983:
2941:
2460:
6052:
31:
2936:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}
6361:
2110:
3869:
5140:
4845:
1661:
972:
4367:
3644:
57:
such that the difference from any succeeding term to its preceding term remains constant throughout the sequence. The constant difference is called common difference of that arithmetic progression. For instance, the sequence 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . is an arithmetic progression with a common
1809:
4122:
3656:
522:
Computation of the sum 2 + 5 + 8 + 11 + 14. When the sequence is reversed and added to itself term by term, the resulting sequence has a single repeated value in it, equal to the sum of the first and last numbers (2 + 14 = 16). Thus 16 × 5 = 80 is twice the sum.
4854:
4670:
341:, by grouping the numbers from both ends of the sequence into pairs summing to 101 and multiplying by the number of pairs. Regardless of the truth of this story, Gauss was not the first to discover this formula. Similar rules were known in antiquity to
5466:
1488:
828:
2346:
4218:
3497:
763:
3402:
4521:. If each pair of progressions in a family of doubly infinite arithmetic progressions have a non-empty intersection, then there exists a number common to all of them; that is, infinite arithmetic progressions form a
3295:
2105:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
1395:
1242:
5532:
3172:
4456:
1094:
1767:
4000:
3864:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
4859:
2465:
1493:
5135:{\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}
2213:
4840:{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left-2\right)\left(\kappa -\left\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}
656:
4210:
3036:
3938:
6243:
2447:
1477:
4663:
293:
220:
2976:
5575:
4628:
3992:
588:
5238:
3489:
1656:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}.\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}
982:
5192:
2172:
2133:
1699:
6233:
4570:
3065:
5233:
820:
793:
339:
153:
86:
967:{\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}
5886:
2239:
4590:
4499:
4479:
3445:
3425:
2392:
2372:
313:
126:
106:
4362:{\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}
3639:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
6326:
5496:
2247:
4525:. However, the intersection of infinitely many infinite arithmetic progressions might be a single number rather than itself being an infinite progression.
6167:
5522:
5752:
Stern, M. (1990). 74.23 A Mediaeval
Derivation of the Sum of an Arithmetic Progression. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
667:
6177:
3307:
5639:
5610:
597:
of terms being added (here 5), multiplying by the sum of the first and last number in the progression (here 2 + 14 = 16), and dividing by 2:
3181:
6172:
5761:
Høyrup, J. The "Unknown
Heritage": trace of a forgotten locus of mathematical sophistication. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008).
1253:
1100:
6341:
5932:
5879:
5511:
5481:
3073:
6321:
6223:
6213:
5737:
5708:
4517:
of any two doubly infinite arithmetic progressions is either empty or another arithmetic progression, which can be found using the
6331:
5501:
4384:
996:
1707:
4117:{\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}
5491:
4501:
is the common difference between terms. The formula is essentially the same as the formula for the standard deviation of a
6390:
6336:
6238:
5872:
5819:
4502:
1773:
6364:
6346:
5814:
2180:
6218:
6208:
6198:
6385:
6228:
5506:
4518:
4514:
603:
4135:
2988:
3887:
6313:
6135:
2400:
1406:
5975:
5514:, a set of integers constructed as an arithmetic progression is, but allowing several possible differences
4633:
252:
161:
6182:
5927:
5476:
1785:
5809:
5461:{\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}
2949:
6293:
6130:
5899:
4595:
246:
5553:
4700:
3943:
543:
6273:
6140:
5775:
34:
3453:
6114:
6099:
6071:
6051:
5990:
5558:
6203:
5700:
6303:
6104:
6076:
6030:
6020:
6000:
5985:
5847:
5828:
5792:
5733:
5704:
5635:
5606:
5486:
2979:
990:
To derive the above formula, begin by expressing the arithmetic series in two different ways:
5147:
2142:
2118:
1669:
6288:
6109:
6035:
6025:
6005:
5907:
5725:
5692:
5627:
5598:
5567:
5517:
4540:
3044:
5831:
5787:
5674:
Ross, H.E. & Knott, B.I. (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers,
798:
771:
318:
131:
64:
6066:
5995:
5783:
5197:
1400:
Adding the corresponding terms of both sides of the two equations and halving both sides:
2221:
6298:
6283:
6278:
5957:
5942:
4575:
4484:
4464:
3430:
3410:
3039:
2377:
2357:
2352:
2341:{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}
2136:
298:
111:
91:
30:
17:
5850:
6379:
6263:
5937:
5693:
354:
6268:
6010:
5952:
4522:
394:
5726:
5628:
5599:
4505:, interpreting the arithmetic progression as a set of equally probable outcomes.
1776:, interpreting the arithmetic progression as a set of equally probable outcomes.
768:
This formula works for any arithmetic progression of real numbers beginning with
6015:
5962:
5679:
5235:
arithmetic subsets and, counting directly, one sees that there are 9; these are
366:
362:
986:
Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.
382:
350:
342:
5947:
5855:
5836:
5762:
5527:
2216:
758:{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}
530:
378:
358:
346:
230:
3397:{\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}
2177:
This is a generalization of the facts that the product of the progression
1788:
of the members of a finite arithmetic progression with an initial element
5895:
50:
37:
of the arithmetic progression formulas using a rotated copy of the blocks
5571:
5864:
5654:
390:
1772:
The formula is essentially the same as the formula for the mean of a
386:
374:
370:
245:
According to an anecdote of uncertain reliability, in primary school
54:
3290:{\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}
3940:, the product of the terms of the arithmetic progression given by
1390:{\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}
1237:{\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}
981:
29:
5728:
Sourcebook in the
Mathematics of Medieval Europe and North Africa
5533:
Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
1666:
Furthermore, the mean value of the series can be calculated via:
5868:
3167:{\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}
533:
of the members of a finite arithmetic progression is called an
4833:
4451:{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
1089:{\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}
225:
A finite portion of an arithmetic progression is called a
1762:{\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}
229:
and sometimes just called an arithmetic progression. The
5774:
Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", in Graham, R. L.;
4378:
The standard deviation of any arithmetic progression is
5518:
Heronian triangles with sides in arithmetic progression
1803:
elements in total is determined in a closed expression
393:. Some find it likely that its origin goes back to the
5241:
5200:
5150:
257:
6244:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
6234:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
4857:
4673:
4636:
4598:
4578:
4543:
4487:
4467:
4387:
4221:
4138:
4003:
3946:
3890:
3659:
3500:
3456:
3433:
3413:
3310:
3184:
3076:
3047:
2991:
2952:
2463:
2403:
2380:
2360:
2250:
2224:
2183:
2145:
2121:
1812:
1710:
1672:
1491:
1409:
1256:
1103:
999:
831:
801:
774:
670:
606:
546:
321:
301:
255:
164:
134:
114:
94:
67:
61:
If the initial term of an arithmetic progression is
6312:
6256:
6191:
6160:
6153:
6123:
6092:
6085:
6059:
5971:
5915:
5906:
5791:. See in particular Section 2.5, "Helly Property",
593:This sum can be found quickly by taking the number
88:and the common difference of successive members is
5460:
5227:
5186:
5134:
4839:
4657:
4622:
4584:
4564:
4493:
4473:
4450:
4361:
4204:
4116:
3986:
3932:
3863:
3638:
3483:
3439:
3419:
3396:
3289:
3166:
3059:
3030:
2970:
2935:
2441:
2386:
2366:
2340:
2233:
2207:
2166:
2127:
2104:
1761:
1693:
1655:
1471:
1389:
1236:
1088:
966:
814:
787:
757:
650:
582:
333:
307:
287:
214:
147:
120:
100:
80:
5732:. Princeton University Press. pp. 91, 257.
233:of a finite arithmetic progression is called an
2208:{\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}
5676:British Journal for the History of Mathematics
4481:is the number of terms in the progression and
5880:
5680:https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
8:
6327:Hypergeometric function of a matrix argument
5497:Inequality of arithmetic and geometric means
5452:
5434:
5428:
5410:
5404:
5386:
5380:
5362:
5356:
5338:
5332:
5314:
5308:
5290:
5284:
5266:
5260:
5242:
4617:
4599:
661:In the case above, this gives the equation:
6183:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
651:{\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
6157:
6089:
5912:
5887:
5873:
5865:
5523:Problems involving arithmetic progressions
4789:
4739:
4205:{\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}
6239:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
5782:, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432,
5763:https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
5240:
5199:
5149:
5016:
4923:
4887:
4858:
4856:
4816:
4793:
4743:
4708:
4695:
4672:
4635:
4597:
4577:
4542:
4486:
4466:
4407:
4402:
4394:
4386:
4342:
4312:
4301:
4292:
4261:
4250:
4220:
4137:
4105:
4076:
4044:
4030:
4021:
4008:
4002:
3951:
3945:
3889:
3843:
3837:
3806:
3800:
3789:
3783:
3754:
3748:
3731:
3720:
3710:
3697:
3684:
3674:
3664:
3658:
3618:
3612:
3581:
3575:
3564:
3539:
3533:
3516:
3505:
3499:
3467:
3461:
3455:
3432:
3412:
3367:
3356:
3311:
3309:
3183:
3075:
3046:
2990:
2957:
2951:
2918:
2902:
2896:
2891:
2884:
2855:
2849:
2832:
2821:
2811:
2763:
2757:
2724:
2718:
2688:
2682:
2659:
2653:
2621:
2615:
2595:
2584:
2552:
2533:
2522:
2505:
2492:
2482:
2472:
2464:
2462:
2404:
2402:
2379:
2359:
2249:
2223:
2182:
2156:
2150:
2144:
2120:
2084:
2078:
2047:
2041:
2030:
2024:
1999:
1980:
1969:
1932:
1898:
1876:
1863:
1850:
1837:
1827:
1817:
1811:
1744:
1731:
1724:
1711:
1709:
1683:
1677:
1671:
1638:
1630:
1617:
1595:
1572:
1513:
1500:
1492:
1490:
1423:
1414:
1408:
1261:
1255:
1108:
1102:
1080:
1055:
1036:
1023:
1004:
998:
951:
924:
911:
897:
884:
866:
840:
830:
806:
800:
779:
773:
731:
701:
669:
633:
620:
607:
605:
545:
320:
300:
256:
254:
182:
169:
163:
139:
133:
113:
93:
72:
66:
4132:The product of the first 10 odd numbers
3031:{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
295:for summing the integers from 1 through
5634:. Walter de Gruyter. pp. 344–354.
5544:
4572:denote the number of subsets of length
4529:Amount of arithmetic subsets of length
3933:{\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }
1247:Rewriting the terms in reverse order:
5691:Sigler, Laurence E. (trans.) (2002).
2442:{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}
1472:{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}.}
7:
5780:Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2
5657:, John Hadley and David Singmaster,
5605:. Walter de Gruyter. pp. 3–15.
5578:from the original on 12 January 2012
4658:{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}
288:{\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}
6204:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
1482:This formula can be simplified as:
215:{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}
5512:Generalized arithmetic progression
4335:
4304:
4065:
4033:
3830:
3792:
3605:
3567:
3334:
3314:
3275:
3221:
3185:
3152:
3113:
3077:
3016:
2992:
2122:
2071:
2033:
27:Sequence of equally spaced numbers
25:
6322:Generalized hypergeometric series
5665:, #475 (March 1992), pp. 102–126.
2971:{\displaystyle x^{\overline {n}}}
537:. For example, consider the sum:
6360:
6359:
6332:Lauricella hypergeometric series
6050:
5724:Katz, Victor J. (edit.) (2016).
5502:Primes in arithmetic progression
2139:. The formula is not valid when
385:, and anonymous commentators of
6342:Riemann's differential equation
5601:Analysis, analytische Geometrie
4623:{\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}
5492:Arithmetico-geometric sequence
5216:
5204:
5181:
5169:
5163:
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4139:
3987:{\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}
3981:
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2014:
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583:{\displaystyle 2+5+8+11+14=40}
275:
263:
203:
191:
1:
6337:Modular hypergeometric series
6178:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
5655:Problems to Sharpen the Young
4503:discrete uniform distribution
1774:discrete uniform distribution
227:finite arithmetic progression
5699:. Springer-Verlag. pp.
3484:{\displaystyle a_{1}/d>0}
2962:
2923:
1716:
369:; and in medieval Europe to
6347:Theta hypergeometric series
5815:Encyclopedia of Mathematics
3447:a positive complex number.
6407:
6229:Infinite arithmetic series
6173:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
6168:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
5626:Tropfke, Johannes (1979).
5597:Tropfke, Johannes (1924).
5554:"Gauss's Day of Reckoning"
5507:Linear difference equation
4592:one can make from the set
2985:By the recurrence formula
479:
128:-th term of the sequence (
6355:
6048:
4519:Chinese remainder theorem
5832:"Arithmetic progression"
5659:The Mathematical Gazette
5187:{\textstyle (n,k)=(7,3)}
397:in the 5th century BC.
6060:Properties of sequences
5695:Fibonacci's Liber Abaci
3994:up to the 50th term is
3427:a positive integer and
2167:{\displaystyle a_{1}/d}
2128:{\displaystyle \Gamma }
1694:{\displaystyle S_{n}/n}
249:reinvented the formula
18:Arithmetic progressions
5923:Arithmetic progression
5630:Arithmetik und Algebra
5462:
5229:
5188:
5136:
4841:
4659:
4624:
4586:
4566:
4565:{\displaystyle a(n,k)}
4495:
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149:
122:
102:
82:
43:arithmetic progression
38:
6314:Hypergeometric series
5928:Geometric progression
5778:; Lovász, L. (eds.),
5552:Hayes, Brian (2006).
5477:Geometric progression
5463:
5230:
5228:{\textstyle a(7,3)=9}
5189:
5137:
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2444:
2389:
2369:
2343:
2241:and that the product
2236:
2210:
2174:is negative or zero.
2169:
2130:
2107:
1965:
1795:, common differences
1764:
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310:
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103:
83:
81:{\displaystyle a_{1}}
33:
6391:Sequences and series
6294:Trigonometric series
6086:Properties of series
5933:Harmonic progression
5482:Harmonic progression
5239:
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4533:of the set {1,...,n}
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247:Carl Friedrich Gauss
162:
132:
112:
92:
65:
6274:Formal power series
5851:"Arithmetic series"
5810:"Arithmetic series"
5572:10.1511/2006.59.200
3884:Taking the example
47:arithmetic sequence
35:Proof without words
6072:Monotonic function
5991:Fibonacci sequence
5848:Weisstein, Eric W.
5829:Weisstein, Eric W.
5559:American Scientist
5458:
5225:
5184:
5144:As an example, if
5132:
5130:
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