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Bohr–Favard inequality

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621: 662: 137: 519: 294: 387: 181: 430: 561: 541: 221: 201: 703: 24:
on the boundedness over the entire real axis of the integral of an almost-periodic function. The ultimate form of this inequality was given by
33: 732: 603:
Favard, Jean (1937). "Sur les meilleurs procédés d'approximation de certaines classes des fonctions par des polynômes trigonométriques".
727: 437: 696: 643: 647: 620: 523:
The Bohr–Favard inequality is closely connected with the inequality for the best approximations of a function and its
228: 300: 689: 722: 669: 28:; the latter materially supplemented the studies of Bohr, and studied the arbitrary periodic function 144: 394: 673: 584:
Bohr, Harald (1935). "Un théorème général sur l'intégration d'un polynôme trigonométrique".
637: 563:
and with the notion of Kolmogorov's width in the class of differentiable functions (cf.
546: 526: 206: 186: 716: 625: 25: 21: 223:
which are natural numbers. The accepted form of the Bohr–Favard inequality is
661: 629: 132:{\displaystyle f(x)=\ \sum _{k=n}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)} 564: 633: 543:
derivative by trigonometric polynomials of an order at most
514:{\displaystyle K=\sup _{\|f^{(r)}\|_{C}\leq 1}\ \|f\|_{C}.} 677: 549: 529: 440: 397: 303: 231: 209: 189: 147: 36: 555: 535: 513: 424: 381: 288: 215: 195: 175: 131: 448: 324: 289:{\displaystyle \|f\|_{C}\leq K\|f^{(r)}\|_{C},} 382:{\displaystyle \|f\|_{C}=\max _{x\in }|f(x)|,} 697: 8: 624: This article incorporates text from a 499: 492: 472: 452: 311: 304: 274: 254: 239: 232: 20:is an inequality appearing in a problem of 704: 690: 548: 528: 502: 475: 459: 451: 439: 396: 371: 354: 327: 314: 302: 277: 261: 242: 230: 208: 188: 152: 146: 108: 83: 70: 59: 35: 576: 7: 658: 656: 676:. You can help Knowledge (XXG) by 71: 14: 660: 619: 639:Bohr-Favard inequality​ 466: 460: 419: 407: 372: 368: 362: 355: 349: 334: 268: 262: 170: 164: 159: 153: 126: 76: 46: 40: 1: 586:C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I 733:Mathematical analysis stubs 648:Encyclopedia of Mathematics 141:with continuous derivative 749: 655: 176:{\displaystyle f^{(r)}(x)} 728:Theorems in real analysis 425:{\displaystyle K=K(n,r)} 391:with the best constant 672:–related article is a 628:work. Licensed under 557: 537: 515: 426: 383: 290: 217: 197: 177: 133: 75: 18:Bohr–Favard inequality 670:mathematical analysis 558: 538: 516: 427: 384: 291: 218: 198: 178: 134: 55: 547: 527: 438: 395: 301: 229: 207: 187: 183:for given constants 145: 34: 611:(209–224): 243–256. 646:for contributors, 636:. Text taken from 553: 533: 511: 488: 422: 379: 353: 286: 213: 193: 173: 129: 685: 684: 556:{\displaystyle n} 536:{\displaystyle r} 491: 447: 323: 216:{\displaystyle n} 196:{\displaystyle r} 54: 740: 706: 699: 692: 664: 657: 644:revision history 623: 613: 612: 600: 594: 593: 581: 562: 560: 559: 554: 542: 540: 539: 534: 520: 518: 517: 512: 507: 506: 489: 487: 480: 479: 470: 469: 431: 429: 428: 423: 388: 386: 385: 380: 375: 358: 352: 319: 318: 295: 293: 292: 287: 282: 281: 272: 271: 247: 246: 222: 220: 219: 214: 202: 200: 199: 194: 182: 180: 179: 174: 163: 162: 138: 136: 135: 130: 113: 112: 88: 87: 74: 69: 52: 748: 747: 743: 742: 741: 739: 738: 737: 713: 712: 711: 710: 653: 617: 616: 605:Bull. Sci. Math 602: 601: 597: 583: 582: 578: 573: 545: 544: 525: 524: 498: 471: 455: 436: 435: 393: 392: 310: 299: 298: 273: 257: 238: 227: 226: 205: 204: 185: 184: 148: 143: 142: 104: 79: 32: 31: 12: 11: 5: 746: 744: 736: 735: 730: 725: 715: 714: 709: 708: 701: 694: 686: 683: 682: 665: 615: 614: 595: 575: 574: 572: 569: 552: 532: 510: 505: 501: 497: 494: 486: 483: 478: 474: 468: 465: 462: 458: 454: 450: 446: 443: 421: 418: 415: 412: 409: 406: 403: 400: 378: 374: 370: 367: 364: 361: 357: 351: 348: 345: 342: 339: 336: 333: 330: 326: 322: 317: 313: 309: 306: 285: 280: 276: 270: 267: 264: 260: 256: 253: 250: 245: 241: 237: 234: 212: 192: 172: 169: 166: 161: 158: 155: 151: 128: 125: 122: 119: 116: 111: 107: 103: 100: 97: 94: 91: 86: 82: 78: 73: 68: 65: 62: 58: 51: 48: 45: 42: 39: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 745: 734: 731: 729: 726: 724: 721: 720: 718: 707: 702: 700: 695: 693: 688: 687: 681: 679: 675: 671: 666: 663: 659: 654: 651: 649: 645: 641: 640: 635: 631: 627: 622: 610: 606: 599: 596: 591: 587: 580: 577: 570: 568: 566: 550: 530: 521: 508: 503: 495: 484: 481: 476: 463: 456: 444: 441: 433: 416: 413: 410: 404: 401: 398: 389: 376: 365: 359: 346: 343: 340: 337: 331: 328: 320: 315: 307: 296: 283: 278: 265: 258: 251: 248: 243: 235: 224: 210: 190: 167: 156: 149: 139: 123: 120: 117: 114: 109: 105: 101: 98: 95: 92: 89: 84: 80: 66: 63: 60: 56: 49: 43: 37: 29: 27: 23: 19: 723:Inequalities 678:expanding it 667: 652: 638: 626:free content 618: 608: 604: 598: 592:: 1276–1277. 589: 585: 579: 522: 434: 390: 297: 225: 140: 30: 17: 15: 26:Jean Favard 22:Harald Bohr 717:Categories 571:References 500:‖ 493:‖ 482:≤ 473:‖ 453:‖ 347:π 332:∈ 312:‖ 305:‖ 275:‖ 255:‖ 249:≤ 240:‖ 233:‖ 118:⁡ 93:⁡ 72:∞ 57:∑ 630:CC BY-SA 642:, see 490:  53:  668:This 565:Width 674:stub 650:. 634:GFDL 632:and 203:and 16:The 590:200 567:). 449:sup 325:max 115:sin 90:cos 719:: 609:61 607:. 588:. 432:: 705:e 698:t 691:v 680:. 551:n 531:r 509:. 504:C 496:f 485:1 477:C 467:) 464:r 461:( 457:f 445:= 442:K 420:) 417:r 414:, 411:n 408:( 405:K 402:= 399:K 377:, 373:| 369:) 366:x 363:( 360:f 356:| 350:] 344:2 341:, 338:0 335:[ 329:x 321:= 316:C 308:f 284:, 279:C 269:) 266:r 263:( 259:f 252:K 244:C 236:f 211:n 191:r 171:) 168:x 165:( 160:) 157:r 154:( 150:f 127:) 124:x 121:k 110:k 106:b 102:+ 99:x 96:k 85:k 81:a 77:( 67:n 64:= 61:k 50:= 47:) 44:x 41:( 38:f

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