5952:
6936:
6216:
870:
1118:
4987:
In other words, the space of orthonormal bases is like the orthogonal group, but without a choice of base point: given the space of orthonormal bases, there is no natural choice of orthonormal basis, but once one is given one, there is a one-to-one correspondence between bases and the orthogonal
4357:
695:
983:
1207:
1436:
4281:
3118:
4001:
4763:
2610:
4292:
1505:
1276:
865:{\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}
1335:
4105:
3911:
2800:
973:
4612:
4490:
612:
1113:{\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}
2075:
1340:
2689:
3526:
3656:
1536:
and hence must be a basis. It may also be shown that the standard basis rotated about an axis through the origin or reflected in a plane through the origin also forms an orthonormal basis of
3824:
4444:
3739:
2279:
1927:
1837:
1753:
1123:
3592:
2144:
5042:
4959:
3020:
4821:
3691:
1971:
4550:
3025:
1645:
5325:
5175:
5368:
5218:
5437:
5400:
5250:
4988:
group. Concretely, a linear map is determined by where it sends a given basis: just as an invertible map can take any basis to any other basis, an orthogonal map can take any
4911:
4864:
4684:
4409:
1869:
1597:
1563:
1534:
932:
903:
690:
274:
188:
139:
5287:
4170:
4653:
2428:
1779:
6825:
3854:
3279:
2965:
1678:
2531:
2021:
2389:
2321:
2219:
5068:
2526:
509:
4159:
4132:
3759:
3549:
2164:
1698:
2347:
3392:
3345:
3302:
2905:
2855:
2500:
422:
387:
312:
241:
214:
6488:
5136:
5116:
5092:
4980:
4513:
4380:
3919:
3488:
3468:
3365:
3322:
3253:
3225:
3205:
3185:
3165:
3145:
2925:
2882:
2822:
2713:
2632:
2477:
652:
632:
531:
356:
336:
91:
63:
468:
4689:
4352:{\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}
6651:
2718:
1441:
1212:
276:
under the dot product. Every finite-dimensional inner product space has an orthonormal basis, which may be obtained from an arbitrary basis using the
6778:
6633:
5810:
6609:
6252:
1281:
6201:
243:
Under these coordinates, the inner product becomes a dot product of vectors. Thus the presence of an orthonormal basis reduces the study of a
5765:
5730:
5701:
5722:
4009:
2637:
3866:
3423:
940:
6501:
6590:
6481:
6376:
5605:
5573:
5544:
5512:
3167:
is called an orthonormal system. An orthonormal basis is an orthonormal system with the additional property that the linear span of
2828:, only countably many terms in this sum will be non-zero, and the expression is therefore well-defined. This sum is also called the
431:, a non-orthonormal set of vectors having the same linear span as an orthonormal basis may not be a basis at all. For instance, any
2436:
5565:
6860:
6191:
4555:
4449:
1599:, the standard basis and inner product are similarly defined. Any other orthonormal basis is related to the standard basis by an
544:
6505:
6153:
6089:
6324:
2029:
6656:
5693:
6712:
6391:
3493:
6965:
6939:
6661:
6646:
6474:
6329:
5931:
5803:
6676:
6245:
6036:
5886:
4867:
3597:
359:
6921:
6681:
3764:
905:
with respect to the standard dot product. Note that both the standard basis and standard dot product rely on viewing
6875:
6799:
6432:
6345:
5941:
5835:
4414:
2830:
432:
66:
6916:
3418:
Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same
1202:{\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}
6960:
6732:
6181:
5830:
3696:
3439:
2235:
1874:
1784:
1600:
158:
6666:
6452:
6056:
3426:, with separate cases depending on whether the larger basis candidate is countable or not). A Hilbert space is
3411:
1703:
277:
6768:
6569:
6381:
6173:
1431:{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}
244:
154:
6641:
3554:
2080:
5002:
4919:
2977:
6970:
6865:
6219:
5926:
5796:
4768:
534:
3661:
6896:
6840:
6804:
6350:
6319:
6238:
5983:
5916:
5906:
5453:
3427:
2858:
1932:
1607:
217:
150:
70:
4518:
1612:
6401:
6355:
6298:
6143:
5998:
5993:
5988:
5921:
5866:
5295:
5145:
4276:{\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}
5330:
5180:
5405:
5376:
5226:
4876:
4840:
4660:
4385:
1842:
1573:
1539:
1510:
908:
879:
666:
250:
164:
115:
6879:
6284:
6008:
5973:
5960:
5851:
5721:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
5255:
2167:
475:
6845:
6783:
6497:
6280:
6186:
6066:
6041:
5891:
4617:
2394:
1758:
288:
284:
146:
43:
5504:
3829:
3258:
2934:
1650:
6870:
6737:
5896:
2692:
1976:
2352:
2284:
513:
A different generalisation is to pseudo-inner product spaces, finite-dimensional vector spaces
6850:
6406:
6386:
6359:
6275:
6094:
6051:
5978:
5871:
5761:
5736:
5726:
5697:
5601:
5569:
5540:
5508:
2447:
2173:
935:
471:
287:, the concept of an orthonormal basis can be generalized to arbitrary (infinite-dimensional)
6855:
6773:
6742:
6722:
6707:
6702:
6697:
6534:
6416:
6293:
6099:
6003:
5856:
5753:
5448:
5047:
4914:
4871:
4832:
3113:{\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}
2505:
484:
4137:
4110:
3744:
3534:
2149:
1973:. Any two orthonormal bases are related by a pseudo-orthogonal transformation. In the case
1683:
6717:
6671:
6619:
6614:
6585:
6466:
6396:
6158:
5951:
5911:
5901:
3996:{\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}
3857:
3435:
3419:
2971:
2825:
980:
A straightforward computation shows that the inner products of these vectors equals zero,
110:
6544:
3913:
which is an isomorphism of inner product spaces: to make this more explicit we can write
2326:
3374:
3327:
3284:
2887:
2837:
2482:
404:
369:
294:
223:
196:
6906:
6758:
6559:
6163:
6148:
6084:
5819:
5528:
5497:
5465:
5121:
5101:
5077:
4965:
4498:
4365:
3473:
3453:
3350:
3307:
3238:
3210:
3190:
3170:
3150:
3130:
2910:
2867:
2807:
2698:
2617:
2462:
2443:
2226:
2170:, forms an orthonormal basis of the space of functions with finite Lebesgue integrals,
637:
617:
516:
362:
of the vectors in the basis. In this case, the orthonormal basis is sometimes called a
341:
321:
106:
76:
48:
35:
438:
6954:
6911:
6835:
6564:
6549:
6539:
6289:
6261:
6196:
6119:
6079:
6046:
6026:
5716:
4758:{\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}
2432:
538:
428:
102:
2605:{\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}
6901:
6554:
6524:
6129:
6018:
5968:
5861:
5712:
5685:
5589:
5459:
5644:
1500:{\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}
1271:{\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}
6830:
6820:
6727:
6529:
6411:
6109:
6074:
6031:
5876:
5597:
5536:
3407:
394:
390:
142:
98:
94:
31:
6763:
6603:
6599:
6595:
6138:
5881:
5757:
17:
5936:
5740:
5471:
4362:
The space of isomorphisms admits actions of orthogonal groups at either the
3431:
3414:(or more simply well-ordering and transfinite recursion), one can show that
2968:
1330:{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}
398:
5782:
6104:
4411:
side. For concreteness we fix the isomorphisms to point in the direction
479:
5094:-frames) are still homogeneous spaces for the orthogonal group, but not
3434:
orthonormal basis. (One can prove this last statement without using the
338:
is an orthonormal set of vectors with the property that every vector in
5474: – subset of a topological vector space whose linear span is dense
4962:
3422:(this can be proven in a manner akin to that of the proof of the usual
5138:-frame by an orthogonal map, but this map is not uniquely determined.
478:(an orthonormal basis), but not necessarily as an infinite sum of the
6114:
5785:
discusses why the set of Dirac Delta functions is not a basis of L().
4100:{\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}
2222:
393:, since infinite linear combinations are required. Specifically, the
4657:
This space also admits a right action by the group of isometries of
3906:{\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
2795:{\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}
968:{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
6230:
5788:
5657:
141:
is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the
389:
Note that an orthonormal basis in this sense is not generally a
6470:
6234:
5792:
4495:
This space admits a left action by the group of isometries of
4286:
These definitions make it manifest that there is a bijection
4306:
4180:
4022:
3929:
3876:
3560:
4607:{\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}
4485:{\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}
3255:. That is, we can take the smallest closed linear subspace
3450:
For concreteness we discuss orthonormal bases for a real,
607:{\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}
161:) is also orthonormal, and every orthonormal basis for
2070:{\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}
1337:
can be expressed as a sum of the basis vectors scaled
830:
777:
724:
216:
an orthonormal basis can be used to define normalized
5408:
5379:
5333:
5298:
5258:
5229:
5183:
5148:
5124:
5104:
5080:
5050:
5005:
4968:
4922:
4879:
4843:
4771:
4692:
4663:
4620:
4558:
4521:
4501:
4452:
4417:
4388:
4368:
4295:
4173:
4140:
4113:
4012:
3922:
3869:
3832:
3767:
3747:
3699:
3664:
3600:
3557:
3537:
3531:
One way to view an orthonormal basis with respect to
3496:
3476:
3456:
3377:
3353:
3330:
3310:
3287:
3261:
3241:
3213:
3193:
3173:
3153:
3133:
3028:
2980:
2937:
2913:
2890:
2870:
2840:
2810:
2721:
2701:
2640:
2620:
2534:
2508:
2485:
2465:
2397:
2355:
2329:
2287:
2238:
2176:
2152:
2083:
2032:
1979:
1935:
1877:
1845:
1787:
1761:
1706:
1686:
1653:
1615:
1576:
1542:
1513:
1444:
1343:
1284:
1215:
1126:
986:
943:
911:
882:
698:
669:
640:
620:
547:
519:
487:
441:
407:
372:
344:
324:
297:
253:
226:
199:
167:
118:
79:
51:
5476:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
5462: – Euclidean space without distance and angles
2684:{\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}
6889:
6813:
6792:
6751:
6690:
6632:
6578:
6513:
6425:
6369:
6338:
6312:
6268:
6172:
6128:
6065:
6017:
5959:
5844:
5632:
3521:{\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }
3147:of mutually orthonormal vectors in a Hilbert space
6826:Spectral theory of ordinary differential equations
5496:
5431:
5394:
5362:
5319:
5281:
5244:
5212:
5169:
5130:
5110:
5086:
5062:
5036:
4974:
4953:
4905:
4858:
4815:
4757:
4678:
4647:
4606:
4544:
4507:
4484:
4438:
4403:
4374:
4351:
4275:
4153:
4126:
4099:
3995:
3905:
3848:
3818:
3753:
3733:
3685:
3650:
3586:
3543:
3520:
3482:
3462:
3386:
3359:
3339:
3316:
3296:
3273:
3247:
3219:
3199:
3179:
3159:
3139:
3112:
3014:
2959:
2919:
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2816:
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2138:
2069:
2015:
1965:
1921:
1863:
1831:
1773:
1747:
1692:
1672:
1639:
1591:
1557:
1528:
1499:
1430:
1329:
1270:
1201:
1112:
967:
926:
897:
864:
684:
646:
626:
606:
525:
503:
462:
416:
381:
350:
330:
306:
268:
235:
208:
182:
133:
85:
57:
5456: – Set of vectors used to define coordinates
3490:with a positive definite symmetric bilinear form
3741:. With respect to this basis, the components of
3651:{\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}
3819:{\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}
5373:The set of right-handed orthonormal bases for
4765:, with the action again given by composition:
1120:and that each of their magnitudes equals one,
6482:
6246:
5804:
5748:Steinwart, Ingo; Christmann, Andreas (2008).
5647:Authors: Rynne, Bryan, Youngson, M.A. page 79
4439:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}
541:. In such a basis, the metric takes the form
8:
4343:
4317:
4311:
4296:
3581:
3568:
3515:
3503:
3077:
3065:
3059:
3029:
2774:
2762:
2729:
2722:
2675:
2663:
2584:
2577:
2572:
2560:
1667:
1654:
3734:{\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}
2274:{\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}
1922:{\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}
1832:{\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}
424:although not necessarily the entire space.
6517:
6489:
6475:
6467:
6253:
6239:
6231:
5811:
5797:
5789:
3446:Choice of basis as a choice of isomorphism
1748:{\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}
5415:
5407:
5386:
5382:
5381:
5378:
5340:
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5305:
5301:
5300:
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5265:
5257:
5236:
5232:
5231:
5228:
5190:
5182:
5155:
5151:
5150:
5147:
5123:
5103:
5079:
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5025:
5021:
5020:
5010:
5004:
4967:
4942:
4938:
4937:
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4921:
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4878:
4850:
4846:
4845:
4842:
4804:
4782:
4770:
4748:
4747:
4732:
4727:
4709:
4697:
4691:
4670:
4666:
4665:
4662:
4619:
4557:
4528:
4520:
4500:
4467:
4463:
4462:
4453:
4451:
4424:
4420:
4419:
4416:
4395:
4391:
4390:
4387:
4367:
4337:
4333:
4332:
4320:
4305:
4304:
4299:
4294:
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4254:
4244:
4233:
4217:
4195:
4191:
4190:
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3965:
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3960:
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3892:
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3874:
3868:
3837:
3831:
3807:
3791:
3778:
3766:
3746:
3725:
3721:
3720:
3707:
3698:
3679:
3678:
3669:
3663:
3621:
3611:
3599:
3575:
3559:
3558:
3556:
3536:
3495:
3475:
3455:
3376:
3352:
3329:
3309:
3286:
3260:
3240:
3212:
3192:
3172:
3152:
3132:
3027:
2997:
2979:
2942:
2936:
2912:
2889:
2869:
2839:
2809:
2783:
2778:
2757:
2745:
2732:
2720:
2700:
2651:
2639:
2619:
2587:
2557:
2545:
2533:
2507:
2484:
2464:
2402:
2396:
2360:
2354:
2328:
2292:
2286:
2248:
2237:
2181:
2175:
2151:
2088:
2082:
2058:
2057:
2042:
2031:
1978:
1934:
1901:
1888:
1876:
1844:
1811:
1798:
1786:
1760:
1730:
1717:
1705:
1685:
1661:
1652:
1622:
1618:
1617:
1614:
1583:
1579:
1578:
1575:
1549:
1545:
1544:
1541:
1520:
1516:
1515:
1512:
1485:
1480:
1470:
1465:
1455:
1450:
1443:
1418:
1410:
1400:
1392:
1382:
1374:
1363:
1355:
1347:
1342:
1321:
1317:
1316:
1304:
1296:
1288:
1283:
1256:
1251:
1241:
1236:
1226:
1221:
1214:
1182:
1177:
1159:
1154:
1136:
1131:
1125:
1092:
1087:
1077:
1072:
1052:
1047:
1037:
1032:
1012:
1007:
997:
992:
985:
961:
960:
953:
952:
945:
944:
942:
918:
914:
913:
910:
889:
885:
884:
881:
825:
815:
810:
772:
762:
757:
719:
709:
704:
697:
676:
672:
671:
668:
639:
619:
548:
546:
518:
492:
486:
440:
406:
371:
343:
323:
296:
260:
256:
255:
252:
225:
198:
174:
170:
169:
166:
125:
121:
120:
117:
78:
50:
6779:Group algebra of a locally compact group
4614:, with the action given by composition:
3587:{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}
2391:otherwise forms an orthonormal basis of
2139:{\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}
5487:
5037:{\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}
4954:{\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}
4446:, and consider the space of such maps,
3015:{\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}
2967:in the following sense: there exists a
6202:Comparison of linear algebra libraries
4816:{\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}
2225:. This is fundamental to the study of
5620:
4866:with the standard inner product is a
3686:{\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }
3438:. However, one would have to use the
7:
5723:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
3347:which may of course be smaller than
2857:and the formula is usually known as
2023:, these are Lorentz transformations.
1966:{\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}
247:inner product space to the study of
5533:Linear Algebra and Its Applications
5499:Linear Algebra and Its Applications
4545:{\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}
3863:We can now view the basis as a map
3424:dimension theorem for vector spaces
2634:is orthonormal, this simplifies to
1640:{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}
1278:is an orthonormal set. All vectors
27:Specific linear basis (mathematics)
5320:{\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}
5170:{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}
3633:
3086:
3047:
3032:
2981:
876:and forms an orthonormal basis of
193:For a general inner product space
25:
6377:Compact operator on Hilbert space
5363:{\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}
5292:The set of orthonormal bases for
5223:The set of orthonormal bases for
5213:{\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}
5142:The set of orthonormal bases for
5118:-frame can be taken to any other
4837:The set of orthonormal bases for
6935:
6934:
6861:Topological quantum field theory
6215:
6214:
6192:Basic Linear Algebra Subprograms
5950:
5432:{\displaystyle G={\text{SO}}(n)}
5395:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5245:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
4906:{\displaystyle G={\text{O}}(n),}
4859:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4827:As a principal homogeneous space
4679:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4404:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3324:will be an orthonormal basis of
1864:{\displaystyle 1\leq \mu \leq p}
1592:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1558:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
1529:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
1486:
1482:
1471:
1467:
1456:
1452:
1419:
1415:
1411:
1401:
1397:
1393:
1383:
1379:
1375:
1364:
1356:
1348:
1305:
1297:
1289:
1257:
1253:
1242:
1238:
1227:
1223:
1183:
1179:
1160:
1156:
1137:
1133:
1093:
1089:
1078:
1074:
1053:
1049:
1038:
1034:
1013:
1009:
998:
994:
927:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
898:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
816:
812:
763:
759:
710:
706:
685:{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
269:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
183:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
134:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
105:to each other. For example, the
6090:Seven-dimensional cross product
5633:Steinwart & Christmann 2008
5282:{\displaystyle G={\text{U}}(n)}
5074:orthonormal bases (orthonormal
4301:Space of orthogonal bases
4164:The inverse is a component map
533:equipped with a non-degenerate
5426:
5420:
5357:
5345:
5276:
5270:
5207:
5195:
5031:
5016:
4948:
4933:
4897:
4891:
4752:
4744:
4720:
4714:
4601:
4583:
4574:
4562:
4539:
4533:
4479:
4473:
4458:
4430:
4328:
4314:
4226:
4223:
4210:
4201:
4094:
4075:
4066:
4060:
4038:
4034:
4028:
4013:
3987:
3956:
3953:
3950:
3938:
3888:
3797:
3771:
3713:
3700:
3056:
3050:
3041:
3035:
3009:
3003:
2990:
2954:
2948:
2779:
2758:
2414:
2408:
2372:
2366:
2304:
2298:
2205:
2202:
2190:
2187:
2130:
2112:
2100:
2094:
2010:
1998:
1992:
1980:
1907:
1881:
1817:
1791:
1736:
1710:
1368:
1344:
1309:
1285:
1189:
1174:
1166:
1151:
1143:
1128:
601:
553:
457:
442:
149:of the standard basis under a
1:
6657:Uniform boundedness principle
5694:Graduate Texts in Mathematics
4648:{\displaystyle R*C=R\circ C.}
4134:is the dual basis element to
2423:{\displaystyle \ell ^{2}(B).}
1774:{\displaystyle \mu \neq \nu }
5932:Eigenvalues and eigenvectors
5696:(Third ed.). Springer.
4999:The other Stiefel manifolds
3849:{\displaystyle \delta _{ij}}
3274:{\displaystyle V\subseteq H}
2960:{\displaystyle \ell ^{2}(B)}
2437:Sturm–Liouville eigenproblem
1673:{\displaystyle \{e_{\mu }\}}
291:. Given a pre-Hilbert space
5594:Real & Complex Analysis
4868:principal homogeneous space
4322:Space of isomorphisms
3430:if and only if it admits a
2884:is an orthonormal basis of
2016:{\displaystyle (p,q)=(1,3)}
360:infinite linear combination
6987:
6800:Invariant subspace problem
6346:Hilbert projection theorem
5645:Linear Functional Analysis
5468: – Computational tool
4830:
3594:, which allow us to write
3470:-dimensional vector space
3227:can be regarded as either
2479:is an orthogonal basis of
2384:{\displaystyle e_{b}(c)=0}
2316:{\displaystyle e_{b}(c)=1}
433:square-integrable function
6930:
6520:
6325:Cauchy–Schwarz inequality
6210:
5948:
5826:
5758:10.1007/978-0-387-77242-4
5562:Linear Algebra Done Right
3761:are particularly simple:
3440:axiom of countable choice
3207:. Alternatively, the set
1601:orthogonal transformation
159:orthogonal transformation
6769:Spectrum of a C*-algebra
5098:homogeneous spaces: any
4006:Explicitly we can write
2450:form an orthonormal set.
2214:{\displaystyle L^{2}(),}
474:) as an infinite sum of
190:arises in this fashion.
97:, that is, they are all
6866:Noncommutative geometry
5750:Support vector machines
5690:Advanced Linear Algebra
5560:Axler, Sheldon (2002).
3551:is as a set of vectors
3371:orthonormal set, or be
535:symmetric bilinear form
6922:Tomita–Takesaki theory
6897:Approximation property
6841:Calculus of variations
5917:Row and column vectors
5752:. New York: Springer.
5495:Lay, David C. (2006).
5454:Basis (linear algebra)
5433:
5396:
5364:
5321:
5283:
5246:
5214:
5171:
5132:
5112:
5088:
5064:
5063:{\displaystyle k<n}
5038:
4976:
4955:
4907:
4860:
4817:
4759:
4680:
4649:
4608:
4546:
4509:
4486:
4440:
4405:
4376:
4353:
4277:
4249:
4155:
4128:
4101:
3997:
3907:
3850:
3820:
3755:
3735:
3687:
3652:
3588:
3545:
3522:
3484:
3464:
3388:
3361:
3341:
3318:
3298:
3275:
3249:
3221:
3201:
3181:
3161:
3141:
3114:
3016:
2961:
2921:
2901:
2878:
2851:
2818:
2796:
2709:
2691:and the square of the
2685:
2628:
2606:
2522:
2521:{\displaystyle x\in H}
2496:
2473:
2424:
2385:
2343:
2317:
2275:
2215:
2160:
2140:
2071:
2017:
1967:
1923:
1865:
1833:
1775:
1749:
1694:
1674:
1647:, an orthogonal basis
1641:
1608:pseudo-Euclidean space
1593:
1559:
1530:
1501:
1432:
1331:
1272:
1203:
1114:
969:
928:
899:
866:
686:
648:
628:
608:
527:
505:
504:{\displaystyle x^{n}.}
464:
418:
383:
352:
332:
308:
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