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1509:
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936:{\displaystyle A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in A^{\circ }}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}
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2658:
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715:{\displaystyle {}^{\circ }B:=\left\{x\in X:\sup _{x^{\prime }\in B}\left|\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle \right|\leq 1\right\}.}
48:
1924:{\displaystyle f^{*}(x^{*})=\delta \left(x^{*}|C^{\circ }\right)=\delta ^{*}\left(x^{*}|C\right)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle }
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1727:{\displaystyle f(x):=\delta (x|C)={\begin{cases}0&x\in C\\\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}}}
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1351:{\displaystyle A^{\circ \circ }=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{ra:r\geq 0,a\in A\}).}
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2161:
2130: â Subset of all points that is bounded by some given point of a dual (in a dual pairing)
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2124: â Mathematical theorem in convex analysis â A generalization of the bipolar theorem.
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2911:
2906:
2703:
2653:
2607:
2306:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
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2287:
2272:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
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189:{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
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2611:
2362:
2243:. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121â125.
2158:
Convex
Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples
1581:
is a nonempty convex cone then the bipolar cone is given by
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651:
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527:
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470:
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154:
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59:. The bipolar theorem can be seen as a special case of the
1720:
2026:{\displaystyle f^{**}(x)=\delta (x|C^{\circ \circ }).}
1619:{\displaystyle C^{\circ \circ }=\operatorname {cl} C.}
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Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
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989:{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
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2196:Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004).
2268:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
2205:. Cambridge University Press. pp. 51â53.
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1504:{\displaystyle C^{++}=\left(C^{+}\right)^{+},}
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35:that characterizes the bipolar (that is, the
8:
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171:
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115:
109:
82:
1538:denotes the positive dual cone of a set
2140:
2769:Uniform boundedness (BanachâSteinhaus)
2191:
2189:
1020:(that is, the weakest TVS topology on
595:{\displaystyle B\subseteq X^{\prime }}
2336:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
316:{\displaystyle \operatorname {co} A,}
7:
2444:Topologies on spaces of linear maps
49:necessary and sufficient conditions
2062:{\displaystyle C=C^{\circ \circ }}
1707:
14:
1040:making all linear functionals in
3307:
3306:
1258:{\displaystyle A^{\circ \circ }}
946:Statement in functional analysis
778:{\displaystyle A^{\circ \circ }}
3294:With the approximation property
2757:Open mapping (BanachâSchauder)
2017:
2000:
1993:
1984:
1978:
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1668:
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1342:
1297:
183:
177:
1:
2181:Narici & Beckenstein 2011
748:{\displaystyle A\subseteq X,}
2298:; Wolff, Manfred P. (1999).
1384:{\displaystyle C\subseteq X}
1177:Statement in convex analysis
1093:{\displaystyle A\subseteq X}
433:{\displaystyle A\subseteq X}
39:of the polar) of a set. In
2978:Radially convex/Star-shaped
2963:Pre-compact/Totally bounded
1060:{\displaystyle X^{\prime }}
124:{\displaystyle X^{\prime }}
3364:
2664:Continuous linear operator
1074:: The bipolar of a subset
70:
16:Theorem in convex analysis
3302:
3009:Algebraic interior (core)
2751:Vector-valued HahnâBanach
2639:Topological vector spaces
2560:Transpose of a linear map
2300:Topological Vector Spaces
2270:Topological Vector Spaces
2101:{\displaystyle f=f^{**}.}
2839:Topological homomorphism
2699:Topological vector space
2160:(2 ed.). Springer.
2156:; Lewis, Adrian (2006).
99:topological vector space
2237:Rockafellar, R. Tyrrell
2897:Absolutely convex/disk
2122:FenchelâMoreau theorem
2102:
2063:
2027:
1952:
1925:
1755:
1728:
1631:FenchelâMoreau theorem
1620:
1575:
1561:Or more generally, if
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215:{\displaystyle x\in X}
190:
125:
91:
61:FenchelâMoreau theorem
2932:Complemented subspace
2746:hyperplane separation
2103:
2064:
2028:
1953:
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103:continuous dual space
92:
3343:Theorems in analysis
3182:Locally convex space
2732:Closed graph theorem
2684:Locally convex space
2073:
2037:
1962:
1939:
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1148:convex balanced hull
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353:convex balanced hull
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108:
81:
3338:Functional analysis
3162:Interpolation space
2694:Operator topologies
2597:Biorthogonal system
2429:Operator topologies
2296:Schaefer, Helmut H.
2199:Convex Optimization
2183:, pp. 225â273.
1183:The bipolar theorem
1072:The bipolar theorem
440:is defined to be:
55:to be equal to its
33:functional analysis
3348:Linear functionals
3192:(Pseudo)Metrizable
3024:Minkowski addition
2876:Sublinear function
2098:
2059:
2023:
1951:{\displaystyle C,}
1948:
1921:
1898:
1754:{\displaystyle C.}
1751:
1736:indicator function
1724:
1719:
1616:
1571:
1554:{\displaystyle A.}
1551:
1528:
1501:
1440:
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1348:
1255:
1228:{\displaystyle X,}
1225:
1199:
1166:{\displaystyle A.}
1163:
1136:
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396:
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343:{\displaystyle A.}
340:
313:
287:{\displaystyle A,}
284:
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186:
121:
87:
3320:
3319:
3039:Relative interior
2785:Bilinear operator
2669:Linear functional
2605:
2604:
2494:in Hilbert spaces
2343:978-0-486-45352-1
2313:978-1-4612-7155-0
2154:Borwein, Jonathan
1883:
1715:
1574:{\displaystyle C}
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1033:{\displaystyle A}
1013:{\displaystyle X}
855:
755:often denoted by
641:
491:
369:{\displaystyle A}
90:{\displaystyle X}
3355:
3310:
3309:
3284:Uniformly smooth
2953:
2945:
2912:Balanced/Circled
2902:Absorbing/Radial
2632:
2625:
2618:
2609:
2576:Saturated family
2474:Ultraweak/Weak-*
2383:
2376:
2369:
2360:
2355:
2330:TrÚves, François
2325:
2291:
2255:
2254:
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2714:Main results
2704:Vector space
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2532:Main results
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2269:
2262:Bibliography
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2216:. Retrieved
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1265:is given by:
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723:
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566:
414:of a subset
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407:
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266:
76:
47:refers to a
44:
24:
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3212:Quasinormed
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2999:Affine hull
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2506:Strong dual
2414:Dual system
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2117:Dual system
2033:Therefore,
1738:for a cone
1396:convex cone
996:denote the
327:containing
294:denoted by
268:convex hull
21:mathematics
3327:Categories
3252:Stereotype
3110:(DF)-space
3105:Convenient
2844:Functional
2812:Continuous
2797:Linear map
2737:F. Riesz's
2679:Linear map
2454:Topologies
2409:Dual space
2135:References
1185:: For any
565:while the
325:convex set
3268:Uniformly
3227:Reflexive
3075:Barrelled
3071:Countably
2983:Symmetric
2881:Transpose
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2467:Dual norm
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2239:(1997) .
2128:Polar set
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2088:∗
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2052:∘
2013:∘
2010:∘
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1974:∗
1971:∗
1919:⟩
1908:∗
1900:⟨
1892:∈
1863:∗
1848:∗
1844:δ
1830:∘
1815:∗
1802:δ
1791:∗
1778:∗
1761:Then the
1714:otherwise
1708:∞
1698:∈
1659:δ
1608:
1597:∘
1594:∘
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1427:∘
1376:⊆
1365:A subset
1334:∈
1322:≥
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1248:∘
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1053:′
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871:∈
866:′
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