4550:
126:
4566:
76:
2294:
4558:
3570:
50:
3108:
2021:
4451:
4019:
2666:
4172:
6435:
1883:
2289:{\displaystyle m^{2}={\frac {b^{4}u^{2}}{a^{4}v^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}{\color {red}{\frac {b^{4}}{v^{2}}}}{\color {blue}{\frac {u^{2}}{a^{2}}}}={\frac {1}{a^{2}}}{\color {red}n^{2}}{\color {blue}\left(1-{\frac {b^{2}}{n^{2}}}\right)}={\frac {n^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\,.}
5202:
4963:
4319:
6098:
2970:
2016:
5336:
3837:
5869:
1127:
4716:
3679:
6229:
4532:
5723:
2493:
4024:
657:
6236:
4288:
3753:
1774:
1761:
426:
3225:
1406:
877:
254:
6644:
5023:
4787:
1659:
2802:
4324:
4029:
3842:
2450:
1779:
5938:
3305:
2807:
5490:
5239:
2362:
5752:
976:
5602:
5399:
1298:
1001:
3549:
3382:
1534:
492:
323:
1246:
6637:
4618:
3580:
1904:
574:
6123:
4460:
3102:
3056:
2719:
1468:
5620:
3010:
6630:
766:
4446:{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi )\cos \varphi ,\\y&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi )\sin \varphi .\end{aligned}}}
3447:
912:
3417:
1569:
798:
4184:
4014:{\displaystyle {\begin{aligned}y&=-\tan t\left(x-\cos ^{3}t\right)+\sin ^{3}t,\\y&={\frac {1}{\tan t}}\left(x+\sin ^{3}t\right)+\cos ^{3}t.\end{aligned}}}
3684:
2482:
1589:
1430:
3117:
583:
2724:
1672:
338:
2661:{\displaystyle (u,v)=\left(-{\tfrac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\;,\;{\tfrac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\right)\,.}
4167:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t\cos t\left(\sin t-\cos t\right),\\y&=\sin t\cos t\left(\sin t+\cos t\right).\end{aligned}}}
1326:
807:
2383:
6430:{\displaystyle \left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}b^{2}\right).}
4454:
3230:
5424:
181:
2304:
6573:
6534:
1878:{\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\tfrac {b^{2}u}{a^{2}v}},\\\color {red}n&=\color {red}{\tfrac {b^{2}}{v}}\end{aligned}}}
1594:
6654:
5533:
5347:
3107:
1251:
117:
1186:
3058:. The constant term of a monic quadratic equation is always the product of its solutions. Hence, if the tangents meet at
5197:{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}+a^{2}b^{2}\right).}
4958:{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}\right)^{2}\tan ^{2}\alpha =4\left(a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}\right)}
1165:. The free term of a reduced quadratic equation is always the product of its solutions. Hence, if the tangents meet at
5873:
This is the equation of the hyperbola above. Its branches bear the two isoptics of the parabola for the two angles
921:
3392:
The ellipse case can be adopted nearly exactly to the hyperbola case. The only changes to be made are to replace
3488:
3321:
1473:
431:
262:
6782:
6093:{\displaystyle m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0.}
2965:{\displaystyle m^{2}-{\frac {2x_{0}y_{0}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}m+{\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}=0,}
6791:
2011:{\displaystyle {\color {blue}{\tfrac {u^{2}}{a^{2}}}=1-{\tfrac {v^{2}}{b^{2}}}=1-{\tfrac {b^{2}}{n^{2}}}}}
6477:
5331:{\displaystyle \mathbf {c} (m)=\left({\frac {m}{2a}},{\frac {m^{2}}{4a}}\right),\quad m\in \mathbb {R} .}
6729:
517:
5864:{\displaystyle x_{0}^{2}-\tan ^{2}\alpha \left(y_{0}+{\frac {1}{4a}}\right)^{2}-{\frac {y_{0}}{a}}=0.}
6719:
103:
3061:
3015:
2678:
1435:
1122:{\displaystyle y_{0}=mx_{0}-{\frac {m^{2}}{4a}}\quad \rightarrow \quad m^{2}-4ax_{0}\,m+4ay_{0}=0}
6611:
6102:
Now, as in the case of a parabola, the quadratic equation has to be solved and the two solutions
2975:
701:
6569:
6530:
6499:
735:
39:
6526:
6519:
6767:
6758:
6603:
3422:
882:
705:
6444:
The solution for the case of a hyperbola can be adopted from the ellipse case by replacing
3395:
1542:
771:
6812:
6739:
6705:
6662:
6622:
6545:
6494:
4711:{\displaystyle x^{2}-\tan ^{2}\alpha \left(y+{\frac {1}{4a}}\right)^{2}-{\frac {y}{a}}=0.}
3674:{\displaystyle \mathbf {c} (t)=\left(\cos ^{3}t,\sin ^{3}t\right),\quad 0\leq t<2\pi .}
1318:
711:
can be considered as the orthoptic of two circles which are degenerated to the two points
257:
93:
2461:
804:
gives the parametric representation of the parabola with the tangent slope as parameter:
6690:
6465:
1574:
1415:
918:, which can be determined by inserting the coordinates of the parabola point. One gets
6224:{\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right)^{2}.}
4549:
4527:{\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi ),\quad 0\leq \varphi <2\pi }
125:
6806:
6724:
6685:
6615:
5718:{\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right)^{2}}
107:
4565:
4538:
729:
577:
75:
6584:
652:{\displaystyle r={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cos(2\varphi ),\ 0\leq \varphi <2\pi }
6484:
6714:
4557:
3569:
6594:
Ternullo, Maurizio (2009). "Two new sets of ellipse related concyclic points".
6489:
6680:
6607:
67:
20:
4283:{\displaystyle 2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}=0.}
6748:
3748:{\displaystyle \mathbf {\dot {c}} (t)\cdot \mathbf {\dot {c}} (t+\alpha )=0}
333:
153:
134:
49:
1756:{\displaystyle y=-{\tfrac {b^{2}u}{a^{2}v}}\;x\;+\;{\tfrac {b^{2}}{v}}\,.}
421:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a>b}
6675:
1301:
165:
58:
27:
3485:
The intersection points of orthogonal tangents are points of the circle
3318:
The intersection points of orthogonal tangents are points of the circle
3220:{\displaystyle m_{1}m_{2}=-1={\frac {y_{0}^{2}-b^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}}}
2490:
leads to the slope depending parametric representation of the ellipse:
6772:
6695:
6670:
2669:
1662:
675:
is the set of points for which two tangents of a given curve meet at a
512:
176:
84:
43:
4718:
The branches of the hyperbola provide the isoptics for the two angles
680:
6233:
Rearranging shows that the isoptics are parts of the degree-4 curve:
4174:
This is simultaneously a parametric representation of the orthoptic.
1401:{\displaystyle E:\;{\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
872:{\displaystyle \left({\tfrac {m}{2a}},{\tfrac {m^{2}}{4a}}\right)\!.}
5935:
one can adopt the idea for the orthoptic for the quadratic equation
3770:
appears. It turns out that the distance is independent of parameter
16:
All points for which two tangents of a curve intersect at 90° angles
694:
plane curves is the set of points for which two tangents meet at a
4564:
4556:
4548:
3568:
3106:
124:
74:
48:
31:
249:{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
1665:). If the point is not a vertex this equation can be solved for
6626:
3577:
An astroid can be described by the parametric representation
3111:
Orthoptics (red circles) of a circle, ellipses and hyperbolas
6458:
3796:. The equations of the (orthogonal) tangents at the points
1654:{\displaystyle {\tfrac {u}{a^{2}}}x+{\tfrac {v}{b^{2}}}y=1}
2797:{\displaystyle y_{0}=mx_{0}\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}
1432:
at the vertices and co-vertices intersect at the 4 points
6589:. Leipzig: B. G. Teubner. Part 2, p. 186.
4569:
Isoptics (purple) of a hyperbola for angles 80° and 100°
4561:
Isoptics (purple) of an ellipse for angles 80° and 100°
4553:
Isoptics (purple) of a parabola for angles 80° and 100°
1470:, which lie on the desired orthoptic curve (the circle
732:(angles are not changed) into a parabola with equation
5727:
must be fulfilled. Solving the quadratic equation for
4471:
4396:
4338:
2592:
2524:
1981:
1946:
1911:
1852:
1796:
1731:
1686:
1624:
1599:
1367:
1338:
941:
837:
817:
594:
372:
343:
215:
186:
142: Orthoptic of the hyperbola (its director circle)
6239:
6126:
5941:
5755:
5623:
5536:
5427:
5350:
5242:
5026:
4790:
4621:
4463:
4322:
4187:
4027:
3840:
3759:
in parameter space at which an orthogonal tangent to
3687:
3583:
3491:
3425:
3398:
3324:
3233:
3120:
3064:
3018:
2978:
2810:
2727:
2681:
2496:
2464:
2386:
2307:
2024:
1907:
1777:
1675:
1597:
1577:
1545:
1476:
1438:
1418:
1329:
1254:
1189:
1004:
924:
885:
810:
774:
738:
586:
520:
434:
341:
265:
184:
6781:
6757:
6738:
6704:
6661:
2445:{\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}.}
6518:
6429:
6223:
6092:
5863:
5717:
5596:
5484:
5393:
5330:
5196:
4957:
4710:
4526:
4445:
4282:
4166:
4013:
3747:
3673:
3543:
3441:
3411:
3376:
3300:{\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=a^{2}+b^{2}\,.}
3299:
3219:
3096:
3050:
3012:corresponding to the two tangents passing through
3004:
2964:
2796:
2713:
2660:
2476:
2444:
2356:
2288:
2010:
1877:
1755:
1653:
1583:
1563:
1528:
1462:
1424:
1400:
1292:
1240:
1121:
970:
906:
871:
792:
760:
651:
568:
486:
420:
317:
248:
5485:{\displaystyle y_{0}=mx_{0}-{\frac {m^{2}}{4a}}.}
5226:can be parametrized by the slope of its tangents
4545:Isoptic of a parabola, an ellipse and a hyperbola
865:
2357:{\displaystyle n=\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}
2380:and the equation of a non vertical tangent is
6638:
4977:-isoptics of the hyperbola with the equation
3104:orthogonally, the following equations hold:
1183:orthogonally, the following equations hold:
8:
6457:(as in the case of the orthoptics, see
2804:holds. Eliminating the square root leads to
971:{\displaystyle y=mx-{\tfrac {m^{2}}{4a}}\;.}
660:
169:
6645:
6631:
6623:
2590:
2586:
1729:
1725:
1721:
1336:
1147:corresponding to the two tangents passing
964:
768:. The slope at a point of the parabola is
6566:Lineare Algebra und Analytische Geometrie
6413:
6403:
6390:
6385:
6375:
6362:
6357:
6347:
6320:
6310:
6299:
6286:
6273:
6268:
6255:
6250:
6238:
6212:
6199:
6189:
6171:
6158:
6151:
6131:
6125:
6075:
6062:
6057:
6045:
6032:
6027:
6020:
6005:
5992:
5987:
5975:
5965:
5955:
5946:
5940:
5844:
5838:
5829:
5809:
5800:
5778:
5765:
5760:
5754:
5709:
5696:
5686:
5668:
5655:
5648:
5628:
5622:
5597:{\displaystyle m^{2}-4ax_{0}m+4ay_{0}=0.}
5582:
5560:
5541:
5535:
5463:
5457:
5448:
5432:
5426:
5394:{\displaystyle y=mx-{\frac {m^{2}}{4a}}.}
5372:
5366:
5349:
5321:
5320:
5289:
5283:
5265:
5243:
5241:
5180:
5170:
5157:
5147:
5134:
5124:
5097:
5087:
5076:
5063:
5050:
5037:
5025:
4944:
4934:
4921:
4911:
4898:
4888:
4861:
4851:
4840:
4827:
4814:
4801:
4789:
4692:
4683:
4663:
4639:
4626:
4620:
4470:
4462:
4457:.) Hence we get the polar representation
4395:
4337:
4323:
4321:
4268:
4257:
4244:
4225:
4214:
4201:
4186:
4028:
4026:
3992:
3968:
3935:
3906:
3882:
3841:
3839:
3713:
3712:
3689:
3688:
3686:
3629:
3610:
3584:
3582:
3535:
3522:
3509:
3496:
3490:
3433:
3424:
3403:
3397:
3368:
3355:
3342:
3329:
3323:
3293:
3287:
3274:
3261:
3256:
3243:
3238:
3232:
3208:
3195:
3190:
3178:
3165:
3160:
3153:
3135:
3125:
3119:
3085:
3072:
3063:
3039:
3026:
3017:
2996:
2983:
2977:
2944:
2931:
2926:
2914:
2901:
2896:
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2861:
2856:
2844:
2834:
2824:
2815:
2809:
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2757:
2748:
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2323:
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2274:
2263:
2250:
2243:
2225:
2215:
2209:
2196:
2188:
2182:
2174:
2165:
2152:
2142:
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2108:
2106:
2098:
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2077:
2067:
2055:
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2029:
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1708:
1693:
1685:
1674:
1633:
1623:
1608:
1598:
1596:
1576:
1544:
1520:
1507:
1494:
1481:
1475:
1437:
1417:
1383:
1373:
1366:
1354:
1344:
1337:
1328:
1293:{\displaystyle y_{0}=-{\frac {1}{4a}}\,,}
1286:
1271:
1259:
1253:
1232:
1204:
1194:
1188:
1107:
1090:
1084:
1065:
1040:
1034:
1025:
1009:
1003:
947:
940:
923:
884:
843:
836:
816:
809:
773:
752:
737:
593:
585:
550:
546:
529:
525:
519:
478:
465:
452:
439:
433:
388:
378:
371:
359:
349:
342:
340:
309:
296:
283:
270:
264:
231:
221:
214:
202:
192:
185:
183:
5020:are the two parts of the degree-4 curve
4784:are the two parts of the degree-4 curve
4605:-isoptics of the parabola with equation
2670:Ellipse § Parametric representation
46:of a given curve meet at a right angle.
6586:Vorlesungen über synthetische Geometrie
4741:-isoptics of the ellipse with equation
3544:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}
3377:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}
1529:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}
487:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}
318:{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}}
6568:. Vol. III. Vieweg. p. 220.
998:, off the parabola, then the equation
728:Any parabola can be transformed by a
504:there are no orthogonal tangents, see
2721:, off the ellipse, then the equation
2197:
2135:
1308:Orthoptic of an ellipse and hyperbola
1241:{\displaystyle m_{1}m_{2}=-1=4ay_{0}}
66: Orthoptic of the parabola (its
7:
6546:"Equioptic Curves of Conic Sections"
4181:yields the implicit representation
4021:Their common point has coordinates:
2298:
1768:
92: Orthoptic of the ellipse (its
6120:must be inserted into the equation
4455:angle sum and difference identities
3227:The last equation is equivalent to
1248:The last equation is equivalent to
4615:are the branches of the hyperbola
1909:
1408:be the ellipse of consideration.
14:
6553:Journal for Geometry and Graphics
6521:A catalog of special plane curves
5749:into the last equation, one gets
5421:is on the tangent if and only if
4537:The orthoptic of an astroid is a
2183:
2107:
1850:
1838:
569:{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=1}
5244:
3718:
3715:
3694:
3691:
3585:
3573:Orthoptic (purple) of an astroid
2675:If a tangent contains the point
980:If a tangent contains the point
19:For the branch of medicine, see
6525:. Dover Publications. pp.
6464:To visualize the isoptics, see
5530:fulfil the quadratic equation
5512:of the two tangents containing
5313:
4573:Below the isotopics for angles
4505:
3649:
1129:holds, which has two solutions
1060:
1056:
6715:Pedal & Contrapedal curves
6500:"Orthoptic curve" at MathCurve
5606:If the tangents meet at angle
5254:
5248:
4584:-isoptics. For the proofs see
4499:
4490:
4424:
4415:
4366:
4357:
4290:Introducing the new parameter
3736:
3724:
3706:
3700:
3595:
3589:
3091:
3065:
3045:
3019:
2708:
2682:
2509:
2497:
1558:
1546:
1457:
1439:
1057:
622:
613:
505:
1:
4177:Elimination of the parameter
3097:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
3051:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
2714:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
1463:{\displaystyle (\pm a,\pm b)}
1300:which is the equation of the
879:The tangent has the equation
168:is its directrix (proof: see
6517:Lawrence, J. Dennis (1972).
6495:"Isoptic curve" at MathCurve
4580:are listed. They are called
3755:one recognizes the distance
2486:
1412:The tangents to the ellipse
326:
6653:Differential transforms of
4585:
3005:{\displaystyle m_{1},m_{2}}
2454:
6829:
5892:In the case of an ellipse
1316:
18:
6608:10.1007/s00022-009-0005-7
4592:Equations of the isoptics
4534:of the orthoptic. Hence:
6564:Schaal, Hermann (1977).
2972:which has two solutions
2668:(For another proof: see
1766:Using the abbreviations
761:{\displaystyle y=ax^{2}}
580:with the polar equation
110:by the orthoptic circle)
42:of points for which two
6583:Steiner, Jacob (1867).
6544:Odehnal, Boris (2010).
5340:The tangent with slope
3565:Orthoptic of an astroid
1539:The tangent at a point
914:with the still unknown
724:Orthoptic of a parabola
428:is the director circle
6490:Jan Wassenaar's Curves
6431:
6225:
6094:
5865:
5719:
5598:
5494:This means the slopes
5486:
5395:
5332:
5198:
4959:
4712:
4570:
4562:
4554:
4528:
4447:
4284:
4168:
4015:
3749:
3675:
3574:
3545:
3443:
3442:{\displaystyle -b^{2}}
3413:
3378:
3301:
3221:
3112:
3098:
3052:
3006:
2966:
2798:
2715:
2662:
2478:
2446:
2358:
2290:
2012:
1879:
1757:
1655:
1585:
1565:
1530:
1464:
1426:
1402:
1294:
1242:
1123:
972:
908:
907:{\displaystyle y=mx+n}
873:
794:
762:
653:
570:
488:
422:
319:
250:
157:
122:
72:
6785:on a family of curves
6742:defined by two points
6479:Special Plane Curves.
6432:
6226:
6095:
5866:
5720:
5599:
5487:
5396:
5333:
5199:
4960:
4713:
4568:
4560:
4552:
4529:
4448:
4285:
4169:
4016:
3750:
3676:
3572:
3546:
3444:
3414:
3412:{\displaystyle b^{2}}
3379:
3302:
3222:
3110:
3099:
3053:
3007:
2967:
2799:
2716:
2663:
2479:
2447:
2359:
2291:
2013:
1880:
1758:
1663:tangent to an ellipse
1656:
1586:
1566:
1564:{\displaystyle (u,v)}
1531:
1465:
1427:
1403:
1295:
1243:
1124:
973:
909:
874:
795:
793:{\displaystyle m=2ax}
763:
654:
571:
489:
423:
320:
251:
152:-axes and hyperbolic
128:
78:
52:
6720:Negative pedal curve
6237:
6124:
5939:
5753:
5621:
5534:
5425:
5348:
5240:
5024:
4965:(see picture).
4788:
4729:(see picture).
4619:
4461:
4453:(The proof uses the
4320:
4185:
4025:
3838:
3685:
3581:
3489:
3423:
3396:
3322:
3231:
3118:
3062:
3016:
2976:
2808:
2725:
2679:
2494:
2462:
2384:
2305:
2022:
1905:
1775:
1673:
1595:
1575:
1543:
1474:
1436:
1416:
1327:
1252:
1187:
1002:
922:
883:
808:
772:
736:
584:
518:
511:The orthoptic of an
432:
339:
263:
182:
175:The orthoptic of an
118:Major and minor axes
104:Minimum bounding box
6596:Journal of Geometry
6395:
6367:
6278:
6260:
6067:
6037:
5997:
5770:
3681:From the condition
3266:
3248:
3200:
3170:
2936:
2906:
2866:
2477:{\displaystyle u,v}
332:The orthoptic of a
164:The orthoptic of a
6761:defined by a point
6708:defined by a point
6427:
6381:
6353:
6264:
6246:
6221:
6090:
6053:
6023:
5983:
5861:
5756:
5715:
5594:
5482:
5391:
5344:has the equation
5328:
5194:
4955:
4708:
4571:
4563:
4555:
4524:
4482:
4443:
4441:
4407:
4349:
4280:
4164:
4162:
4011:
4009:
3834:are respectively:
3745:
3671:
3575:
3541:
3439:
3409:
3374:
3297:
3252:
3234:
3217:
3186:
3156:
3113:
3094:
3048:
3002:
2962:
2922:
2892:
2852:
2794:
2711:
2658:
2647:
2584:
2474:
2452:Solving relations
2442:
2354:
2286:
2238:
2194:
2160:
2132:
2008:
2006:
2004:
1969:
1934:
1875:
1873:
1870:
1868:
1842:
1829:
1753:
1747:
1719:
1651:
1640:
1615:
1581:
1561:
1526:
1460:
1422:
1398:
1390:
1361:
1290:
1238:
1119:
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962:
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831:
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366:
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238:
209:
158:
123:
73:
6800:
6799:
6759:Binary operations
6206:
6082:
6012:
5853:
5822:
5703:
5477:
5386:
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4405:
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3951:
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3697:
3215:
2951:
2881:
2792:
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2643:
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2580:
2437:
2378:
2377:
2352:
2280:
2231:
2180:
2158:
2130:
2104:
2084:
2003:
1968:
1933:
1901:and the equation
1899:
1898:
1867:
1828:
1746:
1718:
1639:
1614:
1591:has the equation
1584:{\displaystyle E}
1425:{\displaystyle E}
1389:
1360:
1284:
1054:
961:
857:
830:
667:Generalizations:
630:
604:
603:
408:
394:
365:
237:
208:
6820:
6740:Unary operations
6706:Unary operations
6663:Unary operations
6647:
6640:
6633:
6624:
6619:
6602:(1–2): 159–173.
6590:
6579:
6560:
6550:
6540:
6524:
6456:
6449:
6436:
6434:
6433:
6428:
6423:
6419:
6418:
6417:
6408:
6407:
6394:
6389:
6380:
6379:
6366:
6361:
6352:
6351:
6325:
6324:
6315:
6314:
6309:
6305:
6304:
6303:
6291:
6290:
6277:
6272:
6259:
6254:
6230:
6228:
6227:
6222:
6217:
6216:
6211:
6207:
6205:
6204:
6203:
6194:
6193:
6177:
6176:
6175:
6163:
6162:
6152:
6136:
6135:
6119:
6110:
6099:
6097:
6096:
6091:
6083:
6081:
6080:
6079:
6066:
6061:
6051:
6050:
6049:
6036:
6031:
6021:
6013:
6011:
6010:
6009:
5996:
5991:
5981:
5980:
5979:
5970:
5969:
5956:
5951:
5950:
5934:
5932:
5930:
5929:
5924:
5921:
5912:
5910:
5909:
5904:
5901:
5883:
5876:
5870:
5868:
5867:
5862:
5854:
5849:
5848:
5839:
5834:
5833:
5828:
5824:
5823:
5821:
5810:
5805:
5804:
5783:
5782:
5769:
5764:
5748:
5739:
5731:, and inserting
5730:
5724:
5722:
5721:
5716:
5714:
5713:
5708:
5704:
5702:
5701:
5700:
5691:
5690:
5674:
5673:
5672:
5660:
5659:
5649:
5633:
5632:
5617:, the equation
5616:
5609:
5603:
5601:
5600:
5595:
5587:
5586:
5565:
5564:
5546:
5545:
5529:
5511:
5502:
5491:
5489:
5488:
5483:
5478:
5476:
5468:
5467:
5458:
5453:
5452:
5437:
5436:
5420:
5400:
5398:
5397:
5392:
5387:
5385:
5377:
5376:
5367:
5343:
5337:
5335:
5334:
5329:
5324:
5309:
5305:
5304:
5302:
5294:
5293:
5284:
5279:
5277:
5266:
5247:
5235:
5225:
5203:
5201:
5200:
5195:
5190:
5186:
5185:
5184:
5175:
5174:
5162:
5161:
5152:
5151:
5139:
5138:
5129:
5128:
5102:
5101:
5092:
5091:
5086:
5082:
5081:
5080:
5068:
5067:
5055:
5054:
5042:
5041:
5019:
5017:
5015:
5014:
5009:
5006:
4997:
4995:
4994:
4989:
4986:
4976:
4964:
4962:
4961:
4956:
4954:
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