983:
2941:
2460:
6050:
31:
2936:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}
6359:
2110:
3869:
5140:
4845:
1661:
972:
4367:
3644:
57:
such that the difference from any succeeding term to its preceding term remains constant throughout the sequence. The constant difference is called common difference of that arithmetic progression. For instance, the sequence 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . is an arithmetic progression with a common
1809:
4122:
3656:
522:
Computation of the sum 2 + 5 + 8 + 11 + 14. When the sequence is reversed and added to itself term by term, the resulting sequence has a single repeated value in it, equal to the sum of the first and last numbers (2 + 14 = 16). Thus 16 × 5 = 80 is twice the sum.
4854:
4670:
341:, by grouping the numbers from both ends of the sequence into pairs summing to 101 and multiplying by the number of pairs. Regardless of the truth of this story, Gauss was not the first to discover this formula. Similar rules were known in antiquity to
5463:
1488:
828:
2346:
4218:
3497:
763:
3402:
4521:. If each pair of progressions in a family of doubly infinite arithmetic progressions have a non-empty intersection, then there exists a number common to all of them; that is, infinite arithmetic progressions form a
3295:
2105:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
1395:
1242:
5530:
3172:
4456:
1094:
1767:
4000:
3864:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
4859:
2465:
1493:
5135:{\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}
2213:
4840:{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left-2\right)\left(\kappa -\left\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}
656:
4210:
3036:
3938:
6241:
2447:
1477:
4663:
293:
220:
2976:
5238:
5573:
4628:
3992:
588:
3489:
5192:
1656:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}.\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}
982:
5233:
2172:
2133:
1699:
6231:
4570:
3065:
820:
793:
339:
153:
86:
967:{\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}
5884:
2239:
4590:
4499:
4479:
3445:
3425:
2392:
2372:
313:
126:
106:
4362:{\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}
3639:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
6324:
5494:
2247:
4525:. However, the intersection of infinitely many infinite arithmetic progressions might be a single number rather than itself being an infinite progression.
6165:
5520:
5750:
Stern, M. (1990). 74.23 A Mediaeval
Derivation of the Sum of an Arithmetic Progression. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
667:
6175:
3307:
5637:
5608:
597:
of terms being added (here 5), multiplying by the sum of the first and last number in the progression (here 2 + 14 = 16), and dividing by 2:
3181:
6170:
5759:
Høyrup, J. The "Unknown
Heritage": trace of a forgotten locus of mathematical sophistication. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008).
1253:
1100:
6339:
5930:
5877:
5509:
5479:
3073:
6319:
6221:
6211:
5735:
5706:
4517:
of any two doubly infinite arithmetic progressions is either empty or another arithmetic progression, which can be found using the
6329:
5499:
4384:
996:
1707:
4117:{\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}
5489:
4501:
is the common difference between terms. The formula is essentially the same as the formula for the standard deviation of a
6388:
6334:
6236:
5870:
5817:
4502:
1773:
6362:
6344:
5812:
2180:
6216:
6206:
6196:
6383:
6226:
5504:
4518:
4514:
603:
4135:
2988:
3887:
6311:
6133:
2400:
1406:
5973:
5512:, a set of integers constructed as an arithmetic progression is, but allowing several possible differences
4633:
252:
5458:{\displaystyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}}
161:
6180:
5925:
5474:
1785:
5807:
2949:
6291:
6128:
5897:
4595:
246:
5551:
4700:
3943:
543:
6271:
6138:
5773:
34:
3453:
6112:
6097:
6069:
6049:
5988:
5556:
5147:
6201:
5698:
6301:
6102:
6074:
6028:
6018:
5998:
5983:
5845:
5826:
5790:
5731:
5702:
5633:
5604:
5484:
5197:
2979:
990:
To derive the above formula, begin by expressing the arithmetic series in two different ways:
2142:
2118:
1669:
6286:
6107:
6033:
6023:
6003:
5905:
5723:
5690:
5625:
5596:
5565:
5515:
4540:
3044:
5829:
5785:
5672:
Ross, H.E. & Knott, B.I. (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers,
798:
771:
318:
131:
64:
6064:
5993:
5781:
1400:
Adding the corresponding terms of both sides of the two equations and halving both sides:
5235:
from the formula and if count manually we see that we got exactly 8 as well, that being:
2221:
17:
6296:
6281:
6276:
5955:
5940:
4575:
4484:
4464:
3430:
3410:
3039:
2377:
2357:
2352:
2341:{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}
2136:
298:
111:
91:
30:
5848:
6377:
6261:
5935:
5691:
354:
6266:
6008:
5950:
4522:
394:
5724:
5626:
5597:
4505:, interpreting the arithmetic progression as a set of equally probable outcomes.
1776:, interpreting the arithmetic progression as a set of equally probable outcomes.
768:
This formula works for any arithmetic progression of real numbers beginning with
6013:
5960:
5677:
366:
362:
986:
Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.
382:
350:
342:
5945:
5853:
5834:
5760:
5525:
2216:
758:{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}
530:
378:
358:
346:
230:
3397:{\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}
2177:
This is a generalization of the facts that the product of the progression
1788:
of the members of a finite arithmetic progression with an initial element
5893:
50:
37:
of the arithmetic progression formulas using a rotated copy of the blocks
5569:
5862:
5652:
390:
1772:
The formula is essentially the same as the formula for the mean of a
386:
374:
370:
245:
According to an anecdote of uncertain reliability, in primary school
54:
3290:{\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}
3940:, the product of the terms of the arithmetic progression given by
1390:{\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}
1237:{\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}
981:
29:
5726:
Sourcebook in the
Mathematics of Medieval Europe and North Africa
5531:
Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
1666:
Furthermore, the mean value of the series can be calculated via:
5866:
3167:{\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}
533:
of the members of a finite arithmetic progression is called an
4833:
4451:{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
1089:{\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}
225:
A finite portion of an arithmetic progression is called a
1762:{\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}
229:
and sometimes just called an arithmetic progression. The
5772:
Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", in Graham, R. L.;
4378:
The standard deviation of any arithmetic progression is
5516:
Heronian triangles with sides in arithmetic progression
1803:
elements in total is determined in a closed expression
393:. Some find it likely that its origin goes back to the
257:
6242:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
6232:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
5241:
5200:
5150:
4857:
4673:
4636:
4598:
4578:
4543:
4487:
4467:
4387:
4221:
4138:
4003:
3946:
3890:
3659:
3500:
3456:
3433:
3413:
3310:
3184:
3076:
3047:
2991:
2952:
2463:
2403:
2380:
2360:
2250:
2224:
2183:
2145:
2121:
1812:
1710:
1672:
1491:
1409:
1256:
1103:
999:
831:
801:
774:
670:
606:
546:
321:
301:
255:
164:
134:
114:
94:
67:
61:
If the initial term of an arithmetic progression is
6310:
6254:
6189:
6158:
6151:
6121:
6090:
6083:
6057:
5969:
5913:
5904:
5789:. See in particular Section 2.5, "Helly Property",
593:This sum can be found quickly by taking the number
88:and the common difference of successive members is
5457:
5227:
5186:
5134:
4839:
4657:
4622:
4584:
4564:
4493:
4473:
4450:
4361:
4204:
4116:
3986:
3932:
3863:
3638:
3483:
3439:
3419:
3396:
3289:
3166:
3059:
3030:
2970:
2935:
2441:
2386:
2366:
2340:
2233:
2207:
2166:
2127:
2104:
1761:
1693:
1655:
1471:
1389:
1236:
1088:
966:
814:
787:
757:
650:
582:
333:
307:
287:
214:
147:
120:
100:
80:
5730:. Princeton University Press. pp. 91, 257.
233:of a finite arithmetic progression is called an
2208:{\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}
5674:British Journal for the History of Mathematics
4481:is the number of terms in the progression and
5878:
5678:https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
8:
6325:Hypergeometric function of a matrix argument
5495:Inequality of arithmetic and geometric means
5452:
5434:
5428:
5410:
5404:
5386:
5380:
5362:
5356:
5338:
5332:
5314:
5308:
5290:
5284:
5266:
5260:
5242:
4617:
4599:
661:In the case above, this gives the equation:
6181:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
651:{\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
6155:
6087:
5910:
5885:
5871:
5863:
5521:Problems involving arithmetic progressions
4789:
4739:
4205:{\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}
6237:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
5780:, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432,
5761:https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
5240:
5199:
5149:
5016:
4923:
4887:
4858:
4856:
4816:
4793:
4743:
4708:
4695:
4672:
4635:
4597:
4577:
4542:
4486:
4466:
4407:
4402:
4394:
4386:
4342:
4312:
4301:
4292:
4261:
4250:
4220:
4137:
4105:
4076:
4044:
4030:
4021:
4008:
4002:
3951:
3945:
3889:
3843:
3837:
3806:
3800:
3789:
3783:
3754:
3748:
3731:
3720:
3710:
3697:
3684:
3674:
3664:
3658:
3618:
3612:
3581:
3575:
3564:
3539:
3533:
3516:
3505:
3499:
3467:
3461:
3455:
3432:
3412:
3367:
3356:
3311:
3309:
3183:
3075:
3046:
2990:
2957:
2951:
2918:
2902:
2896:
2891:
2884:
2855:
2849:
2832:
2821:
2811:
2763:
2757:
2724:
2718:
2688:
2682:
2659:
2653:
2621:
2615:
2595:
2584:
2552:
2533:
2522:
2505:
2492:
2482:
2472:
2464:
2462:
2404:
2402:
2379:
2359:
2249:
2223:
2182:
2156:
2150:
2144:
2120:
2084:
2078:
2047:
2041:
2030:
2024:
1999:
1980:
1969:
1932:
1898:
1876:
1863:
1850:
1837:
1827:
1817:
1811:
1744:
1731:
1724:
1711:
1709:
1683:
1677:
1671:
1638:
1630:
1617:
1595:
1572:
1513:
1500:
1492:
1490:
1423:
1414:
1408:
1261:
1255:
1108:
1102:
1080:
1055:
1036:
1023:
1004:
998:
951:
924:
911:
897:
884:
866:
840:
830:
806:
800:
779:
773:
731:
701:
669:
633:
620:
607:
605:
545:
320:
300:
256:
254:
182:
169:
163:
139:
133:
113:
93:
72:
66:
4132:The product of the first 10 odd numbers
3031:{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
295:for summing the integers from 1 through
5632:. Walter de Gruyter. pp. 344–354.
5542:
4572:denote the amount of subsets of length
4529:Amount of arithmetic subsets of length
3933:{\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }
1247:Rewriting the terms in reverse order:
5689:Sigler, Laurence E. (trans.) (2002).
2442:{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}
1472:{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}.}
7:
5778:Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2
5655:, John Hadley and David Singmaster,
5603:. Walter de Gruyter. pp. 3–15.
5576:from the original on 12 January 2012
4658:{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}
288:{\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}
6202:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
1482:This formula can be simplified as:
215:{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}
5510:Generalized arithmetic progression
4335:
4304:
4065:
4033:
3830:
3792:
3605:
3567:
3334:
3314:
3275:
3221:
3185:
3152:
3113:
3077:
3016:
2992:
2122:
2071:
2033:
27:Sequence of equally spaced numbers
25:
6320:Generalized hypergeometric series
5663:, #475 (March 1992), pp. 102–126.
2971:{\displaystyle x^{\overline {n}}}
537:. For example, consider the sum:
6358:
6357:
6330:Lauricella hypergeometric series
6048:
5722:Katz, Victor J. (edit.) (2016).
5500:Primes in arithmetic progression
2139:. The formula is not valid when
385:, and anonymous commentators of
6340:Riemann's differential equation
5599:Analysis, analytische Geometrie
4623:{\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}
5490:Arithmetico-geometric sequence
5216:
5204:
5181:
5169:
5163:
5151:
5120:
5096:
5087:
5084:
5072:
5063:
5060:
5048:
5037:
5025:
4998:
4974:
4965:
4953:
4944:
4932:
4908:
4896:
4877:
4865:
4801:
4790:
4751:
4740:
4689:
4677:
4652:
4640:
4559:
4547:
4438:
4426:
4423:
4411:
4403:
4395:
4282:
4267:
4199:
4139:
3987:{\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}
3981:
3969:
3391:
3379:
3343:
3337:
3329:
3317:
3284:
3278:
3269:
3257:
3254:
3242:
3236:
3224:
3218:
3206:
3200:
3188:
3161:
3155:
3146:
3134:
3128:
3116:
3110:
3098:
3092:
3080:
3025:
3019:
3007:
2995:
2789:
2777:
2567:
2545:
2427:
2415:
2329:
2317:
2311:
2299:
2287:
2275:
2269:
2257:
2014:
1992:
1959:
1953:
1941:
1925:
1913:
1891:
1888:
1869:
1643:
1627:
1601:
1582:
1556:
1550:
1538:
1523:
1463:
1457:
1445:
1433:
1375:
1363:
1357:
1342:
1330:
1324:
1312:
1303:
1297:
1291:
1279:
1270:
1228:
1222:
1210:
1201:
1195:
1189:
1177:
1168:
1156:
1141:
1135:
1123:
1068:
1056:
719:
707:
639:
613:
583:{\displaystyle 2+5+8+11+14=40}
275:
263:
203:
191:
1:
6335:Modular hypergeometric series
6176:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
5653:Problems to Sharpen the Young
4503:discrete uniform distribution
1774:discrete uniform distribution
227:finite arithmetic progression
5697:. Springer-Verlag. pp.
3484:{\displaystyle a_{1}/d>0}
2962:
2923:
1716:
369:; and in medieval Europe to
6345:Theta hypergeometric series
5813:Encyclopedia of Mathematics
5187:{\displaystyle (n,k)=(7,3)}
3447:a positive complex number.
6405:
6227:Infinite arithmetic series
6171:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
6166:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
5624:Tropfke, Johannes (1979).
5595:Tropfke, Johannes (1924).
5552:"Gauss's Day of Reckoning"
5505:Linear difference equation
4592:one can make from the set
2985:By the recurrence formula
479:
128:-th term of the sequence (
6353:
6046:
4519:Chinese remainder theorem
5830:"Arithmetic progression"
5657:The Mathematical Gazette
5228:{\displaystyle a(7,3)=9}
397:in the 5th century BC.
18:Arithmetical progression
6058:Properties of sequences
5693:Fibonacci's Liber Abaci
3994:up to the 50th term is
3427:a positive integer and
2167:{\displaystyle a_{1}/d}
2128:{\displaystyle \Gamma }
1694:{\displaystyle S_{n}/n}
249:reinvented the formula
5921:Arithmetic progression
5628:Arithmetik und Algebra
5459:
5229:
5194:we expect there to be
5188:
5136:
4841:
4659:
4624:
4586:
4566:
4565:{\displaystyle a(n,k)}
4495:
4475:
4452:
4363:
4266:
4206:
4118:
3988:
3934:
3865:
3742:
3640:
3527:
3485:
3441:
3421:
3398:
3378:
3291:
3168:
3061:
3060:{\displaystyle z>0}
3032:
2972:
2937:
2843:
2606:
2544:
2443:
2388:
2368:
2342:
2235:
2209:
2168:
2129:
2106:
1991:
1763:
1695:
1657:
1473:
1391:
1238:
1090:
987:
968:
816:
789:
759:
652:
584:
335:
309:
289:
216:
149:
122:
102:
82:
43:arithmetic progression
38:
6312:Hypergeometric series
5926:Geometric progression
5776:; Lovász, L. (eds.),
5550:Hayes, Brian (2006).
5475:Geometric progression
5460:
5230:
5189:
5137:
4842:
4660:
4625:
4587:
4567:
4496:
4476:
4453:
4364:
4246:
4207:
4119:
3989:
3935:
3866:
3716:
3641:
3501:
3486:
3442:
3422:
3399:
3352:
3292:
3169:
3062:
3033:
2973:
2938:
2817:
2580:
2518:
2444:
2389:
2369:
2343:
2241:and that the product
2236:
2210:
2174:is negative or zero.
2169:
2130:
2107:
1965:
1795:, common differences
1764:
1696:
1658:
1474:
1392:
1239:
1091:
985:
969:
817:
815:{\displaystyle a_{n}}
790:
788:{\displaystyle a_{1}}
760:
653:
585:
336:
334:{\displaystyle n=100}
310:
290:
217:
150:
148:{\displaystyle a_{n}}
123:
103:
83:
81:{\displaystyle a_{1}}
33:
6389:Sequences and series
6292:Trigonometric series
6084:Properties of series
5931:Harmonic progression
5480:Harmonic progression
5239:
5198:
5148:
4855:
4671:
4634:
4596:
4576:
4541:
4533:of the set {1,...,n}
4485:
4465:
4385:
4219:
4136:
4001:
3944:
3888:
3657:
3498:
3454:
3431:
3411:
3308:
3182:
3074:
3045:
2989:
2950:
2461:
2401:
2378:
2358:
2248:
2222:
2181:
2143:
2119:
1810:
1708:
1670:
1489:
1407:
1254:
1101:
997:
829:
799:
772:
668:
604:
544:
319:
299:
253:
247:Carl Friedrich Gauss
162:
132:
112:
92:
65:
6272:Formal power series
5849:"Arithmetic series"
5808:"Arithmetic series"
5570:10.1511/2006.59.200
3884:Taking the example
47:arithmetic sequence
35:Proof without words
6070:Monotonic function
5989:Fibonacci sequence
5846:Weisstein, Eric W.
5827:Weisstein, Eric W.
5557:American Scientist
5455:
5225:
5184:
5144:As an example, if
5132:
5130:
4837:
4832:
4655:
4620:
4582:
4562:
4491:
4471:
4448:
4374:Standard deviation
4359:
4202:
4114:
3984:
3930:
3861:
3636:
3481:
3437:
3417:
3394:
3287:
3164:
3057:
3028:
2968:
2933:
2931:
2439:
2384:
2364:
2338:
2234:{\displaystyle n!}
2231:
2205:
2164:
2125:
2102:
1759:
1691:
1653:
1651:
1469:
1387:
1234:
1086:
988:
964:
812:
785:
755:
648:
580:
331:
305:
285:
283:
212:
145:
118:
98:
78:
39:
6384:Arithmetic series
6371:
6370:
6302:Generating series
6250:
6249:
6222:1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
6217:1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
6212:1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
6207:1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
6197:1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
6147:
6146:
6075:Periodic sequence
6044:
6043:
6029:Triangular number
6019:Pentagonal number
5999:Heptagonal number
5984:Complete sequence
5906:Integer sequences
5639:978-3-11-004893-3
5610:978-3-11-108062-8
5485:Triangular number
5041:
4912:
4819:
4796:
4746:
4711:
4585:{\displaystyle k}
4494:{\displaystyle d}
4474:{\displaystyle n}
4446:
4445:
4357:
4350:
4320:
4090:
3859:
3852:
3815:
3763:
3634:
3627:
3590:
3548:
3440:{\displaystyle z}
3420:{\displaystyle m}
3347:
2965:
2926:
2911:
2864:
2772:
2733:
2697:
2668:
2630:
2434:
2387:{\displaystyle n}
2367:{\displaystyle m}
2353:positive integers
2100:
2093:
2056:
1754:
1719:
1641:
1633:
1625:
1580:
1521:
1431:
959:
943:
932:
919:
892:
874:
848:
747:
726:
646:
535:arithmetic series
519:
518:
308:{\displaystyle n}
282:
235:arithmetic series
121:{\displaystyle n}
101:{\displaystyle d}
58:difference of 2.
16:(Redirected from
6396:
6361:
6360:
6287:Dirichlet series
6156:
6088:
6052:
6024:Polygonal number
6004:Hexagonal number
5977:
5911:
5887:
5880:
5873:
5864:
5859:
5858:
5840:
5839:
5821:
5794:
5791:pp. 393–394
5788:
5769:
5763:
5757:
5751:
5748:
5742:
5741:
5729:
5719:
5713:
5712:
5696:
5686:
5680:
5670:
5664:
5650:
5644:
5643:
5631:
5621:
5615:
5614:
5602:
5592:
5586:
5585:
5583:
5581:
5547:
5464:
5462:
5461:
5456:
5234:
5232:
5231:
5226:
5193:
5191:
5190:
5185:
5141:
5139:
5138:
5133:
5131:
5127:
5123:
5042:
5040:
5017:
5009:
5005:
5001:
4928:
4927:
4913:
4911:
4888:
4846:
4844:
4843:
4838:
4836:
4835:
4820:
4817:
4813:
4809:
4808:
4804:
4797:
4794:
4769:
4765:
4758:
4754:
4747:
4744:
4712:
4709:
4664:
4662:
4661:
4656:
4629:
4627:
4626:
4621:
4591:
4589:
4588:
4583:
4571:
4569:
4568:
4563:
4500:
4498:
4497:
4492:
4480:
4478:
4477:
4472:
4457:
4455:
4454:
4449:
4447:
4441:
4409:
4408:
4406:
4398:
4368:
4366:
4365:
4360:
4358:
4356:
4355:
4351:
4343:
4333:
4332:
4328:
4321:
4313:
4302:
4297:
4296:
4265:
4260:
4211:
4209:
4208:
4203:
4123:
4121:
4120:
4115:
4110:
4109:
4091:
4089:
4088:
4084:
4080:
4063:
4062:
4058:
4048:
4031:
4026:
4025:
4013:
4012:
3993:
3991:
3990:
3985:
3956:
3955:
3939:
3937:
3936:
3931:
3870:
3868:
3867:
3862:
3860:
3858:
3857:
3853:
3848:
3847:
3838:
3828:
3827:
3823:
3816:
3811:
3810:
3801:
3790:
3788:
3787:
3775:
3771:
3764:
3759:
3758:
3749:
3741:
3730:
3715:
3714:
3702:
3701:
3689:
3688:
3679:
3678:
3669:
3668:
3645:
3643:
3642:
3637:
3635:
3633:
3632:
3628:
3623:
3622:
3613:
3603:
3602:
3598:
3591:
3586:
3585:
3576:
3565:
3560:
3556:
3549:
3544:
3543:
3534:
3526:
3515:
3490:
3488:
3487:
3482:
3471:
3466:
3465:
3446:
3444:
3443:
3438:
3426:
3424:
3423:
3418:
3403:
3401:
3400:
3395:
3377:
3366:
3348:
3346:
3332:
3312:
3296:
3294:
3293:
3288:
3173:
3171:
3170:
3165:
3066:
3064:
3063:
3058:
3037:
3035:
3034:
3029:
2980:rising factorial
2977:
2975:
2974:
2969:
2967:
2966:
2958:
2942:
2940:
2939:
2934:
2932:
2928:
2927:
2919:
2917:
2916:
2912:
2907:
2906:
2897:
2889:
2888:
2876:
2872:
2865:
2860:
2859:
2850:
2842:
2831:
2816:
2815:
2800:
2796:
2792:
2773:
2768:
2767:
2758:
2745:
2741:
2734:
2729:
2728:
2719:
2709:
2705:
2698:
2693:
2692:
2683:
2673:
2669:
2664:
2663:
2654:
2642:
2638:
2631:
2626:
2625:
2616:
2605:
2594:
2573:
2557:
2556:
2543:
2532:
2510:
2509:
2497:
2496:
2487:
2486:
2477:
2476:
2448:
2446:
2445:
2440:
2435:
2433:
2413:
2405:
2393:
2391:
2390:
2385:
2373:
2371:
2370:
2365:
2347:
2345:
2344:
2339:
2240:
2238:
2237:
2232:
2215:is given by the
2214:
2212:
2211:
2206:
2173:
2171:
2170:
2165:
2160:
2155:
2154:
2134:
2132:
2131:
2126:
2111:
2109:
2108:
2103:
2101:
2099:
2098:
2094:
2089:
2088:
2079:
2069:
2068:
2064:
2057:
2052:
2051:
2042:
2031:
2029:
2028:
2004:
2003:
1990:
1979:
1937:
1936:
1903:
1902:
1881:
1880:
1868:
1867:
1855:
1854:
1842:
1841:
1832:
1831:
1822:
1821:
1768:
1766:
1765:
1760:
1755:
1750:
1749:
1748:
1736:
1735:
1725:
1720:
1712:
1700:
1698:
1697:
1692:
1687:
1682:
1681:
1662:
1660:
1659:
1654:
1652:
1642:
1639:
1634:
1631:
1626:
1618:
1610:
1600:
1599:
1581:
1573:
1565:
1522:
1514:
1505:
1504:
1478:
1476:
1475:
1470:
1432:
1424:
1419:
1418:
1396:
1394:
1393:
1388:
1266:
1265:
1243:
1241:
1240:
1235:
1113:
1112:
1095:
1093:
1092:
1087:
1085:
1084:
1072:
1071:
1041:
1040:
1028:
1027:
1009:
1008:
973:
971:
970:
965:
960:
952:
944:
939:
938:
934:
933:
925:
920:
912:
898:
893:
885:
880:
876:
875:
867:
854:
850:
849:
841:
821:
819:
818:
813:
811:
810:
795:and ending with
794:
792:
791:
786:
784:
783:
764:
762:
761:
756:
748:
743:
732:
727:
722:
702:
657:
655:
654:
649:
647:
642:
638:
637:
625:
624:
608:
589:
587:
586:
581:
407:
406:
340:
338:
337:
332:
314:
312:
311:
306:
294:
292:
291:
286:
284:
278:
258:
221:
219:
218:
213:
187:
186:
174:
173:
154:
152:
151:
146:
144:
143:
127:
125:
124:
119:
107:
105:
104:
99:
87:
85:
84:
79:
77:
76:
21:
6404:
6403:
6399:
6398:
6397:
6395:
6394:
6393:
6374:
6373:
6372:
6367:
6349:
6306:
6255:Kinds of series
6246:
6185:
6152:Explicit series
6143:
6117:
6079:
6065:Cauchy sequence
6053:
6040:
5994:Figurate number
5971:
5965:
5956:Powers of three
5900:
5891:
5844:
5843:
5825:
5824:
5806:
5803:
5798:
5797:
5771:
5770:
5766:
5758:
5754:
5749:
5745:
5738:
5721:
5720:
5716:
5709:
5688:
5687:
5683:
5676:, 34:2, 79-94,
5671:
5667:
5651:
5647:
5640:
5623:
5622:
5618:
5611:
5594:
5593:
5589:
5579:
5577:
5549:
5548:
5544:
5539:
5471:
5237:
5236:
5196:
5195:
5146:
5145:
5129:
5128:
5047:
5043:
5021:
5007:
5006:
4919:
4918:
4914:
4892:
4880:
4853:
4852:
4831:
4830:
4814:
4785:
4781:
4774:
4770:
4735:
4731:
4730:
4726:
4723:
4722:
4706:
4696:
4669:
4668:
4665:be defined as:
4632:
4631:
4594:
4593:
4574:
4573:
4539:
4538:
4535:
4511:
4483:
4482:
4463:
4462:
4410:
4383:
4382:
4376:
4338:
4334:
4311:
4307:
4303:
4288:
4217:
4216:
4134:
4133:
4101:
4072:
4068:
4064:
4040:
4036:
4032:
4017:
4004:
3999:
3998:
3947:
3942:
3941:
3886:
3885:
3877:
3839:
3833:
3829:
3802:
3799:
3795:
3791:
3779:
3750:
3747:
3743:
3706:
3693:
3680:
3670:
3660:
3655:
3654:
3614:
3608:
3604:
3577:
3574:
3570:
3566:
3535:
3532:
3528:
3496:
3495:
3457:
3452:
3451:
3429:
3428:
3409:
3408:
3333:
3313:
3306:
3305:
3180:
3179:
3072:
3071:
3043:
3042:
2987:
2986:
2953:
2948:
2947:
2930:
2929:
2898:
2892:
2890:
2880:
2851:
2848:
2844:
2807:
2798:
2797:
2759:
2756:
2752:
2720:
2717:
2713:
2684:
2681:
2677:
2655:
2649:
2617:
2614:
2610:
2571:
2570:
2548:
2511:
2501:
2488:
2478:
2468:
2459:
2458:
2455:
2414:
2406:
2399:
2398:
2376:
2375:
2356:
2355:
2246:
2245:
2220:
2219:
2179:
2178:
2146:
2141:
2140:
2117:
2116:
2080:
2074:
2070:
2043:
2040:
2036:
2032:
2020:
1995:
1928:
1894:
1872:
1859:
1846:
1833:
1823:
1813:
1808:
1807:
1794:
1782:
1740:
1727:
1726:
1706:
1705:
1673:
1668:
1667:
1650:
1649:
1608:
1607:
1591:
1563:
1562:
1506:
1496:
1487:
1486:
1410:
1405:
1404:
1257:
1252:
1251:
1104:
1099:
1098:
1076:
1051:
1032:
1019:
1000:
995:
994:
980:
907:
903:
899:
862:
858:
836:
832:
827:
826:
822:. For example,
802:
797:
796:
775:
770:
769:
733:
703:
666:
665:
629:
616:
609:
602:
601:
542:
541:
527:
526:
525:
480:
403:
317:
316:
315:, for the case
297:
296:
259:
251:
250:
243:
178:
165:
160:
159:
135:
130:
129:
110:
109:
90:
89:
68:
63:
62:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
6402:
6400:
6392:
6391:
6386:
6376:
6375:
6369:
6368:
6366:
6365:
6354:
6351:
6350:
6348:
6347:
6342:
6337:
6332:
6327:
6322:
6316:
6314:
6308:
6307:
6305:
6304:
6299:
6297:Fourier series
6294:
6289:
6284:
6282:Puiseux series
6279:
6277:Laurent series
6274:
6269:
6264:
6258:
6256:
6252:
6251:
6248:
6247:
6245:
6244:
6239:
6234:
6229:
6224:
6219:
6214:
6209:
6204:
6199:
6193:
6191:
6187:
6186:
6184:
6183:
6178:
6173:
6168:
6162:
6160:
6153:
6149:
6148:
6145:
6144:
6142:
6141:
6136:
6131:
6125:
6123:
6119:
6118:
6116:
6115:
6110:
6105:
6100:
6094:
6092:
6085:
6081:
6080:
6078:
6077:
6072:
6067:
6061:
6059:
6055:
6054:
6047:
6045:
6042:
6041:
6039:
6038:
6037:
6036:
6026:
6021:
6016:
6011:
6006:
6001:
5996:
5991:
5986:
5980:
5978:
5967:
5966:
5964:
5963:
5958:
5953:
5948:
5943:
5938:
5933:
5928:
5923:
5917:
5915:
5908:
5902:
5901:
5892:
5890:
5889:
5882:
5875:
5867:
5861:
5860:
5841:
5822:
5802:
5801:External links
5799:
5796:
5795:
5764:
5752:
5743:
5736:
5714:
5707:
5681:
5665:
5645:
5638:
5616:
5609:
5587:
5541:
5540:
5538:
5535:
5534:
5533:
5528:
5523:
5518:
5513:
5507:
5502:
5497:
5492:
5487:
5482:
5477:
5470:
5467:
5454:
5451:
5448:
5445:
5442:
5439:
5436:
5433:
5430:
5427:
5424:
5421:
5418:
5415:
5412:
5409:
5406:
5403:
5400:
5397:
5394:
5391:
5388:
5385:
5382:
5379:
5376:
5373:
5370:
5367:
5364:
5361:
5358:
5355:
5352:
5349:
5346:
5343:
5340:
5337:
5334:
5331:
5328:
5325:
5322:
5319:
5316:
5313:
5310:
5307:
5304:
5301:
5298:
5295:
5292:
5289:
5286:
5283:
5280:
5277:
5274:
5271:
5268:
5265:
5262:
5259:
5256:
5253:
5250:
5247:
5244:
5224:
5221:
5218:
5215:
5212:
5209:
5206:
5203:
5183:
5180:
5177:
5174:
5171:
5168:
5165:
5162:
5159:
5156:
5153:
5126:
5122:
5119:
5116:
5113:
5110:
5107:
5104:
5101:
5098:
5095:
5092:
5089:
5086:
5083:
5080:
5077:
5074:
5071:
5068:
5065:
5062:
5059:
5056:
5053:
5050:
5046:
5039:
5036:
5033:
5030:
5027:
5024:
5020:
5015:
5012:
5010:
5008:
5004:
5000:
4997:
4994:
4991:
4988:
4985:
4982:
4979:
4976:
4973:
4970:
4967:
4964:
4961:
4958:
4955:
4952:
4949:
4946:
4943:
4940:
4937:
4934:
4931:
4926:
4922:
4917:
4910:
4907:
4904:
4901:
4898:
4895:
4891:
4886:
4883:
4881:
4879:
4876:
4873:
4870:
4867:
4864:
4861:
4860:
4834:
4829:
4826:
4823:
4815:
4812:
4807:
4803:
4800:
4792:
4788:
4784:
4780:
4777:
4773:
4768:
4764:
4761:
4757:
4753:
4750:
4742:
4738:
4734:
4729:
4725:
4724:
4721:
4718:
4715:
4707:
4705:
4702:
4701:
4699:
4694:
4691:
4688:
4685:
4682:
4679:
4676:
4654:
4651:
4648:
4645:
4642:
4639:
4619:
4616:
4613:
4610:
4607:
4604:
4601:
4581:
4561:
4558:
4555:
4552:
4549:
4546:
4534:
4527:
4510:
4507:
4490:
4470:
4459:
4458:
4444:
4440:
4437:
4434:
4431:
4428:
4425:
4422:
4419:
4416:
4413:
4405:
4401:
4397:
4393:
4390:
4375:
4372:
4371:
4370:
4354:
4349:
4346:
4341:
4337:
4331:
4327:
4324:
4319:
4316:
4310:
4306:
4300:
4295:
4291:
4287:
4284:
4281:
4278:
4275:
4272:
4269:
4264:
4259:
4256:
4253:
4249:
4245:
4242:
4239:
4236:
4233:
4230:
4227:
4224:
4201:
4198:
4195:
4192:
4189:
4186:
4183:
4180:
4177:
4174:
4171:
4168:
4165:
4162:
4159:
4156:
4153:
4150:
4147:
4144:
4141:
4130:
4129:
4125:
4124:
4113:
4108:
4104:
4100:
4097:
4094:
4087:
4083:
4079:
4075:
4071:
4067:
4061:
4057:
4054:
4051:
4047:
4043:
4039:
4035:
4029:
4024:
4020:
4016:
4011:
4007:
3983:
3980:
3977:
3974:
3971:
3968:
3965:
3962:
3959:
3954:
3950:
3929:
3926:
3923:
3920:
3917:
3914:
3911:
3908:
3905:
3902:
3899:
3896:
3893:
3882:
3881:
3876:
3873:
3872:
3871:
3856:
3851:
3846:
3842:
3836:
3832:
3826:
3822:
3819:
3814:
3809:
3805:
3798:
3794:
3786:
3782:
3778:
3774:
3770:
3767:
3762:
3757:
3753:
3746:
3740:
3737:
3734:
3729:
3726:
3723:
3719:
3713:
3709:
3705:
3700:
3696:
3692:
3687:
3683:
3677:
3673:
3667:
3663:
3650:and, finally,
3648:
3647:
3631:
3626:
3621:
3617:
3611:
3607:
3601:
3597:
3594:
3589:
3584:
3580:
3573:
3569:
3563:
3559:
3555:
3552:
3547:
3542:
3538:
3531:
3525:
3522:
3519:
3514:
3511:
3508:
3504:
3480:
3477:
3474:
3470:
3464:
3460:
3436:
3416:
3405:
3404:
3393:
3390:
3387:
3384:
3381:
3376:
3373:
3370:
3365:
3362:
3359:
3355:
3351:
3345:
3342:
3339:
3336:
3331:
3328:
3325:
3322:
3319:
3316:
3299:
3298:
3286:
3283:
3280:
3277:
3274:
3271:
3268:
3265:
3262:
3259:
3256:
3253:
3250:
3247:
3244:
3241:
3238:
3235:
3232:
3229:
3226:
3223:
3220:
3217:
3214:
3211:
3208:
3205:
3202:
3199:
3196:
3193:
3190:
3187:
3176:
3175:
3163:
3160:
3157:
3154:
3151:
3148:
3145:
3142:
3139:
3136:
3133:
3130:
3127:
3124:
3121:
3118:
3115:
3112:
3109:
3106:
3103:
3100:
3097:
3094:
3091:
3088:
3085:
3082:
3079:
3056:
3053:
3050:
3040:complex number
3038:, valid for a
3027:
3024:
3021:
3018:
3015:
3012:
3009:
3006:
3003:
3000:
2997:
2994:
2964:
2961:
2956:
2944:
2943:
2925:
2922:
2915:
2910:
2905:
2901:
2895:
2887:
2883:
2879:
2875:
2871:
2868:
2863:
2858:
2854:
2847:
2841:
2838:
2835:
2830:
2827:
2824:
2820:
2814:
2810:
2806:
2803:
2801:
2799:
2795:
2791:
2788:
2785:
2782:
2779:
2776:
2771:
2766:
2762:
2755:
2751:
2748:
2744:
2740:
2737:
2732:
2727:
2723:
2716:
2712:
2708:
2704:
2701:
2696:
2691:
2687:
2680:
2676:
2672:
2667:
2662:
2658:
2652:
2648:
2645:
2641:
2637:
2634:
2629:
2624:
2620:
2613:
2609:
2604:
2601:
2598:
2593:
2590:
2587:
2583:
2579:
2576:
2574:
2572:
2569:
2566:
2563:
2560:
2555:
2551:
2547:
2542:
2539:
2536:
2531:
2528:
2525:
2521:
2517:
2514:
2512:
2508:
2504:
2500:
2495:
2491:
2485:
2481:
2475:
2471:
2467:
2466:
2454:
2451:
2450:
2449:
2438:
2432:
2429:
2426:
2423:
2420:
2417:
2412:
2409:
2383:
2363:
2349:
2348:
2337:
2334:
2331:
2328:
2325:
2322:
2319:
2316:
2313:
2310:
2307:
2304:
2301:
2298:
2295:
2292:
2289:
2286:
2283:
2280:
2277:
2274:
2271:
2268:
2265:
2262:
2259:
2256:
2253:
2230:
2227:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2186:
2163:
2159:
2153:
2149:
2137:Gamma function
2124:
2113:
2112:
2097:
2092:
2087:
2083:
2077:
2073:
2067:
2063:
2060:
2055:
2050:
2046:
2039:
2035:
2027:
2023:
2019:
2016:
2013:
2010:
2007:
2002:
1998:
1994:
1989:
1986:
1983:
1978:
1975:
1972:
1968:
1964:
1961:
1958:
1955:
1952:
1949:
1946:
1943:
1940:
1935:
1931:
1927:
1924:
1921:
1918:
1915:
1912:
1909:
1906:
1901:
1897:
1893:
1890:
1887:
1884:
1879:
1875:
1871:
1866:
1862:
1858:
1853:
1849:
1845:
1840:
1836:
1830:
1826:
1820:
1816:
1792:
1781:
1778:
1770:
1769:
1758:
1753:
1747:
1743:
1739:
1734:
1730:
1723:
1718:
1715:
1690:
1686:
1680:
1676:
1664:
1663:
1648:
1645:
1637:
1629:
1624:
1621:
1616:
1613:
1611:
1609:
1606:
1603:
1598:
1594:
1590:
1587:
1584:
1579:
1576:
1571:
1568:
1566:
1564:
1561:
1558:
1555:
1552:
1549:
1546:
1543:
1540:
1537:
1534:
1531:
1528:
1525:
1520:
1517:
1512:
1509:
1507:
1503:
1499:
1495:
1494:
1480:
1479:
1468:
1465:
1462:
1459:
1456:
1453:
1450:
1447:
1444:
1441:
1438:
1435:
1430:
1427:
1422:
1417:
1413:
1398:
1397:
1386:
1383:
1380:
1377:
1374:
1371:
1368:
1365:
1362:
1359:
1356:
1353:
1350:
1347:
1344:
1341:
1338:
1335:
1332:
1329:
1326:
1323:
1320:
1317:
1314:
1311:
1308:
1305:
1302:
1299:
1296:
1293:
1290:
1287:
1284:
1281:
1278:
1275:
1272:
1269:
1264:
1260:
1245:
1244:
1233:
1230:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1194:
1191:
1188:
1185:
1182:
1179:
1176:
1173:
1170:
1167:
1164:
1161:
1158:
1155:
1152:
1149:
1146:
1143:
1140:
1137:
1134:
1131:
1128:
1125:
1122:
1119:
1116:
1111:
1107:
1096:
1083:
1079:
1075:
1070:
1067:
1064:
1061:
1058:
1054:
1050:
1047:
1044:
1039:
1035:
1031:
1026:
1022:
1018:
1015:
1012:
1007:
1003:
979:
976:
975:
974:
963:
958:
955:
950:
947:
942:
937:
931:
928:
923:
918:
915:
910:
906:
902:
896:
891:
888:
883:
879:
873:
870:
865:
861:
857:
853:
847:
844:
839:
835:
809:
805:
782:
778:
766:
765:
754:
751:
746:
742:
739:
736:
730:
725:
721:
718:
715:
712:
709:
706:
700:
697:
694:
691:
688:
685:
682:
679:
676:
673:
659:
658:
645:
641:
636:
632:
628:
623:
619:
615:
612:
591:
590:
579:
576:
573:
570:
567:
564:
561:
558:
555:
552:
549:
520:
517:
516:
513:
510:
507:
504:
501:
498:
495:
492:
489:
486:
482:
481:
477:
476:
473:
470:
467:
464:
461:
458:
455:
452:
449:
446:
442:
441:
438:
435:
432:
429:
426:
423:
420:
417:
414:
411:
405:
404:
402:
399:
357:; in India to
353:; in China to
330:
327:
324:
304:
281:
277:
274:
271:
268:
265:
262:
242:
239:
223:
222:
211:
208:
205:
202:
199:
196:
193:
190:
185:
181:
177:
172:
168:
155:) is given by
142:
138:
117:
97:
75:
71:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
6401:
6390:
6387:
6385:
6382:
6381:
6379:
6364:
6356:
6355:
6352:
6346:
6343:
6341:
6338:
6336:
6333:
6331:
6328:
6326:
6323:
6321:
6318:
6317:
6315:
6313:
6309:
6303:
6300:
6298:
6295:
6293:
6290:
6288:
6285:
6283:
6280:
6278:
6275:
6273:
6270:
6268:
6265:
6263:
6262:Taylor series
6260:
6259:
6257:
6253:
6243:
6240:
6238:
6235:
6233:
6230:
6228:
6225:
6223:
6220:
6218:
6215:
6213:
6210:
6208:
6205:
6203:
6200:
6198:
6195:
6194:
6192:
6188:
6182:
6179:
6177:
6174:
6172:
6169:
6167:
6164:
6163:
6161:
6157:
6154:
6150:
6140:
6137:
6135:
6132:
6130:
6127:
6126:
6124:
6120:
6114:
6111:
6109:
6106:
6104:
6101:
6099:
6096:
6095:
6093:
6089:
6086:
6082:
6076:
6073:
6071:
6068:
6066:
6063:
6062:
6060:
6056:
6051:
6035:
6032:
6031:
6030:
6027:
6025:
6022:
6020:
6017:
6015:
6012:
6010:
6007:
6005:
6002:
6000:
5997:
5995:
5992:
5990:
5987:
5985:
5982:
5981:
5979:
5975:
5968:
5962:
5959:
5957:
5954:
5952:
5951:Powers of two
5949:
5947:
5944:
5942:
5939:
5937:
5936:Square number
5934:
5932:
5929:
5927:
5924:
5922:
5919:
5918:
5916:
5912:
5909:
5907:
5903:
5899:
5895:
5888:
5883:
5881:
5876:
5874:
5869:
5868:
5865:
5856:
5855:
5850:
5847:
5842:
5837:
5836:
5831:
5828:
5823:
5819:
5815:
5814:
5809:
5805:
5804:
5800:
5792:
5787:
5783:
5779:
5775:
5774:Grötschel, M.
5768:
5765:
5762:
5756:
5753:
5747:
5744:
5739:
5737:9780691156859
5733:
5728:
5727:
5718:
5715:
5710:
5708:0-387-95419-8
5704:
5700:
5695:
5694:
5685:
5682:
5679:
5675:
5669:
5666:
5662:
5658:
5654:
5649:
5646:
5641:
5635:
5630:
5629:
5620:
5617:
5612:
5606:
5601:
5600:
5591:
5588:
5575:
5571:
5567:
5563:
5559:
5558:
5553:
5546:
5543:
5536:
5532:
5529:
5527:
5524:
5522:
5519:
5517:
5514:
5511:
5508:
5506:
5503:
5501:
5498:
5496:
5493:
5491:
5488:
5486:
5483:
5481:
5478:
5476:
5473:
5472:
5468:
5466:
5449:
5446:
5443:
5440:
5437:
5431:
5425:
5422:
5419:
5416:
5413:
5407:
5401:
5398:
5395:
5392:
5389:
5383:
5377:
5374:
5371:
5368:
5365:
5359:
5353:
5350:
5347:
5344:
5341:
5335:
5329:
5326:
5323:
5320:
5317:
5311:
5305:
5302:
5299:
5296:
5293:
5287:
5281:
5278:
5275:
5272:
5269:
5263:
5257:
5254:
5251:
5248:
5245:
5222:
5219:
5213:
5210:
5207:
5201:
5178:
5175:
5172:
5166:
5160:
5157:
5154:
5142:
5124:
5117:
5114:
5111:
5108:
5105:
5102:
5099:
5093:
5090:
5081:
5078:
5075:
5069:
5066:
5057:
5054:
5051:
5044:
5034:
5031:
5028:
5022:
5018:
5013:
5011:
5002:
4995:
4992:
4989:
4986:
4983:
4980:
4977:
4971:
4968:
4962:
4959:
4956:
4950:
4947:
4941:
4938:
4935:
4929:
4924:
4920:
4915:
4905:
4902:
4899:
4893:
4889:
4884:
4882:
4874:
4871:
4868:
4862:
4850:
4847:
4827:
4824:
4821:
4810:
4805:
4798:
4786:
4782:
4778:
4775:
4771:
4766:
4762:
4759:
4755:
4748:
4736:
4732:
4727:
4719:
4716:
4713:
4703:
4697:
4692:
4686:
4683:
4680:
4674:
4666:
4649:
4646:
4643:
4637:
4614:
4611:
4608:
4605:
4602:
4579:
4556:
4553:
4550:
4544:
4532:
4528:
4526:
4524:
4520:
4516:
4509:Intersections
4508:
4506:
4504:
4488:
4468:
4442:
4435:
4432:
4429:
4420:
4417:
4414:
4399:
4391:
4388:
4381:
4380:
4379:
4373:
4369:= 654,729,075
4352:
4347:
4344:
4339:
4329:
4325:
4322:
4317:
4314:
4308:
4298:
4293:
4289:
4285:
4279:
4276:
4273:
4270:
4262:
4257:
4254:
4251:
4247:
4243:
4240:
4237:
4234:
4231:
4228:
4225:
4222:
4215:
4214:
4213:
4196:
4193:
4190:
4187:
4184:
4181:
4178:
4175:
4172:
4169:
4166:
4163:
4160:
4157:
4154:
4151:
4148:
4145:
4142:
4127:
4126:
4111:
4106:
4102:
4098:
4095:
4092:
4085:
4081:
4077:
4073:
4069:
4059:
4055:
4052:
4049:
4045:
4041:
4037:
4027:
4022:
4018:
4014:
4009:
4005:
3997:
3996:
3995:
3978:
3975:
3972:
3966:
3963:
3960:
3957:
3952:
3948:
3927:
3924:
3921:
3918:
3915:
3912:
3909:
3906:
3903:
3900:
3897:
3894:
3891:
3879:
3878:
3874:
3854:
3849:
3844:
3840:
3834:
3824:
3820:
3817:
3812:
3807:
3803:
3796:
3784:
3780:
3776:
3772:
3768:
3765:
3760:
3755:
3751:
3744:
3738:
3735:
3732:
3727:
3724:
3721:
3717:
3711:
3707:
3703:
3698:
3694:
3690:
3685:
3681:
3675:
3671:
3665:
3661:
3653:
3652:
3651:
3629:
3624:
3619:
3615:
3609:
3599:
3595:
3592:
3587:
3582:
3578:
3571:
3561:
3557:
3553:
3550:
3545:
3540:
3536:
3529:
3523:
3520:
3517:
3512:
3509:
3506:
3502:
3494:
3493:
3492:
3478:
3475:
3472:
3468:
3462:
3458:
3448:
3434:
3414:
3388:
3385:
3382:
3374:
3371:
3368:
3363:
3360:
3357:
3353:
3349:
3340:
3326:
3323:
3320:
3304:
3303:
3302:
3281:
3272:
3266:
3263:
3260:
3251:
3248:
3245:
3239:
3233:
3230:
3227:
3215:
3212:
3209:
3203:
3197:
3194:
3191:
3178:
3177:
3158:
3149:
3143:
3140:
3137:
3131:
3125:
3122:
3119:
3107:
3104:
3101:
3095:
3089:
3086:
3083:
3070:
3069:
3068:
3054:
3051:
3048:
3041:
3022:
3013:
3010:
3004:
3001:
2998:
2983:
2981:
2959:
2954:
2920:
2913:
2908:
2903:
2899:
2893:
2885:
2881:
2877:
2873:
2869:
2866:
2861:
2856:
2852:
2845:
2839:
2836:
2833:
2828:
2825:
2822:
2818:
2812:
2808:
2804:
2802:
2793:
2786:
2783:
2780:
2774:
2769:
2764:
2760:
2753:
2749:
2746:
2742:
2738:
2735:
2730:
2725:
2721:
2714:
2710:
2706:
2702:
2699:
2694:
2689:
2685:
2678:
2674:
2670:
2665:
2660:
2656:
2650:
2646:
2643:
2639:
2635:
2632:
2627:
2622:
2618:
2611:
2607:
2602:
2599:
2596:
2591:
2588:
2585:
2581:
2577:
2575:
2564:
2561:
2558:
2553:
2549:
2540:
2537:
2534:
2529:
2526:
2523:
2519:
2515:
2513:
2506:
2502:
2498:
2493:
2489:
2483:
2479:
2473:
2469:
2457:
2456:
2452:
2436:
2430:
2424:
2421:
2418:
2410:
2407:
2397:
2396:
2395:
2381:
2361:
2354:
2335:
2332:
2326:
2323:
2320:
2314:
2308:
2305:
2302:
2296:
2293:
2290:
2284:
2281:
2278:
2272:
2266:
2263:
2260:
2254:
2251:
2244:
2243:
2242:
2228:
2225:
2218:
2202:
2199:
2196:
2193:
2190:
2187:
2184:
2175:
2161:
2157:
2151:
2147:
2138:
2095:
2090:
2085:
2081:
2075:
2065:
2061:
2058:
2053:
2048:
2044:
2037:
2025:
2021:
2017:
2011:
2008:
2005:
2000:
1996:
1987:
1984:
1981:
1976:
1973:
1970:
1966:
1962:
1956:
1950:
1947:
1944:
1938:
1933:
1929:
1922:
1919:
1916:
1910:
1907:
1904:
1899:
1895:
1885:
1882:
1877:
1873:
1864:
1860:
1856:
1851:
1847:
1843:
1838:
1834:
1828:
1824:
1818:
1814:
1806:
1805:
1804:
1802:
1798:
1791:
1787:
1779:
1777:
1775:
1756:
1751:
1745:
1741:
1737:
1732:
1728:
1721:
1713:
1704:
1703:
1702:
1688:
1684:
1678:
1674:
1646:
1635:
1622:
1619:
1614:
1612:
1604:
1596:
1592:
1588:
1585:
1577:
1574:
1569:
1567:
1559:
1553:
1547:
1544:
1541:
1535:
1532:
1529:
1526:
1518:
1515:
1510:
1508:
1501:
1497:
1485:
1484:
1483:
1466:
1460:
1454:
1451:
1448:
1442:
1439:
1436:
1428:
1425:
1420:
1415:
1411:
1403:
1402:
1401:
1384:
1381:
1378:
1372:
1369:
1366:
1360:
1354:
1351:
1348:
1345:
1339:
1336:
1333:
1327:
1321:
1318:
1315:
1309:
1306:
1300:
1294:
1288:
1285:
1282:
1276:
1273:
1267:
1262:
1258:
1250:
1249:
1248:
1231:
1225:
1219:
1216:
1213:
1207:
1204:
1198:
1192:
1186:
1183:
1180:
1174:
1171:
1165:
1162:
1159:
1153:
1150:
1147:
1144:
1138:
1132:
1129:
1126:
1120:
1117:
1114:
1109:
1105:
1097:
1081:
1077:
1073:
1065:
1062:
1059:
1052:
1048:
1045:
1042:
1037:
1033:
1029:
1024:
1020:
1016:
1013:
1010:
1005:
1001:
993:
992:
991:
984:
977:
961:
956:
953:
948:
945:
940:
935:
929:
926:
921:
916:
913:
908:
904:
900:
894:
889:
886:
881:
877:
871:
868:
863:
859:
855:
851:
845:
842:
837:
833:
825:
824:
823:
807:
803:
780:
776:
752:
749:
744:
740:
737:
734:
728:
723:
716:
713:
710:
704:
698:
695:
692:
689:
686:
683:
680:
677:
674:
671:
664:
663:
662:
643:
634:
630:
626:
621:
617:
610:
600:
599:
598:
596:
577:
574:
571:
568:
565:
562:
559:
556:
553:
550:
547:
540:
539:
538:
536:
532:
524:
514:
511:
508:
505:
502:
499:
496:
493:
490:
487:
484:
483:
478:
474:
471:
468:
465:
462:
459:
456:
453:
450:
447:
444:
443:
439:
436:
433:
430:
427:
424:
421:
418:
415:
412:
409:
408:
400:
398:
396:
392:
388:
384:
380:
376:
372:
368:
364:
360:
356:
355:Zhang Qiujian
352:
348:
344:
328:
325:
322:
302:
279:
272:
269:
266:
260:
248:
240:
238:
236:
232:
228:
209:
206:
200:
197:
194:
188:
183:
179:
175:
170:
166:
158:
157:
156:
140:
136:
115:
95:
73:
69:
59:
56:
52:
48:
44:
36:
32:
19:
6267:Power series
6009:Lucas number
5961:Powers of 10
5941:Cubic number
5920:
5852:
5833:
5811:
5777:
5767:
5755:
5746:
5725:
5717:
5692:
5684:
5673:
5668:
5660:
5656:
5648:
5627:
5619:
5598:
5590:
5578:. Retrieved
5561:
5555:
5545:
5143:
4851:
4848:
4667:
4536:
4530:
4523:Helly family
4515:intersection
4512:
4460:
4377:
4212:is given by
4131:
3883:
3649:
3449:
3406:
3300:
2984:
2978:denotes the
2945:
2394:is given by
2350:
2176:
2135:denotes the
2114:
1800:
1796:
1789:
1783:
1771:
1665:
1632:initial term
1481:
1399:
1246:
989:
767:
660:
594:
592:
534:
528:
521:
395:Pythagoreans
244:
234:
226:
224:
60:
46:
42:
40:
6134:Conditional
6122:Convergence
6113:Telescoping
6098:Alternating
6014:Pell number
367:Bhaskara II
363:Brahmagupta
108:, then the
6378:Categories
6159:Convergent
6103:Convergent
5580:16 October
5564:(3): 200.
5537:References
2453:Derivation
978:Derivation
383:Sacrobosco
351:Diophantus
343:Archimedes
6190:Divergent
6108:Divergent
5970:Advanced
5946:Factorial
5894:Sequences
5854:MathWorld
5835:MathWorld
5818:EMS Press
5526:Utonality
5115:−
5094:ϕ
5079:−
5070:−
5055:−
5032:−
4993:−
4972:ϕ
4960:−
4939:−
4930:−
4903:−
4828:η
4822:κ
4799:κ
4795:mod
4787:η
4779:−
4776:κ
4760:−
4749:κ
4745:mod
4737:η
4720:η
4717:∣
4714:κ
4687:κ
4681:η
4675:ϕ
4650:κ
4644:η
4638:ϕ
4609:⋯
4418:−
4389:σ
4336:Γ
4305:Γ
4299:⋅
4248:∏
4238:⋯
4232:⋅
4226:⋅
4128:Example 2
4099:×
4093:≈
4066:Γ
4034:Γ
4028:⋅
3976:−
3928:…
3880:Example 1
3831:Γ
3793:Γ
3736:−
3718:∏
3691:⋯
3606:Γ
3568:Γ
3521:−
3503:∏
3450:Thus, if
3372:−
3354:∏
3335:Γ
3315:Γ
3276:Γ
3222:Γ
3186:Γ
3153:Γ
3114:Γ
3078:Γ
3017:Γ
2993:Γ
2963:¯
2924:¯
2837:−
2819:∏
2784:−
2747:⋯
2600:−
2582:∏
2538:−
2520:∏
2499:⋯
2422:−
2333:×
2324:−
2315:×
2306:−
2297:×
2294:⋯
2291:×
2273:×
2255:×
2217:factorial
2200:×
2197:⋯
2194:×
2188:×
2123:Γ
2072:Γ
2034:Γ
1985:−
1967:∏
1948:−
1844:⋯
1717:¯
1640:last term
1545:−
1452:−
1337:⋯
1319:−
1286:−
1217:−
1184:−
1163:⋯
1063:−
1046:⋯
949:−
909:−
864:−
838:−
738:×
391:Tosafists
389:known as
379:Fibonacci
359:Aryabhata
347:Hypsicles
198:−
6363:Category
6129:Absolute
5574:Archived
5469:See also
4825:∤
4818:if
4710:if
4630:and let
3875:Examples
3301:so that
51:sequence
6139:Uniform
5820:, 2001
5786:1373663
4096:3.78438
1786:product
1780:Product
241:History
55:numbers
6091:Series
5898:series
5784:
5734:
5705:
5701:–260.
5636:
5607:
4849:Then:
4461:where
2946:where
2115:where
1799:, and
387:Talmud
375:Dicuil
371:Alcuin
6034:array
5914:Basic
49:is a
5974:list
5896:and
5732:ISBN
5703:ISBN
5634:ISBN
5605:ISBN
5582:2020
4537:Let
4513:The
3476:>
3407:for
3052:>
2374:and
2351:for
1784:The
529:The
365:and
349:and
5699:259
5566:doi
753:40.
531:sum
515:80
475:40
440:40
401:Sum
329:100
231:sum
53:of
45:or
41:An
6380::
5851:.
5832:.
5816:,
5810:,
5782:MR
5661:76
5659:,
5572:.
5562:94
5560:.
5554:.
5465:.
4443:12
4326:10
4294:10
4241:19
4197:19
4191:17
4185:15
4179:13
4173:11
4107:98
4103:10
4056:50
4023:50
4010:50
3922:28
3916:23
3910:18
3904:13
3491:,
3067:,
2982:.
1701::
741:16
717:14
696:14
690:11
578:40
572:14
566:11
509:16
503:16
497:16
491:16
485:16
451:11
445:14
434:14
428:11
381:,
377:,
373:,
361:,
345:,
237:.
5976:)
5972:(
5886:e
5879:t
5872:v
5857:.
5838:.
5793:.
5740:.
5711:.
5642:.
5613:.
5584:.
5568::
5453:}
5450:7
5447:,
5444:4
5441:,
5438:1
5435:{
5432:,
5429:}
5426:6
5423:,
5420:4
5417:,
5414:2
5411:{
5408:,
5405:}
5402:7
5399:,
5396:5
5393:,
5390:3
5387:{
5384:,
5381:}
5378:5
5375:,
5372:3
5369:,
5366:1
5363:{
5360:,
5357:}
5354:7
5351:,
5348:6
5345:,
5342:5
5339:{
5336:,
5333:}
5330:6
5327:,
5324:5
5321:,
5318:4
5315:{
5312:,
5309:}
5306:5
5303:,
5300:4
5297:,
5294:3
5291:{
5288:,
5285:}
5282:4
5279:,
5276:3
5273:,
5270:2
5267:{
5264:,
5261:}
5258:3
5255:,
5252:2
5249:,
5246:1
5243:{
5223:9
5220:=
5217:)
5214:3
5211:,
5208:7
5205:(
5202:a
5182:)
5179:3
5176:,
5173:7
5170:(
5167:=
5164:)
5161:k
5158:,
5155:n
5152:(
5125:)
5121:)
5118:1
5112:k
5109:,
5106:1
5103:+
5100:n
5097:(
5091:+
5088:)
5085:)
5082:2
5076:k
5073:(
5067:n
5064:(
5061:)
5058:1
5052:n
5049:(
5045:(
5038:)
5035:1
5029:k
5026:(
5023:2
5019:1
5014:=
5003:)
4999:)
4996:1
4990:k
4987:,
4984:1
4981:+
4978:n
4975:(
4969:+
4966:)
4963:2
4957:k
4954:(
4951:+
4948:n
4945:)
4942:1
4936:k
4933:(
4925:2
4921:n
4916:(
4909:)
4906:1
4900:k
4897:(
4894:2
4890:1
4885:=
4878:)
4875:k
4872:,
4869:n
4866:(
4863:a
4811:)
4806:]
4802:)
4791:(
4783:[
4772:(
4767:)
4763:2
4756:]
4752:)
4741:(
4733:[
4728:(
4704:0
4698:{
4693:=
4690:)
4684:,
4678:(
4653:)
4647:,
4641:(
4618:}
4615:n
4612:,
4606:,
4603:1
4600:{
4580:k
4560:)
4557:k
4554:,
4551:n
4548:(
4545:a
4531:k
4489:d
4469:n
4439:)
4436:1
4433:+
4430:n
4427:(
4424:)
4421:1
4415:n
4412:(
4404:|
4400:d
4396:|
4392:=
4353:)
4348:2
4345:1
4340:(
4330:)
4323:+
4318:2
4315:1
4309:(
4290:2
4286:=
4283:)
4280:k
4277:2
4274:+
4271:1
4268:(
4263:9
4258:0
4255:=
4252:k
4244:=
4235:5
4229:3
4223:1
4200:)
4194:,
4188:,
4182:,
4176:,
4170:,
4167:9
4164:,
4161:7
4158:,
4155:5
4152:,
4149:3
4146:,
4143:1
4140:(
4112:.
4086:)
4082:5
4078:/
4074:3
4070:(
4060:)
4053:+
4050:5
4046:/
4042:3
4038:(
4019:5
4015:=
4006:P
3982:)
3979:1
3973:n
3970:(
3967:5
3964:+
3961:3
3958:=
3953:n
3949:a
3925:,
3919:,
3913:,
3907:,
3901:,
3898:8
3895:,
3892:3
3855:)
3850:d
3845:1
3841:a
3835:(
3825:)
3821:n
3818:+
3813:d
3808:1
3804:a
3797:(
3785:n
3781:d
3777:=
3773:)
3769:k
3766:+
3761:d
3756:1
3752:a
3745:(
3739:1
3733:n
3728:0
3725:=
3722:k
3712:n
3708:d
3704:=
3699:n
3695:a
3686:3
3682:a
3676:2
3672:a
3666:1
3662:a
3646:,
3630:)
3625:d
3620:1
3616:a
3610:(
3600:)
3596:n
3593:+
3588:d
3583:1
3579:a
3572:(
3562:=
3558:)
3554:k
3551:+
3546:d
3541:1
3537:a
3530:(
3524:1
3518:n
3513:0
3510:=
3507:k
3479:0
3473:d
3469:/
3463:1
3459:a
3435:z
3415:m
3392:)
3389:k
3386:+
3383:z
3380:(
3375:1
3369:m
3364:0
3361:=
3358:k
3350:=
3344:)
3341:z
3338:(
3330:)
3327:m
3324:+
3321:z
3318:(
3297:,
3285:)
3282:z
3279:(
3273:z
3270:)
3267:1
3264:+
3261:z
3258:(
3255:)
3252:2
3249:+
3246:z
3243:(
3240:=
3237:)
3234:2
3231:+
3228:z
3225:(
3219:)
3216:2
3213:+
3210:z
3207:(
3204:=
3201:)
3198:3
3195:+
3192:z
3189:(
3174:,
3162:)
3159:z
3156:(
3150:z
3147:)
3144:1
3141:+
3138:z
3135:(
3132:=
3129:)
3126:1
3123:+
3120:z
3117:(
3111:)
3108:1
3105:+
3102:z
3099:(
3096:=
3093:)
3090:2
3087:+
3084:z
3081:(
3055:0
3049:z
3026:)
3023:z
3020:(
3014:z
3011:=
3008:)
3005:1
3002:+
2999:z
2996:(
2960:n
2955:x
2921:n
2914:)
2909:d
2904:1
2900:a
2894:(
2886:n
2882:d
2878:=
2874:)
2870:k
2867:+
2862:d
2857:1
2853:a
2846:(
2840:1
2834:n
2829:0
2826:=
2823:k
2813:n
2809:d
2805:=
2794:)
2790:)
2787:1
2781:n
2778:(
2775:+
2770:d
2765:1
2761:a
2754:(
2750:d
2743:)
2739:2
2736:+
2731:d
2726:1
2722:a
2715:(
2711:d
2707:)
2703:1
2700:+
2695:d
2690:1
2686:a
2679:(
2675:d
2671:)
2666:d
2661:1
2657:a
2651:(
2647:d
2644:=
2640:)
2636:k
2633:+
2628:d
2623:1
2619:a
2612:(
2608:d
2603:1
2597:n
2592:0
2589:=
2586:k
2578:=
2568:)
2565:d
2562:k
2559:+
2554:1
2550:a
2546:(
2541:1
2535:n
2530:0
2527:=
2524:k
2516:=
2507:n
2503:a
2494:3
2490:a
2484:2
2480:a
2474:1
2470:a
2437:.
2431:!
2428:)
2425:1
2419:m
2416:(
2411:!
2408:n
2382:n
2362:m
2336:n
2330:)
2327:1
2321:n
2318:(
2312:)
2309:2
2303:n
2300:(
2288:)
2285:2
2282:+
2279:m
2276:(
2270:)
2267:1
2264:+
2261:m
2258:(
2252:m
2229:!
2226:n
2203:n
2191:2
2185:1
2162:d
2158:/
2152:1
2148:a
2096:)
2091:d
2086:1
2082:a
2076:(
2066:)
2062:n
2059:+
2054:d
2049:1
2045:a
2038:(
2026:n
2022:d
2018:=
2015:)
2012:d
2009:k
2006:+
2001:1
1997:a
1993:(
1988:1
1982:n
1977:0
1974:=
1971:k
1963:=
1960:)
1957:d
1954:)
1951:1
1945:n
1942:(
1939:+
1934:1
1930:a
1926:(
1923:.
1920:.
1917:.
1914:)
1911:d
1908:2
1905:+
1900:1
1896:a
1892:(
1889:)
1886:d
1883:+
1878:1
1874:a
1870:(
1865:1
1861:a
1857:=
1852:n
1848:a
1839:3
1835:a
1829:2
1825:a
1819:1
1815:a
1801:n
1797:d
1793:1
1790:a
1757:.
1752:2
1746:n
1742:a
1738:+
1733:1
1729:a
1722:=
1714:a
1689:n
1685:/
1679:n
1675:S
1647:.
1644:)
1636:+
1628:(
1623:2
1620:n
1615:=
1605:.
1602:)
1597:n
1593:a
1589:+
1586:a
1583:(
1578:2
1575:n
1570:=
1560:.
1557:]
1554:d
1551:)
1548:1
1542:n
1539:(
1536:+
1533:a
1530:+
1527:a
1524:[
1519:2
1516:n
1511:=
1502:n
1498:S
1467:.
1464:]
1461:d
1458:)
1455:1
1449:n
1446:(
1443:+
1440:a
1437:2
1434:[
1429:2
1426:n
1421:=
1416:n
1412:S
1385:.
1382:a
1379:+
1376:)
1373:d
1370:+
1367:a
1364:(
1361:+
1358:)
1355:d
1352:2
1349:+
1346:a
1343:(
1340:+
1334:+
1331:)
1328:d
1325:)
1322:2
1316:n
1313:(
1310:+
1307:a
1304:(
1301:+
1298:)
1295:d
1292:)
1289:1
1283:n
1280:(
1277:+
1274:a
1271:(
1268:=
1263:n
1259:S
1232:.
1229:)
1226:d
1223:)
1220:1
1214:n
1211:(
1208:+
1205:a
1202:(
1199:+
1196:)
1193:d
1190:)
1187:2
1181:n
1178:(
1175:+
1172:a
1169:(
1166:+
1160:+
1157:)
1154:d
1151:2
1148:+
1145:a
1142:(
1139:+
1136:)
1133:d
1130:+
1127:a
1124:(
1121:+
1118:a
1115:=
1110:n
1106:S
1082:n
1078:a
1074:+
1069:)
1066:1
1060:n
1057:(
1053:a
1049:+
1043:+
1038:3
1034:a
1030:+
1025:2
1021:a
1017:+
1014:a
1011:=
1006:n
1002:S
962:.
957:2
954:3
946:=
941:2
936:)
930:2
927:1
922:+
917:2
914:3
905:(
901:3
895:=
890:2
887:1
882:+
878:)
872:2
869:1
860:(
856:+
852:)
846:2
843:3
834:(
808:n
804:a
781:1
777:a
750:=
745:2
735:5
729:=
724:2
720:)
714:+
711:2
708:(
705:5
699:=
693:+
687:+
684:8
681:+
678:5
675:+
672:2
644:2
640:)
635:n
631:a
627:+
622:1
618:a
614:(
611:n
595:n
575:=
569:+
563:+
560:8
557:+
554:5
551:+
548:2
512:=
506:+
500:+
494:+
488:+
472:=
469:2
466:+
463:5
460:+
457:8
454:+
448:+
437:=
431:+
425:+
422:8
419:+
416:5
413:+
410:2
326:=
323:n
303:n
280:2
276:)
273:1
270:+
267:n
264:(
261:n
210:.
207:d
204:)
201:1
195:n
192:(
189:+
184:1
180:a
176:=
171:n
167:a
141:n
137:a
116:n
96:d
74:1
70:a
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
