3725:
5351:
6129:
5009:
5767:
6560:
6424:
1015:
868:
5466:
4280:
4424:
5064:
6735:
6001:
3412:
4775:
6006:
4579:
3395:. Identities (2), (3) represent Leibniz rules for more than two factors, and are valid for any derivation. Identities (4)–(6) can also be interpreted as Leibniz rules. Identities (7), (8) express
3999:
3322:
6208:
1317:
5633:
3268:
6359:
5915:
3379:
5552:
3043:
1206:
3829:
4795:
4671:
6783:
6665:
6245:
2620:
2281:
682:
598:
1498:
6274:
6154:
516:
5652:
435:
6603:
2470:
2131:
292:
1924:
1400:
1088:
356:
6444:
6371:
5504:
5055:
2812:
2359:
2020:
1579:
1540:
2695:
1813:
1759:
1720:
6623:
6583:
1421:
of a space are represented by commuting matrices in terms of one basis, then they are so represented in terms of every basis. By using the commutator as a
873:
688:
6804:
5016:
5374:
4005:
4286:
5507:
3720:{\displaystyle =\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}B^{N-n-1}A^{M-m-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}A^{N-n-1}B^{M-m-1}}
7151:
7121:
6670:
5923:
5346:{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left(+{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}]]+]]\right)+\cdots \right).}
4687:
7191:
7099:
7007:
6978:
5639:
7249:
4430:
7028:
6809:
39:
3835:
3288:
7217:
6820:
6159:
3388:
1221:
184:
The definition of the commutator above is used throughout this article, but many group theorists define the commutator as
5560:
1093:
Many identities that are true modulo certain subgroups are also used. These can be particularly useful in the study of
43:
7212:
3730:
Some of the above identities can be extended to the anticommutator using the above ± subscript notation. For example:
6124:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ \,].}
3049:
7244:
6286:
5782:
7234:
3327:
149:
5004:{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B++{\frac {1}{2!}}]+{\frac {1}{3!}}]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}
220:
5513:
2818:
1107:
3736:
6438:, expanding repeated derivatives of a product, can be written abstractly using the adjoint representation:
4585:
7016:
6748:
7239:
6845:
1613:
31:
6628:
6213:
2476:
2137:
603:
7113:
7056:
6830:
6435:
4682:
1617:
522:
5762:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}
1450:
6254:
6134:
4789:
4782:
1343:
158:
94:
35:
6964:
440:
141:
The set of all commutators of a group is not in general closed under the group operation, but the
7072:
7046:
6987:
6840:
362:
7207:
6588:
6555:{\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}
6419:{\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}
2365:
2026:
7187:
7147:
7117:
7095:
7083:
7024:
7003:
6974:
6794:
1930:
1605:
1581:
is then used for commutator. The anticommutator is used less often, but can be used to define
246:
1819:
1352:
1064:
298:
7179:
7064:
5483:
1594:
1582:
1212:
58:
7131:
5033:
7127:
6835:
5773:
2701:
2287:
1948:
1934:
1545:
1506:
1098:
1033:
167:
7060:
3406:
From identity (9), one finds that the commutator of integer powers of ring elements is:
2626:
1765:
1726:
1651:
7167:
7091:
6992:
6970:
6608:
6568:
5361:
4778:
1590:
1586:
1414:
1327:
1094:
178:
171:
7228:
7171:
7076:
6999:
6825:
1629:
1625:
1601:
1047:
is used by some group theorists. Many other group theorists define the conjugate of
1010:{\displaystyle \left,z^{x}\right]\cdot \left,y^{z}\right]\cdot \left,x^{y}\right]=1.}
175:
1632:
and are completely isomorphic to the
Hilbert space commutator structures mentioned.
863:{\displaystyle \left,z\right]^{y}\cdot \left,x\right]^{z}\cdot \left,y\right]^{x}=1}
3400:
3282:
1418:
210:
66:
30:
This article is about the mathematical concept. For the electrical component, see
7143:
6814:
6277:
1621:
1426:
1422:
1025:
70:
62:
50:
7068:
7037:
Lavrov, P.M. (2014), "Jacobi -type identities in algebras and superalgebras",
6799:
5461:{\displaystyle _{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}
4275:{\displaystyle ,]=_{+},A]_{+},D]-_{+},A]_{+},C]+_{+},B]_{+},C]-_{+},B]_{+},D]}
1609:
1029:
17:
7183:
4419:{\displaystyle \left_{\pm }\right]+\left_{\pm }\right]+\left_{\pm }\right]=0}
5058:
142:
6730:{\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}
7178:, NATO Science Series II, vol. 207, Springer, pp. 273–329,
5996:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=\,]}
7051:
5030:
A similar expansion expresses the group commutator of expressions
6251:
to itself with composition as the multiplication operation. Then
1616:
is ultimately a theorem about such commutators, by virtue of the
1612:
described by these operators can be measured simultaneously. The
7176:
Structural Theory of
Automata, Semigroups, and Universal Algebra
4770:{\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }
5061:) in terms of a series of nested commutators (Lie brackets),
120:
This element is equal to the group's identity if and only if
5476:
Especially if one deals with multiple commutators in a ring
5776:, it is also a derivation over the commutation operation:
5480:, another notation turns out to be useful. For an element
1101:. For instance, in any group, second powers behave well:
27:
Operation measuring the failure of two entities to commute
4574:{\displaystyle _{\pm }=_{-}C+B_{\pm }=_{\pm }C\mp B_{-}}
201:
Using the first definition, this can be expressed as .
6741:, the identity becomes the usual Leibniz rule for the
4798:
4735:
3994:{\displaystyle _{\pm }=A_{-}D+AC_{-}+_{-}DB+C_{\pm }B}
3317:{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}
1036:
for the ring-theoretic commutator (see next section).
6751:
6673:
6631:
6611:
6591:
6571:
6447:
6374:
6289:
6257:
6216:
6162:
6137:
6009:
5926:
5785:
5655:
5563:
5516:
5486:
5377:
5067:
5036:
4690:
4588:
4433:
4289:
4008:
3838:
3739:
3415:
3330:
3291:
3052:
2821:
2704:
2629:
2479:
2368:
2290:
2140:
2029:
1951:
1822:
1768:
1729:
1654:
1548:
1509:
1453:
1355:
1224:
1110:
1067:
876:
691:
606:
525:
443:
365:
301:
249:
57:
gives an indication of the extent to which a certain
6203:{\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}
1312:{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}^{\binom {n}{2}}.}
7174:, in Kudryavtsev, V. B.; Rosenberg, I. G. (eds.),
6991:
6777:
6729:
6659:
6617:
6597:
6577:
6554:
6418:
6353:
6268:
6239:
6202:
6148:
6123:
5995:
5909:
5761:
5628:{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)==xy-yx.}
5627:
5546:
5498:
5460:
5345:
5049:
5003:
4769:
4665:
4573:
4418:
4274:
3993:
3823:
3719:
3373:
3316:
3262:
3037:
2806:
2689:
2614:
2464:
2353:
2275:
2125:
2014:
1918:
1807:
1753:
1714:
1573:
1534:
1492:
1394:
1311:
1200:
1090:. Similar identities hold for these conventions.
1082:
1009:
862:
676:
592:
510:
429:
350:
286:
7172:"Congruence modular varieties: commutator theory"
6762:
6522:
6501:
6488:
6068:
6054:
6025:
5891:
5843:
5746:
5708:
5671:
5120:
1425:, every associative algebra can be turned into a
1444:of a ring or associative algebra is defined by
1039:N.B., the above definition of the conjugate of
209:Commutator identities are an important tool in
152:by all commutators is closed and is called the
3263:{\displaystyle ,]=,C],D]+,D],A]+,A],B]+,B],C]}
6354:{\displaystyle \operatorname {ad} _{}=\left.}
1640:The commutator has the following properties:
1299:
1286:
8:
5920:Composing such mappings, we get for example
5910:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\ =\ \,+\,.}
5364:, the commutator is usually replaced by the
1600:The commutator of two operators acting on a
1466:
1454:
3374:{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=}
1032:. It is a group-theoretic analogue of the
65:. There are different definitions used in
7050:
6756:
6750:
6712:
6696:
6672:
6636:
6630:
6610:
6590:
6570:
6537:
6532:
6516:
6511:
6500:
6487:
6485:
6479:
6468:
6452:
6446:
6410:
6397:
6392:
6388:
6379:
6373:
6337:
6324:
6294:
6288:
6280:homomorphism, preserving the commutator:
6258:
6256:
6217:
6215:
6180:
6163:
6161:
6138:
6136:
6114:
6062:
6048:
6019:
6014:
6008:
5989:
5944:
5931:
5925:
5885:
5877:
5866:
5862:
5837:
5829:
5795:
5787:
5784:
5740:
5732:
5730:
5726:
5722:
5718:
5702:
5694:
5665:
5657:
5654:
5568:
5562:
5526:
5518:
5515:
5485:
5428:
5394:
5376:
5292:
5275:
5217:
5197:
5165:
5144:
5105:
5092:
5082:
5072:
5066:
5041:
5035:
4981:
4976:
4903:
4858:
4816:
4803:
4797:
4755:
4734:
4695:
4689:
4657:
4626:
4587:
4565:
4534:
4509:
4478:
4453:
4432:
4399:
4358:
4317:
4288:
4257:
4241:
4201:
4185:
4145:
4129:
4089:
4073:
4007:
3982:
3948:
3923:
3889:
3861:
3837:
3812:
3787:
3759:
3738:
3699:
3677:
3652:
3642:
3626:
3615:
3599:
3588:
3563:
3541:
3516:
3506:
3490:
3479:
3463:
3452:
3436:
3423:
3414:
3335:
3329:
3296:
3290:
3051:
2820:
2703:
2628:
2478:
2367:
2289:
2139:
2028:
1950:
1821:
1767:
1728:
1653:
1565:
1547:
1526:
1508:
1452:
1354:
1330:often do not support division. Thus, the
1298:
1285:
1283:
1261:
1251:
1238:
1223:
1147:
1137:
1124:
1109:
1071:
1069:
1066:
990:
949:
908:
875:
848:
823:
793:
768:
738:
713:
690:
660:
655:
616:
605:
579:
574:
541:
524:
481:
442:
421:
364:
336:
300:
254:
248:
7112:, Queen Mary Maths Notes, vol. 18,
6912:
6900:
6876:
6864:
6737:, and applying both sides to a function
5547:{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}
5368:, defined in homogeneous components as
4681:Consider a ring or algebra in which the
3038:{\displaystyle =AD+BD+CA+CB=AD+AC+DB+CB}
1542:is used to denote anticommutator, while
6924:
6857:
4777:can be meaningfully defined, such as a
3281:, identity (1) can be interpreted as a
1608:, since it quantifies how well the two
1201:{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2},y].}
6947:
6935:
3824:{\displaystyle _{\pm }=A_{-}+_{\pm }B}
1405:The commutator is zero if and only if
6888:
4792:applied to nested commutators gives:
4666:{\displaystyle =_{\pm }C\mp B_{\pm }}
1624:, equivalent commutators of function
7:
7039:Theoretical and Mathematical Physics
6368:always a ring homomorphism: usually
6778:{\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}
5015:below.) This formula underlies the
6966:A First Course In Abstract Algebra
6753:
6713:
6683:
6592:
6492:
6262:
6259:
6224:
6221:
6218:
6187:
6184:
6181:
6167:
6164:
6142:
6139:
5881:
5878:
5833:
5830:
5791:
5788:
5736:
5733:
5698:
5695:
5661:
5658:
5522:
5519:
5017:Baker–Campbell–Hausdorff expansion
1290:
1020:Identity (5) is also known as the
25:
6994:Introduction to Quantum Mechanics
6660:{\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}
6240:{\displaystyle \mathrm {End} (R)}
166:. Commutators are used to define
128:commute (that is, if and only if
6805:Baker–Campbell–Hausdorff formula
6585:by the differentiation operator
2615:{\displaystyle =ABC+ABD+ACD+BCD}
2276:{\displaystyle =CDE+BDE+BCE+BCD}
677:{\displaystyle \left=^{x^{-1}}.}
6625:by the multiplication operator
593:{\displaystyle \left=^{y^{-1}}}
7088:Introductory Quantum Mechanics
6810:Canonical commutation relation
6772:
6763:
6722:
6716:
6702:
6689:
6686:
6680:
6648:
6529:
6523:
6307:
6295:
6234:
6228:
6197:
6191:
6177:
6115:
6111:
6099:
6090:
6078:
6075:
6069:
6055:
6032:
6026:
5990:
5986:
5974:
5965:
5959:
5953:
5901:
5898:
5892:
5867:
5859:
5850:
5844:
5825:
5813:
5801:
5753:
5747:
5715:
5709:
5681:
5672:
5601:
5589:
5583:
5577:
5538:
5425:
5415:
5391:
5378:
5321:
5318:
5315:
5303:
5286:
5269:
5263:
5260:
5257:
5245:
5236:
5227:
5191:
5188:
5176:
5159:
5138:
5126:
5011:(For the last expression, see
4995:
4989:
4954:
4951:
4948:
4936:
4927:
4918:
4897:
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1673:
1655:
1618:Robertson–Schrödinger relation
1562:
1549:
1523:
1510:
1493:{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}
1368:
1356:
1280:
1267:
1235:
1225:
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1168:
1165:
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418:
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387:
381:
366:
333:
320:
314:
302:
278:
266:
40:Canonical commutation relation
1:
6821:Derivation (abstract algebra)
6269:{\displaystyle \mathrm {ad} }
6247:is the ring of mappings from
6149:{\displaystyle \mathrm {ad} }
3381:. In other words, the map ad
3277:is a fixed element of a ring
1589:and in the derivation of the
5057:(analogous to elements of a
1346:) is defined differently by
511:{\displaystyle =^{z}\cdot .}
36:canonical conjugate entities
7213:Encyclopedia of Mathematics
430:{\displaystyle =\cdot ^{y}}
34:. For the relation between
7266:
6963:Fraleigh, John B. (1976),
29:
7069:10.1007/s11232-014-0161-2
6969:(2nd ed.), Reading:
6598:{\displaystyle \partial }
5356:Graded rings and algebras
2465:{\displaystyle =AB+AC+BC}
2126:{\displaystyle =CD+BD+BC}
1061:. This is often written
205:Identities (group theory)
7184:10.1007/1-4020-3817-8_11
1636:Identities (ring theory)
1604:is a central concept in
287:{\displaystyle x^{y}=x.}
7250:Mathematical identities
7023:(2nd ed.), Wiley,
1929:Relation (3) is called
1919:{\displaystyle ]+]+]=0}
1395:{\displaystyle =ab-ba.}
1083:{\displaystyle {}^{x}a}
351:{\displaystyle =^{-1}.}
174:groups and the largest
6779:
6731:
6661:
6619:
6599:
6579:
6556:
6484:
6420:
6355:
6270:
6241:
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6150:
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5997:
5911:
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5629:
5548:
5500:
5499:{\displaystyle x\in R}
5462:
5347:
5051:
5005:
4771:
4677:Exponential identities
4667:
4575:
4420:
4276:
3995:
3825:
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3637:
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3039:
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2616:
2466:
2355:
2277:
2127:
2016:
1920:
1809:
1755:
1716:
1644:Lie-algebra identities
1575:
1536:
1494:
1396:
1313:
1202:
1084:
1011:
864:
678:
594:
512:
431:
352:
288:
42:. For other uses, see
7108:McKay, Susan (2000),
6846:Three subgroups lemma
6780:
6732:
6662:
6620:
6600:
6580:
6557:
6464:
6421:
6356:
6271:
6242:
6205:
6156:itself as a mapping,
6151:
6126:
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5912:
5764:
5630:
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5463:
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5006:
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2467:
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2128:
2017:
1941:Additional identities
1921:
1810:
1756:
1717:
1614:uncertainty principle
1576:
1537:
1495:
1397:
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1203:
1085:
1012:
865:
679:
595:
513:
432:
353:
289:
32:Commutator (electric)
7140:Quantum Field Theory
7138:McMahon, D. (2008),
7114:University of London
6831:Pincherle derivative
6749:
6671:
6629:
6609:
6589:
6569:
6445:
6436:general Leibniz rule
6430:General Leibniz rule
6372:
6287:
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6214:
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6135:
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3737:
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3289:
3050:
2819:
2807:{\displaystyle =+++}
2702:
2627:
2477:
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2354:{\displaystyle =A+B}
2288:
2138:
2027:
2015:{\displaystyle =C+B}
1949:
1820:
1766:
1727:
1652:
1574:{\displaystyle _{-}}
1546:
1535:{\displaystyle _{+}}
1507:
1451:
1353:
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1108:
1065:
874:
689:
604:
523:
441:
363:
299:
247:
7170:; Snow, J. (2005),
7061:2014TMP...179..550L
6988:Griffiths, David J.
6938:, pp. 140–142)
6521:
6364:By contrast, it is
6024:
4783:formal power series
1933:, while (4) is the
1344:associative algebra
159:commutator subgroup
7084:Liboff, Richard L.
6841:Ternary commutator
6775:
6727:
6657:
6615:
6595:
6575:
6552:
6507:
6416:
6351:
6266:
6237:
6200:
6146:
6121:
6010:
5993:
5907:
5759:
5638:This mapping is a
5625:
5544:
5496:
5472:Adjoint derivation
5458:
5360:When dealing with
5343:
5047:
5013:Adjoint derivation
5001:
4767:
4749:
4663:
4571:
4416:
4272:
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3821:
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2804:
2690:{\displaystyle =+}
2687:
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2462:
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2123:
2012:
1916:
1808:{\displaystyle =-}
1805:
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1751:
1715:{\displaystyle =+}
1712:
1571:
1532:
1490:
1392:
1342:of a ring (or any
1309:
1198:
1080:
1022:Hall–Witt identity
1007:
860:
674:
590:
508:
427:
348:
284:
7245:Binary operations
7153:978-0-07-154382-8
7123:978-0-902480-17-9
7021:Topics In Algebra
6795:Anticommutativity
6618:{\displaystyle y}
6578:{\displaystyle x}
6499:
6089:
6083:
6043:
6037:
5824:
5818:
5692:
5686:
5366:graded commutator
5225:
5210:
5157:
4971:
4965:
4916:
4871:
4833:
4827:
4748:
1931:anticommutativity
1606:quantum mechanics
1583:Clifford algebras
1297:
1215:is central, then
213:. The expression
100:, is the element
85:of two elements,
16:(Redirected from
7257:
7235:Abstract algebra
7221:
7196:
7156:
7134:
7104:
7090:(4th ed.),
7079:
7054:
7033:
7012:
6998:(2nd ed.),
6997:
6983:
6950:
6945:
6939:
6933:
6927:
6922:
6916:
6910:
6904:
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6892:
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6880:
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6862:
6817:a.k.a. commutant
6784:
6782:
6781:
6776:
6761:
6760:
6736:
6734:
6733:
6728:
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6700:
6666:
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6273:
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6267:
6265:
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6244:
6243:
6238:
6227:
6209:
6207:
6206:
6201:
6190:
6170:
6155:
6153:
6152:
6147:
6145:
6131:We may consider
6130:
6128:
6127:
6122:
6087:
6081:
6067:
6066:
6053:
6052:
6041:
6035:
6023:
6018:
6002:
6000:
5999:
5994:
5949:
5948:
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5841:
5836:
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5794:
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5766:
5765:
5760:
5745:
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5739:
5707:
5706:
5701:
5690:
5684:
5670:
5669:
5664:
5634:
5632:
5631:
5626:
5573:
5572:
5553:
5551:
5550:
5545:
5531:
5530:
5525:
5506:, we define the
5505:
5503:
5502:
5497:
5467:
5465:
5464:
5459:
5448:
5447:
5402:
5401:
5352:
5350:
5349:
5344:
5339:
5335:
5328:
5324:
5296:
5279:
5226:
5218:
5211:
5209:
5198:
5169:
5158:
5156:
5145:
5113:
5112:
5100:
5099:
5087:
5086:
5077:
5076:
5056:
5054:
5053:
5048:
5046:
5045:
5010:
5008:
5007:
5002:
4988:
4987:
4986:
4985:
4969:
4963:
4917:
4915:
4904:
4872:
4870:
4859:
4831:
4825:
4824:
4823:
4808:
4807:
4790:Hadamard's lemma
4788:In such a ring,
4776:
4774:
4773:
4768:
4760:
4759:
4750:
4747:
4736:
4700:
4699:
4672:
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