28:
5767:
As a naming convention, the term "tautological one-form" is usually reserved for the case where the form has a canonical definition, as it does here, while "solder form" is more appropriate for those cases where the form is not canonically defined. This convention is not being observed here.
4719:
6816:
1964:
2960:
7566:
4746:. One of the advantages of working with frame bundles is that they allow one to work with frames other than coordinates frames; one can choose a frame adapted to the problem at hand. This is sometimes called the
4364:
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3480:
3075:
4299:
3767:
747:
7444:
5688:
970:(this follows from the standard linear algebra result that there is a unique invertible linear transformation sending one basis onto another). As a topological space,
5732:
5147:
6255:
524:
441:
5927:
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5865:
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3837:
3796:
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3642:
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3505:
3273:
3168:
2744:
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1150:
819:
639:
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467:
390:
246:
195:
92:
3247:
6742:
1869:
2889:
6058:
acts freely and transitively on the set of all orthonormal frames via right composition. In other words, the set of all orthonormal frames is a right
7500:
8306:
4306:
8367:
8319:
6208:. It can be constructed by a method entirely analogous to that of the ordinary frame bundle. The orthonormal frame bundle of a rank
5156:
2693:
3674:
7319:
6866:
4803:
2111:
1975:
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5532:
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7247:
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5373:
4373:
4100:
3359:
3175:
2839:
2795:
2751:
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1553:
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1007:
893:
682:
672:
327:
4942:
569:
5939:
3547:
97:
8291:
5799:
4221:. The cross-section theorem for principal bundles states that the frame bundle is trivial over any open set in
2372:
4780:
is a special type of principal bundle in the sense that its geometry is fundamentally tied to the geometry of
3085:
2202:
2725:
is the fiber bundle with same base, structure group, trivializing neighborhoods, and transition functions as
8390:
8167:
7961:
4747:
4714:{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)}
4490:
4588:
34:
8385:
7326:
7098:
6873:
6372:
4170:
2295:
1185:
142:
6829:
6524:
6128:
7028:
comes with additional structure it is often natural to consider a subbundle of the full frame bundle of
6641:
4842:
2883:
1714:
6415:
5991:
5100:
4998:
3917:
3514:
3404:
2062:
7622:
7141:
7072:
is a
Riemannian manifold we saw above that it is natural to consider the orthonormal frame bundle of
6960:
6703:
6564:
6262:
6062:
6029:
3277:
3078:
1760:
1623:
823:
676:
287:
1453:
7878:
6495:
5832:
3770:
5413:. The solder form is horizontal in the sense that it vanishes on vectors tangent to the fibers of
5380:
3438:
3045:
8311:
8240:
561:
4269:
3745:
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8363:
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7413:
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967:
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6234:
6023:
6019:
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5843:
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5503:
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2699:
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1661:
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5611:
5586:
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7199:
7177:
7076:
7054:
7032:
7010:
6811:{\displaystyle i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)}
6681:
6619:
6597:
6502:
6476:
6454:
6350:
6320:
6295:
6212:
6190:
6168:
6106:
5780:
5695:
5636:
5579:
5052:
5030:
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4896:
4874:
4852:
4784:
4762:
4728:
4566:
4544:
4522:
4497:
4471:
4449:
4247:
4225:
4203:
4177:
4144:
4078:
4056:
4034:
4012:
3870:
3848:
3841:
3822:
3781:
3653:
3627:
3598:
3490:
3258:
3153:
2729:
2674:
2590:
2560:
2538:
2516:
2491:
2466:
2430:
2302:
2194:
1959:{\displaystyle \psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
1767:
1691:
1531:
1432:
1410:
1388:
1366:
1224:
1135:
804:
624:
477:
452:
401:
375:
231:
180:
77:
3220:
8379:
7678:
6339:
3774:
528:
445:
250:
174:
2955:{\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (V,\mathbb {F} )}
1047:
although it lacks a group structure, since there is no "preferred frame". The space
7240:
4196:
3617:
1000:
27:
8338:
8166:. However, in some cases, such as for symplectic and complex manifolds, an added
7758:
7289:
7001:
5436:
4833:
3646:
963:
134:
7492:
6822:
5655:
7094:. The orthonormal frame bundle is just a reduction of the structure group of
6733:
1687:
can be given a natural topology and bundle structure determined by that of
7561:{\displaystyle {\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)}
6593:, is the orthonormal frame bundle associated with the tangent bundle of
6637:
is orientable, then one also has the oriented orthonormal frame bundle
6736:
of the general linear frame bundle. In other words, the inclusion map
8243:
6313:. Again, the construction works just as well in the smooth category.
6092:
1121:
4562:
so is the frame bundle. In fact, given any coordinate neighborhood
26:
4359:{\displaystyle \psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
6615:(which is equipped with a Riemannian metric by definition). If
5215:{\displaystyle \theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )}
3735:{\displaystyle F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}}
2556:
can be given the structure of a smooth principal bundle over
45:
41:
1622:
on the right as above. This action is clearly free and the
7050:
which is adapted to the given structure. For example, if
3645:
can be given by the above construction. For example, the
2156:{\displaystyle U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
2047:{\displaystyle \psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).}
8362:((2nd ed.) ed.), New York: Chelsea Publishing Co.,
6447:-bundle of all positively oriented orthonormal frames.
2487:
The above all works in the smooth category as well: if
1315:{\displaystyle \mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.}
323:, giving the frame bundle the structure of a principal
5654:
which are, in turn, in 1-1 correspondence with smooth
8275:
8253:
8224:
8177:
8151:
8129:
8085:
8063:
8041:
8019:
7971:
7938:
7888:
7859:
7834:
7790:
7768:
7739:
7688:
7658:
7625:
7603:
7578:
7503:
7476:
7454:
7416:
7394:
7372:
7329:
7303:
7250:
7224:
7202:
7180:
7144:
7101:
7079:
7057:
7035:
7013:
6963:
6919:
6876:
6832:
6745:
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6684:
6644:
6622:
6600:
6567:
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6505:
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6418:
6375:
6353:
6323:
6298:
6265:
6237:
6215:
6193:
6171:
6164:, is the set of all orthonormal frames at each point
6131:
6109:
6065:
6032:
5994:
5942:
5908:
5875:
5846:
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5783:
5746:
5720:
5698:
5664:
5639:
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5535:
5506:
5448:
5420:
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5354:
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5257:
5232:
5159:
5135:
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5055:
5033:
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4855:
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4787:
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4731:
4647:
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4569:
4547:
4525:
4500:
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4452:
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4272:
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4228:
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4037:
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3873:
3851:
3825:
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3601:
3550:
3517:
3493:
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3156:
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2114:
2065:
1978:
1872:
1854:{\displaystyle \phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}}
1806:
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1717:
1694:
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1634:
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729:
685:
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627:
572:
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455:
423:
378:
330:
296:
264:
234:
204:
183:
150:
100:
80:
37:
5578:. A form with these properties is called a basic or
8056:uniquely determines the corresponding structure on
5835:. It is then possible to talk about the set of all
4802:. This relationship can be expressed by means of a
3324:{\displaystyle F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}}
879:{\displaystyle p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}
8281:
8259:
8230:
8208:
8157:
8135:
8113:
8069:
8047:
8025:
7999:
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7868:
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7774:
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7664:
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6249:
6221:
6199:
6177:
6155:
6115:
6082:
6049:
6009:
5976:
5921:
5888:
5859:
5822:
5789:
5755:
5726:
5704:
5682:
5645:
5623:
5598:
5570:{\displaystyle g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
5569:
5519:
5488:
5426:
5404:
5363:
5338:
5275:
5241:
5214:
5141:
5118:
5086:
5061:
5039:
5016:
4982:
4927:
4905:
4883:
4861:
4822:
4793:
4771:
4737:
4713:
4629:
4575:
4553:
4540:is trivializable over coordinate neighborhoods of
4531:
4506:
4480:
4458:
4434:
4358:
4293:
4265:which admits a smooth frame. Given a smooth frame
4256:
4234:
4212:
4186:
4153:
4131:
4087:
4065:
4043:
4021:
3999:
3974:
3940:
3904:
3879:
3857:
3831:
3790:
3761:
3734:
3662:
3636:
3607:
3584:
3532:
3499:
3474:
3422:
3390:
3345:
3323:
3267:
3241:
3206:
3162:
3139:
3069:
3034:
3002:
2954:
2870:
2826:
2782:
2738:
2717:
2683:
2662:
2641:. Each one determines the other. The frame bundle
2629:
2599:
2569:
2547:
2525:
2500:
2475:
2454:
2419:
2358:
2311:
2286:
2252:
2185:
2155:
2097:
2046:
1958:
1853:
1776:
1749:
1700:
1679:
1640:
1614:
1584:
1540:
1517:
1483:
1441:
1419:
1397:
1375:
1346:
1314:
1247:
1215:
1174:
1144:
1111:
1067:
1038:
990:
953:
924:
878:
813:
792:{\displaystyle g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
791:
741:
713:
662:
633:
609:
551:
518:
486:
461:
435:
384:
358:
311:
277:
240:
219:
189:
165:
121:
86:
63:
7724:{\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}
5339:{\displaystyle p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}}
8328:Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993),
3003:{\displaystyle \mathrm {F} (E)\times _{\rho }V}
8304:Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996),
8209:{\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}
7920:{\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}
6699:, the orthonormal frame bundle is a principal
5489:{\displaystyle R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta }
4052:-dimensional then the tangent bundle has rank
8114:{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}
8000:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}
7819:{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}
7681:has an oriented frame bundle which is just a
7279:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
6948:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
4435:{\displaystyle \psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)}
4132:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
3391:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
3207:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
2871:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
2827:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
2783:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
2359:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
1585:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
1112:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
1039:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
925:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
714:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
404:. For this reason it is sometimes called the
359:{\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )}
8:
5607:. Such forms are in 1-1 correspondence with
4983:{\displaystyle p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M}
2411:
2398:
2392:
2379:
2265:With all of the above data the frame bundle
610:{\displaystyle p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.}
8290:to be symplectic, this 2-form must also be
5977:{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}
3585:{\displaystyle p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}}
560:. Equivalently, a frame can be viewed as a
8331:Natural operators in differential geometry
122:{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
8274:
8252:
8223:
8199:
8198:
8178:
8176:
8150:
8128:
8104:
8103:
8086:
8084:
8062:
8040:
8018:
7990:
7989:
7972:
7970:
7937:
7910:
7909:
7889:
7887:
7858:
7833:
7809:
7808:
7791:
7789:
7767:
7738:
7714:
7713:
7698:
7690:
7687:
7673:. The following are some other examples.
7657:
7626:
7624:
7602:
7596:In this language, a Riemannian metric on
7577:
7539:
7538:
7532:
7531:
7512:
7506:
7505:
7502:
7475:
7453:
7421:
7415:
7393:
7371:
7335:
7334:
7328:
7302:
7269:
7268:
7251:
7249:
7223:
7201:
7179:
7145:
7143:
7107:
7106:
7100:
7078:
7056:
7034:
7012:
6964:
6962:
6938:
6937:
6920:
6918:
6882:
6881:
6875:
6838:
6837:
6831:
6789:
6788:
6782:
6781:
6761:
6760:
6754:
6753:
6744:
6707:
6705:
6683:
6650:
6649:
6643:
6621:
6599:
6568:
6566:
6533:
6532:
6526:
6504:
6478:
6456:
6419:
6417:
6381:
6380:
6374:
6352:
6322:
6297:
6266:
6264:
6236:
6214:
6192:
6170:
6137:
6136:
6130:
6108:
6066:
6064:
6033:
6031:
6001:
5997:
5996:
5993:
5968:
5955:
5951:
5950:
5941:
5913:
5907:
5880:
5874:
5851:
5845:
5814:
5808:
5782:
5745:
5719:
5697:
5663:
5638:
5613:
5588:
5560:
5559:
5542:
5534:
5511:
5505:
5474:
5458:
5453:
5447:
5419:
5382:
5353:
5330:
5326:
5325:
5312:
5296:
5290:
5256:
5231:
5195:
5186:
5164:
5158:
5134:
5110:
5106:
5105:
5102:
5076:
5054:
5032:
5008:
5004:
5003:
5000:
4971:
4958:
4953:
4944:
4920:
4898:
4876:
4854:
4812:
4786:
4764:
4730:
4697:
4684:
4666:
4653:
4646:
4618:
4599:
4590:
4568:
4546:
4524:
4499:
4473:
4451:
4414:
4375:
4349:
4348:
4331:
4308:
4271:
4249:
4227:
4205:
4179:
4146:
4122:
4121:
4104:
4102:
4080:
4058:
4036:
4014:
3989:
3955:
3921:
3919:
3894:
3872:
3850:
3824:
3783:
3753:
3747:
3726:
3716:
3712:
3711:
3699:
3694:
3676:
3655:
3629:
3600:
3576:
3563:
3559:
3558:
3549:
3524:
3520:
3519:
3516:
3492:
3440:
3414:
3410:
3409:
3406:
3381:
3380:
3363:
3361:
3338:
3315:
3311:
3310:
3303:
3285:
3260:
3222:
3197:
3196:
3179:
3177:
3155:
3087:
3047:
3018:
2991:
2973:
2971:
2945:
2944:
2927:
2917:
2916:
2899:
2891:
2861:
2860:
2843:
2841:
2817:
2816:
2799:
2797:
2773:
2772:
2755:
2753:
2731:
2701:
2676:
2646:
2613:
2592:
2562:
2540:
2518:
2493:
2468:
2438:
2420:{\displaystyle (\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})}
2405:
2386:
2374:
2349:
2348:
2331:
2329:
2304:
2270:
2226:
2210:
2204:
2169:
2146:
2145:
2128:
2119:
2113:
2086:
2070:
2064:
2020:
1983:
1977:
1949:
1948:
1931:
1922:
1906:
1890:
1877:
1871:
1845:
1841:
1840:
1830:
1811:
1805:
1769:
1738:
1725:
1716:
1693:
1663:
1633:
1598:
1575:
1574:
1557:
1555:
1533:
1498:
1455:
1434:
1412:
1390:
1368:
1330:
1303:
1287:
1266:
1264:
1239:
1233:
1194:
1193:
1187:
1158:
1137:
1102:
1101:
1084:
1082:
1059:
1053:
1029:
1028:
1011:
1009:
982:
976:
945:
939:
915:
914:
897:
895:
867:
854:
849:
834:
806:
782:
781:
764:
756:
728:
704:
703:
686:
684:
654:
648:
626:
598:
585:
580:
571:
543:
537:
505:
479:
454:
422:
377:
349:
348:
331:
329:
295:
269:
263:
233:
203:
182:
149:
115:
114:
106:
102:
101:
99:
79:
44:
39:
38:
36:
3840:is the frame bundle associated with the
3799:can be constructed in a similar manner.
3616:. One can easily check that this map is
3140:{\displaystyle (pg,v)\sim (p,\rho (g)v)}
2253:{\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)}
6498:, then the orthonormal frame bundle of
2692:as above, or more abstractly using the
3983:. In physics, it is sometimes denoted
2791:, where the action of structure group
5347:is the inverse of the frame map, and
4630:{\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}
3355:is the fundamental representation of
64:{\displaystyle {\mathcal {F_{O}}}(E)}
7:
8307:Foundations of Differential Geometry
7357:{\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}
7129:{\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(M)}
6904:{\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}
6403:{\displaystyle F_{\mathrm {SO} }(E)}
3215:. Denote the equivalence classes by
1216:{\displaystyle F_{\mathrm {GL} }(E)}
6857:{\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}
6552:{\displaystyle F_{\mathrm {O} }(M)}
6156:{\displaystyle F_{\mathrm {O} }(E)}
4493:if and only if the frame bundle of
3773:of the fundamental representation.
1863:. This data determines a bijection
8182:
8179:
8090:
8087:
7976:
7973:
7893:
7890:
7795:
7792:
7694:
7691:
7627:
7543:
7540:
7533:
7507:
7387:. Explicitly, this is a principal
7339:
7336:
7255:
7252:
7146:
7111:
7108:
6965:
6924:
6921:
6886:
6883:
6839:
6793:
6790:
6783:
6762:
6755:
6708:
6666:{\displaystyle F_{\mathrm {SO} }M}
6654:
6651:
6569:
6534:
6423:
6420:
6385:
6382:
6267:
6138:
6067:
6034:
5831:is not only a vector space but an
5546:
5543:
5196:
4690:
4686:
4659:
4655:
4335:
4332:
4108:
4105:
3925:
3922:
3623:Any vector bundle associated with
3367:
3364:
3183:
3180:
2974:
2931:
2928:
2903:
2900:
2847:
2844:
2803:
2800:
2759:
2756:
2335:
2332:
2132:
2129:
1935:
1932:
1561:
1558:
1267:
1198:
1195:
1088:
1085:
1015:
1012:
901:
898:
768:
765:
690:
687:
335:
332:
25:
8360:Lectures on Differential Geometry
8337:, Springer-Verlag, archived from
6677:Given a Riemannian vector bundle
6344:oriented orthonormal frame bundle
2694:fiber bundle construction theorem
2509:is a smooth vector bundle over a
1750:{\displaystyle (U_{i},\phi _{i})}
7320:reduction of the structure group
6867:reduction of the structure group
6439:{\displaystyle \mathrm {SO} (k)}
6010:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
5119:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5017:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
4954:
4489:. It follows that a manifold is
3941:{\displaystyle \mathrm {GL} (M)}
3533:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
3423:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
2879:is that of left multiplication.
2197:coinduced by the inclusion maps
2098:{\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})}
1450:. There is a natural projection
850:
581:
7643:{\displaystyle \mathrm {O} (n)}
7162:{\displaystyle \mathrm {O} (n)}
6981:{\displaystyle \mathrm {O} (k)}
6724:{\displaystyle \mathrm {O} (k)}
6585:{\displaystyle \mathrm {O} (M)}
6283:{\displaystyle \mathrm {O} (k)}
6083:{\displaystyle \mathrm {O} (k)}
6050:{\displaystyle \mathrm {O} (k)}
5225:where ξ is a tangent vector to
4758:The frame bundle of a manifold
400:is the one associated with its
8310:, vol. 1 (New ed.),
8203:
8186:
8108:
8094:
8012:In many of these instances, a
7994:
7980:
7914:
7897:
7813:
7799:
7718:
7704:
7637:
7631:
7555:
7549:
7527:
7524:
7518:
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3432:. The isomorphism is given by
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160:
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58:
52:
1:
4638:the coordinate vector fields
2107:can be given the topology of
1798:one has a linear isomorphism
31:The orthonormal frame bundle
8144:determines a volume form on
5405:{\displaystyle \pi :FM\to M}
4518:Since the tangent bundle of
3475:{\displaystyle \mapsto p(v)}
3070:{\displaystyle F(E)\times V}
2057:With these bijections, each
5868:. An orthonormal frame for
4993:is a linear isomorphism of
4870:be a point of the manifold
412:Definition and construction
94:is a non-trivial principal
8407:
6999:
5026:with the tangent space of
3042:which is given by product
2696:. With the latter method,
2367:and local trivializations
1654:Principal bundle structure
750:matrices: a group element
6230:Riemannian vector bundle
4724:define a smooth frame on
4515:admits a global section.
4294:{\displaystyle s:U\to FU}
4074:, so the frame bundle of
3762:{\displaystyle \rho ^{*}}
2963:there is a vector bundle
2582:Associated vector bundles
2534:then the frame bundle of
2462:are the same as those of
2429:. One can check that the
742:{\displaystyle k\times k}
620:The set of all frames at
7439:{\displaystyle F_{G}(M)}
7137:to the orthogonal group
6342:then one can define the
6100:orthonormal frame bundle
5800:Riemannian bundle metric
5772:Orthonormal frame bundle
5683:{\displaystyle TM\to TM}
5528:is right translation by
2747:but with abstract fiber
2670:can be constructed from
129:-bundle over the circle.
18:Orthonormal frame bundle
8168:integrability condition
7962:almost complex manifold
5727:{\displaystyle \theta }
5713:. Viewed in this light
5142:{\displaystyle \theta }
4748:method of moving frames
4173:of the frame bundle of
1626:are just the fibers of
8283:
8261:
8239:uniquely determines a
8232:
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396:The frame bundle of a
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5070:. The solder form of
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