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142:
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1323:
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161:
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66:
1762:
1311:
1018:
720:
602:
884:
1495:{\displaystyle 0\longrightarrow (p^{r-1}H_{n}(C))\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow E_{n,0}^{r}\longrightarrow \operatorname {Tor} (p^{r-1}H_{n-1}(C),\mathbb {Z} /p)\longrightarrow 0}
964:
367:
712:
1610:
1010:
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1573:
1530:
282:{\displaystyle H_{*}(C){\overset {i=p}{\longrightarrow }}H_{*}(C){\overset {j}{\longrightarrow }}H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p){\overset {k}{\longrightarrow }}.}
372:
137:{\displaystyle 0\longrightarrow C{\overset {p}{\longrightarrow }}C{\overset {{\text{mod}}p}{\longrightarrow }}C\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0.}
1860:
1787:
1704:
1076:{\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0,}
1259:
806:{\displaystyle D^{r}{\overset {i=p}{\longrightarrow }}D^{r}{\overset {{}^{r}j}{\longrightarrow }}E^{r}{\overset {k}{\longrightarrow }}}
525:
819:
1533:
1879:
1853:
1779:
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889:
295:
1884:
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1578:
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1677:
1783:
1615:
1542:
21:
1804:
1797:
1793:
33:
1509:
513:{\displaystyle H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p),\deg i=(1,-1),\deg j=(0,0),\deg k=(-1,0).}
1830:
649:
of the above exact couple then gives the second page and so forth. Explicitly, we have
646:
1873:
1575:
is finitely generated; in particular, only finitely many cyclic modules of the form
152:
57:
1818:
1778:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (2nd ed.),
1826:
1313:. Expanding the exact couple into a long exact sequence, we get: for any
1757:{\displaystyle ({\text{free part of }}H_{*}(C))\otimes \mathbb {Z} /p}
1306:{\displaystyle D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}}
597:{\displaystyle E_{s,t}^{1}=H_{s+t}(C\otimes \mathbb {Z} /p)}
522:
This gives the first page of the spectral sequence: we take
879:{\displaystyle {}^{r}j=({\text{mod }}p)\circ p^{-{r+1}}}
1834:
1707:
1680:
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136:
28:coefficients and the homology reduced mod
1854:
8:
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1847:
959:{\displaystyle \deg({}^{r}j)=(-(r-1),r-1)}
1746:
1742:
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115:
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92:
79:
68:
1256:This tells the kernel and cokernel of
974:are the same as before). Now, taking
707:{\displaystyle D^{r}=p^{r-1}H_{*}(C)}
7:
1815:
1813:
1776:A User's Guide to Spectral Sequences
24:relating the homology with mod
155:of "doubly graded" abelian groups:
60:. Then we have the exact sequence:
1686:
1661:
1612:can appear as a direct summand of
1605:{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{s}}
1005:{\displaystyle D_{n}^{r}\otimes -}
14:
714:that fits into the exact couple:
1817:
1532:, this is the same thing as the
638:{\displaystyle {}^{1}d=j\circ k}
1805:A primer on spectral sequences
1735:
1732:
1726:
1708:
1658:
1635:
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81:
73:
1:
1534:universal coefficient theorem
1833:. You can help Knowledge by
1667:{\displaystyle r\to \infty }
1694:{\displaystyle E^{\infty }}
50:torsion-free abelian groups
18:Bockstein spectral sequence
1901:
1812:
1780:Cambridge University Press
1539:Assume the abelian group
147:Taking integral homology
1641:{\displaystyle H_{*}(C)}
1568:{\displaystyle H_{*}(C)}
292:where the grading goes:
1774:McCleary, John (2001),
1758:
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604:with the differential
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48:be a chain complex of
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32:. It is named after
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16:In mathematics, the
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