7525:
8978:
9933:
66:
7091:
8514:
9578:
7520:{\displaystyle E=E{\biggl (}\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle {1 \over n!}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }(X-\mu )^{n}{\biggr )}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle {1 \over n!}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }E=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{n!}}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }\mu _{n}(X)}
8973:{\displaystyle Var\approx \textstyle \sum _{n=1}^{n_{max}}\displaystyle {\biggl (}{\sigma ^{n} \over n!}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }{\biggr )}^{2}Var+\textstyle \sum _{n=1}^{n_{max}}\displaystyle \textstyle \sum _{m\neq n}\displaystyle {\sigma ^{n+m} \over {n!m!}}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }{\biggl (}{d^{m}f \over dX^{m}}{\biggr )}_{X=\mu }Cov}
25:
9222:
187:
128:
306:, may be different from that observed for the random variable using symbolic algebra. It is possible to identify some key rules for each of those operators, resulting in different types of algebra for random variables, apart from the elementary symbolic algebra: Expectation algebra, Variance algebra, Covariance algebra, Moment algebra, etc.
9215:
8359:
8505:
8087:
7029:
3752:
3232:
7882:
9573:{\displaystyle Cov={\begin{cases}\prod _{i=1}^{(n+m)/2}(2i-1)-\prod _{i=1}^{n/2}(2i-1)\prod _{j=1}^{m/2}(2j-1),&{\text{if }}n{\text{ and }}m{\text{ are even}}\\\prod _{i=1}^{(n+m)/2}(2i-1),&{\text{if }}n{\text{ and }}m{\text{ are odd}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
8985:
2557:
2274:
8183:
8366:
688:
properties of conventional algebraic operations are also valid for random variables. If any of the random variables is replaced by a deterministic variable or by a constant value, all the previous properties remain valid.
7933:
5086:
4834:
3392:
2823:
6879:
3437:
2962:
7713:
4599:
9916:
6871:
297:
of random variables is equivalent to that of conventional non-random (or deterministic) variables. However, the changes occurring on the probability distribution of a random variable obtained after performing
3870:
2917:
2686:
2407:
4100:
5746:
5458:
9618:
of analysis. One of the important features of the algebraic approach is that apparently infinite-dimensional probability distributions are not harder to formalize than finite-dimensional ones.
6781:
6329:
6185:
6038:
5882:
5609:
5334:
4433:
9210:{\displaystyle Var={\begin{cases}\prod _{i=1}^{n}(2i-1)-\prod _{i=1}^{n/2}(2i-1)^{2},&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\\prod _{i=1}^{n}(2i-1),&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\end{cases}}}
589:
5198:
4950:
4359:
3945:
8135:
6423:
1457:
1176:
655:
6572:
6523:
4290:
4241:
4657:
2103:
205:
7703:
7661:
7595:
8176:
2044:
1792:
970:
1975:
1855:
852:
9878:
455:
1916:
403:
7915:
1304:
498:
7064:
1551:
1040:
6868:
6480:
4198:
4163:
1650:
1615:
302:
are not straightforward. Therefore, the behavior of the different operators of the probability distribution, such as expected values, variances, covariances, and
2418:
2135:
274:. Its symbolism allows the treatment of sums, products, ratios and general functions of random variables, as well as dealing with operations such as finding the
9836:
7619:
7084:
6835:
6803:
6635:
6615:
6595:
6445:
5922:
5902:
5649:
5629:
5374:
5354:
5126:
5106:
4874:
4854:
4697:
4677:
4621:
4496:
4476:
4456:
4122:
3985:
3965:
3432:
3412:
2957:
2937:
2597:
2577:
2314:
2294:
2123:
2067:
1713:
1693:
1673:
1574:
1344:
1324:
1080:
1060:
735:
715:
678:
352:
332:
9873:
38:
10002:
Hernandez, Hugo (2016). "Modelling the effect of fluctuation in nonlinear systems using variance algebra - Application to light scattering of ideal gases".
8354:{\displaystyle E\approx \textstyle \sum _{n=0}^{n_{max}}\displaystyle {\sigma ^{n} \over n!}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }\mu _{n}(Z)}
8500:{\displaystyle \mu _{n}(Z)={\begin{cases}\prod _{i=1}^{n/2}(2i-1),&{\text{if }}n{\text{ is even}}\\0,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\end{cases}}}
8082:{\displaystyle f(X)=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle {\sigma ^{n} \over n!}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }\mu _{n}(Z)}
8509:
Similarly for normal random variables, it is also possible to approximate the variance of the non-linear function as a Taylor series expansion as:
7024:{\displaystyle f(X)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{n!}}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }(X-\mu )^{n}}
4961:
4709:
3747:{\displaystyle \mathrm {Var} =E\cdot E-(E\cdot E)^{2}=\mathrm {Var} \cdot \mathrm {Var} +\mathrm {Var} \cdot (E)^{2}+\mathrm {Var} \cdot (E)^{2}}
3243:
3227:{\displaystyle \mathrm {Var} =E\cdot E-(E\cdot E)^{2}=\mathrm {Var} \cdot \mathrm {Var} +\mathrm {Var} \cdot (E)^{2}+\mathrm {Var} \cdot (E)^{2}}
2695:
7877:{\displaystyle E\approx \textstyle \sum _{n=0}^{n_{max}}\displaystyle {1 \over n!}{\biggl (}{d^{n}f \over dX^{n}}{\biggr )}_{X=\mu }\mu _{n}(X)}
10042:
2049:
The exact value of the expectation of the non-linear function will depend on the particular probability distribution of the random variable
10118:
9815:
One may generalize this setup, allowing the algebra to be noncommutative. This leads to other areas of noncommutative probability such as
9954:
87:
6785:
The exact value of the variance of the non-linear function will depend on the particular probability distribution of the random variable
4603:
The exact value of the variance of the non-linear function will depend on the particular probability distribution of the random variable
4503:
10074:
9976:
4877:
2317:
1083:
241:
223:
168:
109:
52:
3763:
2833:
2602:
2323:
150:
44:
3995:
3990:
The variance of a random variable can also be expressed directly in terms of the covariance or in terms of the expected value:
4292:. Special cases are the addition and multiplication of a random variable with a deterministic variable or a constant, where:
10101:
10028:
5654:
5379:
9886:
7925:
6838:
6642:
6196:
6049:
5927:
5757:
5469:
5209:
4365:
2689:
737:
resulting from an algebraic operation between two random variables can be calculated using the following set of rules:
10096:
9947:
9941:
508:
146:
80:
74:
5131:
4883:
4298:
3878:
2125:
resulting from an algebraic operation between random variables can be calculated using the following set of rules:
9629:
9958:
91:
9896:
9603:
8092:
275:
6340:
9906:
9911:
9615:
7921:
5751:
5463:
3237:
1181:
502:
1349:
1089:
599:
138:
9901:
9611:
6528:
6485:
4246:
4203:
10091:
10066:
9863:
9858:
9820:
6814:
685:
681:
303:
263:
9614:
and the probability measure arise from the random variables and expectations by means of well-known
9272:
9022:
8397:
6841:
is known), then it is possible to approximate the expected value of any general non-linear function
4634:
2080:
9882:
9846:
9816:
7666:
7624:
7530:
6335:
The covariance of a random variable can also be expressed directly in terms of the expected value:
299:
8140:
1981:
1720:
862:
9851:
9841:
9595:
1922:
1802:
747:
294:
271:
6427:
If any of the random variables is replaced by a deterministic variable or by a constant value (
413:
4104:
If any of the random variables is replaced by a deterministic variable or by a constant value (
1861:
1556:
If any of the random variables is replaced by a deterministic variable or by a constant value (
364:
10070:
10038:
9728:
10032:
7887:
1187:
465:
10007:
9868:
9824:
7034:
2552:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} -2\mathrm {Cov} +\mathrm {Var} }
2269:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} +2\mathrm {Cov} +\mathrm {Var} }
1468:
980:
9599:
6844:
279:
267:
6450:
4168:
4127:
1620:
1579:
7705:. The first order term always vanishes but was kept to obtain a closed form expression.
9625:
9607:
7604:
7069:
6820:
6788:
6620:
6600:
6580:
6430:
6190:
6043:
5907:
5887:
5634:
5614:
5359:
5339:
5203:
5111:
5091:
4859:
4839:
4682:
4662:
4606:
4481:
4461:
4441:
4107:
3970:
3950:
3757:
3417:
3397:
2942:
2922:
2827:
2582:
2562:
2299:
2279:
2108:
2052:
1698:
1678:
1658:
1559:
1462:
1329:
1309:
1065:
1045:
974:
720:
700:
663:
593:
459:
337:
317:
10112:
9921:
9598:, the primary concept is not that of probability of an event, but rather that of a
270:, while avoiding delving too deeply into the mathematically sophisticated ideas of
10060:
10011:
9890:
9642:
4955:
2412:
856:
407:
287:
259:
9693:
5081:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =\mathrm {Var} -\mathrm {Cov} }
4829:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =\mathrm {Var} +\mathrm {Cov} }
3387:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} }
2818:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} }
4703:
2129:
741:
358:
283:
9588:
8361:, where the moments of the standard normal distribution are given by:
4594:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} \neq f(\mathrm {Var} )}
9917:
Taylor expansions for the moments of functions of random variables
9591:
9648:
there is a notion of conjugation of random variables, satisfying
9621:
Random variables are assumed to have the following properties:
9926:
7924:, it is possible to obtain a Taylor expansion in terms of the
4679:
resulting from an algebraic operation and the random variable
180:
121:
59:
18:
680:
resulting from each operation is also a random variable. All
3947:
represents the covariance operator between random variables
3865:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} }
2912:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} =\mathrm {Var} }
2681:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} +\mathrm {Var} }
2402:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} +\mathrm {Var} }
9566:
9203:
8493:
9692:
This means that random variables form complex commutative
4095:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Cov} (X,X)=E-E^{2}}
9641:
addition and multiplication of random variables are both
9638:
the product of two random variables is a random variable;
6447:), the previous properties remain valid considering that
4124:), the previous properties remain valid considering that
2692:
the variance is the same for additions and subtractions:
1576:), the previous properties remain valid considering that
201:
8752:
8716:
8548:
8211:
7952:
7741:
7393:
7129:
6837:
are known (or can be determined by integration if the
6597:
is defined as a general non-linear algebraic function
4458:
is defined as a general non-linear algebraic function
1675:
is defined as a general non-linear algebraic function
9635:
the sum of two random variables is a random variable;
9225:
8988:
8769:
8751:
8583:
8517:
8369:
8246:
8186:
8143:
8095:
7974:
7936:
7890:
7776:
7716:
7669:
7627:
7607:
7533:
7415:
7282:
7260:
7151:
7094:
7072:
7037:
6920:
6898:
6882:
6847:
6823:
6809:
Approximations by Taylor series expansions of moments
6791:
6645:
6623:
6603:
6583:
6531:
6488:
6453:
6433:
6343:
6199:
6052:
5930:
5910:
5890:
5760:
5657:
5637:
5617:
5472:
5382:
5362:
5342:
5212:
5134:
5114:
5094:
4964:
4886:
4862:
4842:
4712:
4685:
4665:
4637:
4609:
4506:
4484:
4464:
4444:
4368:
4301:
4249:
4206:
4171:
4130:
4110:
3998:
3973:
3953:
3881:
3766:
3440:
3420:
3400:
3246:
2965:
2945:
2925:
2836:
2698:
2605:
2585:
2565:
2421:
2326:
2302:
2282:
2138:
2111:
2083:
2055:
1984:
1925:
1864:
1805:
1723:
1701:
1681:
1661:
1623:
1582:
1562:
1471:
1352:
1332:
1312:
1190:
1092:
1068:
1048:
983:
865:
750:
723:
703:
666:
602:
511:
468:
416:
367:
340:
320:
7884:, where the Taylor expansion is truncated after the
5741:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Var} \cdot E}
5453:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Var} \cdot E}
4699:
can be calculated using the following set of rules:
354:, the following algebraic operations are possible:
196:
may be too technical for most readers to understand
9572:
9209:
8972:
8499:
8353:
8170:
8129:
8081:
7909:
7876:
7697:
7655:
7613:
7589:
7519:
7078:
7058:
7023:
6862:
6829:
6797:
6776:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =E-EE}
6775:
6629:
6609:
6589:
6566:
6517:
6474:
6439:
6417:
6324:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =E-EE}
6323:
6180:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =E-EE}
6179:
6033:{\displaystyle \mathrm {Cov} =E\cdot (1-E\cdot E)}
6032:
5916:
5896:
5877:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =E-EE}
5876:
5740:
5643:
5623:
5604:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =E-EE}
5603:
5452:
5368:
5348:
5329:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} =E-EE}
5328:
5192:
5120:
5100:
5080:
4944:
4868:
4848:
4828:
4691:
4671:
4651:
4615:
4593:
4490:
4470:
4450:
4428:{\displaystyle \mathrm {Var} =k^{2}\mathrm {Var} }
4427:
4353:
4284:
4235:
4192:
4157:
4116:
4094:
3979:
3959:
3939:
3864:
3746:
3426:
3406:
3386:
3226:
2951:
2931:
2911:
2817:
2680:
2591:
2571:
2551:
2401:
2308:
2288:
2268:
2117:
2097:
2061:
2038:
1969:
1910:
1849:
1786:
1707:
1687:
1667:
1644:
1609:
1568:
1545:
1451:
1338:
1318:
1298:
1170:
1074:
1054:
1034:
964:
846:
729:
709:
672:
649:
583:
492:
449:
397:
346:
326:
9879:List of convolutions of probability distributions
8909:
8867:
8848:
8806:
8677:
8657:
8615:
8586:
8313:
8271:
8041:
7999:
7836:
7794:
7475:
7433:
7342:
7300:
7252:
7211:
7169:
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6980:
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7621:about its mean. Note that by their definition,
584:{\displaystyle Z=X/Y=X\cdot (1/Y)=(1/Y)\cdot X}
310:Elementary symbolic algebra of random variables
9727:of random variables is a normalized, positive
5754:(covariance with respect to the denominator):
9837:Relationships among probability distributions
5193:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Var} }
4945:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Var} }
4354:{\displaystyle \mathrm {Var} =\mathrm {Var} }
3940:{\displaystyle \mathrm {Cov} =\mathrm {Cov} }
8:
9874:Sum of normally distributed random variables
5466:(covariance with respect to the numerator):
149:. There might be a discussion about this on
9682:and coinciding with complex conjugation if
8178:is the standard normal distribution. Thus,
53:Learn how and when to remove these messages
9977:Learn how and when to remove this message
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242:Learn how and when to remove this message
224:Learn how and when to remove this message
208:, without removing the technical details.
169:Learn how and when to remove this message
110:Learn how and when to remove this message
10037:(4th ed.). New York, NY: Springer.
9940:This article includes a list of general
6418:{\displaystyle \mathrm {Cov} (X,Y)=E-EE}
6193:(covariance with respect to the power):
1796:Some examples of this property include:
693:Expectation algebra for random variables
73:This article includes a list of general
9994:
6046:(covariance with respect to the base):
5924:are independent from each other, then:
5651:are independent from each other, then:
5376:are independent from each other, then:
5128:are independent from each other, then:
4627:Covariance algebra for random variables
3434:are independent from each other, then:
2959:are independent from each other, then:
2599:are independent from each other, then:
1346:are independent from each other, then:
6872:Taylor series expansion of the moments
2073:Variance algebra for random variables
206:make it understandable to non-experts
7:
9583:Algebra of complex random variables
1452:{\displaystyle E=E\cdot E=E\cdot E}
1171:{\displaystyle E=E\cdot E=E\cdot E}
650:{\displaystyle Z=X^{Y}=e^{Y\ln(X)}}
9946:it lacks sufficient corresponding
8137:is a normal random variable, and
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34:This article has multiple issues.
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4285:{\displaystyle \mathrm {Cov} =0}
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64:
23:
10062:The Algebra of Random Variables
9606:are determined by assigning an
42:or discuss these issues on the
10059:Springer, Melvin Dale (1979).
9893:of their probability measures.
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10119:Algebra of random variables
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660:In all cases, the variable
256:algebra of random variables
10135:
9731:. What this means is that
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10004:ForsChem Research Reports
9781:for all random variables
9759:for all random variables
9706:then the random variable
9672:for all random variables
9604:Probability distributions
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398:{\displaystyle Z=X+Y=Y+X}
276:probability distributions
262:, provides rules for the
9897:Law of total expectation
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9628:constants are possible
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