5745:
5336:
2717:
5763:
1839:
5740:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}
3647:
1411:
991:
4716:
3353:
5073:
458:
5226:
4883:
4488:
1834:{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)&={\biggl (}{\frac {p'_{n}(x)}{x^{2n}}}-2n{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+1}}}+{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+2}}}{\biggr )}f(x)\\&={\frac {x^{2}p'_{n}(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}{x^{2n+2}}}f(x)\\&={\frac {p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}}f(x),\end{aligned}}}
2277:
2081:
771:
1388:
4517:
260:
2691:
1178:
3950:
3642:{\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}
6074:
4898:
2876:
2549:
305:
5881:
5322:
5095:
2963:
2426:
710:
4742:
4361:
4332:
2122:
621:
4234:
1892:
986:{\displaystyle {\frac {1}{x^{m}}}=x{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{m+1}\leq (m+1)!\,x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\Bigl (}{\frac {1}{x}}{\Bigr )}^{n}=(m+1)!\,xe^{\frac {1}{x}},\qquad x>0,}
5976:
defined in this article to be analytic in spite of its being infinitely differentiable is an indication of one of the most dramatic differences between real-variable and complex-variable analysis.
1416:
4711:{\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}
1244:
153:
2578:
3083:
3794:
5954:
3822:
3285:
3139:
3111:
2991:
2769:
1070:
1058:
3829:
3738:
3698:
4091:
3198:
4049:
3991:
1026:
3345:
3311:
3257:
3224:
3031:
6005:
1203:, and the fact that the derivative of the exponential function is again the exponential function, we see that the formula is correct for the first derivative of
4069:
4011:
3159:
763:
5068:{\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}
2776:
453:{\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}
4127:
on the real line which has these numbers as derivatives at the origin. In particular, every sequence of numbers can appear as the coefficients of the
2311:
2477:
132:
5221:{\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}
5788:
5237:
2884:
2328:
642:
4878:{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}
4483:{\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}
4257:
2272:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}
5969:
6169:
6154:
See e.g. Chapter V, Section 2, Theorem 2.8 and
Corollary 2.9 about the differentiability of the limits of sequences of functions in
6143:
2076:{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {p_{n}(x)}{x^{2n+1}}}\,e^{-1/x}=0.}
4152:
506:
6087:, it attains every complex value (with the exception of zero) infinitely many times in every neighbourhood of the origin.
17:
1383:{\displaystyle f'(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x}}=0.}
255:{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{if }}x>0,\\0&{\text{if }}x\leq 0,\end{cases}}}
2720:
Approximation of the smooth-everywhere, but nowhere-analytic function mentioned here. This partial sum is taken from
2686:{\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}
2732:
85:
5327:
is well defined and can be differentiated term-by-term infinitely many times. To this end, observe that for every
6211:
633:. From this formula, it is not completely clear that the derivatives are continuous at 0; this follows from the
3040:
4243:
is also smooth; it equals 1 on the closed interval and vanishes outside the open interval (−2,2). Using
4014:
104:
39:
6188:
1192:
479:
54:
47:
1173:{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}\leq (m+1)!\lim _{x\searrow 0}x=0.}
6080:
5984:
5903:
3956:
3945:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}
3743:
92:
5917:
3799:
3262:
3116:
3088:
2968:
2746:
1031:
6161:
6084:
2101:
739:
77:
5137:
4403:
3703:
3655:
342:
177:
4494:
2998:
285:
4074:
3164:
91:
The existence of smooth but non-analytic functions represents one of the main differences between
5907:
2994:
115:
2310:
4024:
3966:
2716:
999:
131:
6165:
6139:
4017:. Since the set of analyticity of a function is an open set, and since dyadic rationals are
3316:
2993:, this function is easily seen to be of class C, by a standard inductive application of the
2299:
43:
3290:
3229:
2459: ≥ 1, hence it provides a smooth transition from the level 0 to the level 1 in the
6069:{\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}
5965:
4132:
4102:
3203:
96:
81:
58:
6101:
5899:
3034:
3007:
1200:
1061:
634:
69:
35:
5887:
5762:
4136:
4120:
4054:
3996:
3144:
2740:
748:
743:
103:, this difference can be stated as follows: the sheaf of differentiable functions on a
62:
6205:
6106:
6096:
5996:
4722:
4128:
3960:
2705:
2460:
2113:
2105:
6131:
100:
2871:{\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}
716:
266:
51:
31:
2544:{\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}
6193:
5751:
4889:
1196:
475:
288:
108:
1230: < 0. It remains to show that the right-hand side derivative of
6111:
6083:
at the origin, and hence is not even continuous, much less analytic. By the
5876:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}
5317:{\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}
4018:
486:
296:
73:
2958:{\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}
2421:{\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}
4338:
2696:
equals 1 on the closed interval and vanishes outside the open interval (
705:{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{m}}}=0}
4736:
derivatives, are well-defined real numbers. Define the scaled functions
2735:
example is an infinitely differentiable function which is not analytic
2431:
has a strictly positive denominator everywhere on the real line, hence
627:
4123:, the following construction shows the existence of a smooth function
5761:
4327:{\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}
2715:
2309:
130:
68:
One of the most important applications of smooth functions with
4344:
on and vanishes outside the interval (−2,2). Hence, the
4229:{\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}
1222:) is a polynomial of degree 0. Of course, the derivative of
5186:
4448:
3740:, and we bounded the first sum from below by the term with
2463:. To have the smooth transition in the real interval with
1238: = 0 is zero. Using the above limit, we see that
446:
248:
18:
An infinitely differentiable function that is not analytic
6189:"Infinitely-differentiable function that is not analytic"
1878: < 0. For the right-hand side derivative of
616:{\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}
27:
Mathematical functions which are smooth but not analytic
740:
power series representation of the exponential function
50:. One can easily prove that any analytic function of a
5983:
has derivatives of all orders over the real line, the
6008:
5920:
5791:
5750:
where the remaining infinite series converges by the
5339:
5240:
5098:
4901:
4745:
4520:
4364:
4260:
4155:
4077:
4057:
4027:
3999:
3969:
3832:
3802:
3746:
3706:
3658:
3356:
3319:
3293:
3265:
3232:
3206:
3167:
3147:
3119:
3091:
3043:
3010:
2971:
2887:
2779:
2749:
2581:
2480:
2331:
2125:
1895:
1866: + 1) − 1. Of course, the (
1414:
1247:
1073:
1034:
1002:
774:
751:
645:
509:
345:
308:
156:
114:The functions below are generally used to build up
6068:
5948:
5875:
5739:
5316:
5220:
5067:
4877:
4710:
4482:
4326:
4228:
4085:
4063:
4043:
4005:
3985:
3944:
3816:
3788:
3732:
3692:
3641:
3339:
3305:
3279:
3251:
3218:
3192:
3153:
3133:
3105:
3077:
3025:
2985:
2957:
2870:
2763:
2685:
2543:
2420:
2271:
2075:
1833:
1382:
1172:
1052:
1028:are added. Therefore, dividing this inequality by
1020:
985:
757:
704:
615:
452:
254:
2678:
2645:
2634:
2601:
2533:
2500:
1607:
1459:
916:
898:
818:
800:
5964:This pathology cannot occur with differentiable
4534:
3834:
2712:A smooth function which is nowhere real analytic
1986:
1897:
1332:
1269:
1146:
1075:
647:
4131:of a smooth function. This result is known as
1886: = 0 we obtain with the above limit
4678:
4539:
8:
6023:
6017:
5968:rather than of a real variable. Indeed, all
5861:
5854:
5692:
5667:
5506:
5481:
5386:
5361:
4667:
4642:
4624:
4599:
4587:
4573:
1405: > 0 we get for the derivative
5050:
4860:
3626:
3078:{\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}
2112:at the origin converges everywhere to the
2100:is smooth, and all its derivatives at the
726:
6059:
6058:
6043:
6039:
6010:
6009:
6007:
5925:
5919:
5864:
5845:
5817:
5798:
5794:
5793:
5790:
5722:
5718:
5706:
5695:
5679:
5674:
5663:
5656:
5652:
5640:
5630:
5624:
5615:
5611:
5604:
5600:
5576:
5571:
5561:
5545:
5539:
5522:
5509:
5493:
5488:
5466:
5461:
5456:
5443:
5437:
5428:
5425:
5413:
5402:
5389:
5373:
5368:
5355:
5344:
5338:
5307:
5306:
5281:
5271:
5260:
5239:
5209:
5205:
5204:
5178:
5152:
5144:
5132:
5108:
5103:
5097:
5058:
5057:
5041:
5037:
5036:
5007:
4988:
4983:
4964:
4959:
4954:
4941:
4935:
4911:
4906:
4900:
4868:
4867:
4851:
4847:
4846:
4823:
4810:
4797:
4792:
4787:
4774:
4768:
4750:
4744:
4699:
4695:
4694:
4677:
4676:
4670:
4654:
4649:
4627:
4611:
4606:
4590:
4580:
4565:
4559:
4550:
4538:
4537:
4525:
4519:
4471:
4467:
4466:
4440:
4414:
4398:
4374:
4369:
4363:
4317:
4316:
4293:
4287:
4265:
4259:
4219:
4218:
4189:
4154:
4079:
4078:
4076:
4056:
4032:
4026:
3998:
3974:
3968:
3938:
3919:
3915:
3895:
3874:
3866:
3857:
3854:
3837:
3831:
3810:
3809:
3801:
3780:
3764:
3751:
3745:
3724:
3711:
3705:
3672:
3657:
3618:
3605:
3592:
3579:
3569:
3561:
3550:
3544:
3540:
3517:
3516:
3507:
3488:
3469:
3459:
3451:
3440:
3434:
3430:
3407:
3406:
3397:
3369:
3361:
3355:
3329:
3318:
3292:
3273:
3272:
3264:
3243:
3231:
3205:
3172:
3166:
3161:terms is analytic, we need only consider
3146:
3127:
3126:
3118:
3099:
3098:
3090:
3066:
3042:
3009:
2979:
2978:
2970:
2949:
2939:
2931:
2920:
2914:
2910:
2900:
2899:
2892:
2886:
2850:
2827:
2821:
2817:
2807:
2806:
2799:
2778:
2757:
2756:
2748:
2677:
2676:
2650:
2644:
2643:
2639:
2633:
2632:
2606:
2600:
2599:
2583:
2582:
2580:
2532:
2531:
2505:
2499:
2498:
2482:
2481:
2479:
2411:
2410:
2347:
2330:
2262:
2261:
2239:
2220:
2214:
2203:
2190:
2154:
2147:
2141:
2130:
2124:
2057:
2050:
2045:
2028:
2008:
2001:
1989:
1947:
1919:
1912:
1900:
1894:
1789:
1763:
1756:
1717:
1697:
1651:
1641:
1634:
1606:
1605:
1588:
1568:
1561:
1541:
1521:
1514:
1494:
1471:
1464:
1458:
1457:
1423:
1415:
1413:
1357:
1353:
1347:
1335:
1284:
1272:
1246:
1149:
1116:
1100:
1096:
1090:
1078:
1072:
1039:
1033:
1001:
956:
948:
921:
915:
914:
903:
897:
896:
881:
875:
864:
856:
823:
817:
816:
805:
799:
798:
784:
775:
773:
750:
688:
672:
668:
662:
650:
644:
598:
552:
542:
514:
508:
426:
400:
384:
373:
353:
346:
337:
313:
307:
228:
202:
188:
184:
172:
155:
6156:Amann, Herbert; Escher, Joachim (2005),
2282:and so the Taylor series does not equal
299:. The formula for these derivatives is
6123:
6014:
5078:and, using the previous result for the
2739:. It can be constructed by means of a
729:
5972:, so that the failure of the function
111:, in contrast with the analytic case.
61:is not true, as demonstrated with the
5231:It remains to show that the function
4511:is bounded. Therefore, the constants
4251:(including zero) the smooth function
76:, which are important in theories of
7:
4142:With the smooth transition function
996:because all the positive terms for
5970:holomorphic functions are analytic
5922:
5814:
5731:
5696:
5540:
5510:
5390:
5356:
5272:
4671:
4628:
4591:
4247:, define for every natural number
3935:
3844:
3789:{\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}
3633:
3622:
3619:
3508:
3398:
2215:
2142:
876:
25:
5949:{\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}
3817:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
3280:{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
3134:{\displaystyle q\in \mathbb {N} }
3106:{\displaystyle p\in \mathbb {Z} }
2986:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2764:{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
2294: > 0. Consequently,
1183:We now prove the formula for the
135:The non-analytic smooth function
72:is the construction of so-called
5979:Note that although the function
5894:|| defines a smooth function on
5758:Application to higher dimensions
3796:. As a consequence, at any such
3226:. For all orders of derivation
1870: + 1)st derivative of
1053:{\displaystyle e^{\frac {1}{x}}}
46:are two very important types of
6138:. McGraw-Hill, New Delhi 1980,
5966:functions of a complex variable
5299:
5190:
5022:
4888:By repeated application of the
4838:
4686:
4452:
4309:
4211:
3614:
3037:multiple of π, that is, at any
3001:of each series of derivatives.
2403:
2254:
1401: + 1 is similar. For
970:
6032:
5937:
5931:
5870:
5838:
5829:
5823:
5810:
5686:
5680:
5631:
5616:
5500:
5494:
5444:
5429:
5380:
5374:
5293:
5287:
5250:
5244:
5126:
5120:
5115:
5109:
5016:
5000:
4995:
4989:
4929:
4923:
4918:
4912:
4832:
4816:
4762:
4756:
4661:
4655:
4618:
4612:
4566:
4551:
4392:
4386:
4381:
4375:
4303:
4297:
4277:
4271:
4205:
4193:
4186:
4174:
4165:
4159:
3896:
3892:
3886:
3881:
3875:
3858:
3841:
3733:{\displaystyle 2^{k}>2^{q}}
3693:{\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}
3681:
3665:
3636:
3630:
3615:
3575:
3562:
3497:
3481:
3465:
3452:
3387:
3381:
3376:
3370:
3187:
3181:
3141:. Since the sum of the first
3020:
3014:
2945:
2932:
2859:
2843:
2789:
2783:
2593:
2492:
2394:
2382:
2373:
2367:
2359:
2353:
2341:
2335:
2172:
2166:
2161:
2155:
2096:As seen earlier, the function
2020:
2014:
1993:
1965:
1959:
1954:
1948:
1937:
1931:
1926:
1920:
1904:
1821:
1815:
1805:
1793:
1781:
1775:
1743:
1737:
1709:
1703:
1690:
1672:
1666:
1660:
1621:
1615:
1580:
1574:
1533:
1527:
1486:
1480:
1447:
1441:
1436:
1424:
1339:
1311:
1305:
1296:
1290:
1276:
1262:
1256:
1153:
1139:
1127:
1082:
942:
930:
850:
838:
654:
610:
604:
591:
573:
567:
561:
532:
526:
394:
388:
365:
359:
331:
325:
320:
314:
166:
160:
1:
4119:, . . . of real or
2435:is also smooth. Furthermore,
291:of all orders at every point
118:on differentiable manifolds.
5991:from the positive half-line
4097:Application to Taylor series
4086:{\displaystyle \mathbb {R} }
3652:where we used the fact that
3200:, the sum of the terms with
3193:{\displaystyle F_{>q}(x)}
2092:The function is not analytic
1858:) is a polynomial of degree
731:Detailed proof of smoothness
143:) considered in the article.
6130:Exercise 12 on page 418 in
2743:as follows. Define for all
2704:), hence it can serve as a
2306:Smooth transition functions
2104:are 0. Therefore, the
1211: > 0 and that
485: − 1 given
6228:
4100:
127:Definition of the function
6136:Real and Complex Analysis
5995: > 0 to the
4071:, is nowhere analytic in
4044:{\displaystyle F_{>q}}
3986:{\displaystyle F_{>q}}
2318:from 0 to 1 defined here.
1021:{\displaystyle n\neq m+1}
5999:, that is, the function
4504:and every derivative of
4355:at the origin satisfies
3340:{\displaystyle m>q/2}
2471:, consider the function
1393:The induction step from
38:(also called infinitely
4015:Cauchy-Hadamard formula
3306:{\displaystyle m\geq 2}
3252:{\displaystyle n=2^{m}}
3033:is not analytic at any
105:differentiable manifold
6070:
5950:
5877:
5775:
5741:
5544:
5424:
5360:
5318:
5276:
5222:
5069:
4879:
4712:
4484:
4337:which agrees with the
4328:
4230:
4087:
4065:
4045:
4007:
3987:
3946:
3818:
3790:
3734:
3694:
3643:
3341:
3307:
3281:
3253:
3220:
3219:{\displaystyle k>q}
3194:
3155:
3135:
3107:
3079:
3027:
2987:
2959:
2872:
2765:
2728:
2687:
2572:, the smooth function
2545:
2422:
2319:
2314:The smooth transition
2273:
2219:
2146:
2077:
1835:
1384:
1193:mathematical induction
1174:
1054:
1022:
987:
880:
759:
706:
617:
454:
276:The function is smooth
256:
147:Consider the function
144:
6081:essential singularity
6071:
5985:analytic continuation
5951:
5878:
5765:
5742:
5518:
5398:
5340:
5319:
5256:
5223:
5070:
4880:
4713:
4485:
4329:
4231:
4088:
4066:
4046:
4008:
3988:
3957:radius of convergence
3947:
3819:
3791:
3735:
3695:
3644:
3342:
3308:
3282:
3254:
3221:
3195:
3156:
3136:
3108:
3080:
3028:
2988:
2960:
2873:
2766:
2719:
2688:
2546:
2423:
2313:
2274:
2199:
2126:
2078:
1836:
1385:
1175:
1055:
1023:
988:
860:
760:
707:
618:
455:
257:
134:
93:differential geometry
78:generalized functions
6164:, pp. 373–374,
6085:great Picard theorem
6006:
5918:
5789:
5337:
5238:
5096:
4899:
4743:
4518:
4362:
4258:
4153:
4107:For every sequence α
4075:
4055:
4025:
4021:, we conclude that
3997:
3967:
3830:
3800:
3744:
3704:
3656:
3354:
3317:
3291:
3263:
3230:
3204:
3165:
3145:
3117:
3089:
3041:
3026:{\displaystyle F(x)}
3008:
2969:
2885:
2777:
2747:
2579:
2478:
2455:) = 1 for
2443:) = 0 for
2329:
2123:
1893:
1412:
1245:
1071:
1032:
1000:
772:
749:
742:, we have for every
643:
507:
500:) = 1 and
306:
154:
5782: > 0,
5774:) in one dimension.
5690:
5593:
5504:
5477:
5384:
5119:
4999:
4975:
4922:
4802:
4665:
4622:
4495:boundedness theorem
4385:
3885:
3380:
2999:uniform convergence
2447: ≤ 0 and
1659:
1479:
560:
122:An example function
116:partitions of unity
6066:
5946:
5873:
5776:
5737:
5727:
5716:
5670:
5661:
5650:
5609:
5598:
5567:
5484:
5457:
5364:
5314:
5218:
5185:
5099:
5082:-th derivative of
5065:
4979:
4955:
4902:
4875:
4788:
4708:
4645:
4602:
4480:
4447:
4365:
4348:-th derivative of
4324:
4226:
4083:
4061:
4041:
4003:
3983:
3942:
3862:
3848:
3814:
3786:
3730:
3690:
3639:
3535:
3425:
3357:
3337:
3303:
3277:
3249:
3216:
3190:
3151:
3131:
3103:
3075:
3023:
2995:Weierstrass M-test
2983:
2965:converges for all
2955:
2905:
2868:
2812:
2761:
2729:
2683:
2541:
2418:
2320:
2269:
2073:
2000:
1911:
1831:
1829:
1647:
1467:
1380:
1346:
1283:
1170:
1160:
1089:
1050:
1018:
983:
755:
702:
661:
613:
548:
450:
445:
397:
265:defined for every
252:
247:
145:
44:analytic functions
6162:Birkhäuser Verlag
6051:
5778:For every radius
5712:
5664:
5662:
5646:
5612:
5610:
5594:
5562:
5560:
5558:
5479:
5181:
5155:
4977:
4804:
4443:
4417:
4146:as above, define
4064:{\displaystyle F}
4006:{\displaystyle x}
3909:
3833:
3556:
3533:
3503:
3446:
3423:
3393:
3154:{\displaystyle q}
3004:We now show that
2926:
2888:
2881:Since the series
2864:
2833:
2795:
2674:
2630:
2554:For real numbers
2529:
2398:
2233:
2184:
2088:
2087:
2043:
1985:
1980:
1896:
1810:
1732:
1603:
1556:
1503:
1372:
1365:
1331:
1326:
1268:
1187:th derivative of
1145:
1122:
1108:
1074:
1047:
964:
911:
894:
813:
790:
765:(including zero)
758:{\displaystyle m}
694:
680:
646:
626:for any positive
429:
403:
382:
231:
205:
196:
97:analytic geometry
16:(Redirected from
6219:
6212:Smooth functions
6198:
6175:
6174:
6152:
6146:
6128:
6075:
6073:
6072:
6067:
6062:
6054:
6053:
6052:
6044:
6013:
5960:Complex analysis
5955:
5953:
5952:
5947:
5930:
5929:
5882:
5880:
5879:
5874:
5869:
5868:
5850:
5849:
5822:
5821:
5803:
5802:
5797:
5746:
5744:
5743:
5738:
5726:
5717:
5711:
5710:
5701:
5700:
5699:
5689:
5678:
5665:
5660:
5651:
5645:
5644:
5635:
5634:
5629:
5628:
5619:
5613:
5608:
5599:
5592:
5575:
5563:
5559:
5557:
5546:
5543:
5538:
5514:
5513:
5503:
5492:
5480:
5478:
5476:
5465:
5448:
5447:
5442:
5441:
5432:
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5423:
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5285:
5275:
5270:
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5225:
5224:
5219:
5214:
5213:
5208:
5189:
5188:
5182:
5179:
5156:
5153:
5149:
5148:
5118:
5107:
5074:
5072:
5071:
5066:
5061:
5046:
5045:
5040:
5012:
5011:
4998:
4987:
4978:
4976:
4974:
4963:
4946:
4945:
4936:
4921:
4910:
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