4446:
4243:
3416:
4248:
2698:
211:
4062:
3857:
3261:
2875:
2537:
2211:
73:
4441:{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}
2402:
78:
3676:
611:
4238:{\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}
2783:
709:
2947:
2072:
4057:
1504:
3088:
3636:
1373:
3411:{\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}
528:
3997:
3576:
1657:
1577:
2693:{\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}
1094:
2277:
206:{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}
362:, where it is customary to replace the bars over the basis vectors and the components of geometric objects by dots put above the indices. Scalar-valued antilinear maps often arise when dealing with
3035:
792:
1759:
2067:
3523:
2491:
539:
2774:
1424:
1002:
3256:
1691:
3477:
3181:
2988:
3947:
2017:
1925:
1611:
1183:
911:
1239:
3672:
2731:
2532:
845:
2439:
644:
296:
1261:
1137:
954:
3910:
3443:
3218:
3147:
2249:
743:
243:
56:
3852:{\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}
1455:
1266:
2272:
1888:
1837:
1527:
323:
269:
3879:
3116:
2459:
1976:
1953:
1857:
1807:
1451:
877:
812:
635:
442:
419:
3638:) is consistent with the dual norm (that is, as defined above by the supremum over the unit ball); explicitly, this means that the following holds for every
2880:
453:
2870:{\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}
4002:
3040:
1616:
3581:
1007:
2206:{\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}
4630:
4543:
4477:
1696:
3952:
4611:
4596:
3578:
are antilinear in their second arguments. Moreover, the canonical norm induced by this inner product (that is, the norm defined by
1531:
3528:
1662:
4657:
4456:
4468:
1582:
815:
2993:
751:
882:
4499:
1188:
4667:
2022:
3482:
2464:
2397:{\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}
1378:
2736:
959:
3224:
3448:
3152:
2963:
1860:
1770:
4662:
3915:
1985:
1893:
1139:
We can extend this to any finite dimensional complex vector space, where if we write out the standard basis
24:
1142:
3188:
2222:
532:
394:
340:
4618:
3641:
2703:
1506:
is a special example because it is isomorphic to the real dual of the underlying real vector space of
820:
606:{\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}
4494:
2496:
2417:
359:
274:
59:
4482:
3882:
3119:
366:
1244:
1099:
916:
3888:
3421:
3196:
3125:
2227:
4636:
4626:
4607:
4592:
4549:
4539:
4538:. Herbert Lange (Second, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg.
4505:
4462:
3184:
2412:
716:
351:
344:
299:
216:
29:
1812:
336:
328:
2254:
1870:
1819:
1509:
704:{\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}
305:
251:
3864:
3101:
2444:
1961:
1938:
1842:
1792:
1778:
1436:
862:
797:
620:
427:
404:
363:
246:
4651:
2954:
2942:{\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}
2777:
370:
1979:
446:
390:
332:
879:
of rank 1, we can construct an anti-linear dual map which is an anti-linear map
614:
20:
4052:{\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}
1499:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}
4511:
4488:
3083:{\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}
1774:
746:
355:
4640:
4553:
3631:{\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}
2217:
1659:
In the other direction, there is the inverse map sending a real dual vector
1368:{\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}
4533:
2950:
4485: – Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
523:{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}
3992:{\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}
613:
In contrast, a linear map is a function that is additive and
4430:
4393:
4342:
4294:
4230:
4200:
4156:
4115:
4039:
3982:
3931:
3897:
3837:
3795:
3755:
3656:
3619:
3571:{\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}
3561:
3508:
3464:
3430:
3401:
3362:
3319:
3287:
3240:
3205:
3168:
3134:
3075:
3055:
3022:
3002:
2934:
2921:
2827:
2807:
2758:
2718:
2683:
2644:
2605:
2557:
2386:
2297:
2236:
2195:
2099:
2049:
2001:
1982:
then the canonical norm on the (continuous) anti-dual space
1909:
1652:{\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }
1572:{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}
4567:
4565:
4563:
1789:
The vector space of all antilinear forms on a vector space
1089:{\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}
4473:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
4005:
3955:
3918:
3584:
3531:
3485:
2739:
2499:
2025:
1988:
1896:
4251:
4065:
3891:
3867:
3679:
3644:
3451:
3424:
3264:
3227:
3199:
3155:
3128:
3104:
3043:
3030:{\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}
2996:
2966:
2883:
2786:
2706:
2540:
2467:
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2257:
2230:
2075:
1964:
1941:
1873:
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1795:
1699:
1665:
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1585:
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885:
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542:
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430:
407:
308:
277:
254:
219:
76:
32:
4623:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
1579:
This is given by the map sending an anti-linear map
787:{\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}
1754:{\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}
4440:
4237:
4051:
3991:
3941:
3904:
3873:
3851:
3666:
3630:
3570:
3517:
3471:
3437:
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3250:
3212:
3175:
3141:
3110:
3082:
3029:
2982:
2941:
2869:
2768:
2725:
2692:
2526:
2485:
2453:
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2266:
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2011:
1970:
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1919:
1882:
1851:
1831:
1801:
1753:
1685:
1651:
1605:
1571:
1521:
1498:
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1418:
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703:
629:
605:
522:
436:
413:
317:
290:
263:
237:
205:
50:
4614:. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
4599:. (antilinear maps are discussed in section 3.3).
4502: – Theorem about the dual of a Hilbert space
3258:which this article will denote by the notations
2407:Canonical isometry between the dual and anti-dual
2215:This formula is identical to the formula for the
4491: – Mathematical function, in linear algebra
4465: – Fundamental operation on complex numbers
3681:
2776:This says exactly that the canonical antilinear
2314:
2116:
2062:{\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}
1433:The anti-linear dual of a complex vector space
3518:{\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}
1429:Isomorphism of anti-linear dual with real dual
745:may be equivalently described in terms of the
2486:{\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}
347:then antilinearity is the same as linearity.
8:
4377:
4358:
4326:
4307:
4285:
4252:
4191:
4172:
4147:
4128:
4099:
4066:
4023:
4006:
3973:
3956:
3828:
3815:
3786:
3773:
3746:
3739:
3691:
3685:
3545:
3532:
3499:
3486:
3385:
3372:
3346:
3333:
3310:
3297:
3278:
3265:
2769:{\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}
2667:
2660:
2548:
2541:
2324:
2318:
2288:
2281:
2126:
2120:
2083:
2076:
2033:
2026:
1419:{\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}
997:{\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }
3885:then the inner products on the dual space
3251:{\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}
1781:generalizes the class of antilinear maps.
1686:{\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }
4514: – Time reversal symmetry in physics
4508: – Generalization of a bilinear form
4429:
4419:
4401:
4392:
4382:
4380:
4375:
4371:
4366:
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4361:
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4331:
4329:
4324:
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4315:
4314:
4310:
4304:
4293:
4288:
4283:
4273:
4272:
4267:
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4256:
4255:
4250:
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4208:
4199:
4194:
4189:
4185:
4180:
4179:
4175:
4155:
4150:
4145:
4141:
4136:
4135:
4131:
4125:
4114:
4104:
4102:
4097:
4087:
4086:
4081:
4080:
4070:
4069:
4064:
4038:
4028:
4026:
4021:
4017:
4013:
4009:
4004:
3981:
3976:
3971:
3967:
3963:
3959:
3954:
3930:
3920:
3917:
3896:
3890:
3866:
3836:
3831:
3813:
3794:
3789:
3771:
3754:
3749:
3731:
3714:
3684:
3678:
3655:
3643:
3618:
3613:
3591:
3583:
3560:
3550:
3548:
3530:
3507:
3502:
3484:
3479:into Hilbert spaces. The inner products
3472:{\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}
3463:
3453:
3450:
3429:
3423:
3400:
3390:
3388:
3361:
3351:
3349:
3327:
3318:
3313:
3286:
3281:
3263:
3239:
3229:
3226:
3204:
3198:
3176:{\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}
3167:
3157:
3154:
3133:
3127:
3103:
3074:
3064:
3054:
3042:
3021:
3011:
3001:
2995:
2983:{\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }
2976:
2975:
2968:
2967:
2965:
2933:
2920:
2910:
2888:
2882:
2857:
2833:
2826:
2816:
2806:
2785:
2757:
2747:
2738:
2717:
2705:
2682:
2672:
2670:
2643:
2638:
2624:
2613:
2604:
2594:
2592:
2578:
2556:
2551:
2539:
2500:
2498:
2466:
2446:
2421:
2419:
2385:
2370:
2364:
2347:
2317:
2296:
2291:
2279:
2256:
2235:
2229:
2194:
2184:
2172:
2166:
2149:
2119:
2098:
2088:
2086:
2074:
2069:is defined by using this same equation:
2048:
2038:
2036:
2024:
2000:
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1987:
1963:
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1794:
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1679:
1678:
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1645:
1644:
1618:
1599:
1598:
1584:
1559:
1558:
1543:
1542:
1541:
1536:
1533:
1511:
1489:
1488:
1466:
1465:
1463:
1457:
1438:
1409:
1408:
1399:
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2012:{\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}
1920:{\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}
1606:{\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }
4571:
4625:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
4478:Fundamental theorem of Hilbert spaces
327:Antilinear maps stand in contrast to
7:
421:is a scalar-valued antilinear map.
1241:then an anti-linear complex map to
1185:and each standard basis element as
1178:{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
906:{\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }
196: (conjugate homogeneity)
4606:Cambridge University Press, 1985.
3090:reduces down to the identity map.
1234:{\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}
16:Conjugate homogeneous additive map
14:
3667:{\displaystyle f\in X^{\prime }:}
377:Definitions and characterizations
3122:then both the canonical norm on
2726:{\displaystyle f\in X^{\prime }}
2527:{\textstyle {\overline {f(x)}}.}
840:{\displaystyle {\overline {W}}.}
4400:
4207:
3418:where this inner product makes
3332:
3326:
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2832:
2618:
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2434:{\displaystyle {\overline {f}}}
2369:
2171:
1863:, then the vector space of all
681:
583:
505:
291:{\displaystyle {\overline {s}}}
193:
136:
4587:Budinich, P. and Trautman, A.
4532:Birkenhake, Christina (2004).
4469:Complex conjugate vector space
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859:Given a complex vector space
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1955:if no confusion can arise.
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1773:of two antilinear maps is a
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1096:for some fixed real numbers
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4471: – Mathematics concept
4459: – Functional equation
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3193:canonical inner product on
3142:{\displaystyle X^{\prime }}
2244:{\displaystyle X^{\prime }}
692: and all scalars
684: for all vectors
594: and all scalars
586: for all vectors
508: for all vectors
343:. If the vector spaces are
4684:
1929:continuous anti-dual space
1867:antilinear functionals on
4591:. Springer-Verlag, 1988.
4535:Complex Abelian Varieties
350:Antilinear maps occur in
4589:The Spinorial Chessboard
3949:denoted respectively by
3912:and the anti-dual space
3191:can be used to define a
1861:topological vector space
1761:giving the desired map.
738:{\displaystyle f:V\to W}
238:{\displaystyle x,y\in V}
139: (additivity)
51:{\displaystyle f:V\to W}
3187:, which means that the
3037:and this canonical map
2877:as well as its inverse
4658:Functions and mappings
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2274:which is defined by
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4403: for all
4210: for all
3883:inner product space
3120:inner product space
913:sending an element
530:while it is called
4668:Types of functions
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