1429:
4381:
807:
3829:
1424:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}
3021:
4376:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}
2589:
6461:
6051:
2390:
3016:{\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}
5420:
33:
5011:
41:
6059:
5630:
2066:
7836:
5019:
8343:
8301:
8259:
8215:
8173:
8131:
4637:
6456:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}
6046:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
272:
2385:{\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}
7612:
5415:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
6710:
5006:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
2053:
7410:
3186:
5622:
7831:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}
3461:
2576:
6469:
3816:
6902:
1857:
3577:
7254:
3688:
3034:
8117:
In the following graphical representation of the principal values of the inverse hyperbolic functions, the branch cuts appear as discontinuities of the color. The fact that the whole branch cuts appear as discontinuities, shows that these principal values may not be extended into analytic functions
5428:
1558:
8074:
1675:
92:. There are six main ones: inverse hyperbolic sine, inverse hyperbolic cosine, inverse hyperbolic tangent, inverse hyperbolic cosecant, inverse hyperbolic secant, and inverse hyperbolic cotangent. They are commonly denoted by the symbols for the hyperbolic functions, prefixed with
4621:
3286:
1849:
1762:
6705:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
2398:
7933:
7100:
belongs to one of the intervals of the imaginary axis. If the argument of the logarithm is real, then it is positive. Thus this formula defines a principal value for arsinh, with branch cuts . This is optimal, as the branch cuts must connect the singular points
7939:
It is defined except when the arguments of the logarithm and the square root are non-positive real numbers. The principal value of the square root is thus defined outside the interval of the imaginary line. If the argument of the logarithm is real, then
3696:
3273:
6951:. For specifying the branch, that is, defining which value of the multivalued function is considered at each point, one generally defines it at a particular point, and deduces the value everywhere in the domain of definition of the principal value by
2048:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}
6721:
6962:. This defines a single valued analytic function, which is defined everywhere, except for non-positive real values of the variables (where the two square roots have a zero real part). This principal value of the square root function is denoted
3469:
7211:
7405:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}
812:
3181:{\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}
3585:
7086:
5617:{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
1457:
7977:
1566:
4496:
8933:
3456:{\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}
2571:{\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}
4488:
1770:
1683:
7617:
7259:
6474:
6064:
5635:
5433:
5024:
4642:
3834:
2594:
2071:
1862:
7852:
6997:
For all inverse hyperbolic functions, the principal value may be defined in terms of principal values of the square root and the logarithm function. However, in some cases, the formulas of
8377:
8335:
8293:
8249:
8207:
8165:
3811:{\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}
7546:
7480:
375:
334:
3194:
6994:
has the smallest absolute value. It is defined everywhere except for non-positive real values of the variable, for which two different values of the logarithm reach the minimum.
8926:
6897:{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}
4416:
3572:{\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}
694:
496:
650:
538:
174:
6984:
611:
8415:
7604:
578:
7451:
In view of a better numerical evaluation near the branch cuts, some authors use the following definitions of the principal values, although the second one introduces a
7138:
791:
7526:
8919:
3683:{\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}
7566:
7500:
7126:
is not convenient, since similar to the principal values of the logarithm and the square root, the principal value of arcosh would not be defined for imaginary
448:
Also common is the notation sinh, cosh, etc.; though care must be taken to avoid misinterpretation of the as an exponent. The standard convention is that sinh
7019:
7415:
for the definition of the principal values of the inverse hyperbolic tangent and cotangent. In these formulas, the argument of the logarithm is real iff
6931:, which is a single valued analytic function which coincides with one specific branch of the multivalued function, over a domain consisting of the
1553:{\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
8069:{\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}
580:
Especially inconsistent is the conventional use of positive integer superscripts to indicate an exponent rather than function composition, e.g.
9002:
9028:
8694:
1670:{\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
8444:
4616:{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}
8773:
8609:
8589:
8461:
1844:{\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}
1757:{\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}
8685:
8966:
6916:
89:
4421:
8703:
8637:
8405:
7971:
Here, as in the case of the inverse hyperbolic cosine, we have to factorize the square root. This gives the principal value
8904:
7928:{\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)}
8899:
7232:
is real and has the same sign. Thus, the above formula defines a principal value of arcosh outside the real interval
737:
In computer programming languages, inverse circular and hyperbolic functions are often named with the shorter prefix
8894:
32:
8751:
6955:. When possible, it is better to define the principal value directly—without referring to analytic continuation.
8350:
8308:
8266:
8222:
8180:
8138:
8820:
refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...
8580:
Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, WT; Flannery, B.P. (1992). "§ 5.6. Quadratic and Cubic
Equations".
7531:
7465:
3268:{\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}
339:
8954:
8756:
7001:
do not give a correct principal value, as giving a domain of definition which is too small and, in one case
281:
40:
541:
430:
418:
248:
7452:
6958:
For example, for the square root, the principal value is defined as the square root that has a positive
6952:
1443:
236:
220:
240:
232:
68:
with respect to a unit circle. The argument to the hyperbolic functions is a hyperbolic angle measure.
8971:
6920:
4389:
757:
658:
85:
459:
103:
For a given value of a hyperbolic function, the inverse hyperbolic function gives the corresponding
616:
501:
216:
133:
8747:
8689:
8597:
8494:
6965:
583:
260:
8540:
7571:
7206:{\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}
546:
8769:
8699:
8633:
8605:
8585:
8556:
8457:
8440:
8400:
6924:
798:
794:
761:
438:
189:
7444:
Therefore, these formulas define convenient principal values, for which the branch cuts are
767:
8872:
8761:
8521:
8486:
7946:
is a non-zero real number, and this implies that the argument of the logarithm is positive.
7505:
4386:
These formulas can be derived from the derivatives of hyperbolic functions. For example, if
442:
434:
104:
81:
8384:
Inverse hyperbolic functions in the complex z-plane: the colour at each point in the plane
8959:
8809:
are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function
8658:, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with
8385:
8085:
is real, and it follows that both principal values of square roots are defined, except if
7002:
6928:
703:
201:
181:
8911:
17:
8880:
8738:
7551:
7485:
7081:{\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}
6991:
6936:
1435:
426:
276:
271:
256:
228:
128:
9022:
8849:
6932:
6927:, except at a finite number of points. For such a function, it is common to define a
252:
8477:
Birman, Graciela S.; Nomizu, Katsumi (1984). "Trigonometry in
Lorentzian Geometry".
8625:
8525:
8490:
6944:
8825:
445:(argument to the hyperbolic functions) is indeed the length of a hyperbolic arc.
8410:
1439:
727:
197:
73:
8816:
has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name
8765:
8342:
8300:
8258:
8214:
8172:
8130:
8119:
7950:
6948:
124:
8742:
8692:; Schwarz, Hans Rudolf (2004). "§ 0.2.13 The inverse hyperbolic functions".
6959:
6940:
8841:
6986:
in what follows. Similarly, the principal value of the logarithm, denoted
8997:
224:
215:
Hyperbolic functions occur in the calculation of angles and distances in
8109:, there is a singular point that is included in one of the branch cuts.
204:. Alternately hyperbolic angle is the area of a sector of the hyperbola
8992:
8498:
244:
7949:
Thus, the principal value is defined by the above formula outside the
7216:
The principal values of the square roots are both defined, except if
56:
with respect to a unit hyperbola are analogous to circular functions
8754:; Musiol, Gerhard; Heiner, Mühlig (2007). "§ 2.10: Area Functions".
8454:
Mathematical methods for wave propagation in science and engineering
9007:
8698:. Translated by Hunt, Bruce. Oxford University Press. p. 68.
270:
193:
39:
31:
8784:
are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e., the
7963:, there is a singular point that is included in the branch cut.)
8842:"Identities with inverse hyperbolic and trigonometric functions"
7240:
Principal values of the inverse hyperbolic tangent and cotangent
185:
8915:
8118:
defined over larger domains. In other words, the above defined
7013:
The principal value of the inverse hyperbolic sine is given by
7092:
7091:
The argument of the square root is a non-positive real number
1438:
arguments, the inverse circular and hyperbolic functions, the
200:
in the
Euclidean plane or twice the area of the corresponding
389:
The earliest and most widely adopted symbols use the prefix
7421:
is real. For artanh, this argument is in the real interval
4631:
Expansion series can be obtained for the above functions:
2582:
Composition of hyperbolic and inverse hyperbolic functions
726:) should be preferred. Following this recommendation, the
381:
is twice the area between the ray, the hyperbola, and the
8710:
The Latin names for the inverse hyperbolic functions are
4483:{\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}
8745:
ceased to be in common use in mathematical literature.
7132:. Thus the square root has to be factorized, leading to
3027:
Composition of inverse hyperbolic and circular functions
208:= 1. Some authors call the inverse hyperbolic functions
8512:
Sobczyk, Garret (1995). "The hyperbolic number plane".
7245:
7122:
The formula for the inverse hyperbolic cosine given in
6998:
6990:
in what follows, is defined as the value for which the
7781:
7734:
7677:
7637:
4424:
2363:
2217:
2128:
8353:
8311:
8269:
8225:
8183:
8141:
7980:
7953:, consisting of the interval of the imaginary line.
7855:
7615:
7574:
7554:
7534:
7508:
7488:
7468:
7257:
7141:
7022:
6968:
6724:
6472:
6062:
5633:
5431:
5022:
4640:
4499:
4392:
3832:
3699:
3588:
3472:
3289:
3197:
3037:
2592:
2401:
2069:
1860:
1773:
1686:
1569:
1460:
810:
770:
661:
619:
586:
549:
504:
462:
342:
284:
136:
8666:
ea, as is demonstrated by their full Latin names, ¶
8985:
8947:
8371:
8329:
8287:
8243:
8201:
8159:
8068:
7927:
7842:Principal value of the inverse hyperbolic cosecant
7830:
7598:
7560:
7540:
7520:
7494:
7474:
7404:
7205:
7080:
6978:
6896:
6704:
6455:
6045:
5616:
5414:
5005:
4615:
4482:
4410:
4375:
3810:
3682:
3571:
3455:
3267:
3180:
3015:
2570:
2384:
2047:
1843:
1756:
1669:
1552:
1423:
785:
688:
644:
605:
572:
532:
490:
369:
328:
219:. They also occur in the solutions of many linear
168:
8416:List of integrals of inverse hyperbolic functions
7226:. If the argument of the logarithm is real, then
7967:Principal value of the inverse hyperbolic secant
7118:Principal value of the inverse hyperbolic cosine
698:Because the argument of hyperbolic functions is
8079:If the argument of a square root is real, then
6715:An asymptotic expansion for arsinh is given by
429:("Lorentzian circle") in the Lorentzian plane (
7846:For arcsch, the principal value is defined as
7123:
7009:Principal value of the inverse hyperbolic sine
744:This article will consistently use the prefix
8927:
8737:, etc.; note that the quoted Latin names are
8:
8584:(2nd ed.). Cambridge University Press.
8091:is real and belongs to one of the intervals
7448:and for the inverse hyperbolic cotangent.
6947:) have been removed. These arcs are called
8934:
8920:
8912:
8877:Projective Geometry and Projective Metrics
8372:{\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)}
8330:{\displaystyle \operatorname {arsech} (z)}
8288:{\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)}
8244:{\displaystyle \operatorname {artanh} (z)}
8202:{\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)}
8160:{\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)}
36:Graphs of the inverse hyperbolic functions
8456:. Vol. 1. Ediciones UC. p. 89.
8352:
8310:
8268:
8224:
8182:
8140:
8040:
8038:
8037:
8019:
8017:
8004:
7979:
7919:
7903:
7894:
7892:
7879:
7854:
7809:
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7780:
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7755:
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7658:
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7616:
7614:
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7553:
7533:
7507:
7487:
7467:
7368:
7348:
7298:
7278:
7258:
7256:
7246:§ Definitions in terms of logarithms
7199:
7195:
7182:
7169:
7140:
7074:
7070:
7056:
7050:
7021:
6999:§ Definitions in terms of logarithms
6969:
6967:
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6874:
6852:
6816:
6809:
6797:
6785:
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6336:
6325:
6308:
6270:
6264:
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6168:
6150:
6144:
6130:
6108:
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6063:
6061:
5978:
5972:
5959:
5937:
5910:
5894:
5884:
5873:
5839:
5833:
5791:
5770:
5764:
5734:
5713:
5707:
5693:
5677:
5656:
5634:
5632:
5558:
5552:
5546:
5535:
5504:
5498:
5484:
5478:
5464:
5458:
5432:
5430:
5365:
5359:
5346:
5324:
5300:
5290:
5279:
5219:
5213:
5171:
5150:
5144:
5114:
5093:
5087:
5073:
5023:
5021:
4947:
4941:
4928:
4906:
4879:
4863:
4853:
4842:
4811:
4805:
4763:
4745:
4739:
4709:
4691:
4685:
4671:
4641:
4639:
4601:
4585:
4568:
4556:
4533:
4500:
4498:
4469:
4457:
4431:
4423:
4391:
4361:
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3989:
3971:
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3943:
3938:
3910:
3898:
3880:
3870:
3865:
3837:
3833:
3831:
3781:
3774:
3733:
3727:
3698:
3668:
3656:
3627:
3611:
3587:
3556:
3540:
3511:
3495:
3471:
3426:
3419:
3376:
3369:
3337:
3319:
3312:
3288:
3196:
3156:
3104:
3036:
2998:
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2965:
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2920:
2904:
2851:
2841:
2825:
2788:
2776:
2723:
2713:
2697:
2657:
2649:
2643:
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2591:
2549:
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2362:
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2274:
2216:
2198:
2182:
2127:
2109:
2070:
2068:
2022:
2016:
2002:
1990:
1944:
1928:
1913:
1861:
1859:
1808:
1772:
1721:
1685:
1645:
1623:
1614:
1568:
1537:
1525:
1511:
1499:
1459:
1388:
1329:
1313:
1248:
1239:
1237:
1224:
1130:
1121:
1119:
1106:
1022:
1006:
943:
937:
854:
848:
811:
809:
769:
706:, some authors have condemned the prefix
660:
636:
618:
591:
585:
553:
548:
521:
503:
479:
461:
360:
356:
349:
341:
308:
289:
283:
154:
141:
135:
8437:Mathematics for Physicists and Engineers
8388:of the respective function at that point
8733:. Zeidler & al. use the notations
8426:
7541:{\displaystyle \operatorname {arcoth} }
7475:{\displaystyle \operatorname {artanh} }
7236:, which is thus the unique branch cut.
370:{\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}
8942:Trigonometric and hyperbolic functions
8760:(5th ed.). Springer. p. 91.
8630:Mathematics: From the Birth of Numbers
730:standard abbreviations use the prefix
702:the length of a hyperbolic arc in the
180:the length of a hyperbolic arc in the
8435:Weltner, Klaus; et al. (2014) .
6911:Principal values in the complex plane
329:{\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}
176:as measured in the Lorentzian plane (
7:
1442:, and the natural logarithm are all
192:. This is analogous to how circular
6919:, inverse hyperbolic functions are
6759:
456:) means the inverse function while
8827:Differential and Integral Calculus
8695:Oxford Users' Guide to Mathematics
6774:
6626:
6337:
5885:
5547:
5291:
4854:
1411:
1360:
1172:
1156:
980:
894:
878:
752:Definitions in terms of logarithms
25:
797:and then written in terms of the
8341:
8299:
8257:
8213:
8171:
8129:
7124:§ Inverse hyperbolic cosine
8680:area cosinus hyperbolicus, etc.
7441:belongs to the real interval .
6917:functions of a complex variable
6680:
6433:
6021:
5592:
5390:
4981:
4411:{\displaystyle x=\sinh \theta }
2989:
2983:
2856:
2850:
2728:
2722:
2648:
2642:
2361:
2215:
2126:
734:: arsinh, arcosh, artanh, etc.
689:{\displaystyle \sinh(\sinh x).}
196:is the length of an arc of the
90:inverse trigonometric functions
8895:"Inverse hyperbolic functions"
8557:"Inverse hyperbolic functions"
8541:"Inverse Hyperbolic Functions"
8526:10.1080/07468342.1995.11973712
8491:10.1080/00029890.1984.11971490
8406:Hyperbolic secant distribution
8366:
8360:
8324:
8318:
8282:
8276:
8238:
8232:
8196:
8190:
8154:
8148:
7593:
7581:
7196:
7160:
7071:
7041:
6752:
6743:
6656:
6641:
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6379:
6358:
6349:
5997:
5982:
5956:
5946:
5925:
5916:
5907:
5897:
5343:
5333:
5312:
5303:
5269:
5260:
5058:
5049:
4925:
4915:
4894:
4885:
4876:
4866:
4527:
4521:
4323:
4315:
4263:
4251:
4153:
4145:
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4056:
2999:
2991:
2952:
2940:
2898:
2886:
2819:
2807:
2770:
2758:
2691:
2679:
2658:
2650:
2616:
2604:
2414:
2408:
2356:
2318:
2286:
2264:
2210:
2172:
2121:
2099:
1956:
1937:
1934:
1915:
1657:
1638:
1635:
1616:
680:
668:
633:
620:
518:
511:
491:{\displaystyle (\sinh x)^{-1}}
476:
463:
364:
343:
243:is important in many areas of
1:
9003:Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā
8632:. W. W. Norton. p. 539.
8479:American Mathematical Monthly
7222:belongs to the real interval
793:they may be solved using the
645:{\displaystyle (\sinh x)^{2}}
533:{\displaystyle \sinh(x)^{-1}}
169:{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
9029:Inverse hyperbolic functions
8824:Bacon, Harold Maile (1942).
8786:inverse hyperbolic functions
8582:Numerical Recipes in FORTRAN
8386:represents the complex value
6935:in which a finite number of
764:of the exponential function
78:inverse hyperbolic functions
8900:Encyclopedia of Mathematics
8830:. McGraw-Hill. p. 203.
8724:area cotangens hyperbolicus
8561:Encyclopedia of Mathematics
8514:College Mathematics Journal
6979:{\displaystyle {\sqrt {x}}}
606:{\displaystyle \sinh ^{2}x}
223:(such as the equation of a
9045:
8752:Semendyayev, Konstantin A.
8644:Another form of notation,
8439:(2nd ed.). Springer.
7599:{\displaystyle z\in [0,1)}
7548:differ for real values of
7482:differ for real values of
710:, arguing that the prefix
573:{\displaystyle 1/\sinh x.}
123:. Hyperbolic angle is the
8875:and Paul J. Kelly (1953)
8766:10.1007/978-3-540-72122-2
8720:area tangens hyperbolicus
8716:area cosinus hyperbolicus
7462:. The two definitions of
210:hyperbolic area functions
44:The hyperbolic functions
18:Area tangens hyperbolicus
8604:. Springer. p. 71.
8113:Graphical representation
4355: for all real
4242: for all real
4141: for all real
4052: for all real
3973: for all real
3900: for all real
8757:Handbook of Mathematics
8712:area sinus hyperbolicus
8672:area sinus hyperbolicus
786:{\displaystyle \exp x,}
8741:, invented long after
8373:
8331:
8289:
8245:
8203:
8161:
8070:
7929:
7832:
7600:
7562:
7542:
7522:
7521:{\displaystyle z>1}
7496:
7476:
7406:
7244:The formulas given in
7207:
7082:
6980:
6898:
6778:
6706:
6630:
6457:
6341:
6047:
5889:
5618:
5551:
5416:
5295:
5007:
4858:
4617:
4484:
4412:
4377:
3812:
3684:
3573:
3457:
3269:
3182:
3017:
2572:
2386:
2049:
1845:
1758:
1671:
1554:
1444:multi-valued functions
1425:
787:
690:
646:
607:
574:
534:
492:
431:pseudo-Euclidean plane
419:inverse trig functions
417:; by analogy with the
386:
371:
330:
249:electromagnetic theory
221:differential equations
170:
69:
37:
27:Mathematical functions
8967:Inverse trigonometric
8452:Durán, Mario (2012).
8374:
8332:
8290:
8246:
8204:
8162:
8071:
7930:
7833:
7601:
7563:
7543:
7523:
7497:
7477:
7453:removable singularity
7407:
7208:
7083:
6981:
6953:analytic continuation
6921:multivalued functions
6899:
6758:
6707:
6610:
6458:
6321:
6048:
5869:
5619:
5531:
5417:
5275:
5008:
4838:
4618:
4485:
4413:
4378:
3813:
3685:
3574:
3458:
3270:
3183:
3018:
2573:
2387:
2050:
1846:
1759:
1672:
1555:
1426:
788:
691:
647:
613:conventionally means
608:
575:
535:
493:
372:
331:
274:
237:Cartesian coordinates
188:of the corresponding
171:
43:
35:
8351:
8309:
8267:
8223:
8181:
8139:
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7572:
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7506:
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7139:
7020:
6966:
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5631:
5429:
5020:
4638:
4497:
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3830:
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3195:
3035:
2590:
2399:
2067:
1858:
1771:
1684:
1567:
1458:
808:
768:
758:hyperbolic functions
659:
617:
584:
547:
502:
460:
340:
282:
134:
86:hyperbolic functions
8748:Bronshtein, Ilja N.
8690:Hackbusch, Wolfgang
8539:Weisstein, Eric W.
7431:belongs either to
217:hyperbolic geometry
107:, e.g. arsinh(sinh
88:, analogous to the
8977:Inverse hyperbolic
8846:math stackexchange
8602:Special Relativity
8369:
8327:
8285:
8241:
8199:
8157:
8066:
7925:
7828:
7826:
7790:
7743:
7686:
7646:
7596:
7558:
7538:
7518:
7492:
7472:
7402:
7400:
7203:
7078:
6976:
6894:
6702:
6700:
6453:
6451:
6043:
6041:
5614:
5612:
5412:
5410:
5003:
5001:
4613:
4480:
4408:
4373:
4371:
3808:
3680:
3569:
3453:
3265:
3178:
3013:
3011:
2568:
2382:
2380:
2367:
2221:
2132:
2045:
2043:
1841:
1754:
1667:
1550:
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