5176:
36:
832:
854:
426:
in an infinite-dimensional
Hilbert space which is closed and bounded but not weakly compact since it doesn't contain 0). However, bounded and weakly closed sets are weakly compact so as a consequence every convex bounded closed set is weakly
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284:
540:
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1367:
1074:
999:
466:
416:
2734:
422:
contains a weakly convergent subsequence. Note that closed and bounded sets are not in general weakly compact in
Hilbert spaces (consider the set consisting of an
1025:
548:
and this inequality is strict whenever the convergence is not strong. For example, infinite orthonormal sequences converge weakly to zero, as demonstrated below.
4728:
4449:
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2902:
2831:
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1661:
1506:
1113:
947:
827:{\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}
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46:
216:
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4616:
3364:
3147:
1925:
and zero otherwise. We claim that if the sequence is infinite, then it converges weakly to zero. A simple proof is as follows. For
5100:
3282:
3125:
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2044:
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1784:
norms. This dissimilarity is one of the reasons why this type of convergence is considered to be "weak."
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381:
If a sequence converges strongly (that is, if it converges in norm), then it converges weakly as well.
5119:
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279:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }
5003:
4843:
4839:
4835:
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4232:
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3887:
3728:
3476:
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2103:(since the series above converges, its corresponding sequence must go to zero)
3998:
3243:
3207:
535:{\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}
853:
4301:
4264:
4148:
4074:
4034:
3937:
3760:
2545:
1683:
goes to infinity, it is of course not equal to the zero function for any
1212:
142:
1201:{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}
4069:
3903: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
3152:
2979:
2014:{\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}
2959:
2924:, so one obtains the Hilbert space definition of weak convergence.
4470:
1591:{\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}
4710:
4474:
2983:
29:
2096:{\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0}
1877:{\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}}
1443:{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}
2941:â topologies on the set of operators on a Hilbert space
57:
2329:
The definition of weak convergence can be extended to
2293:{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}
624:{\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }
372:
is sometimes used to denote this kind of convergence.
4389:
4315:
4277:
4238:
4186:
4089:
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2200:
2173:
2148:{\displaystyle \langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.}
2116:
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637:
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559:
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388:(its closure in the weak topology is compact), every
342:
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3308:
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3018:
840:If the Hilbert space is finite-dimensional, i.e. a
5066:Spectral theory of ordinary differential equations
4417:
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2877:{\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }
2876:
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1819:which was constructed to be orthonormal, that is,
1811:
1776:
1749:
1722:
1695:
1675:
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1068:
1019:
993:
967:
941:
906:
844:, then weak and strong convergence are equivalent.
826:
656:
623:
578:
534:
460:
410:
361:
321:
278:
186:
1453:tends to zero for any square-integrable function
498:
221:
2799:{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
2666:{\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }
4342:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
434:, every weakly convergent sequence is bounded.
4722:
4486:
4450:Mathematical formulation of quantum mechanics
2995:
384:Since every closed and bounded set is weakly
322:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
8:
2871:
2859:
2136:
2117:
2072:
2053:
2002:
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1977:
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1567:
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1542:
1137:
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606:
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513:
491:
485:
316:
304:
273:
261:
255:
236:
62:introducing citations to additional sources
1115:equipped with the inner product defined by
4757:
4729:
4715:
4707:
4493:
4479:
4471:
3002:
2988:
2980:
857:The first three functions in the sequence
4406:
4388:
4329:
4325:
4324:
4314:
4282:
4276:
4243:
4237:
4191:
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4125:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
4115:
4114:
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2115:
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1892:
1865:
1849:
1836:
1827:
1803:
1797:
1788:Weak convergence of orthonormal sequences
1768:
1762:
1741:
1735:
1714:
1708:
1688:
1668:
1633:
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1606:
1549:
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1513:
1478:
1458:
1430:
1388:
1383:
1377:
1335:
1329:
1324:converges weakly to the zero function in
1275:
1269:
1239:
1226:
1220:
1188:
1152:
1147:
1123:
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520:
501:
483:
452:
446:
402:
396:
347:
341:
302:
243:
224:
218:
175:
166:
5019:Group algebra of a locally compact group
852:
52:Relevant discussion may be found on the
4215:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
2951:
4455:Ordinary Differential Equations (ODEs)
3569:BanachâSteinhaus (Uniform boundedness)
2038:} is a Hilbert space basis. Therefore
362:{\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}
2709:{\displaystyle y\in \,L^{q}(\Omega )}
73:"Weak convergence" Hilbert space
27:Type of convergence in Hilbert spaces
7:
968:{\displaystyle n\rightarrow \infty }
2167:states that every bounded sequence
1628:has an increasing number of 0's in
1254:{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }
333:on the Hilbert space. The notation
4283:
4244:
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1742:
962:
508:
437:The norm is (sequentially) weakly
231:
25:
4617:Compact operator on Hilbert space
3947:Subsets / set operations
3724:Differentiation in Fréchet spaces
2833:is a Hilbert space, then, by the
1314:{\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}
907:{\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}
5175:
5174:
5101:Topological quantum field theory
2426:{\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}
432:principle of uniform boundedness
45:relies largely or entirely on a
34:
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4897:Uniform boundedness principle
2590:{\displaystyle p<+\infty }
1215:). The sequence of functions
3526:Singular value decomposition
2835:Riesz representation theorem
1910:{\displaystyle \delta _{mn}}
4291:{\displaystyle L^{\infty }}
4059:{\displaystyle ba(\Sigma )}
3928:Radially convex/Star-shaped
2029:where equality holds when {
1750:{\displaystyle L_{\infty }}
1078:square-integrable functions
5222:
5040:Invariant subspace problem
4586:Hilbert projection theorem
4418:{\displaystyle W(X,L^{p})}
2318:
657:{\displaystyle x_{n}\to x}
579:{\displaystyle x_{n}\to x}
5201:Convergence (mathematics)
5170:
4760:
4565:CauchyâSchwarz inequality
3964:Algebraic interior (core)
3579:CauchyâSchwarz inequality
3222:Function space Topologies
2221:{\displaystyle x_{n_{k}}}
5009:Spectrum of a C*-algebra
430:As a consequence of the
329:is understood to be the
5106:Noncommutative geometry
2964:dept.math.lsa.umich.edu
2753:{\displaystyle \Omega }
2561:{\displaystyle \Omega }
2433:for any bounded linear
2359:{\displaystyle (x_{n})}
2333:. A sequence of points
2194:contains a subsequence
187:{\displaystyle (x_{n})}
5162:TomitaâTakesaki theory
5137:Approximation property
5081:Calculus of variations
4419:
4343:
4292:
4253:
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4126:
4060:
3229:BanachâMazur compactum
3019:Types of Banach spaces
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3901:Convex series related
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58:improve this article
5086:Functional calculus
5045:Mahler's conjecture
5024:Von Neumann algebra
4738:Functional analysis
4591:Parseval's identity
4560:Bessel's inequality
4110:
3848:measurable function
3798:Functional calculus
3661:Parseval's identity
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3300:Uniform convergence
3058:Inner product space
2939:Operator topologies
2476:, that is, for any
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2159:BanachâSaks theorem
2023:Bessel's inequality
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194:in a Hilbert space
18:BanachâSaks theorem
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424:orthonormal basis
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