1139:
914:
693:
502:
294:
778:
581:
573:
1101:
370:
83:
378:
170:
1180:
178:
738:
909:{\displaystyle d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ all piecewise }}C^{1}{\text{ curves }}\gamma {\text{ such that }}\gamma (0)=p{\text{ and }}\gamma (1)=q\}.}
770:
1008:
975:
323:
118:
1173:
1204:
1166:
688:{\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt.}
523:
328:
1199:
1013:
497:{\displaystyle \left\vert \xi \right\vert _{B,z}:={\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(z)\xi _{i}{\bar {\xi }}_{j}}}.}
51:
134:
1146:
17:
1126:
289:{\displaystyle g_{ij}(z):={\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}\log K(z,z),}
701:
743:
1150:
302:
88:
29:
25:
515:
988:
955:
129:
121:
37:
33:
1193:
945:
1122:
933:
The
Bergman metric is in fact a positive definite matrix at each point if
1138:
1121:
This article incorporates material from
Bergman metric on
1154:
1116:
AMS Chelsea
Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
1016:
991:
958:
781:
746:
704:
584:
526:
381:
331:
305:
181:
137:
91:
54:
937:
is a bounded domain. More importantly, the distance
568:{\displaystyle \gamma \colon \to {\mathbb {C} }^{n}}
1095:
1002:
969:
908:
764:
732:
687:
567:
496:
364:
317:
288:
164:
112:
77:
32:. It is so called because it is derived from the
1127:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
810:
365:{\displaystyle \xi \in T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}
1174:
1114:Function Theory of Several Complex Variables,
8:
1096:{\displaystyle d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))}
900:
813:
507:This metric is called the Bergman metric on
78:{\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}
1181:
1167:
1049:
1021:
1015:
990:
957:
877:
854:
846:
840:
831:
786:
780:
745:
709:
703:
655:
621:
609:
604:
583:
559:
554:
553:
552:
525:
483:
472:
471:
464:
442:
432:
415:
409:
394:
380:
356:
351:
350:
349:
342:
330:
304:
250:
239:
238:
233:
227:
213:
207:
186:
180:
156:
151:
150:
149:
142:
136:
90:
69:
64:
63:
62:
53:
28:that can be defined on certain types of
165:{\displaystyle T_{z}{\mathbb {C} }^{n}}
325:. Then the length of a tangent vector
128:. We define a Hermitian metric on the
7:
1135:
1133:
1153:. You can help Knowledge (XXG) by
632:
624:
234:
220:
210:
14:
1137:
36:, both of which are named after
1125:, which is licensed under the
1090:
1087:
1081:
1072:
1066:
1060:
1039:
1027:
891:
885:
868:
862:
825:
819:
804:
792:
727:
715:
671:
665:
647:
641:
594:
588:
548:
545:
533:
477:
457:
451:
280:
268:
244:
201:
195:
107:
95:
1:
514:The length of a (piecewise)
1205:Differential geometry stubs
1221:
1132:
733:{\displaystyle d_{G}(p,q)}
833: all piecewise
765:{\displaystyle p,q\in G}
981:is a biholomorphism of
1149:-related article is a
1097:
1004:
971:
910:
766:
734:
689:
569:
498:
437:
366:
319:
318:{\displaystyle z\in G}
290:
166:
114:
113:{\displaystyle K(z,w)}
79:
1147:differential geometry
1098:
1005:
972:
911:
856: such that
767:
735:
690:
570:
499:
411:
367:
320:
291:
167:
115:
80:
18:differential geometry
1014:
989:
956:
779:
744:
702:
582:
575:is then computed as
524:
379:
329:
303:
179:
135:
89:
85:be a domain and let
52:
944:is invariant under
772:is then defined as
614:
1112:Steven G. Krantz.
1093:
1003:{\displaystyle G'}
1000:
970:{\displaystyle G'}
967:
952:to another domain
906:
848: curves
762:
730:
685:
600:
565:
494:
362:
315:
286:
162:
110:
75:
1200:Complex manifolds
1162:
1161:
880:
857:
849:
834:
639:
489:
480:
257:
247:
1212:
1183:
1176:
1169:
1141:
1134:
1102:
1100:
1099:
1094:
1059:
1058:
1057:
1026:
1025:
1009:
1007:
1006:
1001:
999:
976:
974:
973:
968:
966:
928:Bergman distance
915:
913:
912:
907:
881:
878:
858:
855:
850:
847:
845:
844:
835:
832:
791:
790:
771:
769:
768:
763:
739:
737:
736:
731:
714:
713:
694:
692:
691:
686:
675:
674:
654:
650:
640:
638:
630:
622:
613:
608:
574:
572:
571:
566:
564:
563:
558:
557:
503:
501:
500:
495:
490:
488:
487:
482:
481:
473:
469:
468:
450:
449:
436:
431:
410:
405:
404:
393:
371:
369:
368:
363:
361:
360:
355:
354:
347:
346:
324:
322:
321:
316:
295:
293:
292:
287:
258:
256:
255:
254:
249:
248:
240:
232:
231:
218:
217:
208:
194:
193:
171:
169:
168:
163:
161:
160:
155:
154:
147:
146:
119:
117:
116:
111:
84:
82:
81:
76:
74:
73:
68:
67:
30:complex manifold
26:Hermitian metric
1220:
1219:
1215:
1214:
1213:
1211:
1210:
1209:
1190:
1189:
1188:
1187:
1109:
1050:
1045:
1017:
1012:
1011:
992:
987:
986:
959:
954:
953:
942:
924:
879: and
836:
782:
777:
776:
742:
741:
705:
700:
699:
631:
623:
620:
616:
615:
580:
579:
551:
522:
521:
470:
460:
438:
383:
382:
377:
376:
348:
338:
327:
326:
301:
300:
237:
223:
219:
209:
182:
177:
176:
148:
138:
133:
132:
87:
86:
61:
50:
49:
46:
12:
11:
5:
1218:
1216:
1208:
1207:
1202:
1192:
1191:
1186:
1185:
1178:
1171:
1163:
1160:
1159:
1142:
1118:
1117:
1108:
1105:
1092:
1089:
1086:
1083:
1080:
1077:
1074:
1071:
1068:
1065:
1062:
1056:
1053:
1048:
1044:
1041:
1038:
1035:
1032:
1029:
1024:
1020:
998:
995:
965:
962:
940:
926:is called the
922:
917:
916:
905:
902:
899:
896:
893:
890:
887:
884:
876:
873:
870:
867:
864:
861:
853:
843:
839:
830:
827:
824:
821:
818:
815:
812:
809:
806:
803:
800:
797:
794:
789:
785:
761:
758:
755:
752:
749:
740:of two points
729:
726:
723:
720:
717:
712:
708:
696:
695:
684:
681:
678:
673:
670:
667:
664:
661:
658:
653:
649:
646:
643:
637:
634:
629:
626:
619:
612:
607:
603:
599:
596:
593:
590:
587:
562:
556:
550:
547:
544:
541:
538:
535:
532:
529:
505:
504:
493:
486:
479:
476:
467:
463:
459:
456:
453:
448:
445:
441:
435:
430:
427:
424:
421:
418:
414:
408:
403:
400:
397:
392:
389:
386:
359:
353:
345:
341:
337:
334:
314:
311:
308:
297:
296:
285:
282:
279:
276:
273:
270:
267:
264:
261:
253:
246:
243:
236:
230:
226:
222:
216:
212:
206:
203:
200:
197:
192:
189:
185:
159:
153:
145:
141:
130:tangent bundle
122:Bergman kernel
109:
106:
103:
100:
97:
94:
72:
66:
60:
57:
45:
42:
38:Stefan Bergman
34:Bergman kernel
22:Bergman metric
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1217:
1206:
1203:
1201:
1198:
1197:
1195:
1184:
1179:
1177:
1172:
1170:
1165:
1164:
1158:
1156:
1152:
1148:
1143:
1140:
1136:
1131:
1130:
1128:
1124:
1115:
1111:
1110:
1106:
1104:
1084:
1078:
1075:
1069:
1063:
1054:
1051:
1046:
1042:
1036:
1033:
1030:
1022:
1018:
996:
993:
984:
980:
977:. That is if
963:
960:
951:
947:
946:biholomorphic
943:
936:
931:
929:
925:
919:The distance
903:
897:
894:
888:
882:
874:
871:
865:
859:
851:
841:
837:
828:
822:
816:
807:
801:
798:
795:
787:
783:
775:
774:
773:
759:
756:
753:
750:
747:
724:
721:
718:
710:
706:
698:The distance
682:
679:
676:
668:
662:
659:
656:
651:
644:
635:
627:
617:
610:
605:
601:
597:
591:
585:
578:
577:
576:
560:
542:
539:
536:
530:
527:
520:
518:
512:
510:
491:
484:
474:
465:
461:
454:
446:
443:
439:
433:
428:
425:
422:
419:
416:
412:
406:
401:
398:
395:
390:
387:
384:
375:
374:
373:
357:
343:
339:
335:
332:
312:
309:
306:
283:
277:
274:
271:
265:
262:
259:
251:
241:
228:
224:
214:
204:
198:
190:
187:
183:
175:
174:
173:
157:
143:
139:
131:
127:
123:
104:
101:
98:
92:
70:
58:
55:
43:
41:
39:
35:
31:
27:
23:
19:
1155:expanding it
1144:
1120:
1119:
1113:
982:
978:
949:
948:mappings of
938:
934:
932:
927:
920:
918:
697:
516:
513:
508:
506:
372:is given by
298:
125:
47:
21:
15:
1194:Categories
1123:PlanetMath
1107:References
44:Definition
883:γ
860:γ
852:γ
829:∣
823:γ
817:ℓ
757:∈
663:γ
633:∂
628:γ
625:∂
602:∫
592:γ
586:ℓ
549:→
531::
528:γ
478:¯
475:ξ
462:ξ
413:∑
388:ξ
336:∈
333:ξ
310:∈
263:
245:¯
235:∂
221:∂
211:∂
59:⊂
1055:′
997:′
964:′
1010:, then
120:be the
20:, the
1145:This
519:curve
24:is a
1151:stub
985:and
299:for
48:Let
811:inf
260:log
172:by
124:on
16:In
1196::
1103:.
930:.
808::=
511:.
407::=
205::=
40:.
1182:e
1175:t
1168:v
1157:.
1129:.
1091:)
1088:)
1085:q
1082:(
1079:f
1076:,
1073:)
1070:p
1067:(
1064:f
1061:(
1052:G
1047:d
1043:=
1040:)
1037:q
1034:,
1031:p
1028:(
1023:G
1019:d
994:G
983:G
979:f
961:G
950:G
941:G
939:d
935:G
923:G
921:d
904:.
901:}
898:q
895:=
892:)
889:1
886:(
875:p
872:=
869:)
866:0
863:(
842:1
838:C
826:)
820:(
814:{
805:)
802:q
799:,
796:p
793:(
788:G
784:d
760:G
754:q
751:,
748:p
728:)
725:q
722:,
719:p
716:(
711:G
707:d
683:.
680:t
677:d
672:)
669:t
666:(
660:,
657:B
652:|
648:)
645:t
642:(
636:t
618:|
611:1
606:0
598:=
595:)
589:(
561:n
555:C
546:]
543:1
540:,
537:0
534:[
517:C
509:G
492:.
485:j
466:i
458:)
455:z
452:(
447:j
444:i
440:g
434:n
429:1
426:=
423:j
420:,
417:i
402:z
399:,
396:B
391:|
385:|
358:n
352:C
344:z
340:T
313:G
307:z
284:,
281:)
278:z
275:,
272:z
269:(
266:K
252:j
242:z
229:i
225:z
215:2
202:)
199:z
196:(
191:j
188:i
184:g
158:n
152:C
144:z
140:T
126:G
108:)
105:w
102:,
99:z
96:(
93:K
71:n
65:C
56:G
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
