7874:
7332:
8891:
7869:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
8508:
8886:{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}
8493:
53:
9058:
8266:
2333:
9451:
8320:
8902:
1964:
8077:
4227:
4025:
2212:
7108:
9265:
3219:
2411:
1457:
6504:
5372:
9164:
It is satisfying to show the multiplicativity of the character and the linearity of the weight. It can further be proved that the differential of Λ can be used to create a weight. It is also educational to consider the case of SL(3,
6254:
6323:
3340:
6144:
1173:
6552:
6192:
7261:
4583:
8488:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}
2151:
9053:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}
8035:
2747:
9160:
is a multiplicative character, or homomorphism from the group's torus to the underlying field R. The function λ giving θ is a weight of the Lie
Algebra with weight space given by the span of the matrices.
8261:{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}
3596:
5838:
4134:
2016:
5093:
3936:
2200:
6091:
7203:
7014:
6947:
3473:
2217:
5730:
1759:
927:
4724:
2914:
2858:
1371:
6005:
4847:
3030:
2452:
1526:
5584:
3680:
5938:
5677:
2328:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}
1599:
5485:
6793:
9446:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}
9126:
6447:
5879:
7043:
6684:
6651:
6356:
4091:
2543:
1042:
4123:
2582:
1220:
6578:
3042:
2789:
4331:
2341:
1338:
709:
5024:
4272:
3379:
823:
781:
7163:
7136:
7038:
6974:
5048:
4994:
4814:
4786:
4755:
4684:
4657:
4622:
4056:
3928:
3900:
3872:
3809:
3766:
2638:
2610:
2480:
2056:
1686:
1550:
1301:
5138:
1727:
8312:
1379:
4949:
9158:
6457:
1630:
1263:
5178:
3509:
470:
4470:
3709:
4354:
2967:
5170:
2941:
3626:
518:
1747:
1650:
748:
9629:
6203:
6260:
3234:
523:
6101:
513:
508:
1090:
6510:
6150:
1482:
328:
7212:
592:
475:
9591:
9554:
4481:
9581:
623:
7287:. (In general, one needs to pass to the complexification of the Lie algebra before proceeding.) To see how this works, consider the case
3407:
in the Lie algebra. It is a consequence of the general result relating Lie group and Lie algebra homomorphisms via the exponential map.
2098:
9610:
7987:
4627:
This last identity says that ad is a Lie algebra homomorphism; i.e., a linear mapping that takes brackets to brackets. Hence, ad is a
2654:
3839:
3517:
485:
4222:{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),)}
5798:
4020:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=}
4628:
2086:
1972:
9526:
7280:
5056:
2163:
6016:
7172:
6983:
6878:
1959:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}
9538:
9191:
480:
460:
3417:
5690:
3386:
2585:
1553:
888:
425:
333:
4689:
2863:
2802:
1343:
5944:
4819:
2972:
2416:
1488:
5500:
3634:
9530:
9215:
5890:
5640:
1559:
845:
837:
833:
465:
5396:
6869:
7103:{\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}
9186:
6691:
1272:
616:
100:
9066:
6363:
5844:
6662:
6585:
6334:
4069:
2488:
983:
6839:
4096:
3214:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}
2551:
2062:
1185:
2406:{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}
6977:
5770:
849:
420:
383:
351:
6563:
2755:
9207:
6827:
6823:
4969:
4727:
4280:
1310:
1276:
865:
674:
452:
120:
4999:
4247:
3740:
The upper-case/lower-case notation is used extensively in the literature. Thus, for example, a vector
3352:
786:
757:
9199:
7144:
7117:
7019:
6955:
5111:
5029:
4975:
4850:
4795:
4767:
4736:
4665:
4638:
4603:
4037:
3909:
3881:
3853:
3790:
3747:
2619:
2591:
2461:
2455:
2037:
1667:
1531:
1463:
1452:{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}
1282:
829:
80:
70:
9222:
should be indexed in some way by its co-adjoint orbits. This relationship is closest in the case of
5117:
9634:
9223:
9203:
6803:
5383:
1691:
853:
609:
597:
438:
268:
8274:
6499:{\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})}
9195:
6855:
5367:{\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left.}
4859:
3414:
is an immersely linear Lie group, then the above computation simplifies: indeed, as noted early,
2792:
974:
949:
369:
359:
9131:
1608:
1241:
9606:
9587:
9568:
9550:
7981:) of two dimensional matrices with determinant 1 consists of the set of matrices of the form:
5790:
The following table summarizes the properties of the various maps mentioned in the definition
3478:
712:
548:
433:
396:
286:
4365:
9542:
7977:
When computing the root system for one of the simplest cases of Lie Groups, the group SL(2,
7276:
5634:
4761:
4339:
2946:
568:
248:
240:
232:
224:
216:
195:
185:
175:
165:
149:
130:
90:
31:
9564:
9238: – Lie algebra bundle associated to any principal bundle by the adjoint representation
8314:. The Lie algebra of the maximal torus is the Cartan subalgebra consisting of the matrices
5143:
2919:
9560:
9178:
6819:
4357:
553:
306:
291:
62:
3605:
3689:
9235:
6249:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}}
5778:
3812:
1732:
1635:
733:
573:
558:
391:
296:
6318:{\displaystyle \left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}}
3335:{\displaystyle =\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}
9623:
7316:
5611:
5387:
1223:
1072:
722:, then the adjoint representation is the group homomorphism that sends an invertible
281:
110:
6139:{\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}
4356:
denotes composition of linear maps. Using the above definition of the bracket, the
3769:
751:
664:
578:
563:
364:
346:
276:
1168:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}
7284:
6851:
6547:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
6187:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
5762:
1304:
660:
637:
404:
320:
44:
6826:
of the adjoint representation coincides with the kernel of Ψ which is just the
4274:, the bracket is, by definition, given by the commutator of the two operators:
9546:
9259:
4126:
3033:
2860:, roughly because both sides satisfy the same ODE defining the flow. That is,
656:
543:
409:
301:
9572:
4788:(that's just rephrasing the definition). On the other hand, for each element
17:
7256:{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}
5382:
The explicit matrix elements of the adjoint representation are given by the
1048:
879:
869:
649:
40:
4962:
in the algebra (the restatement of the Jacobi identity). That is to say, ad
9605:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
9603:
Lie Groups, Lie
Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
4726:
is the Lie algebra of square matrices and the composition corresponds to
3832:
3711:
be an immersely linear Lie group having the same Lie algebra as that of
4578:{\displaystyle \left(\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{}\right)(z)}
3686:
The general case can also be deduced from the linear case: indeed, let
500:
30:"Adjoint map" redirects here. For the term in functional analysis, see
9063:
are then 'eigenvectors' of the conjugation operation with eigenvalues
9541:, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag.
5754:
5687:
matrices with the commutator for a Lie bracket (i.e. a subalgebra of
7941:. This accounts for the standard description of the root system of
5773:
0. The representation is equivalent to that given by the action of
52:
8067:
A maximal compact connected abelian Lie subgroup, or maximal torus
2146:{\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
6834:. Therefore, the adjoint representation of a connected Lie group
5777:
by linear substitution on the space of binary (i.e., 2 variable)
8030:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}
7016:
whose Lie algebra is the image of the adjoint representation of
4733:
In a more module-theoretic language, the construction says that
2742:{\displaystyle =\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}
3591:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}
1605:
with small operator norms. We will compute the derivative of
6850:
is not connected, then the kernel of the adjoint map is the
3382:
870:
Lie group § The Lie algebra associated with a Lie group
2022:
is a matrix Lie group), then this formula is valid for all
7883:
acts trivially on the diagonal part of the Lie algebra of
5833:{\displaystyle \Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,}
1528:(called immersely linear Lie group), then the Lie algebra
4686:
is finite-dimensional and a basis for it is chosen, then
2081:
One may always pass from a representation of a Lie group
3715:. Then the derivative of Ad at the identity element for
2011:{\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
1969:
where on the right we have the products of matrices. If
5088:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
2195:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
9019:
8983:
8947:
8911:
8819:
8758:
8672:
8611:
8575:
8517:
8416:
8374:
8329:
8200:
8139:
8086:
7996:
7522:
7341:
6086:{\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}
2612:
as the Lie algebra of left-invariant vector fields on
2584:, where the right hand side is given (induced) by the
655:
is a way of representing the elements of the group as
9268:
9134:
9069:
8905:
8511:
8323:
8277:
8080:
8071:, is given by the subset of all matrices of the form
7990:
7335:
7215:
7198:{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
7175:
7147:
7120:
7046:
7022:
7009:{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
6986:
6958:
6942:{\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}
6881:
6694:
6665:
6588:
6566:
6513:
6460:
6366:
6337:
6263:
6206:
6153:
6104:
6019:
5947:
5893:
5847:
5801:
5693:
5643:
5503:
5399:
5181:
5146:
5120:
5059:
5032:
5002:
4978:
4862:
4822:
4798:
4770:
4739:
4692:
4668:
4641:
4606:
4484:
4368:
4342:
4283:
4250:
4137:
4099:
4072:
4040:
3939:
3912:
3884:
3856:
3793:
3750:
3692:
3637:
3608:
3520:
3481:
3420:
3355:
3237:
3045:
2975:
2949:
2922:
2866:
2805:
2758:
2657:
2622:
2594:
2554:
2491:
2464:
2419:
2344:
2215:
2166:
2101:
2040:
1975:
1762:
1735:
1694:
1670:
1638:
1611:
1562:
1534:
1491:
1382:
1346:
1313:
1285:
1244:
1188:
1093:
986:
891:
789:
760:
754:
of the vector space of all linear transformations of
736:
677:
9240:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
4125:.) Since a bracket is bilinear, this determines the
9177:The adjoint representation can also be defined for
7904:on the various off-diagonal entries. The roots of
7299:). We can take the group of diagonal matrices diag(
3874:be a Lie algebra over some field. Given an element
3468:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}
9445:
9218:), the irreducible representations of a Lie group
9202:of any vector in a co-adjoint representation is a
9152:
9120:
9052:
8885:
8487:
8306:
8260:
8029:
7868:
7255:
7197:
7157:
7130:
7102:
7032:
7008:
6968:
6941:
6810:under the adjoint representation is denoted by Ad(
6787:
6678:
6645:
6572:
6546:
6498:
6441:
6350:
6317:
6248:
6186:
6138:
6085:
5999:
5932:
5873:
5832:
5725:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
5724:
5671:
5578:
5479:
5366:
5164:
5132:
5087:
5042:
5018:
4988:
4943:
4841:
4808:
4780:
4749:
4718:
4678:
4651:
4616:
4577:
4464:
4348:
4325:
4266:
4221:
4117:
4085:
4050:
4019:
3922:
3894:
3866:
3803:
3760:
3703:
3674:
3620:
3590:
3503:
3467:
3373:
3334:
3213:
3024:
2961:
2935:
2908:
2852:
2783:
2741:
2632:
2604:
2576:
2537:
2474:
2446:
2405:
2327:
2194:
2145:
2050:
2010:
1958:
1741:
1721:
1680:
1644:
1624:
1593:
1544:
1520:
1451:
1365:
1332:
1295:
1257:
1214:
1167:
1036:
922:{\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}
921:
817:
775:
742:
703:
5589:Thus, for example, the adjoint representation of
5272:
5259:
4719:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
3257:
2909:{\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}
2853:{\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}
2677:
1366:{\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}
848:. The adjoint representation can be defined for
471:Representation theory of semisimple Lie algebras
9473:
9461:
8502:) by an element of the maximal torus we obtain
6000:{\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}
5732:). In this case, the adjoint map is given by Ad
4842:{\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}
3025:{\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}
2447:{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
1521:{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
9580:Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996).
7205:is the image of the adjoint representation of
5579:{\displaystyle {\left_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}
5110:There is the following formula similar to the
3675:{\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}
3383:§ Adjoint representation of a Lie algebra
2640:is given as: for left-invariant vector fields
5933:{\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}
5672:{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}
5386:of the algebra. That is, let {e} be a set of
3726:coincide; hence, without loss of generality,
1594:{\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}
617:
8:
9583:Foundations of Differential Geometry, Vol. 1
7165:is the Lie algebra of a connected Lie group
6952:Given a finite-dimensional real Lie algebra
5480:{\displaystyle =\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}
2061:Succinctly, an adjoint representation is an
1373:too is a group homomorphism. Hence, the map
832:is obtained by linearizing (i.e. taking the
4212:
4208:
2089:by taking the derivative at the identity.
624:
610:
509:Particle physics and representation theory
154:
51:
36:
9434:
9421:
9408:
9398:
9379:
9369:
9350:
9340:
9327:
9308:
9295:
9273:
9267:
9144:
9139:
9133:
9109:
9104:
9091:
9086:
9068:
9014:
8978:
8942:
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8904:
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8856:
8839:
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8814:
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8773:
8764:
8753:
8739:
8730:
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8710:
8697:
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8667:
8650:
8626:
8617:
8606:
8570:
8556:
8547:
8524:
8512:
8510:
8473:
8460:
8411:
8369:
8324:
8322:
8292:
8282:
8276:
8195:
8178:
8169:
8146:
8134:
8117:
8093:
8081:
8079:
7991:
7989:
7846:
7826:
7813:
7808:
7798:
7783:
7770:
7765:
7755:
7716:
7703:
7698:
7688:
7671:
7659:
7646:
7641:
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7601:
7596:
7586:
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7556:
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7185:
7174:
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7091:
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7065:
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7023:
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6997:
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6985:
6960:
6959:
6957:
6927:
6914:
6905:
6882:
6880:
6788:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}=+}
6770:
6733:
6699:
6693:
6670:
6664:
6634:
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6304:
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6262:
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6103:
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6018:
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5965:
5955:
5946:
5924:
5914:
5898:
5892:
5870:
5852:
5846:
5829:
5800:
5715:
5714:
5705:
5696:
5695:
5692:
5679:), then its Lie algebra is an algebra of
5662:
5661:
5644:
5642:
5564:
5554:
5549:
5539:
5532:
5520:
5515:
5505:
5502:
5468:
5458:
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5436:
5420:
5407:
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5290:
5271:
5258:
5256:
5250:
5239:
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5189:
5180:
5145:
5119:
5061:
5060:
5058:
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5033:
5031:
5007:
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5001:
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4979:
4977:
4861:
4833:
4821:
4800:
4799:
4797:
4772:
4771:
4769:
4741:
4740:
4738:
4707:
4706:
4694:
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4691:
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4640:
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4605:
4544:
4510:
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4282:
4255:
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4249:
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4168:
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4144:
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4098:
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4041:
4039:
3981:
3971:
3964:
3963:
3954:
3953:
3944:
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3914:
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3911:
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3885:
3883:
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3857:
3855:
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3794:
3792:
3752:
3751:
3749:
3691:
3642:
3636:
3607:
3576:
3560:
3530:
3525:
3519:
3492:
3480:
3456:
3425:
3419:
3385:below. Ad and ad are related through the
3365:
3357:
3354:
3294:
3289:
3272:
3260:
3236:
3191:
3186:
3158:
3137:
3132:
3104:
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3016:
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2921:
2889:
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2865:
2835:
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2804:
2763:
2757:
2712:
2692:
2680:
2656:
2624:
2623:
2621:
2596:
2595:
2593:
2568:
2567:
2553:
2534:
2501:
2493:
2490:
2466:
2465:
2463:
2435:
2434:
2420:
2418:
2391:
2390:
2360:
2359:
2345:
2343:
2306:
2284:
2273:
2259:
2258:
2244:
2235:
2234:
2233:
2220:
2216:
2214:
2168:
2167:
2165:
2134:
2133:
2119:
2102:
2100:
2092:Taking the derivative of the adjoint map
2042:
2041:
2039:
2001:
2000:
1991:
1983:
1974:
1947:
1908:
1833:
1808:
1798:
1767:
1761:
1734:
1693:
1672:
1671:
1669:
1637:
1616:
1610:
1585:
1561:
1536:
1535:
1533:
1511:
1510:
1501:
1493:
1490:
1443:
1435:
1427:
1415:
1414:
1400:
1383:
1381:
1357:
1345:
1324:
1312:
1287:
1286:
1284:
1249:
1243:
1234:being the identity element of the group
1203:
1190:
1189:
1187:
1156:
1140:
1127:
1117:
1098:
1092:
1019:
991:
985:
890:
806:
788:
767:
763:
762:
759:
735:
694:
693:
676:
9121:{\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}
6442:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=}
5874:{\displaystyle \Psi _{g}\colon G\to G\,}
5792:
2065:associated to the conjugation action of
9251:
6679:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}
6646:{\displaystyle \operatorname {ad} _{}=}
6351:{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}
4086:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}
3846:Adjoint representation of a Lie algebra
3381:coincides with the same one defined in
2538:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=\,}
1037:{\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}
476:Representations of classical Lie groups
208:
157:
39:
4118:{\displaystyle \operatorname {ad} (x)}
2577:{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
1215:{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
9535:Representation theory. A first course
7283:of the adjoint representation form a
5100:
7:
9586:(New ed.). Wiley-Interscience.
9509:
9497:
9485:
8498:If we conjugate an element of SL(2,
7955:) as the set of vectors of the form
3902:, one defines the adjoint action of
2943:denotes the right multiplication by
329:Lie group–Lie algebra correspondence
9630:Representation theory of Lie groups
7227:
7187:
7150:
7123:
7092:
7067:
7025:
6998:
6961:
6573:{\displaystyle \operatorname {ad} }
6539:
6529:
6488:
6469:
6179:
6169:
6128:
5769:consists of real 2×2 matrices with
5700:
5697:
5062:
5035:
5008:
4981:
4801:
4773:
4742:
4708:
4698:
4695:
4671:
4644:
4609:
4256:
4194:
4169:
4159:
4156:
4146:
4043:
3965:
3955:
3915:
3887:
3859:
3796:
3753:
2784:{\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}
2625:
2597:
2569:
2467:
2436:
2392:
2361:
2260:
2236:
2169:
2135:
2043:
1673:
1537:
1416:
1288:
1191:
9395:
9366:
9337:
9324:
9292:
9206:. According to the philosophy in
6886:
6883:
6846:is centerless. More generally, if
6065:
6046:
6021:
5978:
5952:
5921:
5911:
5895:
5849:
5802:
5648:
5645:
5593:is the defining representation of
5263:
5095:is the Lie algebra of a Lie group
5026:, the space of all derivations of
4326:{\displaystyle =T\circ S-S\circ T}
3361:
3358:
3346:which is what was needed to show.
2977:
2497:
2494:
2427:
2424:
2421:
2352:
2349:
2346:
2251:
2248:
2245:
2224:
2221:
2156:at the identity element gives the
2126:
2123:
2120:
2106:
2103:
1987:
1984:
1830:
1795:
1613:
1497:
1494:
1439:
1436:
1407:
1404:
1401:
1387:
1384:
1333:{\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}
1321:
1246:
1114:
988:
892:
704:{\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}
25:
6980:, there is a connected Lie group
5019:{\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
4267:{\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
3840:derivative of the exponential map
3602:Taking the derivative of this at
3374:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}
2454:which may be identified with the
2087:representation of its Lie algebra
818:{\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}
9194:of the adjoint representation.
7322:. Conjugation by an element of
5618:, the adjoint representation of
5490:Then the matrix elements for ad
828:For any Lie group, this natural
776:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
7267:Roots of a semisimple Lie group
7158:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7131:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7033:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6969:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5043:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4996:under ad is a subalgebra of Der
4989:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4809:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4781:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4750:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4679:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4652:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4629:representation of a Lie algebra
4617:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4051:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3976:
3970:
3923:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3895:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3867:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3827:of vector fields on the group
3804:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3761:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2633:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2605:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2588:. Indeed, recall that, viewing
2475:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2069:around the identity element of
2051:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2018:is a closed subgroup (that is,
1681:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1545:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1296:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1265:is a Lie group automorphism, Ad
9405:
9391:
9376:
9362:
9347:
9320:
9305:
9288:
8479:
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8247:
8238:
8215:
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7514:
7250:
7244:
7232:
7222:
7192:
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7087:
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7062:
7053:
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6993:
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6398:
6392:
6380:
6174:
6133:
6123:
6114:
6080:
6074:
6061:
6055:
6039:
6030:
5962:
5948:
5864:
5826:
5820:
5811:
5719:
5711:
5666:
5652:
5426:
5400:
5338:
5318:
5303:
5283:
5229:
5217:
5208:
5182:
5133:{\displaystyle \alpha ,\beta }
5082:
5076:
5013:
5003:
4938:
4935:
4929:
4917:
4911:
4902:
4896:
4890:
4884:
4881:
4869:
4866:
4713:
4703:
4572:
4566:
4557:
4545:
4530:
4524:
4516:
4490:
4453:
4450:
4438:
4429:
4423:
4420:
4408:
4399:
4393:
4390:
4378:
4369:
4296:
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4261:
4251:
4216:
4213:
4205:
4199:
4189:
4180:
4174:
4164:
4151:
4112:
4106:
4014:
4002:
3996:
3990:
3960:
3779:. Similarly, the adjoint map
3550:
3544:
3440:
3434:
3329:
3320:
3314:
3306:
3300:
3282:
3264:
3250:
3238:
3208:
3202:
3173:
3170:
3164:
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3119:
3113:
3110:
3074:
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3059:
2901:
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2816:
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2702:
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2670:
2658:
2531:
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2513:
2507:
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2431:
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2356:
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2312:
2303:
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2277:
2265:
2255:
2241:
2189:
2183:
2140:
2130:
2116:
2005:
1997:
1931:
1925:
1918:
1901:
1892:
1880:
1874:
1868:
1861:
1857:
1848:
1826:
1820:
1814:
1805:
1788:
1782:
1776:
1716:
1707:
1698:
1575:
1569:
1515:
1507:
1431:
1421:
1411:
1397:
1350:
1317:
1149:
1124:
1107:
1003:
997:
916:
910:
901:
793:
698:
684:
524:Galilean group representations
519:Poincaré group representations
1:
9539:Graduate Texts in Mathematics
9192:contragredient representation
9128:. The function Λ which gives
1722:{\displaystyle t\to \exp(tX)}
1552:consists of matrices and the
1303:to itself that preserves the
514:Lorentz group representations
481:Theorem of the highest weight
8307:{\displaystyle t_{1}t_{2}=1}
5626:-dimensional representation.
5101:ad is the differential of Ad
2586:Lie bracket of vector fields
1485:of the general linear group
9474:Kobayashi & Nomizu 1996
9462:Kobayashi & Nomizu 1996
5637:(i.e. a closed subgroup of
5103:at the identity element of
4944:{\displaystyle \delta ()=+}
2969:. On the other hand, since
9651:
9216:Kirillov character formula
6558:Lie algebra homomorphism:
6329:Lie algebra automorphism:
4600:are arbitrary elements of
3228:is left-invariant. Hence,
1556:is the matrix exponential
863:
466:Lie algebra representation
29:
9547:10.1007/978-1-4612-0979-9
9187:co-adjoint representation
9153:{\displaystyle t_{1}^{2}}
6870:first isomorphism theorem
5140:and Lie algebra elements
4757:is a module over itself.
4093:is also often denoted as
1625:{\displaystyle \Psi _{g}}
1340:is a group homomorphism,
1258:{\displaystyle \Psi _{g}}
6657:Lie algebra derivation:
6198:Lie group homomorphism:
6011:Lie group automorphism:
5885:Lie group homomorphism:
5761:(real 2×2 matrices with
4760:The kernel of ad is the
3504:{\displaystyle g=e^{tX}}
1273:Lie algebra automorphism
1182:is the differential and
711:, the Lie group of real
461:Lie group representation
9601:Hall, Brian C. (2015),
5765:1), the Lie algebra of
5390:for the algebra, with
4465:{\displaystyle ]+]+]=0}
2063:isotropy representation
850:linear algebraic groups
486:Borel–Weil–Bott theorem
9447:
9173:Variants and analogues
9154:
9122:
9054:
8887:
8489:
8308:
8262:
8031:
7887:and with eigenvectors
7870:
7257:
7199:
7159:
7132:
7104:
7034:
7010:
6970:
6943:
6789:
6680:
6647:
6574:
6548:
6500:
6443:
6352:
6319:
6250:
6188:
6140:
6087:
6001:
5934:
5875:
5834:
5726:
5673:
5580:
5481:
5368:
5255:
5166:
5134:
5089:
5044:
5020:
4990:
4945:
4843:
4810:
4782:
4751:
4720:
4680:
4653:
4633:adjoint representation
4618:
4579:
4466:
4350:
4349:{\displaystyle \circ }
4327:
4268:
4223:
4119:
4087:
4052:
4021:
3924:
3896:
3868:
3811:is homomorphic to the
3805:
3762:
3705:
3676:
3622:
3592:
3505:
3469:
3375:
3336:
3215:
3026:
2963:
2962:{\displaystyle h\in G}
2937:
2910:
2854:
2785:
2743:
2634:
2606:
2578:
2539:
2476:
2448:
2413:is the Lie algebra of
2407:
2329:
2196:
2158:adjoint representation
2147:
2052:
2012:
1960:
1743:
1723:
1682:
1646:
1626:
1595:
1546:
1522:
1468:adjoint representation
1453:
1367:
1334:
1297:
1275:; i.e., an invertible
1259:
1216:
1169:
1049:Lie group homomorphism
1038:
923:
819:
777:
744:
705:
657:linear transformations
642:adjoint representation
384:Semisimple Lie algebra
339:Adjoint representation
9448:
9208:representation theory
9155:
9123:
9055:
8888:
8490:
8309:
8263:
8032:
7908:are the weights diag(
7871:
7258:
7200:
7160:
7133:
7105:
7035:
7011:
6971:
6944:
6790:
6681:
6648:
6575:
6549:
6501:
6444:
6353:
6320:
6251:
6189:
6141:
6088:
6002:
5935:
5876:
5835:
5727:
5674:
5581:
5482:
5369:
5235:
5167:
5165:{\displaystyle x,y,z}
5135:
5090:
5045:
5021:
4991:
4946:
4844:
4816:, the linear mapping
4811:
4783:
4752:
4728:matrix multiplication
4721:
4681:
4654:
4619:
4580:
4467:
4351:
4328:
4269:
4224:
4120:
4088:
4053:
4022:
3925:
3897:
3869:
3806:
3763:
3730:can be assumed to be
3706:
3677:
3623:
3593:
3506:
3470:
3376:
3337:
3216:
3027:
2964:
2938:
2936:{\displaystyle R_{h}}
2911:
2855:
2786:
2744:
2635:
2607:
2579:
2540:
2477:
2449:
2408:
2330:
2197:
2148:
2053:
2013:
1961:
1744:
1724:
1683:
1647:
1627:
1596:
1547:
1523:
1483:immersed Lie subgroup
1454:
1368:
1335:
1298:
1277:linear transformation
1260:
1217:
1170:
1039:
924:
866:Representation theory
820:
778:
745:
706:
453:Representation theory
9266:
9224:nilpotent Lie groups
9132:
9067:
8903:
8509:
8321:
8275:
8078:
7988:
7333:
7213:
7173:
7145:
7118:
7110:.) It is called the
7044:
7020:
6984:
6956:
6879:
6692:
6663:
6586:
6564:
6511:
6458:
6364:
6335:
6261:
6204:
6151:
6102:
6017:
5945:
5891:
5845:
5799:
5691:
5641:
5501:
5397:
5179:
5144:
5118:
5057:
5030:
5000:
4976:
4860:
4820:
4796:
4768:
4737:
4690:
4666:
4639:
4604:
4482:
4366:
4340:
4281:
4248:
4135:
4097:
4070:
4060:adjoint endomorphism
4038:
3937:
3910:
3882:
3854:
3791:
3748:
3690:
3635:
3606:
3518:
3479:
3418:
3353:
3235:
3043:
2973:
2947:
2920:
2864:
2803:
2756:
2655:
2620:
2592:
2552:
2489:
2482:. One can show that
2462:
2417:
2342:
2213:
2164:
2099:
2038:
1973:
1760:
1753:= 0, one then gets:
1733:
1692:
1668:
1636:
1609:
1560:
1532:
1489:
1464:group representation
1380:
1344:
1311:
1283:
1242:
1186:
1091:
984:
889:
787:
758:
734:
675:
9204:symplectic manifold
9149:
9117:
9096:
8869:
8844:
8060: −
7821:
7778:
7711:
7654:
7609:
7564:
6978:Lie's third theorem
5384:structure constants
5378:Structure constants
4058:. It is called the
3621:{\displaystyle t=0}
2799:. As it turns out,
2160:of the Lie algebra
720:invertible matrices
598:Table of Lie groups
439:Compact Lie algebra
9476:, Proposition 1.9.
9443:
9198:observed that the
9196:Alexandre Kirillov
9150:
9135:
9118:
9100:
9082:
9050:
9044:
9008:
8972:
8936:
8883:
8877:
8852:
8830:
8805:
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8252:
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8021:
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7857:
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7637:
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7253:
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7155:
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7100:
7030:
7006:
6966:
6939:
6856:identity component
6785:
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6643:
6570:
6544:
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6184:
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5930:
5871:
5830:
5722:
5669:
5576:
5477:
5441:
5364:
5162:
5130:
5085:
5040:
5016:
4986:
4941:
4839:
4806:
4778:
4747:
4716:
4676:
4649:
4631:and is called the
4614:
4575:
4462:
4346:
4323:
4264:
4219:
4115:
4083:
4048:
4017:
3920:
3892:
3864:
3801:
3758:
3704:{\displaystyle G'}
3701:
3672:
3618:
3588:
3501:
3465:
3389:: Specifically, Ad
3371:
3332:
3271:
3211:
3022:
2959:
2933:
2906:
2850:
2781:
2739:
2691:
2630:
2602:
2574:
2535:
2472:
2456:derivation algebra
2444:
2403:
2325:
2323:
2192:
2143:
2048:
2008:
1956:
1739:
1719:
1678:
1642:
1622:
1591:
1542:
1518:
1449:
1363:
1330:
1307:. Moreover, since
1293:
1255:
1212:
1165:
1034:
975:inner automorphism
950:automorphism group
919:
815:
773:
740:
701:
667:. For example, if
663:, considered as a
370:Affine Lie algebra
360:Simple Lie algebra
101:Special orthogonal
9593:978-0-471-15733-5
9556:978-0-387-97495-8
7306:, ...,
6800:
6799:
5572:
5432:
5270:
4972:and the image of
3974:
3878:of a Lie algebra
3280:
3256:
2700:
2676:
2616:, the bracket on
1742:{\displaystyle X}
1645:{\displaystyle e}
1030:
743:{\displaystyle g}
634:
633:
434:Split Lie algebra
397:Cartan subalgebra
259:
258:
150:Simple Lie groups
27:Mathematical term
16:(Redirected from
9642:
9615:
9597:
9576:
9513:
9507:
9501:
9495:
9489:
9488:Proposition 3.35
9483:
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9281:
9280:
9256:
9241:
9181:over any field.
9179:algebraic groups
9159:
9157:
9156:
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9148:
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