1997:
1035:
1992:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\operatorname {per} {\begin{bmatrix}F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{1})&F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})\cdots F_{1}(x_{2})-F_{1}(x_{1})&\cdots &1-F_{1}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{1})&F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})\cdots F_{2}(x_{2})-F_{2}(x_{1})&\cdots &1-F_{2}(x_{k})\cdots 1-F_{1}(x_{k})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\underbrace {F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{1})} _{i_{1}}&\underbrace {F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})\cdots F_{n}(x_{2})-F_{n}(x_{1})} _{i_{2}-i_{1}}&\cdots &\underbrace {1-F_{n}(x_{k})\cdots 1-F_{n}(x_{k})} _{n-i_{k}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
1024:
2671:
484:
2127:
1019:{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})&=\Pr(X_{(n_{1})}\leq x_{1}\land X_{(n_{2})}\leq x_{2}\land \cdots \land X_{(n_{k})}\leq x_{k})\\&=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}{\frac {P_{i_{1},\ldots ,i_{k}}(x_{1},\ldots ,x_{k})}{i_{1}!(i_{2}-i_{1})!\cdots (n-i_{k})!}},\end{aligned}}}
2666:{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(n_{1})},\ldots ,X_{(n_{k})}}(x_{1},\ldots ,x_{k})=\sum _{i_{k}=n_{k}}^{n}\cdots \sum _{i_{2}=n_{2}}^{i_{3}}\sum _{i_{1}=n_{1}}^{i_{2}}n!{\frac {F(x_{1})^{i_{1}}}{i_{1}!}}{\frac {(1-F(x_{k}))^{n-i_{k}}}{(n-i_{k})!}}\prod \limits _{j=2}^{k}{\frac {\left^{i_{j}-i_{j-1}}}{(i_{j}-i_{j-1})!}}.\end{aligned}}}
2717:
Glueck and co-authors note that the Bapat‒Beg formula is computationally intractable, because it involves an exponential number of permanents of the size of the number of random variables. However, when the random variables have only two possible distributions, the complexity can be reduced to
2132:
1040:
489:
476:
417:
225:
302:
2075:
135:
358:
2755:
2115:
2795:
2775:
2082:
2078:
2708:
are not imposed, some of the inequalities "may be redundant and the probability can be evaluated after making the necessary reduction."
138:
44:
2965:
25:
51:
and M.I. Beg published the theorem in 1989, though they did not offer a proof. A simple proof was offered by Hande in 1994.
2960:
2898:"Fast computation by block permanents of cumulative distribution functions of order statistics from several populations"
422:
363:
144:
230:
62:. The Bapat–Beg theorem describes the order statistics when each element of the sample is obtained from a different
33:
2021:
81:
67:
59:
307:
2820:
Bapat, R. B.; Beg, M. I. (1989). "Order
Statistics for Nonidentically Distributed Variables and Permanents".
2003:
37:
63:
55:
2909:
2867:
2829:
17:
2721:
2937:
2087:
2927:
2919:
2858:
Hande, Sayaji (1994). "A Note on Order
Statistics for Nondentically Distributed Variables".
29:
2879:
2841:
2875:
2837:
40:
2932:
2897:
2780:
2760:
48:
2954:
2007:
2682:
No assumption of continuity of the cumulative distribution functions is needed.
2923:
2941:
304:
for the order statistics. Then the joint probability distribution of the
2871:
2833:
2757:. Thus, in the case of two populations, the complexity is polynomial in
2896:
Glueck; Anis
Karimpour-Fard; Jan Mandel; Larry Hunter; Muller (2008).
2914:
2860:
Sankhyā: The Indian
Journal of Statistics, Series A (1961–2002)
2822:
Sankhyā: The Indian
Journal of Statistics, Series A (1961–2002)
2010:. (The figures under the braces show the number of columns.)
58:
are obtained from the same population and thus have the same
1128:
2783:
2763:
2724:
2130:
2090:
2024:
1038:
487:
425:
366:
310:
233:
147:
84:
2789:
2769:
2749:
2665:
2109:
2069:
1991:
1018:
471:{\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k}}
470:
412:{\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{k}}
411:
352:
296:
220:{\displaystyle F_{1}(x),F_{2}(x),\ldots ,F_{n}(x)}
219:
129:
2902:Communications in Statistics – Theory and Methods
2891:
2889:
137:be independent real valued random variables with
2853:
2851:
2815:
2813:
2811:
2809:
596:
297:{\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\ldots ,X_{(n)}}
8:
2083:cumulative probability distribution function
2931:
2913:
2782:
2762:
2735:
2723:
2635:
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2600:
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2582:
2562:
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2463:
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2405:
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2386:
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2363:
2349:
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2257:
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2152:
2144:
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2131:
2129:
2095:
2089:
2070:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
2061:
2042:
2029:
2023:
1969:
1958:
1943:
1930:
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1848:
1833:
1820:
1804:
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1762:
1746:
1733:
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1715:
1710:
1695:
1682:
1666:
1653:
1646:
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1566:
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1527:
1511:
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1482:
1469:
1453:
1440:
1425:
1412:
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1383:
1366:
1353:
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1318:
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1148:
1135:
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1037:
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486:
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403:
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309:
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257:
238:
232:
202:
174:
152:
146:
130:{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}
121:
102:
89:
83:
2014:Independent identically distributed case
353:{\displaystyle n_{1},n_{2}\ldots ,n_{k}}
2805:
2079:independent and identically distributed
7:
2777:for any fixed number of statistics
2502:
14:
139:cumulative distribution functions
45:cumulative distribution functions
2018:In the case when the variables
2744:
2728:
2647:
2615:
2574:
2555:
2546:
2533:
2492:
2473:
2449:
2445:
2432:
2420:
2383:
2369:
2229:
2197:
2190:
2177:
2158:
2145:
1949:
1936:
1914:
1901:
1839:
1826:
1810:
1797:
1781:
1768:
1752:
1739:
1701:
1688:
1672:
1659:
1620:
1607:
1585:
1572:
1546:
1533:
1517:
1504:
1488:
1475:
1459:
1446:
1431:
1418:
1402:
1389:
1372:
1359:
1337:
1324:
1298:
1285:
1269:
1256:
1240:
1227:
1211:
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1183:
1170:
1154:
1141:
1111:
1079:
1000:
981:
972:
946:
928:
896:
722:
704:
691:
659:
646:
620:
607:
599:
586:
554:
547:
534:
515:
502:
289:
283:
264:
258:
245:
239:
214:
208:
186:
180:
164:
158:
26:joint probability distribution
1:
54:Often, all elements of the
2982:
66:and therefore has its own
2924:10.1080/03610920802001896
2750:{\displaystyle O(m^{2k})}
47:of the random variables.
2121:the theorem reduces to
68:probability distribution
60:probability distribution
2110:{\displaystyle F_{i}=F}
360:order statistics (with
38:identically distributed
2966:Theorems in statistics
2791:
2771:
2751:
2667:
2521:
2356:
2314:
2269:
2111:
2071:
1993:
1020:
856:
814:
769:
472:
413:
354:
298:
221:
131:
64:statistical population
2792:
2772:
2752:
2668:
2501:
2315:
2273:
2235:
2112:
2072:
1994:
1021:
815:
773:
735:
473:
414:
355:
299:
222:
132:
2961:Probability theorems
2781:
2761:
2722:
2685:If the inequalities
2128:
2088:
2022:
1036:
485:
423:
364:
308:
231:
145:
82:
36:but not necessarily
2787:
2767:
2747:
2663:
2661:
2107:
2067:
1989:
1987:
1979:
1976:
1956:
1873:
1846:
1722:
1708:
1016:
1014:
468:
409:
350:
294:
217:
127:
18:probability theory
2908:(18): 2815–2824.
2790:{\displaystyle k}
2770:{\displaystyle m}
2654:
2499:
2415:
1883:
1881:
1727:
1725:
1647:
1645:
1007:
22:Bapat–Beg theorem
2973:
2946:
2945:
2935:
2917:
2893:
2884:
2883:
2855:
2846:
2845:
2817:
2796:
2794:
2793:
2788:
2776:
2774:
2773:
2768:
2756:
2754:
2753:
2748:
2743:
2742:
2672:
2670:
2669:
2664:
2662:
2655:
2653:
2646:
2645:
2627:
2626:
2613:
2612:
2611:
2610:
2592:
2591:
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2572:
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2414:
2410:
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2398:
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2380:
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2354:
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2208:
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2188:
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2161:
2157:
2156:
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2108:
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2065:
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2033:
1998:
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1983:
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1934:
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1912:
1900:
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1872:
1871:
1870:
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1857:
1847:
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1838:
1837:
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1824:
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1808:
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1795:
1780:
1779:
1767:
1766:
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1750:
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1720:
1719:
1709:
1704:
1700:
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1687:
1686:
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1670:
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1181:
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565:
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551:
550:
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518:
514:
513:
477:
475:
474:
469:
467:
466:
448:
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