25:
3373:
2712:
3068:
1474:
3060:
2447:
2215:
1260:
2669:
881:
1725:
3368:{\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)=x^{n}{}_{k+p}F_{q}\left({a_{1}},{a_{2}},\ldots ,{a_{p}},\Delta (k,-n);{b_{1}},{b_{2}},\ldots ,{b_{q}};{\frac {m}{x^{k}}}\right),\quad n,m\in \mathbb {N} _{0},k\in \mathbb {N} }
1116:
754:
1311:
1863:
2934:
263:
506:
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1977:
2854:
175:
3507:
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3751:
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1567:
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984:
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2906:
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637:
2733:
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54:
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1504:
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1134:
2926:
2696:
2537:
2517:
2470:
2264:
1886:
1597:
1303:
1283:
2559:
771:
1632:
995:
4043:
1907:
The set of all Appell sequences is closed under the operation of umbral composition of polynomial sequences, defined as follows. Suppose
648:
1469:{\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}}
2757:
76:
3055:{\displaystyle -{\frac {n}{k}},-{\frac {n-1}{k}},\ldots ,-{\frac {n-k+1}{k}},\quad n\in {\mathbb {N} }_{0},k\in \mathbb {N} .}
3920:
2442:{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq \ell \leq k\leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}
4101:
183:
1768:
429:
1982:
1910:
37:
4096:
2780:
47:
41:
33:
107:
3429:
2774:) defines this concept in a different way, conflicting with Appell's original definition, by using the identity
58:
2867:
The enormous class of Appell polynomials can be obtained in terms of the generalized hypergeometric function.
3969:
558:
3691:
4091:
3634:
1516:
898:
345:
2210:{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ and }}q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}.}
3803:
4127:
1889:
945:
379:
361:
98:
4053:
Bedratyuk, L.; Luno, N. (2020). "Some
Properties of Generalized Hypergeometric Appell Polynomials".
3756:
2553:. That it is abelian can be seen by considering the fact that every Appell sequence is of the form
3380:
2873:
2675:
1896:
1507:
341:
102:
4062:
4026:
3512:
609:
357:
310:
4039:
3868:
3566:
2543:
2223:
517:
349:
271:
2720:
1733:
1255:{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}
4072:
4006:
3978:
3951:
3910:
353:
2475:
1602:
1482:
3915:
3606:
1573:
2664:{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}
876:{\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x^{n},}
2911:
2726:
2681:
2674:
and that umbral composition of Appell sequences corresponds to multiplication of these
2522:
2502:
2455:
2249:
1871:
1582:
1288:
1268:
3939:
1720:{\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)}
372:
The following conditions on polynomial sequences can easily be seen to be equivalent:
4121:
4011:
3994:
3983:
3964:
2547:
4108:
3925:
1577:
90:
356:, but most Sheffer sequences are not Appell sequences. Appell sequences have a
4076:
2539:, since this refers to the sequence as a whole rather than one of its terms).
1762:
and the usual definition of composition of formal power series. Then we have
4112:
1868:(This formal differentiation of a power series in the differential operator
4017:
Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
2550:
1111:{\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{n-k}.}
1899:, this reduces to the conventional recursion formula for that sequence.
3955:
749:{\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{n-k};}
307:
Among the most notable Appell sequences besides the trivial example
4067:
1265:
where the last equality is taken to define the linear operator
2705:
18:
2542:
Under this operation, the set of all
Sheffer sequences is a
3993:
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973).
2738:
561:
3871:
3806:
3759:
3694:
3637:
3609:
3569:
3515:
3432:
3383:
3071:
2937:
2914:
2876:
2783:
2684:
2562:
2525:
2505:
2478:
2458:
2275:
2252:
2226:
2060:
1985:
1913:
1874:
1771:
1736:
1635:
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612:
520:
432:
382:
313:
274:
186:
110:
258:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}
3944:
1858:{\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}
501:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
3893:
3857:
3792:
3745:
3680:
3624:
3596:
3551:
3509:is the Appell sequence for any natural parameters
3501:
3411:
3367:
3054:
2920:
2900:
2848:
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2258:
2238:
2209:
2044:{\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}
2043:
1972:{\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \}}
1971:
1880:
1857:
1754:
1719:
1618:
1591:
1561:
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1468:
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1277:
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1110:
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875:
748:
631:
598:
542:
500:
412:
332:
296:
257:
169:
3999:Journal of Mathematical Analysis and Applications
2770:Another convention followed by some authors (see
1730:by using the usual power series expansion of the
1064:
1051:
711:
698:
368:Equivalent characterizations of Appell sequences
46:but its sources remain unclear because it lacks
2849:{\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=p_{n-1}(x)}
170:{\displaystyle \{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }}
8:
3502:{\displaystyle \{A_{n,p,q}^{(k)}(a,b;m,x)\}}
3496:
3433:
3419:is the generalized hypergeometric function.
2546:, but the set of all Appell sequences is an
2038:
1986:
1966:
1914:
576:
562:
327:
314:
134:
111:
1479:be the inverse operator, the coefficients
4066:
4036:An Introduction to Orthogonal Polynomials
4010:
3982:
3876:
3870:
3805:
3769:
3764:
3758:
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2784:
2782:
2758:Learn how and when to remove this message
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1527:
1518:
1506:being those of the usual reciprocal of a
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1484:
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187:
185:
137:
118:
109:
77:Learn how and when to remove this message
3963:Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978).
599:{\textstyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty }}
2519:th term of that sequence, but not in
7:
3865:they become the Hermite polynomials
3753:become the Gould-Hopper polynomials
3746:{\displaystyle A_{n,p,q}^{(k)}(m,x)}
1599:as representing the Appell sequence
2051:are polynomial sequences, given by
1903:Subgroup of the Sheffer polynomials
3681:{\displaystyle m=(-1)^{k}h{k^{k}}}
3226:
2877:
2606:
1675:
1562:{\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}
1429:
1359:
1181:
1055:
929:{\displaystyle D={\frac {d}{dx}};}
818:
702:
591:
14:
2863:Hypergeometric Appell polynomials
2246:is the polynomial sequence whose
762:For the same sequence of scalars,
3858:{\displaystyle p=0,q=0,m=-2,k=2}
2710:
23:
4038:. Gordon and Breach, New York.
3326:
3014:
1576:, one often treats this formal
1285:on the space of polynomials in
979:{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
413:{\displaystyle n=1,2,3,\ldots }
4034:Theodore Seio Chihara (1978).
3921:Generalized Appell polynomials
3888:
3882:
3793:{\displaystyle g_{n}^{m}(x,h)}
3787:
3775:
3740:
3728:
3723:
3717:
3654:
3644:
3493:
3469:
3464:
3458:
3244:
3229:
3129:
3105:
3100:
3094:
2895:
2880:
2843:
2837:
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2809:
2579:
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2357:
2304:
2298:
2295:
2276:
2151:
2145:
2077:
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2005:
1999:
1933:
1927:
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1842:
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1822:
1809:
1800:
1794:
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1749:
1743:
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1533:
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1148:
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1080:
1021:
1009:
791:
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668:
662:
537:
531:
495:
489:
464:
458:
291:
285:
249:
243:
218:
212:
130:
124:
1:
3940:"Sur une classe de polynĂ´mes"
3412:{\displaystyle {}_{k+p}F_{q}}
2901:{\displaystyle \Delta (k,-n)}
360:interpretation as systems of
352:. Every Appell sequence is a
4012:10.1016/0022-247X(73)90172-8
3984:10.1016/0001-8708(78)90087-7
2220:Then the umbral composition
4097:Encyclopedia of Mathematics
3552:{\displaystyle a,b,p,q,m,k}
632:{\displaystyle c_{0}\neq 0}
16:Type of polynomial sequence
4144:
3995:"Finite Operator Calculus"
3065:Consider the polynomial
1572:In the conventions of the
4077:10.15330/cmp.12.1.129-137
1890:Pincherle differentiation
333:{\displaystyle \{x^{n}\}}
3894:{\displaystyle H_{n}(x)}
3597:{\displaystyle p=0,q=0,}
2239:{\displaystyle p\circ q}
543:{\displaystyle p_{0}(x)}
304:is a non-zero constant.
297:{\displaystyle p_{0}(x)}
177:satisfying the identity
32:This article includes a
3970:Advances in Mathematics
3426:The polynomial family
2719:This section includes
1755:{\displaystyle \log(x)}
550:is a non-zero constant;
61:more precise citations.
3895:
3859:
3794:
3747:
3682:
3626:
3598:
3553:
3503:
3413:
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2922:
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600:
544:
502:
414:
334:
298:
259:
171:
4055:Carpathian Math. Publ
3965:"The Umbral Calculus"
3938:Appell, Paul (1880).
3896:
3860:
3795:
3748:
3688:then the polynomials
3683:
3627:
3599:
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3370:
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2492:{\displaystyle p_{n}}
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545:
503:
415:
346:Bernoulli polynomials
335:
299:
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172:
4092:"Appell polynomials"
3869:
3804:
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