8136:
3794:
5897:
7934:
6947:
4329:
1339:
3783:
2430:
3540:
7357:
1065:
4676:
2694:
5720:
7923:
8131:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
9161:
6783:
6395:
4166:
1150:
7626:
6768:
5705:
3556:
3169:
2242:
3367:
4151:
6958:
6113:
8872:
5333:
8385:
7707:
3005:
5081:
930:
4340:
3329:
2172:
2237:
9260:
8210:
5892:{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}
2507:
7762:
3894:
2501:. Several possibilities exist, among which the Kaliske–Rothert extension has been found to be reasonably accurate. With that extension, the Arruda-Boyce strain energy density function can be expressed as
8996:
4017:
6579:
5509:
3953:
6942:{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}
6520:
4324:{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\lambda ^{2}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{\lambda }}~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.}
1334:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}(x)={\begin{cases}1.31\tan(1.59x)+0.91x&{\text{for}}\ |x|<0.841,\\{\tfrac {1}{\operatorname {sgn}(x)-x}}&{\text{for}}\ 0.841\leq |x|<1.\end{cases}}}
6159:
5450:
4885:
4345:
2794:
7754:
824:
3778:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}~\left{\boldsymbol {B}}}
2425:{\displaystyle \alpha _{1}:={\tfrac {1}{2}}~;~~\alpha _{2}:={\tfrac {1}{20}}~;~~\alpha _{3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={\tfrac {519}{673750}}.}
7403:
5558:
6629:
5566:
4725:
3535:{\displaystyle \mu =C_{1}\left(1+{\tfrac {3}{5\lambda _{m}^{2}}}+{\tfrac {99}{175\lambda _{m}^{4}}}+{\tfrac {513}{875\lambda _{m}^{6}}}+{\tfrac {42039}{67375\lambda _{m}^{8}}}\right)\,.}
3016:
2840:
77:
6621:
2473:
7352:{\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left~;~~\sigma _{22}=0~;~~\sigma _{33}=2C_{1}\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left~.}
1138:
4025:
8945:
8604:
8545:
8486:
5908:
8616:
5127:
2495:
6461:
6432:
5399:
5370:
3828:
7391:
6147:
5115:
2043:
1727:
1647:
8221:
7646:
3359:
9283:
3205:
2860:
898:
2908:
2724:
1677:
1095:
874:
2892:
1060:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {chain} }={\sqrt {\tfrac {I_{1}}{3}}},\quad \beta ={\mathcal {L}}^{-1}\left({\cfrac {\lambda _{\text{chain}}}{\sqrt {n}}}\right),}
8988:
8968:
8439:
8419:
4896:
4671:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&=-p+2C_{1}\lambda ^{2}\left\\\sigma _{22}&=-p+{\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left=\sigma _{33}~.\end{aligned}}}
1697:
922:
847:
626:
3213:
2054:
9325:
Deformation of
Elastomeric Networks: Relation between Molecular Level Deformation and Classical Statistical Mechanics Models of Rubber Elasticity
8401:
The Arruda–Boyce model is based on the statistical mechanics of polymer chains. In this approach, each macromolecule is described as a chain of
6405:
Planar extension tests are carried out on thin specimens which are constrained from deforming in one direction. For planar extension in the
2689:{\displaystyle W=D_{1}\left({\tfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)+C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~({\overline {I}}_{1}^{i}-3^{i})}
2180:
9176:
8147:
7918:{\displaystyle \gamma =\lambda -{\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{1}=\lambda ~;~~\lambda _{2}={\cfrac {1}{\lambda }}~;~~\lambda _{3}=1}
3837:
9156:{\displaystyle \Delta S=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(I_{1}-3)}
619:
3958:
6525:
5455:
3899:
9419:
6390:{\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{5}}}\right)\left=T_{22}~.}
686:
592:
293:
130:
6470:
1729:
is the stretch at which the polymer chain network becomes locked, we can express the Arruda–Boyce strain energy density as
9464:
9459:
5408:
4733:
667:
2729:
9454:
8607:
3797:
Stress-strain curves under uniaxial extension for Arruda–Boyce model compared with various hyperelastic material models.
612:
333:
219:
7715:
288:
7621:{\displaystyle T_{11}={\cfrac {\sigma _{11}}{\lambda }}=2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{3}}}\right)\left~.}
699:
197:
8882:
80:
6763:{\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.}
5700:{\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=2~\lambda ^{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.}
3164:{\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\,.}
9479:
9469:
5514:
9439:
9434:
4684:
2803:
1349:
204:
33:
9474:
7928:
In matrix form, the deformation gradient and the left Cauchy–Green deformation tensor may then be expressed as
6584:
2441:
1360:
An alternative form of the Arruda–Boyce model, using the first five terms of the inverse
Langevin function, is
499:
494:
109:
9429:
4146:{\displaystyle I_{1}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=\lambda ^{2}+{\cfrac {2}{\lambda }}~.}
283:
276:
8878:
1100:
562:
557:
226:
6108:{\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\left=\sigma _{22}~.}
8867:{\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})={\cfrac {b^{3}}{\pi ^{3/2}}}~\exp~;~~b:={\sqrt {\cfrac {3}{2Nl^{2}}}}}
7756:
are reference orthonormal basis vectors in the plane of deformation and the shear deformation is given by
5328:{\displaystyle T_{11}=\sigma _{11}/\lambda =2C_{1}\left(\lambda -{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left~.}
114:
8891:
8550:
9399:
9307:
8494:
8451:
2899:
679:
663:
648:
537:
155:
2478:
6437:
6408:
5375:
5346:
3804:
9409:
6952:
If the directions of the principal stretches are oriented with the coordinate basis vectors, we have
6774:
6464:
5902:
If the directions of the principal stretches are oriented with the coordinate basis vectors, we have
5711:
5402:
4334:
If the directions of the principal stretches are oriented with the coordinate basis vectors, we have
4157:
3831:
2498:
375:
192:
172:
160:
104:
8380:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}\left~{\boldsymbol {B}}}
7702:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {1}}+\gamma ~\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}
1188:
9414:
8491:
If we assume that one end of the chain is at the origin, then the probability that a block of size
640:
577:
425:
318:
24:
7369:
6125:
5093:
1735:
1705:
1366:
9167:
3337:
877:
651:
597:
231:
187:
182:
9424:
9404:
8396:
3000:{\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}{\biggr |}_{I_{1}=3}={\frac {\mu }{2}}\,.}
2797:
1345:
1141:
214:
165:
9268:
3177:
2845:
883:
9328:
7394:
7363:
6150:
6119:
5118:
5087:
552:
527:
440:
415:
410:
365:
2702:
1655:
1073:
852:
5076:{\displaystyle \sigma _{11}=2C_{1}\left(\lambda ^{2}-{\cfrac {1}{\lambda }}\right)\left~.}
2877:
542:
466:
380:
311:
245:
147:
430:
300:
2874:
For the incompressible Arruda–Boyce model to be consistent with linear elasticity, with
8973:
8953:
8424:
8404:
1682:
907:
832:
671:
547:
405:
370:
271:
177:
670:
containing eight chains along the diagonal directions. The material is assumed to be
9448:
9312:
A three-dimensional model for the large stretch behavior of rubber elastic materials,
3324:{\displaystyle \mu =2C_{1}~\sum _{i=1}^{5}i\,\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\,.}
2895:
587:
420:
1344:
For small deformations the Arruda–Boyce model reduces to the
Gaussian network based
9303:
7637:
2863:
675:
572:
567:
532:
264:
9346:
A molecular-statistical basis for the Gent constitutive model of rubber elasticity
3793:
2167:{\displaystyle W=C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~(I_{1}^{i}-3^{i})}
8442:
8441:. If we assume that the initial configuration of a chain can be described by a
582:
485:
9372:
On the finite element implementation of rubber-like materials at finite strains
504:
400:
476:
471:
305:
9170:
has been assumed. Therefore the strain energy of the deformed network is
455:
360:
340:
326:
3550:
The Cauchy stress for the incompressible Arruda–Boyce model is given by
1097:
is the first invariant of the left Cauchy–Green deformation tensor, and
659:
209:
9332:
2232:{\displaystyle \beta :={\tfrac {1}{N}}={\tfrac {1}{\lambda _{m}^{2}}}}
1699:
can also be interpreted as a measure of the limiting network stretch.
901:
655:
350:
9255:{\displaystyle W=-\theta \,dS={\tfrac {1}{2}}nk_{B}\theta (I_{1}-3)}
8205:{\displaystyle I_{1}=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {B}})=3+\gamma ^{2}}
3792:
1352:
is a simple and accurate approximation of the Arruda–Boyce model.
924:
is the number of chains in the network of a cross-linked polymer,
254:
3889:{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{2}=\lambda _{3}}
2048:
We may alternatively express the Arruda–Boyce model in the form
3010:
From the Arruda–Boyce strain energy density function, we have,
390:
8244:
4012:{\displaystyle \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3}^{2}=1/\lambda }
3656:
3579:
1157:
1107:
995:
8547:
around the origin will contain the other end of the chain,
1327:
6574:{\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}
5504:{\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}
3948:{\displaystyle \lambda _{1}~\lambda _{2}~\lambda _{3}=1}
8837:
8825:
8690:
8671:
7874:
7862:
7793:
7781:
7497:
7485:
7442:
7423:
7228:
7216:
7021:
7009:
6853:
6841:
6728:
6716:
6253:
6241:
6198:
6179:
5971:
5959:
5833:
5821:
5671:
5659:
5204:
5192:
4959:
4947:
4768:
4746:
4542:
4520:
4236:
4224:
4124:
4112:
3611:
3596:
3038:
3023:
2930:
2915:
1035:
1016:
791:
773:
9203:
9107:
9013:
8840:
8828:
8693:
8674:
8057:
7951:
7877:
7865:
7796:
7784:
7500:
7488:
7445:
7426:
7231:
7219:
7024:
7012:
6856:
6844:
6731:
6719:
6256:
6244:
6201:
6182:
5974:
5962:
5836:
5824:
5674:
5662:
5207:
5195:
4962:
4950:
4771:
4749:
4545:
4523:
4239:
4227:
4127:
4115:
3614:
3599:
3495:
3463:
3431:
3399:
3041:
3026:
2933:
2918:
2821:
2533:
2408:
2371:
2334:
2297:
2260:
2206:
2191:
1975:
1916:
1857:
1798:
1761:
1584:
1530:
1476:
1429:
1392:
1258:
1038:
1019:
963:
794:
776:
9271:
9179:
8999:
8976:
8956:
8894:
8619:
8553:
8497:
8454:
8427:
8407:
8224:
8150:
7937:
7765:
7718:
7649:
7406:
7372:
6961:
6786:
6632:
6587:
6528:
6515:{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda ,~\lambda _{3}=1}
6473:
6440:
6411:
6162:
6128:
5911:
5723:
5569:
5517:
5458:
5411:
5378:
5349:
5130:
5096:
4899:
4736:
4687:
4343:
4169:
4028:
3961:
3902:
3840:
3807:
3559:
3370:
3340:
3216:
3180:
3019:
2911:
2880:
2848:
2806:
2732:
2705:
2510:
2481:
2444:
2245:
2183:
2057:
1738:
1708:
1685:
1658:
1369:
1153:
1103:
1076:
933:
910:
886:
855:
835:
702:
36:
5445:{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}
4880:{\displaystyle p={\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left~.}
2789:{\displaystyle {\overline {I}}_{1}={I}_{1}J^{-2/3}}
9277:
9254:
9155:
8982:
8970:is a constant. The total entropy in a network of
8962:
8939:
8866:
8598:
8539:
8480:
8433:
8413:
8379:
8204:
8130:
7917:
7748:
7701:
7620:
7385:
7351:
6941:
6762:
6615:
6573:
6514:
6455:
6426:
6389:
6141:
6107:
5891:
5699:
5552:
5503:
5444:
5393:
5364:
5327:
5109:
5075:
4879:
4719:
4670:
4323:
4145:
4011:
3947:
3888:
3822:
3777:
3534:
3353:
3323:
3199:
3163:
2999:
2886:
2854:
2834:
2788:
2718:
2688:
2489:
2475:can be introduced into the strain energy density;
2467:
2424:
2231:
2166:
2037:
1721:
1691:
1671:
1641:
1356:Alternative expressions for the Arruda–Boyce model
1333:
1132:
1089:
1059:
916:
892:
868:
841:
818:
71:
7749:{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}
2956:
2451:
819:{\displaystyle W=Nk_{B}\theta {\sqrt {n}}\left,}
9374:, Engineering Computations, 14(2), pp. 216–232.
5553:{\displaystyle \lambda _{3}=1/\lambda ^{2}\,}
620:
8:
9348:, Journal of Elasticity, 68(1), pp. 167–176.
9314:, J. Mech. Phys. Solids, 41(2), pp. 389–412.
8391:Statistical mechanics of polymer deformation
654:used to describe the mechanical behavior of
4720:{\displaystyle \sigma _{22}=\sigma _{33}=0}
2835:{\displaystyle D_{1}={\tfrac {\kappa }{2}}}
72:{\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}
627:
613:
460:
250:
93:
15:
9323:Bergstrom, J. S. and Boyce, M. C., 2001,
9270:
9237:
9221:
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6612:
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3806:
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3577:
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2468:{\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})}
2457:
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2056:
2015:
2010:
1993:
1988:
1974:
1956:
1951:
1934:
1929:
1915:
1897:
1892:
1875:
1870:
1856:
1838:
1833:
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1811:
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1506:
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1457:
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1380:
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1305:
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1257:
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1231:
1223:
1183:
1162:
1156:
1155:
1152:
1112:
1106:
1105:
1102:
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1075:
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1025:
1020:
1013:
1000:
994:
993:
969:
961:
939:
938:
932:
909:
885:
860:
854:
834:
795:
777:
770:
753:
744:
725:
716:
701:
49:
35:
9344:Horgan, C. O. and Saccomandi, G., 2002,
662:substances. This model is based on the
9293:
8373:
8226:
8176:
8039:
8030:
8022:
7939:
7651:
6788:
5725:
4171:
3771:
3638:
3561:
2483:
2458:
484:
439:
389:
349:
253:
122:
96:
23:
9327:, Macromolecules, 34 (3), pp 614–626,
1679:is a material constant. The quantity
1133:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}(x)}
7:
9299:
9297:
6775:left Cauchy–Green deformation tensor
5712:left Cauchy–Green deformation tensor
4158:left Cauchy–Green deformation tensor
3361:leads to the consistency condition
9370:Kaliske, M. and Rothert, H., 1997,
8940:{\displaystyle s=c-k_{B}b^{2}r^{2}}
8599:{\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}
8445:, then the initial chain length is
9000:
8540:{\displaystyle dx_{1}dx_{2}dx_{3}}
8481:{\displaystyle r_{0}=l{\sqrt {N}}}
8215:and the Cauchy stress is given by
8168:
8165:
3616:
3601:
3043:
3028:
2935:
2920:
952:
949:
946:
943:
940:
14:
9359:Structures under Crash and Impact
5343:For equibiaxial extension in the
2490:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
1348:model. It can be shown that the
849:is the number of chain segments,
7736:
7721:
7689:
7674:
7659:
6923:
6908:
6893:
6878:
6825:
6810:
6456:{\displaystyle \mathbf {n} _{3}}
6443:
6427:{\displaystyle \mathbf {n} _{1}}
6414:
5873:
5858:
5805:
5790:
5762:
5747:
5394:{\displaystyle \mathbf {n} _{2}}
5381:
5365:{\displaystyle \mathbf {n} _{1}}
5352:
4302:
4287:
4272:
4257:
4208:
4193:
3823:{\displaystyle \mathbf {n} _{1}}
3810:
9385:Non-linear elastic deformations
8883:Boltzmann statistical mechanics
7636:The deformation gradient for a
985:
693:Arruda–Boyce model is given by
9420:Strain energy density function
9249:
9230:
9150:
9131:
9097:
9037:
8800:
8797:
8743:
8727:
8662:
8623:
8593:
8554:
8349:
8329:
8180:
8172:
4312:
4252:
3801:For uniaxial extension in the
3334:Substituting in the values of
2683:
2645:
2462:
2454:
2161:
2130:
2027:
2003:
1968:
1944:
1909:
1885:
1850:
1826:
1791:
1772:
1631:
1607:
1577:
1553:
1523:
1499:
1469:
1445:
1422:
1403:
1314:
1306:
1276:
1270:
1240:
1232:
1209:
1200:
1177:
1171:
1127:
1121:
687:strain energy density function
1:
1144:which can be approximated by
668:representative volume element
8608:probability density function
7386:{\displaystyle \lambda -1\,}
6142:{\displaystyle \lambda -1\,}
5110:{\displaystyle \lambda -1\,}
3546:Stress-deformation relations
2739:
2654:
2038:{\displaystyle W=C_{1}\left}
1722:{\displaystyle \lambda _{m}}
1642:{\displaystyle W=C_{1}\left}
682:, who published it in 1993.
6463:direction constrained, the
3354:{\displaystyle \alpha _{i}}
2726:is a material constant and
674:. The model is named after
666:of a material with a cubic
9496:
8394:
6522:. From incompressibility
5452:. From incompressibility
3896:. From incompressibility
9440:Gent (hyperelastic model)
9435:Yeoh (hyperelastic model)
8421:segments, each of length
7640:deformation has the form
6777:can then be expressed as
5714:can then be expressed as
4160:can then be expressed as
9357:Hiermaier, S. J., 2008,
2796:. For consistency with
131:Clausius–Duhem (entropy)
81:Fick's laws of diffusion
9278:{\displaystyle \theta }
8881:of a single chain from
8879:configurational entropy
3200:{\displaystyle I_{1}=3}
2855:{\displaystyle \kappa }
893:{\displaystyle \theta }
289:Navier–Stokes equations
227:Material failure theory
9279:
9256:
9157:
8984:
8964:
8941:
8868:
8606:, assuming a Gaussian
8600:
8541:
8482:
8435:
8415:
8381:
8290:
8206:
8132:
7919:
7750:
7703:
7622:
7547:
7387:
7353:
7278:
7071:
6943:
6764:
6617:
6575:
6516:
6457:
6428:
6391:
6303:
6143:
6109:
6021:
5893:
5701:
5554:
5505:
5446:
5395:
5366:
5329:
5254:
5111:
5077:
5002:
4881:
4806:
4721:
4672:
4580:
4422:
4325:
4147:
4013:
3949:
3890:
3824:
3798:
3779:
3705:
3536:
3355:
3325:
3259:
3201:
3165:
3097:
3001:
2888:
2856:
2836:
2790:
2720:
2690:
2612:
2491:
2469:
2426:
2233:
2168:
2097:
2039:
1723:
1693:
1673:
1643:
1335:
1134:
1091:
1061:
918:
900:is the temperature in
894:
870:
843:
820:
73:
9400:Hyperelastic material
9280:
9257:
9158:
8985:
8965:
8942:
8869:
8601:
8542:
8483:
8436:
8416:
8382:
8270:
8207:
8133:
7920:
7751:
7704:
7623:
7527:
7388:
7354:
7258:
7051:
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