1106:
1099:
1092:
844:, there are 5 variations. Symmetry given assumes all faces are the same color.
66:
3780:
2335:
1124:
1078:
949:
782:
The vertices of the triangular tiling are the centers of the densest possible
566:
the A2 crystal lattice structure in the
Strukturbericht classification system
3800:
3785:
3701:
3677:
2454:
2435:
2416:
933:
819:, the hexagonal tiling, has a direct correspondence to the circle packings.
1071:
360:
operation that adds a center point and triangles to replace the faces of a
3569:
2274:
Order in Space: A design source book, Keith
Critchlow, p.74-75, pattern 1
1114:
361:
303:
2366:
The
Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
2310:
2226:
812:
3495:
391:
A 2-uniform triangular tiling, 4 colored triangles, related to the
322:, and is the only such tiling where the constituent shapes are not
786:. Every circle is in contact with 6 other circles in the packing (
570:
386:
3757:
3607:
3507:
3403:
3365:
3361:
1240:
Wythoff constructions from hexagonal and triangular tilings
1169:
It is also topologically related as a part of sequence of
2297:
Coxeter, Regular
Complex Polytopes, pp. 111-112, p. 136.
1177:
Vn.6.6, and also continuing into the hyperbolic plane.
944:: five, four and three triangles on a vertex define an
2383:
John H. Conway, Heidi
Burgiel, Chaim Goodman-Strauss,
348:, named from the triangular shape of the Greek letter
2775:
2739:
2703:
2660:
2617:
2574:
2531:
1259:
is topologically identical to the hexagonal tiling.)
29:
3913:
3840:
3809:
3771:
2803:
2761:
2725:
2688:
2645:
2602:
2559:
2334:
678:) can be constructed by the union of all three A
352:(Δ). The triangular tiling can also be called a
2288:, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481
3377:
2489:
1674:
993:
8:
2156:
977:32 symmetry mutation of regular tilings: {3,
2229:(structural design using triangular tiling)
3768:
3754:
3604:
3504:
3400:
3384:
3370:
3362:
2496:
2482:
2474:
1681:
1667:
1658:
1261:
1000:
986:
969:
3695:Dividing a square into similar rectangles
2789:
2778:
2777:
2774:
2753:
2742:
2741:
2738:
2717:
2706:
2705:
2702:
2674:
2663:
2662:
2659:
2631:
2620:
2619:
2616:
2588:
2577:
2576:
2573:
2545:
2534:
2533:
2530:
2326:p. 296, Table II: Regular honeycombs
2468:"2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2"
2154:
2026:
1179:
492:
417:
2239:
1664:
983:
846:
2318:, (3rd edition, 1973), Dover edition,
645:of the triangular tiling is called an
1265:Uniform hexagonal/triangular tilings
584:lattice as three triangular tilings:
7:
653:. It is the 2-dimensional case of a
326:. Because the internal angle of the
2804:{\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}
2689:{\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}
2646:{\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}
2603:{\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}
2560:{\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}
2152:made of single type of triangles:
1981:Related regular complex apeirogons
932:The planar tilings are related to
369:three regular tilings of the plane
25:
2194:30°-30°-120° isosceles triangles
2017:vertices, and vertex figures are
682:lattices, and equivalent to the A
3494:
3487:
2762:{\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}
2726:{\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}
2184:
2171:
2158:
2132:
2127:
2122:
2112:
2107:
2102:
2092:
2087:
2082:
2072:
2067:
2062:
2051:
2044:
2037:
2030:
1966:
1955:
1944:
1933:
1922:
1911:
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1872:
1867:
1862:
1853:
1848:
1843:
1834:
1829:
1824:
1815:
1810:
1805:
1796:
1791:
1786:
1777:
1772:
1767:
1758:
1753:
1748:
1739:
1734:
1729:
1618:
1611:
1604:
1597:
1590:
1583:
1576:
1569:
1562:
1552:
1547:
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1537:
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1523:
1518:
1513:
1508:
1503:
1494:
1489:
1484:
1479:
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1465:
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1455:
1450:
1445:
1436:
1431:
1426:
1421:
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1407:
1402:
1397:
1392:
1387:
1378:
1373:
1368:
1363:
1358:
1349:
1344:
1339:
1334:
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1225:
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1194:
1183:
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1063:
1056:
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895:
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627:
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2625:
2582:
2539:
2333:& Shephard, G. C. (1987).
560:A2 lattice and circle packings
1:
3720:Regular Division of the Plane
928:Related polyhedra and tilings
2181:45°-45°-90° right triangles
2168:30°-60°-90° right triangles
1662:Triangular symmetry tilings
1181:
811:of a triangular tiling is a
548:
494:
473:
436:
419:
3628:Architectonic and catoptric
3526:Aperiodic set of prototiles
2368:. Dover Publications, Inc.
2355:Regular and uniform tilings
2341:. New York: W. H. Freeman.
2217:Tilings of regular polygons
2207:Triangular tiling honeycomb
1257:truncated triangular tiling
963:{3,n}, continuing into the
940:. These can be expanded to
27:Regular tiling of the plane
4505:
1987:regular complex apeirogons
1661:
972:
790:). The packing density is
563:
3767:
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549:
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37:
32:
18:Order-6 triangular tiling
2871:Uniform convex honeycomb
2385:The Symmetries of Things
2144:Other triangular tilings
564:Not to be confused with
371:. The other two are the
2222:List of uniform tilings
312:triangular tessellation
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2001:are constrained by: 1/
1023:Noncompact hyperbolic
669:lattice (also called A
638:
411:There is one class of
400:
340:English mathematician
4489:Regular tessellations
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2148:There are also three
574:
413:Archimedean colorings
403:There are 9 distinct
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2572:
2529:
2337:Tilings and Patterns
2285:Tilings and Patterns
2248:Tilings and patterns
2212:Simplectic honeycomb
919:Equilateral triangle
832:Geometric variations
817:voronoi tessellation
655:simplectic honeycomb
328:equilateral triangle
314:is one of the three
59:Vertex configuration
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3021:Uniform 6-honeycomb
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2504:Fundamental convex
2466:Klitzing, Richard.
842:vertex-transitivity
393:geodesic polyhedron
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2447:Weisstein, Eric W.
2428:Weisstein, Eric W.
2409:Weisstein, Eric W.
1175:face configuration
887:Isosceles triangle
643:vertex arrangement
639:
401:
111:Coxeter diagram(s)
85:Schläfli symbol(s)
75:Face configuration
63:3.3.3.3.3.3 (or 3)
33:Triangular tiling
4474:Isohedral tilings
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405:uniform colorings
383:Uniform colorings
308:triangular tiling
300:
299:
283:Vertex-transitive
251:Rotation symmetry
97:Wythoff symbol(s)
16:(Redirected from
4496:
4469:Isogonal tilings
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3707:Conway criterion
3634:Circle Limit III
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2265:
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2013:= 1. Edges have
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