2558:
5742:
1948:
5525:
5763:
5731:
5800:
5773:
5753:
2553:{\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}\\&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}
1059:
3069:
745:
3415:
2818:
1953:
1318:
4831:
3730:
2747:
1054:{\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}
4570:
750:
3247:
3064:{\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}
1781:
4276:
4757:
4290:
In applications, the existence and uniqueness of a fixed point often can be shown directly with the standard Banach fixed point theorem, by a suitable choice of the metric that makes the map
726:
3120:
1876:
1589:
589:
4680:
273:
1191:
4496:
1914:
4305:, e.g. by weakening the defining axioms for the notion of metric. Some of these have applications, e.g., in the theory of programming semantics in theoretical computer science.
1675:
2653:
2587:
1644:
1498:
644:
4619:
4295:
3903:
It can be used to give sufficient conditions under which Newton's method of successive approximations is guaranteed to work, and similarly for
Chebyshev's third-order method.
4368:
478:
4005:
3188:
2625:
1538:
538:
193:
1389:
391:
311:
4052:
670:
147:
1217:
4095:
1940:
4438:
3564:
3537:
3510:
3215:
3152:
505:
425:
349:
111:
1435:
1412:
5803:
3749:. The sought solution of the differential equation is expressed as a fixed point of a suitable integral operator on the space of continuous functions under the
3584:
3478:
3458:
3438:
3239:
2810:
2790:
2770:
1828:
1808:
1460:
1341:
1112:
1092:
4873:
5824:
62:
of certain self-maps of metric spaces and provides a constructive method to find those fixed points. It can be understood as an abstract formulation of
1225:
4776:
5304:
5237:
5209:
5077:
3592:
2661:
1787:
4504:
5437:
5791:
5786:
5389:
5369:
5350:
5327:
5154:
4922:
1347:, then this weaker assumption does imply the existence and uniqueness of a fixed point, that can be easily found as a minimizer of
4117:
satisfies the conditions of the Banach contraction principle with contraction constant 1/2. In this case the metric is in fact an
3410:{\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}
4858:
5119:
5781:
5010:
4967:
1683:
4148:
be a map on a complete non-empty metric space. Then, for example, some generalizations of the Banach fixed-point theorem are:
3742:
4313:
An application of the Banach fixed-point theorem and fixed-point iteration can be used to quickly obtain an approximation of
3916:
It can be used to prove existence and uniqueness of solutions to value iteration, policy iteration, and policy evaluation of
3746:
5829:
5683:
4235:
4688:
4294:
a contraction. Indeed, the above result by
Bessaga strongly suggests to look for such a metric. See also the article on
51:
4848:
4843:
675:
5029:
4065:
3218:
3077:
1833:
1546:
546:
398:
59:
5834:
5762:
5490:
4631:
3895:
201:
5776:
4950:
3756:
One consequence of the Banach fixed-point theorem is that small
Lipschitz perturbations of the identity are
1122:
5027:
Günther, Matthias (1989). "Zum
Einbettungssatz von J. Nash" [On the embedding theorem of J. Nash].
3753:. The Banach fixed-point theorem is then used to show that this integral operator has a unique fixed point.
5711:
5706:
5632:
5509:
5497:
5470:
5430:
3917:
3910:
5287:
Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). "Banach
Contraction Principle and Applications".
1885:
5553:
5480:
4863:
1649:
355:
63:
5741:
2630:
2566:
1594:
1465:
594:
5701:
5653:
5627:
5475:
4586:
4443:
3937:
3757:
4320:
434:
5752:
5548:
4878:
4868:
4853:
3924:
736:
150:
5746:
5696:
5617:
5607:
5485:
5465:
5409:
4898:
4576:
3969:
3157:
1070:
5716:
2592:
1510:
510:
160:
1350:
361:
281:
5839:
5734:
5600:
5558:
5423:
5385:
5365:
5346:
5323:
5315:
5300:
5233:
5205:
5150:
5144:
5102:
5073:
5065:
4943:"Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales"
4918:
4902:
4025:
3960:
3956:
649:
120:
1196:
5514:
5460:
5292:
5266:
5197:
5140:
5111:
5038:
5000:
4959:
4906:
4074:
1919:
5050:
4385:
3542:
3515:
3483:
3193:
3125:
483:
403:
322:
84:
5573:
5568:
5046:
4625:
is the unique fixed point on the interval, allowing for fixed-point iteration to be used.
4301:
A different class of generalizations arise from suitable generalizations of the notion of
1879:
1414:
It then easily follows that the fixed point is the limit of any sequence of iterations of
1219:
is in general not enough to ensure the existence of a fixed point, as is shown by the map
17:
4022:
Indeed, very weak assumptions suffice to obtain such a kind of converse. For example if
1417:
1394:
5663:
5595:
5338:
5254:
5225:
5170:
3569:
3463:
3443:
3423:
3224:
2795:
2775:
2755:
1813:
1793:
1445:
1326:
1097:
1077:
5115:
5094:
5818:
5673:
5583:
5563:
5173:; Seda, Anthony K. (2001). "A 'Converse' of the Banach Contraction Mapping Theorem".
4938:
3936:
Several converses of the Banach contraction principle exist. The following is due to
1344:
67:
5766:
4985:
4942:
3906:
It can be used to prove existence and uniqueness of solutions to integral equations.
5658:
5578:
5524:
5136:
4302:
3750:
1442:
When using the theorem in practice, the most difficult part is typically to define
114:
55:
5401:
5095:"Existence and Uniqueness of Cournot Equilibrium: A Contraction Mapping Approach"
5756:
5668:
5296:
5201:
4118:
31:
5005:
5612:
5543:
5502:
5405:
4628:
For example, the value 3 may be chosen to start the fixed-point iteration, as
5192:
Latif, Abdul (2014). "Banach
Contraction Principle and its Generalizations".
5042:
5637:
5270:
4130:
1391:, indeed, a minimizer exists by compactness, and has to be a fixed point of
1094:, and the smallest one is sometimes called "the best Lipschitz constant" of
352:
4963:
1313:{\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}
5622:
5590:
5539:
5446:
4055:
1541:
541:
4826:{\displaystyle f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\ldots \,.}
5257:(2010). "Generalized Distance Functions in the Theory of Computation".
3725:{\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}
4621:). Applying the Banach fixed-point theorem shows that the fixed point
3923:
It can be used to prove existence and uniqueness of an equilibrium in
2742:{\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}
4129:
There are a number of generalizations (some of which are immediate
4915:
An
Introduction to Variational Inequalities and Their Applications
4565:{\displaystyle 0\leq 1+\cos(x)\leq 1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}<1}
5419:
3894:). A direct consequence of this result yields the proof of the
5064:
Lewis, Frank L.; Vrabie, Draguna; Syrmos, Vassilis L. (2012).
4682:. The Banach fixed-point theorem may be used to conclude that
5415:
3745:
about the existence and uniqueness of solutions to certain
735:
The following inequalities are equivalent and describe the
5149:. Cambridge: Harvard University Press. pp. 508–516.
1776:{\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}
507:
can be found as follows: start with an arbitrary element
5382:
3760:
homeomorphisms. Let Ω be an open set of a Banach space
5322:(2nd ed.). New York: Springer. pp. 121–135.
5072:. New York: John Wiley & Sons. pp. 461–517 .
4575:
on this interval. Therefore, by an application of the
1295:
5066:"Reinforcement Learning and Optimal Adaptive Control"
4779:
4766:
to 3 only three times already yields an expansion of
4691:
4634:
4589:
4507:
4446:
4388:
4323:
4238:
4077:
4028:
3972:
3595:
3572:
3545:
3518:
3486:
3466:
3446:
3426:
3250:
3227:
3196:
3160:
3128:
3080:
2821:
2798:
2778:
2758:
2664:
2633:
2595:
2569:
1951:
1922:
1888:
1836:
1816:
1796:
1686:
1652:
1597:
1549:
1513:
1468:
1448:
1420:
1397:
1353:
1329:
1228:
1199:
1125:
1100:
1080:
748:
678:
652:
597:
549:
513:
486:
437:
406:
364:
325:
284:
204:
163:
123:
87:
4271:{\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}
5682:
5646:
5532:
5453:
5230:
Mathematical
Aspects of Logic Programming Semantics
4296:
fixed point theorems in infinite-dimensional spaces
4825:
4752:{\displaystyle \pi =f(f(f(\cdots f(3)\cdots )))).}
4751:
4674:
4613:
4564:
4490:
4432:
4362:
4270:
4089:
4046:
3999:
3724:
3578:
3558:
3531:
3504:
3472:
3452:
3432:
3409:
3233:
3209:
3182:
3146:
3114:
3063:
2804:
2784:
2764:
2741:
2647:
2619:
2581:
2552:
1934:
1908:
1870:
1822:
1802:
1775:
1669:
1638:
1583:
1532:
1492:
1454:
1429:
1406:
1383:
1335:
1312:
1211:
1185:
1106:
1086:
1053:
720:
664:
638:
583:
532:
499:
472:
419:
385:
343:
305:
267:
187:
141:
105:
5320:Ordinary Differential Equations with Applications
5410:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
3346:
3294:
3265:
1830:is a contraction mapping. Then we can show that
680:
58:; it guarantees the existence and uniqueness of
3858: : Ω → Ω′ is a bi-Lipschitz homeomorphism;
721:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}
5431:
5380:Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001).
4583:has a Lipschitz constant less than 1 (namely
8:
3774:denote the identity (inclusion) map and let
3440:is continuous, so bringing the limit inside
64:Picard's method of successive approximations
4917:. New York: Academic Press. pp. 7–22.
4874:Infinite compositions of analytic functions
3741:A standard application is the proof of the
3115:{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1871:{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1584:{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
584:{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
5799:
5772:
5438:
5424:
5416:
5093:Long, Ngo Van; Soubeyran, Antoine (2000).
4986:"On Stefan Banach and some of his results"
4317:with high accuracy. Consider the function
3512:, since any pair of distinct fixed points
5004:
4819:
4778:
4690:
4675:{\displaystyle 3\pi /4\leq 3\leq 5\pi /4}
4664:
4641:
4633:
4604:
4599:
4588:
4544:
4506:
4445:
4417:
4400:
4387:
4322:
4253:
4243:
4237:
4076:
4027:
3971:
3710:
3697:
3672:
3659:
3634:
3612:
3594:
3571:
3550:
3544:
3523:
3517:
3485:
3480:cannot have more than one fixed point in
3465:
3445:
3425:
3395:
3365:
3349:
3319:
3297:
3284:
3268:
3255:
3249:
3226:
3201:
3195:
3165:
3159:
3127:
3106:
3105:
3098:
3088:
3079:
3030:
3017:
3004:
2978:
2965:
2932:
2903:
2890:
2877:
2861:
2845:
2832:
2820:
2797:
2777:
2757:
2724:
2711:
2678:
2669:
2663:
2641:
2640:
2632:
2594:
2568:
2521:
2508:
2495:
2479:
2459:
2449:
2438:
2425:
2412:
2396:
2376:
2354:
2343:
2330:
2317:
2301:
2278:
2265:
2249:
2227:
2214:
2192:
2176:
2163:
2141:
2118:
2099:
2065:
2046:
2018:
2005:
1979:
1966:
1952:
1950:
1921:
1902:
1901:
1887:
1862:
1861:
1854:
1844:
1835:
1815:
1795:
1761:
1748:
1732:
1716:
1697:
1685:
1660:
1659:
1651:
1621:
1602:
1596:
1575:
1574:
1567:
1557:
1548:
1518:
1512:
1467:
1447:
1419:
1396:
1352:
1328:
1306:
1294:
1272:
1271:
1227:
1198:
1124:
1099:
1079:
1035:
1022:
987:
974:
948:
929:
901:
879:
866:
840:
827:
798:
792:
776:
763:
749:
747:
712:
699:
683:
677:
651:
621:
602:
596:
575:
574:
567:
557:
548:
518:
512:
491:
485:
464:
448:
436:
411:
405:
363:
324:
283:
203:
162:
122:
86:
70:(1892–1945) who first stated it in 1922.
5400:This article incorporates material from
4109:, then there already exists a metric on
268:{\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}
4890:
4007:then there exists a complete metric on
1323:which lacks a fixed point. However, if
5291:. Singapore: Springer. pp. 1–23.
5146:Recursive Methods in Economic Dynamics
3909:It can be used to give a proof to the
1186:{\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}
7:
3927:, and other dynamic economic models.
3566:would contradict the contraction of
5362:Fixed Point Theory: An Introduction
5289:Fixed Point Theory in Metric Spaces
4814:3.141592653589793238462643383279502
4240:
1909:{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }
4262:
3356:
3304:
3275:
2450:
1670:{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
1262:
1244:
690:
25:
5825:Eponymous theorems of mathematics
5175:Journal of Electrical Engineering
2648:{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
2582:{\displaystyle \varepsilon >0}
5798:
5771:
5761:
5751:
5740:
5730:
5729:
5523:
5125:from the original on 2004-12-30.
5016:from the original on 2009-05-30.
4973:from the original on 2011-06-07.
1639:{\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}
1493:{\displaystyle T(X)\subseteq X.}
639:{\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}
4614:{\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}
4491:{\displaystyle f'(x)=1+\cos(x)}
3782:be a Lipschitz map of constant
3747:ordinary differential equations
5408:, which is licensed under the
5364:. The Netherlands: D. Reidel.
5360:Istrăţescu, Vasile I. (1981).
4984:Ciesielski, Krzysztof (2007).
4807:
4804:
4801:
4795:
4789:
4783:
4743:
4740:
4737:
4734:
4728:
4722:
4713:
4707:
4701:
4532:
4526:
4498:, and it can be verified that
4485:
4479:
4461:
4455:
4363:{\displaystyle f(x)=\sin(x)+x}
4351:
4345:
4333:
4327:
4038:
3991:
3979:
3966:has a unique fixed point. Let
3716:
3690:
3678:
3652:
3643:
3640:
3627:
3618:
3605:
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3499:
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3312:
3301:
3272:
3141:
3129:
3122:is Cauchy. By completeness of
3095:
3081:
3074:This proves that the sequence
3023:
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2984:
2958:
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1156:
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454:
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208:
182:
170:
133:
100:
88:
1:
5345:. New York: Springer-Verlag.
5116:10.1016/S0165-1765(00)00211-1
4907:"Variational Inequalities in
4859:Fichera's existence principle
4019:is the contraction constant.
1646:. We first note that for all
66:. The theorem is named after
5196:. Springer. pp. 33–64.
5194:Topics in Fixed Point Theory
3886:a Lipschitz map of constant
5297:10.1007/978-981-13-2913-5_1
5202:10.1007/978-3-319-01586-6_2
4849:Caristi fixed-point theorem
4844:Brouwer fixed-point theorem
4000:{\displaystyle q\in (0,1),}
3183:{\displaystyle x^{*}\in X.}
3154:, the sequence has a limit
358:with a contraction mapping
317:Banach fixed-point theorem.
44:contractive mapping theorem
40:contraction mapping theorem
27:Theorem about metric spaces
5856:
5692:Banach fixed-point theorem
5402:Banach fixed point theorem
4370:. It can be verified that
3799:)(Ω) is an open subset of
3420:As a contraction mapping,
2620:{\displaystyle q\in [0,1)}
1540:be arbitrary and define a
1533:{\displaystyle x_{0}\in X}
533:{\displaystyle x_{0}\in X}
188:{\displaystyle q\in [0,1)}
48:Banach–Caccioppoli theorem
36:Banach fixed-point theorem
18:Banach fixed point theorem
5725:
5521:
5030:Mathematische Nachrichten
4286:has a unique fixed point.
4164:has a unique fixed point.
4152:Assume that some iterate
1384:{\displaystyle d(x,T(x))}
386:{\displaystyle T:X\to X.}
306:{\displaystyle x,y\in X.}
5384:. New York: John Wiley.
5314:Chicone, Carmen (2006).
5232:. Chapman and Hall/CRC.
5228:; Seda, Anthony (2010).
5043:10.1002/mana.19891440113
5006:10.15352/bjma/1240321550
4047:{\displaystyle f:X\to X}
3955:be a map of an abstract
3896:inverse function theorem
665:{\displaystyle n\geq 1.}
142:{\displaystyle T:X\to X}
4951:Fundamenta Mathematicae
4770:accurate to 33 digits:
4160:is a contraction. Then
3871:) is still of the form
3743:Picard–Lindelöf theorem
3460:was justified. Lastly,
2752:Therefore, by choosing
1677:we have the inequality
1212:{\displaystyle x\neq y}
5747:Mathematics portal
5647:Metrics and properties
5633:Second-countable space
4964:10.4064/fm-3-1-133-181
4827:
4753:
4676:
4615:
4566:
4492:
4434:
4364:
4272:
4113:with respect to which
4091:
4090:{\displaystyle x\in X}
4048:
4001:
3918:reinforcement learning
3911:Nash embedding theorem
3726:
3580:
3560:
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3474:
3454:
3434:
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3211:
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3148:
3116:
3065:
2806:
2786:
2766:
2743:
2649:
2627:, we can find a large
2621:
2583:
2554:
2454:
2371:
1936:
1935:{\displaystyle m>n}
1910:
1872:
1824:
1810:, using the fact that
1804:
1777:
1671:
1640:
1585:
1534:
1494:
1456:
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1385:
1337:
1314:
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1187:
1108:
1088:
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730:
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640:
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107:
5271:10.1093/comjnl/bxm108
4864:Fixed-point iteration
4828:
4754:
4677:
4616:
4567:
4493:
4440:to itself. Moreover,
4435:
4433:{\displaystyle \left}
4365:
4298:for generalizations.
4273:
4167:Assume that for each
4092:
4071:, such that for each
4049:
4002:
3803:: precisely, for any
3727:
3581:
3561:
3559:{\displaystyle p_{2}}
3534:
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3475:
3455:
3435:
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3185:
3149:
3147:{\displaystyle (X,d)}
3117:
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2767:
2744:
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2584:
2555:
2434:
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1937:
1911:
1882:. In particular, let
1873:
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500:{\displaystyle x^{*}}
475:
422:
420:{\displaystyle x^{*}}
388:
356:complete metric space
346:
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314:
308:
270:
190:
144:
108:
106:{\displaystyle (X,d)}
5830:Fixed-point theorems
5702:Invariance of domain
5654:Euler characteristic
5628:Bundle (mathematics)
5259:The Computer Journal
5141:Lucas, Robert E. Jr.
4993:Banach J. Math. Anal
4869:Fixed-point theorems
4777:
4689:
4632:
4587:
4505:
4444:
4386:
4374:is a fixed point of
4321:
4236:
4075:
4026:
4015:is contractive, and
3970:
3593:
3570:
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3444:
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2631:
2593:
2589:be arbitrary. Since
2567:
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1446:
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1078:
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737:speed of convergence
676:
650:
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511:
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435:
404:
362:
323:
282:
202:
161:
121:
85:
5712:Tychonoff's theorem
5707:Poincaré conjecture
5461:General (point-set)
4899:Kinderlehrer, David
4879:Kantorovich theorem
4854:Contraction mapping
3925:Cournot competition
151:contraction mapping
38:(also known as the
5697:De Rham cohomology
5618:Polyhedral complex
5608:Simplicial complex
5343:Fixed Point Theory
5253:Seda, Anthony K.;
4903:Stampacchia, Guido
4823:
4749:
4672:
4611:
4577:mean value theorem
4562:
4488:
4430:
4382:maps the interval
4360:
4268:
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1304:
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1084:
1071:Lipschitz constant
1064:Any such value of
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103:
50:) is an important
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5103:Economics Letters
5079:978-1-118-12272-3
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4553:
4062:topological space
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3433:{\displaystyle T}
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1462:properly so that
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1303:
1107:{\displaystyle T}
1087:{\displaystyle T}
917:
815:
679:
54:in the theory of
16:(Redirected from
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3555:
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3511:
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3479:
3477:
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3471:
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3457:
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3416:
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