7538:
6916:
7533:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}
4814:
4228:
36:
4045:
6589:
6337:
3913:
3788:
6209:
6750:
6101:
5920:
3662:
4223:{\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}
5154:
2223:
7848:
4013:
4985:
5660:
4792:
1439:
6450:
7642:
5327:
5428:
4429:
1029:
1700:
1216:
5987:
2326:
6220:
1358:
5732:
3795:
2763:
4508:
2967:
3678:
6439:
3208:
3133:
6112:
3492:
5558:
5508:
804:
3552:
1913:
2409:
1573:
1291:
6605:
400:
260:
2679:
3246:
1088:
935:
4626:
6019:
6818:
5779:
7575:
857:
7895:
4703:
3291:
2893:
2807:
2001:
6908:
2042:
4537:
4320:
3162:
3072:
5051:
4890:
3577:
3407:
1511:
6011:
701:
54:
3024:
3340:
2585:
1611:
1128:
446:
629:
594:
564:
5063:
727:
6856:
5027:
1949:
1838:
1770:
4040:
2103:
2076:
2127:
7739:
6390:
6370:
2641:
2621:
8152:
5237:
4850:
Sheaf cohomology has a reputation for being difficult to calculate. Because of this, the next general fact is fundamental for any practical computation:
3930:
4899:
6584:{\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}
5581:
4711:
1378:
8199:
8001:
7982:
7960:
7580:
5927:
5389:
4336:
947:
1635:
1148:
7721:
This cohomology functor coincides with the right derived functor of the global section functor in the category of abelian sheaves; cf.
7865:
For coherent sheaves, having a tensor inverse is the same as being locally free of rank one; in fact, there is the following fact: if
6332:{\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}
5939:
8262:
8235:
8080:
72:
3908:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}
2254:
1307:
5668:
8276:
3783:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}
2684:
4437:
2901:
6204:{\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}
8191:
6398:
3167:
3092:
5171:
3415:
5513:
5463:
740:
3508:
2366:
6745:{\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} }{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}
1519:
1252:
3038:
8186:
7672:
4629:
3672:
1854:
864:
360:
236:
6096:{\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}
2646:
4633:
3216:
1041:
888:
5915:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}
4576:
2548:) are surjective.) Since a flasque sheaf is acyclic in the category of abelian sheaves, this implies that the
1614:
601:
267:
6758:
8139:
3343:
3300:
411:
340:
7546:
809:
8327:
7868:
4658:
3657:{\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}
3265:
2815:
2768:
407:
6861:
2498:
8277:"Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)"
4513:
4296:
3138:
3048:
5376:
5032:
4871:
3380:
2510:
1486:
219:
5992:
673:
5149:{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}
3255:
2975:
1962:
1952:
502:
113:
3310:
2555:
2006:
1104:
416:
343:, and in fact, on affine or projective schemes, all quasi-coherent sheaves are obtained this way.
8299:
2487:
2467:
2229:
1740:
1586:
1227:
607:
572:
542:
7697:
5164:
1361:
706:
6823:
4998:
8272:
8258:
8231:
8195:
8143:
8076:
4282:
4270:
3351:
2514:
1469:
1296:
implying the isomorphism classes of invertible sheaves form a group. This group is called the
635:
351:
319:
8217:
1921:
8291:
8250:
8223:
8181:
8161:
8068:
7677:
7667:
4845:
2483:
2218:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}
1813:
1745:
1618:
1465:
1239:
355:
347:
8311:
8209:
8173:
7843:{\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}
4239:
There is a graded analog of the construction and equivalence in the preceding section. Let
4025:
2081:
2054:
8307:
8205:
8169:
2045:
567:
537:
6375:
6355:
2626:
2606:
2506:
2502:
1461:
521:
282:
231:
4813:
8321:
5450:
3211:
2529:
529:
8028:"Section 30.2 (01X8): Čech cohomology of quasi-coherent sheaves—The Stacks project"
1297:
101:
8254:
8147:
8072:
5458:
5187:
4008:{\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}
1243:
478:
311:
4980:{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}
2509:
is spanned by global sections. (cf. Serre's theorem A below.) In the theory of
5655:{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}
4787:{\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}
806:(To see that sheafification cannot be avoided, compute the global sections of
17:
8027:
2521:
is an ample line bundle, some power of it is generated by global sections.)
1442:
1434:{\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}
8227:
7931:
27:
Sheaf consisting of modules on a ringed space; generalizing vector bundles
7653:
5454:
1796:(such a natural map is part of the data of a morphism of ringed spaces.)
5665:
since both the sides are the right derived functors of the same functor
3354:, the functor is an equivalence from the category of finitely generated
3029:
is a contravariant functor from the category whose objects are the sets
8303:
8165:
7637:{\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}
5322:{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}
3042:
5423:{\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}
4424:{\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M_{0})^{\sim }}
1024:{\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}
8295:
8098:, §.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.
7462:
7215:
6983:
2809:, by the universal property of localization, there is a natural map
1695:{\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}
1211:{\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}
3045:(i.e., it satisfies the gluing axiom) and thus defines the sheaf
8216:
Costa, Laura; MirĂł-Roig, Rosa MarĂa; Pons-Llopis, Joan (2021).
5982:{\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}
4808:
1304:
and is canonically identified with the first cohomology group
29:
8148:"Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas"
2321:{\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}
7745:
7626:
7610:
7593:
7590:
7587:
7553:
7525:
7423:
7380:
7337:
7163:
7107:
7051:
6922:
6570:
6560:
6538:
6528:
6525:
6522:
6496:
6480:
6463:
6460:
6457:
6426:
6404:
6318:
6302:
6291:
6288:
6285:
6259:
6249:
6233:
6230:
6227:
6193:
6177:
6166:
6163:
6160:
6147:
6137:
6127:
6124:
6121:
6118:
6082:
6066:
6049:
6032:
5998:
5971:
5961:
5951:
5948:
5945:
5842:
3844:
3722:
3272:
3174:
3099:
1353:{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}
1336:
1175:
1047:
894:
5727:{\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}
5197:) is generated by finitely many global sections. Moreover,
8050:
4022:-modules is exact if and only if the induced sequence by
2758:{\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A)}
2595:-th sheaf cohomology in the category of abelian sheaves.
1371:
is a locally free sheaf of finite rank, then there is an
4503:{\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R_{0})}
2962:{\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}
2552:-th right derived functor of the global section functor
5739:: Some authors, notably Hartshorne, drop the subscript
4825:
3365:
The construction has the following properties: for any
50:
7467:
7332:
7220:
7046:
6988:
2414:
Explicitly, this means that there are global sections
1589:
1522:
7909:
are locally free of rank one. (cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)
7871:
7742:
7583:
7549:
6919:
6864:
6826:
6761:
6608:
6453:
6401:
6378:
6358:
6223:
6115:
6022:
5995:
5942:
5782:
5671:
5584:
5516:
5466:
5392:
5240:
5182:
a coherent sheaf on it, then, for sufficiently large
5066:
5035:
5001:
4902:
4874:
4714:
4661:
4579:
4516:
4440:
4339:
4299:
4243:
be a graded ring generated by degree-one elements as
4048:
4028:
3933:
3798:
3681:
3580:
3511:
3418:
3383:
3313:
3268:
3219:
3170:
3141:
3095:
3051:
2978:
2904:
2818:
2771:
2687:
2649:
2629:
2609:
2558:
2369:
2257:
2130:
2084:
2057:
2009:
1965:
1924:
1857:
1816:
1748:
1638:
1489:
1381:
1310:
1255:
1151:
1107:
1044:
950:
891:
812:
743:
737:-module that is the sheaf associated to the presheaf
709:
676:
610:
575:
545:
419:
363:
239:
7972:
7970:
6434:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}
5750:is a projective scheme over a Noetherian ring. Let
4015:; in particular, taking a direct sum and ~ commute.
3203:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}
3128:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}
638:
is a sheaf of module that is also a sheaf of rings.
339:-modules arising in such a fashion are examples of
45:
may be too technical for most readers to understand
7889:
7842:
7636:
7569:
7532:
6902:
6850:
6812:
6744:
6583:
6433:
6384:
6364:
6331:
6203:
6095:
6005:
5981:
5914:
5726:
5654:
5552:
5502:
5422:
5321:
5148:
5045:
5021:
4979:
4884:
4786:
4697:
4620:
4531:
4502:
4423:
4314:
4222:
4034:
4007:
3907:
3782:
3656:
3546:
3487:{\displaystyle M^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}
3486:
3401:
3334:
3285:
3240:
3202:
3156:
3127:
3066:
3018:
2961:
2887:
2801:
2757:
2673:
2635:
2615:
2579:
2403:
2320:
2217:
2097:
2070:
2036:
1995:
1943:
1907:
1832:
1764:
1694:
1605:
1567:
1505:
1433:
1352:
1285:
1210:
1122:
1082:
1023:
929:
851:
798:
721:
695:
623:
588:
558:
440:
394:
254:
6013:using a locally free resolution: given a complex
5553:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}
5503:{\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}
3085:The most basic example is the structure sheaf on
2466:An example of such a sheaf is that associated in
799:{\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}
5441:, then all equivalence classes of extensions of
3547:{\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}
3358:-modules to the category of coherent sheaves on
1848:-module given as the tensor product of modules:
1677:
667:-modules, then their tensor product, denoted by
5989:can be readily computed for any coherent sheaf
2404:{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}
1568:{\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}
354:, and consequently one can and does define the
346:Sheaves of modules over a ringed space form an
7856:is of finite presentation (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)
3921:and the category of quasi-coherent sheaves on
3037:) and morphisms the inclusions of sets to the
1476:are defined in the same way. For example, the
1286:{\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}
8:
4453:
4441:
4371:
4359:
2715:
2703:
8194:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
7698:Math 216: Foundations of algebraic geometry
4854:
4434:as sheaves of modules on the affine scheme
1908:{\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}
477:, then it is called the sheaf of ideals or
395:{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}
255:{\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}
159:) are compatible with the restriction maps
2674:{\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}
7870:
7828:
7815:
7797:
7792:
7779:
7757:
7744:
7743:
7741:
7625:
7624:
7615:
7609:
7608:
7598:
7586:
7585:
7582:
7558:
7552:
7551:
7548:
7524:
7523:
7507:
7492:
7477:
7457:
7444:
7422:
7421:
7401:
7379:
7378:
7358:
7336:
7335:
7331:
7315:
7303:
7281:
7261:
7239:
7227:
7210:
7197:
7184:
7162:
7161:
7141:
7128:
7106:
7105:
7085:
7072:
7050:
7049:
7045:
7029:
7012:
6995:
6978:
6969:
6956:
6943:
6921:
6920:
6918:
6894:
6878:
6863:
6825:
6801:
6788:
6775:
6760:
6736:
6732:
6731:
6711:
6698:
6685:
6658:
6639:
6628:
6627:
6624:
6615:
6607:
6569:
6568:
6559:
6558:
6537:
6536:
6521:
6520:
6511:
6495:
6494:
6485:
6479:
6478:
6468:
6456:
6455:
6452:
6425:
6424:
6403:
6402:
6400:
6377:
6357:
6317:
6316:
6307:
6301:
6300:
6284:
6283:
6274:
6258:
6257:
6248:
6247:
6238:
6226:
6225:
6222:
6192:
6191:
6182:
6176:
6175:
6159:
6158:
6146:
6145:
6136:
6135:
6117:
6116:
6114:
6081:
6080:
6071:
6065:
6064:
6054:
6048:
6047:
6037:
6031:
6030:
6021:
5997:
5996:
5994:
5970:
5969:
5960:
5959:
5944:
5943:
5941:
5906:
5895:
5859:
5854:
5841:
5840:
5792:
5787:
5781:
5697:
5670:
5625:
5620:
5589:
5583:
5526:
5521:
5515:
5476:
5471:
5465:
5391:
5310:
5287:
5245:
5239:
5128:
5127:
5118:
5102:
5071:
5065:
5037:
5036:
5034:
5011:
5006:
5000:
4954:
4949:
4928:
4923:
4907:
4901:
4876:
4875:
4873:
4769:
4725:
4713:
4660:
4596:
4595:
4578:
4518:
4517:
4515:
4491:
4478:
4439:
4415:
4405:
4392:
4358:
4353:
4341:
4340:
4338:
4301:
4300:
4298:
4206:
4205:
4187:
4148:
4147:
4129:
4090:
4089:
4071:
4047:
4027:
3993:
3987:
3986:
3973:
3964:
3954:
3937:
3932:
3888:
3887:
3873:
3872:
3857:
3856:
3843:
3842:
3803:
3797:
3766:
3765:
3751:
3750:
3735:
3734:
3721:
3720:
3711:
3686:
3680:
3643:
3642:
3630:
3629:
3614:
3613:
3604:
3591:
3579:
3538:
3525:
3514:
3513:
3510:
3469:
3464:
3452:
3451:
3442:
3429:
3417:
3382:
3312:
3277:
3271:
3270:
3267:
3241:{\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}
3227:
3226:
3218:
3189:
3188:
3179:
3173:
3172:
3169:
3143:
3142:
3140:
3114:
3113:
3104:
3098:
3097:
3094:
3053:
3052:
3050:
3004:
2977:
2947:
2928:
2909:
2903:
2873:
2848:
2823:
2817:
2770:
2740:
2686:
2648:
2628:
2608:
2557:
2374:
2368:
2300:
2281:
2262:
2256:
2203:
2176:
2151:
2135:
2129:
2089:
2083:
2062:
2056:
2025:
2008:
1970:
1964:
1929:
1923:
1883:
1878:
1862:
1856:
1821:
1815:
1753:
1747:
1659:
1643:
1637:
1594:
1588:
1547:
1533:
1521:
1494:
1488:
1407:
1383:
1382:
1380:
1341:
1335:
1334:
1315:
1309:
1257:
1256:
1254:
1187:
1174:
1173:
1153:
1152:
1150:
1109:
1108:
1106:
1083:{\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}
1059:
1046:
1045:
1043:
1012:
1007:
994:
989:
971:
966:
961:
949:
930:{\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}
906:
893:
892:
890:
811:
766:
742:
708:
684:
675:
615:
609:
580:
574:
550:
544:
418:
368:
362:
242:
240:
238:
73:Learn how and when to remove this message
57:, without removing the technical details.
4621:{\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}
1516:is the sheaf associated to the presheaf
8051:Costa, MirĂł-Roig & Pons-Llopis 2021
8000:harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (
7981:harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (
7959:harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (
7932:https://math.stackexchange.com/q/447234
7689:
7664:, the sheaf of differential operators.)
4797:which is an isomorphism if and only if
1810:-module, then the module inverse image
1629:). There is a natural perfect pairing:
1441:given by the pairing; it is called the
8107:
8014:
7942:
7918:
7722:
7709:
6820:is a smooth complete intersection and
6595:Union of smooth complete intersections
5560:corresponds to the trivial extension.
4322:such that for any homogeneous element
8095:
6813:{\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}
5928:local-to-global Ext spectral sequence
4705:, there is a canonical homomorphism:
4640:is finitely generated in degree-one.
2051:There is an adjoint relation between
1731:) be a morphism of ringed spaces. If
55:make it understandable to non-experts
7:
8153:Publications Mathématiques de l'IHÉS
6392:. Then, we can compute a resolution
5433:As with group extensions, if we fix
3293:. It defines an equivalence from Mod
2228:as abelian group. There is also the
1142:, there is a canonical homomorphism
326:, then any graded module defines an
7734:There is a canonical homomorphism:
7570:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}
5129:
5038:
4877:
4235:Sheaf associated to a graded module
3915:, since the equivalence between Mod
852:{\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}
7890:{\displaystyle F\otimes G\simeq O}
5828:
5672:
5586:
5242:
5099:
5068:
4904:
4737:
4698:{\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}
3830:
3314:
3286:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
2888:{\displaystyle \rho _{g,f}:M\to M}
2802:{\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}
2591:-modules coincides with the usual
2559:
1312:
1234:is locally free of rank one (such
1230:of finite rank. In particular, if
612:
547:
420:
365:
306:) in a natural way. Similarly, if
143:)-module and the restriction maps
25:
7995:
7976:
7954:
6903:{\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}
5159:where the right-hand side is the
4330:, there is a natural isomorphism
4289:is Noetherian). Then there is an
4257:means the degree-zero piece) and
2497:). Another example: according to
5510:, where the identity element in
4812:
4532:{\displaystyle {\widetilde {M}}}
4315:{\displaystyle {\widetilde {M}}}
3262:to the category of modules over
3157:{\displaystyle {\widetilde {M}}}
3067:{\displaystyle {\widetilde {M}}}
3041:. One can show it is in fact a
1779:-module through the natural map
243:
34:
8245:"Links with sheaf cohomology".
8063:"Links with sheaf cohomology".
6352:Consider a smooth hypersurface
5046:{\displaystyle {\mathfrak {U}}}
4885:{\displaystyle {\mathfrak {U}}}
3402:{\displaystyle \varphi :M\to N}
3078:called the sheaf associated to
1506:{\displaystyle \bigwedge ^{k}F}
1360:(by the standard argument with
119:such that, for any open subset
7834:
7808:
7785:
7776:
7763:
7631:
7604:
7450:
7428:
7407:
7385:
7364:
7342:
7203:
7168:
7147:
7112:
7091:
7056:
6975:
6927:
6884:
6871:
6839:
6833:
6807:
6762:
6717:
6678:
6675:
6669:
6664:
6632:
6578:
6575:
6555:
6552:
6543:
6533:
6517:
6501:
6474:
6421:
6418:
6409:
6326:
6323:
6296:
6280:
6264:
6244:
6198:
6171:
6152:
6132:
6087:
6077:
6060:
6043:
6026:
6006:{\displaystyle {\mathcal {F}}}
5976:
5956:
5889:
5886:
5883:
5877:
5865:
5831:
5822:
5819:
5813:
5801:
5766:an integer. Then there exists
5718:
5706:
5687:
5675:
5646:
5634:
5610:
5598:
5547:
5535:
5497:
5485:
5457:), which is isomorphic to the
5414:
5408:
5402:
5396:
5275:
5272:
5266:
5254:
5143:
5140:
5124:
5111:
5092:
5080:
4968:
4916:
4775:
4761:
4758:
4752:
4740:
4692:
4686:
4671:
4665:
4608:
4602:
4589:
4583:
4497:
4488:
4471:
4465:
4412:
4402:
4385:
4379:
4354:
4217:
4202:
4184:
4180:
4174:
4165:
4159:
4144:
4126:
4122:
4116:
4107:
4101:
4086:
4068:
4064:
4058:
4049:
3961:
3934:
3902:
3899:
3869:
3833:
3824:
3812:
3777:
3747:
3708:
3695:
3601:
3581:
3479:
3473:
3465:
3439:
3422:
3393:
3329:
3317:
3223:
3210:-module and thus one gets the
3013:
2997:
2991:
2988:
2982:
2882:
2866:
2860:
2857:
2841:
2796:
2790:
2781:
2775:
2752:
2749:
2733:
2727:
2697:
2691:
2668:
2662:
2574:
2562:
2395:
2389:
2290:
2268:
2212:
2190:
2166:
2144:
2018:
1987:
1686:
1680:
1674:
1562:
1556:
1543:
1537:
1526:
1425:
1422:
1416:
1388:
1347:
1324:
1262:
1205:
1193:
1170:
1158:
1114:
1077:
1065:
1018:
1008:
990:
982:
967:
954:
924:
912:
840:
831:
822:
816:
790:
784:
776:
770:
759:
753:
747:
696:{\displaystyle F\otimes _{O}G}
435:
423:
389:
377:
350:. Moreover, this category has
1:
8192:Graduate Texts in Mathematics
5347:) be a ringed space, and let
5213:) is finitely generated over
3019:{\displaystyle D(f)\mapsto M}
2532:(i.e., all restrictions maps
1996:{\displaystyle f^{-1}O'\to O}
485:, since for each open subset
8255:10.1017/CBO9781139044059.023
8073:10.1017/CBO9781139044059.023
7577:which we can use to compute
5178:is a projective variety and
3335:{\displaystyle \Gamma (X,-)}
2599:Sheaf associated to a module
2580:{\displaystyle \Gamma (X,-)}
2356:if there is a surjection of
2354:generated by global sections
2037:{\displaystyle O'\to f_{*}O}
1606:{\textstyle \bigwedge ^{n}F}
1123:{\displaystyle {\check {F}}}
441:{\displaystyle \Gamma (X,-)}
8110:, Ch. III, Proposition 6.9.
8017:, Ch. II, Proposition 5.11.
7979:, Ch. I, Corollaire 1.3.12.
7957:, Ch. I, Proposition 1.3.6.
7852:which is an isomorphism if
7725:, Ch. III, Proposition 2.6.
7712:, Ch. III, Proposition 2.2.
4868:an abelian sheaf on it and
4632:, which is the dual of the
1222:which is an isomorphism if
624:{\displaystyle \Omega _{X}}
589:{\displaystyle \omega _{X}}
559:{\displaystyle \Omega _{X}}
8344:
8249:. 2012. pp. 438–479.
8067:. 2012. pp. 438–479.
7998:, Ch. I, Corollaire 1.3.9.
7945:, Ch. II, Proposition 5.1.
5925:
4843:
4805:Computing sheaf cohomology
3039:category of abelian groups
944:-module that is the sheaf
722:{\displaystyle F\otimes G}
335:-module in a natural way.
266:-modules is the same as a
214:The standard case is when
7673:holomorphic vector bundle
6851:{\displaystyle \deg(f)=d}
5172:Serre's vanishing theorem
5022:{\displaystyle U_{i_{j}}}
4042:is exact. In particular,
2898:having the property that
183:times the restriction of
8032:stacks.math.columbia.edu
7660:, one can also consider
5933:Locally free resolutions
4864:be a topological space,
4634:tautological line bundle
4510:; in fact, this defines
2623:be a module over a ring
2427:such that the images of
2344:) be a ringed space. An
1579:is locally free of rank
867:on a projective space.)
655:) be a ringed space. If
226:its structure sheaf. If
8140:Grothendieck, Alexandre
5758:be coherent sheaves on
1944:{\displaystyle f^{-1}G}
1615:determinant line bundle
268:sheaf of abelian groups
7891:
7844:
7638:
7571:
7534:
6904:
6852:
6814:
6746:
6585:
6435:
6386:
6366:
6333:
6205:
6097:
6007:
5983:
5916:
5728:
5656:
5554:
5504:
5424:
5323:
5199:
5150:
5047:
5023:
4981:
4886:
4788:
4699:
4630:Serre's twisting sheaf
4622:
4533:
4504:
4425:
4326:of positive degree of
4316:
4224:
4036:
4009:
3909:
3784:
3658:
3548:
3488:
3403:
3344:global section functor
3336:
3301:quasi-coherent sheaves
3287:
3242:
3204:
3158:
3129:
3068:
3020:
2963:
2889:
2803:
2759:
2675:
2637:
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2513:, a related notion is
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256:
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175:): the restriction of
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6910:. We have a complex
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5571:, we have: for any
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4801:is quasi-coherent.
3377:, and any morphism
3307:, with the inverse
3299:to the category of
3256:category of modules
2587:in the category of
2517:. (For example, if
2240:and a locally free
1953:inverse image sheaf
1480:-th exterior power
536:is the dual of the
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4824:. You can help by
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