4392:
3786:
4387:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(h_{r}\right)=&\sum _{i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)^{2}\operatorname {Var} \left(B_{i}\right)+\sum _{i}\sum _{j\neq i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{j}}}\right)\operatorname {Cov} \left(B_{i},B_{j}\right)\\\operatorname {Cov} \left(h_{r},h_{s}\right)=&\sum _{i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{s}}{\partial B_{i}}}\right)\operatorname {Var} \left(B_{i}\right)+\sum _{i}\sum _{j\neq i}\left({\frac {\partial h_{r}}{\partial B_{i}}}\right)\left({\frac {\partial h_{s}}{\partial B_{j}}}\right)\operatorname {Cov} \left(B_{i},B_{j}\right)\end{aligned}}}
2618:
2207:
2613:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(h(B)\right)&\approx \operatorname {Var} \left(h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot (B-\beta )\right)\\&=\operatorname {Var} \left(h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot B-\nabla h(\beta )^{T}\cdot \beta \right)\\&=\operatorname {Var} \left(\nabla h(\beta )^{T}\cdot B\right)\\&=\nabla h(\beta )^{T}\cdot \operatorname {Cov} (B)\cdot \nabla h(\beta )\\&=\nabla h(\beta )^{T}\cdot {\frac {\Sigma }{n}}\cdot \nabla h(\beta )\end{aligned}}}
1957:
1359:
454:
of it is also normal. Small range can be achieved when approximating the function around the mean, when the variance is "small enough". When g is applied to a random variable such as the mean, the delta method would tend to work better as the sample size increases, since it would help reduce the
2771:
2923:
4920:
3779:
is asymptotically normal. Often the only context is that the variance is "small". The results then just give approximations to the means and covariances of the transformed quantities. For example, the formulae presented in Klein (1953, p. 258) are:
1952:{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {n}}&=g'\left({\tilde {\theta }}\right){\sqrt {n}}\\&={\sqrt {n}}\left\\&={\sqrt {n}}\left+{\sqrt {n}}\left\\&={\sqrt {n}}\left+O_{p}(1)\cdot o_{p}(1)\\&={\sqrt {n}}\left+o_{p}(1)\end{aligned}}}
2075:
5248:
376:
5407:
898:
1336:
187:
596:
1091:
2212:
1364:
1186:
2636:
2192:
2782:
5656:
5302:
3273:
3490:
3096:
5717:
803:
757:
5490:
3755:
3564:
3383:
3328:
4613:
3791:
683:
3681:
3516:
4985:
4719:
4651:
930:
628:
227:
81:
While the delta method generalizes easily to a multivariate setting, careful motivation of the technique is more easily demonstrated in univariate terms. Roughly, if there is a
3424:
437:
5093:
4724:
5546:
5030:
961:
3629:
3600:
2980:
403:
5686:
4947:
4678:
2084:
is the number of observations and Σ is a (symmetric positive semi-definite) covariance matrix. Suppose we want to estimate the variance of a scalar-valued function
1998:
5575:
5149:
5706:
5514:
5133:
5113:
5054:
239:
5307:
38:
is a method of deriving the asymptotic distribution of a random variable. It is applicable when the random variable being considered can be defined as a
1201:
98:
2766:{\displaystyle {\sqrt {n}}\left(h(B)-h(\beta )\right)\,{\xrightarrow {D}}\,N\left(0,\nabla h(\beta )^{T}\cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta )\right)}
5033:
2918:{\displaystyle {\sqrt {n}}\left(h(B)-h(\beta )\right)\,{\xrightarrow {D}}\,N\left(0,\sigma ^{2}\cdot \left(h^{\prime }(\beta )\right)^{2}\right).}
1102:
2110:
496:
5987:
969:
5583:
5256:
826:
5788:
3122:
3436:
2992:
6032:
5722:
762:
688:
5969:
5950:
5810:
5412:
5493:
5057:
3689:
455:
variance, and thus the taylor approximation would be applied to a smaller range of the function g at the point of interest.
61:, and the idea behind was known in the early 20th century. Its statistical application can be traced as far back as 1928 by
3521:
3340:
3285:
1350:
4464:
644:
6027:
3768:
The delta method is often used in a form that is essentially identical to that above, but without the assumption that
230:
1977:
933:
817:
3645:
2627:(for real-valued functions of many variables) to see that this does not rely on taking first order approximation.
5849:
5744:
4996:
43:
39:
4987:
can be approximated as the weighted sum of a standard normal and a chi-square with degree-of-freedom of 1.
3495:
82:
4952:
4686:
4618:
2941:
1985:
906:
604:
203:
3391:
3760:
This is useful to construct a hypothesis test or to make a confidence interval for the relative risk.
5998:
4915:{\displaystyle {\sqrt {n}}={\sqrt {n}}g'(\theta )+{\frac {1}{2}}{\sqrt {n}}^{2}g''(\theta )+o_{p}(1)}
1971:
1192:
58:
5062:
5136:
487:
475:
451:
46:
5925:
5866:
5829:
5761:
5519:
5002:
2624:
942:
479:
408:
3605:
3576:
2947:
4461:
exists and is not zero, the second-order delta method can be applied. By the Taylor expansion,
6010:
5965:
5946:
5938:
5888:
5784:
2070:{\displaystyle {\sqrt {n}}\left(B-\beta \right)\,{\xrightarrow {D}}\,N\left(0,\Sigma \right),}
62:
5243:{\displaystyle {\frac {T({\hat {F}}_{n})-T(F)}{\widehat {\text{se}}}}\xrightarrow {D} N(0,1)}
388:
5917:
5858:
5819:
5753:
4683:
The second-order delta method is also useful in conducting a more accurate approximation of
5664:
4925:
4656:
446:
function, in a "small enough" range of the function, can be approximated via a first order
5551:
371:{\displaystyle {{\sqrt {n}}\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}\cdot ^{2})}}
5708:-quantile of the standard normal. See Wasserman (2006) p. 19f. for details and examples.
450:(which is basically a linear function). If the random variable is roughly normal then a
5884:
5691:
5499:
5118:
5098:
5039:
70:
6021:
5765:
5402:{\displaystyle {\hat {\tau }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {L}}^{2}(X_{i})}
3640:
2093:
483:
447:
5921:
5140:
5862:
5757:
1962:
This suggests that the error in the approximation converges to 0 in probability.
1331:{\displaystyle {{\sqrt {n}}{\xrightarrow {D}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}^{2})}.}
463:
Demonstration of this result is fairly straightforward under the assumption that
182:{\displaystyle {{\sqrt {n}}\,{\xrightarrow {D}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})},}
5824:
5805:
66:
31:
1989:
1181:{\displaystyle {{\sqrt {n}}{\xrightarrow {D}}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}}
2187:{\displaystyle h(B)\approx h(\beta )+\nabla h(\beta )^{T}\cdot (B-\beta )}
591:{\displaystyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta ),}
5781:
Crossroads in the Mind of Man: A Study of
Differentiable Mental Abilities
3631:
are estimates of different group rates from independent samples of sizes
2097:
1086:{\displaystyle {\sqrt {n}}=g'\left({\tilde {\theta }}\right){\sqrt {n}}.}
5870:
5651:{\displaystyle T({\hat {F}}_{n})\pm z_{\alpha /2}{\widehat {\text{se}}}}
5297:{\displaystyle {\widehat {\text{se}}}={\frac {\hat {\tau }}{\sqrt {n}}}}
893:{\displaystyle g'({\tilde {\theta }})\,{\xrightarrow {P}}\,g'(\theta ),}
5929:
5833:
3268:{\displaystyle {{\sqrt {n}}\left\,{\xrightarrow {D}}\,N(0,p(1-p)^{2})}}
17:
3485:{\displaystyle \Pr \left({\frac {X_{n}}{n}}>0\right)\rightarrow 1}
5216:
3199:
3091:{\displaystyle {{\sqrt {n}}\left\,{\xrightarrow {D}}\,N(0,p(1-p))},}
3043:
2836:
2690:
2034:
1258:
1141:
915:
862:
784:
664:
297:
212:
138:
1349:
Alternatively, one can add one more step at the end, to obtain the
5718:
Taylor expansions for the moments of functions of random variables
385:
satisfying the property that its first derivative, evaluated at
798:{\displaystyle {\tilde {\theta }}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta }
752:{\displaystyle |{\tilde {\theta }}-\theta |<|X_{n}-\theta |}
5485:{\displaystyle {\hat {L}}(x)=L_{{\hat {F}}_{n}}(\delta _{x})}
2882:
1267:
1150:
307:
148:
5847:
Ver Hoef, J. M. (2012). "Who invented the delta method?".
3750:{\displaystyle {\frac {1-p}{p\,n}}+{\frac {1-q}{q\,m}}.}
65:. A formal description of the method was presented by
5908:
Oehlert, G. W. (1992). "A Note on the Delta Method".
5694:
5667:
5586:
5554:
5522:
5502:
5415:
5310:
5259:
5152:
5121:
5101:
5065:
5042:
5005:
4955:
4928:
4727:
4689:
4659:
4621:
4467:
3789:
3692:
3648:
3608:
3579:
3524:
3498:
3439:
3394:
3343:
3288:
3125:
2995:
2950:
2785:
2639:
2210:
2113:
2001:
1362:
1204:
1191:
by assumption, it follows immediately from appeal to
1105:
972:
945:
909:
829:
765:
691:
647:
607:
499:
411:
391:
242:
206:
101:
3559:{\displaystyle \log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)}
3378:{\displaystyle \log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)}
3323:{\displaystyle \log \left({\frac {X_{n}}{n}}\right)}
4608:{\displaystyle n={\frac {1}{2}}n^{2}\left+o_{p}(1)}
442:The intuition of the delta method is that any such
5806:"The Limiting Distributions of Certain Statistics"
5700:
5680:
5650:
5569:
5540:
5508:
5484:
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5127:
5107:
5087:
5048:
5024:
4979:
4941:
4914:
4713:
4672:
4645:
4607:
4386:
3749:
3675:
3639:respectively, then the logarithm of the estimated
3623:
3594:
3558:
3510:
3484:
3418:
3377:
3322:
3267:
3090:
2974:
2917:
2765:
2612:
2186:
2069:
1951:
1330:
1180:
1085:
955:
924:
892:
797:
751:
678:{\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\theta }
677:
622:
590:
431:
397:
370:
221:
181:
5742:Portnoy, Stephen (2013). "Letter to the Editor".
4450:the delta method cannot be applied. However, if
3440:
5548:pointwise asymptotic confidence interval for
1345:Proof with an explicit order of approximation
8:
4721:'s distribution when sample size is small.
3676:{\displaystyle {\frac {\hat {p}}{\hat {q}}}}
4949:follows the standard normal distribution,
2092:. Keeping only the first two terms of the
482:(i.e.: the first order approximation of a
5823:
5693:
5672:
5666:
5637:
5636:
5626:
5622:
5606:
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5553:
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5501:
5473:
5458:
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5414:
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5365:
5358:
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5333:
5324:
5313:
5312:
5309:
5277:
5275:
5261:
5260:
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5175:
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5163:
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5151:
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4837:
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4701:
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4534:
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4008:
3993:
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3941:
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3898:
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3865:
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3693:
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3647:
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3609:
3607:
3581:
3580:
3578:
3541:
3535:
3523:
3518:, so with probability converging to one,
3497:
3454:
3448:
3438:
3395:
3393:
3360:
3354:
3342:
3337:can be zero), the asymptotic variance of
3305:
3299:
3287:
3255:
3243:
3206:
3194:
3193:
3155:
3149:
3127:
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3124:
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3015:
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1265:
1253:
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1206:
1205:
1203:
1168:
1149:
1148:
1136:
1121:
1107:
1106:
1104:
1065:
1051:
1036:
1035:
993:
973:
971:
946:
944:
939:Rearranging the terms and multiplying by
910:
908:
869:
857:
856:
842:
841:
828:
791:
779:
778:
767:
766:
764:
744:
732:
723:
715:
698:
697:
692:
690:
671:
659:
658:
652:
646:
609:
608:
606:
570:
549:
548:
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498:
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358:
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305:
304:
292:
291:
264:
244:
243:
241:
207:
205:
166:
147:
146:
145:
133:
132:
117:
103:
102:
100:
5945:. New York: Springer. pp. 221–247.
4995:A version of the delta method exists in
2630:The delta method therefore implies that
73:also described a version of it in 1938.
5988:"Some Applications of the Delta Method"
5734:
5034:independent and identically distributed
5964:. New York: Springer. pp. 19–20.
5036:random variable with a sample of size
7:
3511:{\displaystyle n\rightarrow \infty }
2096:, and using vector notation for the
5997:. Aarhus University. Archived from
5943:Introduction to Variance Estimation
5723:Variance-stabilizing transformation
4980:{\displaystyle g\left(X_{n}\right)}
4714:{\displaystyle g\left(X_{n}\right)}
4646:{\displaystyle g\left(X_{n}\right)}
3101:we can apply the Delta method with
4653:relies on up to the 4th moment of
4321:
4306:
4279:
4264:
4184:
4169:
4142:
4127:
4001:
3986:
3959:
3944:
3858:
3843:
3505:
3278:Hence, even though for any finite
2743:
2737:
2712:
2591:
2580:
2553:
2528:
2485:
2442:
2388:
2357:
2276:
2144:
2056:
925:{\displaystyle {\xrightarrow {P}}}
623:{\displaystyle {\tilde {\theta }}}
222:{\displaystyle {\xrightarrow {D}}}
57:The delta method was derived from
25:
6011:"Explanation of the delta method"
5811:Annals of Mathematical Statistics
3683:has asymptotic variance equal to
3419:{\displaystyle {\frac {1-p}{p}}.}
2929:Example: the binomial proportion
200:are finite valued constants and
5962:All of Nonparametric Statistics
5058:empirical distribution function
3330:does not actually exist (since
439:exists and is non-zero valued.
5922:10.1080/00031305.1992.10475842
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432:{\displaystyle g'(\theta )}
231:convergence in distribution
6049:
6033:Statistical approximations
5890:A Textbook of Econometrics
5779:Kelley, Truman L. (1928).
4991:Nonparametric delta method
4615:, so that the variance of
3624:{\displaystyle {\hat {q}}}
3595:{\displaystyle {\hat {p}}}
2975:{\displaystyle p\in (0,1]}
1341:This concludes the proof.
934:convergence in probability
818:continuous mapping theorem
5960:Wasserman, Larry (2006).
5910:The American Statistician
5850:The American Statistician
5745:The American Statistician
4435:Second-order delta method
1988:can be applied to obtain
1966:Multivariate delta method
5986:Asmussen, Søren (2005).
5937:Wolter, Kirk M. (1985).
4997:nonparametric statistics
2776:or in univariate terms,
1978:converges in probability
5939:"Taylor Series Methods"
5825:10.1214/aoms/1177732594
5492:denoting the empirical
5137:Hadamard differentiable
478:. To begin, we use the
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5577:is therefore given by
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