5183:
398:
4783:
4876:
1020:
3620:
3226:
211:
2363:, then its fundamental class is represented by the sum of all the top dimensional simplices. In fact, in Borel−Moore homology, one can define a fundamental class for arbitrary (possibly singular) complex varieties. In this case the complement of the set of smooth points
4601:
3055:
3413:
2913:
5545:
1922:
801:
3422:
5707:
3945:
3104:
3728:
748:
4097:
5178:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(F)\to &H_{2}^{BM}(X)\to H_{2}^{BM}(U)\\\to H_{1}^{BM}(F)\to &H_{1}^{BM}(X)\to H_{1}^{BM}(U)\\\to H_{0}^{BM}(F)\to &H_{0}^{BM}(X)\to H_{0}^{BM}(U)\to 0\end{aligned}}}
4556:
3833:
2023:
1625:
2270:
2177:
2959:
5611:
4336:
1446:
3266:
2824:
2815:
1322:
4014:
5450:
2713:
560:
4881:
4606:
160:
4186:
1775:
1724:
5287:
1558:
5344:
2561:
393:{\displaystyle 0\to {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to H_{i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to 0.}
5421:
4778:{\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}(X)&=0&&{\text{ for }}k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}}
3097:
2394:
4256:
1212:
is homeomorphic to a finite CW complex. As a result, Borel–Moore homology can be viewed as the relative homology of the one-point compactification with respect to the added point.
5620:
4594:
3840:
2744:
2353:
2952:
622:
2052:
4869:
2460:
2429:
1766:
1178:
1074:
794:
509:
2074:
422:
3629:
4463:
4221:
4135:
1110:
637:
5445:
deformation retracts to a one-dimensional CW-complex. Finally, using the computation for the homology of a compact genus 2 curve we are left with the exact sequence
3259:
4382:
4358:-distinct points removed. Notice the previous computation with the fact that Borel-Moore homology is an isomorphism invariant gives this computation for the case
5443:
5205:
4834:
4814:
4402:
4356:
2628:
2608:
2588:
2493:
4428:
3737:
2025:
The shift in dimension means that Borel−Moore homology is not homotopy invariant in the naive sense. For example, the Borel−Moore homology of
Euclidean space
1015:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\ker \left(\partial :C_{i}^{BM}(X)\to C_{i-1}^{BM}(X)\right)/{\text{im}}\left(\partial :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).}
3615:{\displaystyle 0\to H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to H_{0}^{BM}(\{0\})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}
2190:
2097:
4021:
3221:{\displaystyle H_{k}^{BM}(S^{1}\times \mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
5554:
4476:
1364:
2751:
5936:
5902:
1240:
2635:
1937:
1571:
516:
5967:
5212:
2500:
4268:
5351:
2184:
5807:
5920:
3956:
5847:
203:
76:
4140:
3050:{\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
1652:
1564:. In contrast to ordinary homology, there is no pushforward on Borel−Moore homology for an arbitrary continuous map
1489:
1205:
632:. Then the usual definition of the boundary ∂ of a singular chain makes these abelian groups into a chain complex:
2746:
and the non-existent point at infinity, the point is cohomologous to zero. Now, we can take the Borel-Moore chain
5294:
3408:{\displaystyle 0\to H_{n}^{BM}(\{0\})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}
2908:{\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
5994:
2360:
3067:
5540:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0}
2366:
4226:
66:
62:
defines a class in Borel–Moore homology, but not in ordinary homology unless the submanifold is compact.
5999:
4561:
2720:
2299:
1917:{\displaystyle \cdots \to H_{i}^{BM}(F)\to H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}^{BM}(F)\to \cdots }
1630:
36:
2925:
594:
170:
There are several ways to define Borel−Moore homology. They all coincide for reasonable spaces such as
2570:
The first non-trivial calculation of Borel-Moore homology is of the real line. First observe that any
2028:
4839:
199:
3158:
3007:
2865:
2438:
2407:
1739:
2275:
2083:
1139:
1035:
755:
470:
2057:
405:
190:, Borel–Moore homology with integral coefficients is defined as the cohomology of the dual of the
5838:
1927:
44:
4433:
4191:
4105:
444:
of singular chains, that is, finite linear combinations of continuous maps from the simplex to
58:. For non-compact spaces, each theory has its own advantages. In particular, a closed oriented
5963:
5932:
5898:
5866:
2294:
2290:
1463:
1181:
1079:
433:
55:
5702:{\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0}
5856:
3238:
2183:. A different version of Poincaré duality for non-compact manifolds is the isomorphism from
195:
5977:
5946:
5912:
5878:
3940:{\displaystyle 0\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}
5973:
5959:
5942:
5928:
5908:
5894:
5874:
4793:
1451:
1352:
32:
4361:
5428:
5190:
4819:
4799:
4387:
4341:
2613:
2593:
2573:
2478:
2094:, Poincaré duality is an isomorphism from singular cohomology to Borel−Moore homology,
4407:
5988:
2286:
2086:
extends to non-compact manifolds using Borel–Moore homology. Namely, for an oriented
441:
191:
51:
3723:{\displaystyle H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}
5834:
5816:
5803:
3949:
We can interpret these non-zero homology classes using the following observations:
2400:
at least 2, and by the long exact sequence above the top dimensional homologies of
175:
40:
461:
5842:
5886:
2397:
743:{\displaystyle \cdots \to C_{2}^{BM}(X)\to C_{1}^{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.}
59:
4092:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\cong S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}.}
1467:
1327:
1028:
is compact, then every locally finite chain is in fact finite. So, given that
5870:
5861:
4836:, we can use the long exact sequence to compute the Borel-Moore homology of
452:, on the other hand, is isomorphic to the homology of the chain complex of
4551:{\displaystyle X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}}
4404:-class corresponding to a loop around a point, and the fundamental class
3828:{\displaystyle H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\cong H_{0}^{BM}(\{0\})}
1225:
171:
20:
4102:
hence we can use the computation for the infinite cylinder to interpret
3064:
Using the
Kunneth decomposition, we can see that the infinite cylinder
1224:
be any locally compact space with a closed embedding into an oriented
2495:
its Borel-Moore homology agrees with its standard homology; that is,
2018:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i+1}^{BM}(X\times \mathbb {R} ).}
1620:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}.}
3235:
Using the long exact sequence in Borel-Moore homology, we get (for
2819:
which has no boundary, hence is a homology class. This shows that
2265:{\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}
2172:{\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}
1568:. As a counterexample, one can consider the non-proper inclusion
448:. The Borel−Moore homology of a reasonable locally compact space
5615:
since we have the short exact sequence of free abelian groups
3214:
3043:
2901:
568:
runs over the set of all continuous maps from the standard
5606:{\displaystyle H_{1}^{BM}(U)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 6}}
4331:{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}-\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}
1633:
with respect to inclusions of open subsets. That is, for
1441:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\mathbb {H} ^{-i}(X,D_{X}),}
1128:
is homeomorphic to the complement of a closed subcomplex
1032:
is "reasonable" in the sense above, Borel−Moore homology
2922:
The previous computation can be generalized to the case
2810:{\displaystyle \sigma =\sum _{-\infty <k<\infty }}
796:
are the homology groups of this chain complex. That is,
5775:
Birger
Iversen. Cohomology of sheaves. Equation IX.2.1.
5766:
Birger
Iversen. Cohomology of sheaves. Equation IX.4.1.
5757:
Birger
Iversen. Cohomology of sheaves. Theorem IX.4.7.
2274:
A key advantage of Borel−Moore homology is that every
1317:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=H^{m-i}(M,M\setminus X),}
5623:
5557:
5453:
5431:
5354:
5297:
5215:
5193:
4879:
4842:
4822:
4802:
4604:
4564:
4479:
4436:
4410:
4390:
4364:
4344:
4271:
4229:
4194:
4143:
4108:
4024:
4009:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}.}
3959:
3843:
3740:
3632:
3425:
3269:
3241:
3107:
3070:
2962:
2928:
2827:
2754:
2723:
2638:
2616:
2596:
2576:
2503:
2481:
2441:
2431:
are canonically isomorphic. The fundamental class of
2410:
2369:
2302:
2193:
2100:
2060:
2031:
1940:
1778:
1742:
1655:
1574:
1492:
1367:
1243:
1142:
1082:
1038:
804:
758:
640:
597:
519:
473:
408:
214:
79:
5739:
Birger
Iversen. Cohomology of sheaves. Section IX.1.
2708:{\displaystyle \sigma =\sum _{i=0}^{\infty }1\cdot }
555:{\displaystyle u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma ,}
162:
That is not related to the subject of this article.
69:
is an invariant of spaces with an action of a group
155:{\displaystyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}((EG\times X)/G).}
5784:William Fulton. Intersection theory. Lemma 19.1.1.
5701:
5605:
5539:
5437:
5415:
5338:
5281:
5199:
5177:
4863:
4828:
4808:
4777:
4588:
4550:
4457:
4422:
4396:
4376:
4350:
4330:
4250:
4215:
4181:{\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}}
4180:
4129:
4091:
4008:
3939:
3827:
3722:
3614:
3407:
3253:
3220:
3091:
3049:
2946:
2907:
2809:
2738:
2707:
2622:
2602:
2582:
2555:
2487:
2454:
2423:
2388:
2347:
2264:
2171:
2068:
2046:
2017:
1916:
1760:
1718:
1619:
1552:
1440:
1316:
1172:
1104:
1068:
1014:
788:
742:
616:
554:
503:
416:
392:
154:
583:is an integer, such that for each compact subset
2630:, notice that we can take the Borel-Moore chain
54:, Borel−Moore homology coincides with the usual
2435:is then defined to be the fundamental class of
1719:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U).}
511:be the abelian group of formal (infinite) sums
5748:Glen Bredon. Sheaf theory. Corollary V.12.21.
5282:{\displaystyle H_{1}^{BM}(F)=H_{2}^{BM}(F)=0.}
1553:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(Y)}
198:with compact support. As a result, there is a
8:
5843:"Homology theory for locally compact spaces"
4768:
4756:
4583:
4577:
4325:
4293:
4046:
4040:
3981:
3975:
3931:
3925:
3819:
3813:
3783:
3777:
3714:
3708:
3600:
3594:
3510:
3504:
3474:
3468:
3393:
3387:
3303:
3297:
2610:. Since this reduces to the case of a point
1596:
1590:
5339:{\displaystyle H_{2}^{BM}(U)=\mathbb {Z} .}
2556:{\displaystyle H_{*}^{BM}(X)\cong H_{*}(X)}
1076:coincides with the usual singular homology
5727:
16:Homology theory for locally compact spaces
5860:
5684:
5680:
5679:
5657:
5652:
5636:
5632:
5631:
5622:
5594:
5590:
5589:
5567:
5562:
5556:
5527:
5526:
5514:
5510:
5509:
5487:
5482:
5466:
5462:
5461:
5452:
5430:
5416:{\displaystyle H_{0}^{BM}(U)=H^{2}(U)=0,}
5389:
5364:
5359:
5353:
5329:
5328:
5307:
5302:
5296:
5255:
5250:
5225:
5220:
5214:
5192:
5147:
5142:
5117:
5112:
5085:
5080:
5051:
5046:
5021:
5016:
4989:
4984:
4955:
4950:
4925:
4920:
4893:
4888:
4880:
4878:
4841:
4821:
4801:
4788:Genus Two Curve with Three Points Removed
4745:
4714:
4709:
4697:
4696:
4671:
4666:
4649:
4645:
4644:
4618:
4613:
4605:
4603:
4563:
4542:
4538:
4537:
4524:
4511:
4498:
4487:
4486:
4478:
4446:
4441:
4435:
4409:
4389:
4363:
4343:
4319:
4300:
4284:
4280:
4279:
4270:
4236:
4232:
4231:
4228:
4204:
4199:
4193:
4169:
4165:
4164:
4148:
4142:
4118:
4113:
4107:
4077:
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4072:
4056:
4031:
4027:
4026:
4023:
3991:
3966:
3962:
3961:
3958:
3916:
3912:
3911:
3898:
3893:
3877:
3873:
3872:
3859:
3854:
3842:
3801:
3796:
3768:
3764:
3763:
3750:
3745:
3739:
3699:
3695:
3694:
3681:
3676:
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3656:
3655:
3642:
3637:
3631:
3585:
3581:
3580:
3567:
3562:
3546:
3542:
3541:
3528:
3523:
3492:
3487:
3459:
3455:
3454:
3441:
3436:
3424:
3378:
3374:
3373:
3360:
3355:
3339:
3335:
3334:
3321:
3316:
3285:
3280:
3268:
3240:
3206:
3182:
3181:
3162:
3161:
3153:
3143:
3142:
3133:
3117:
3112:
3106:
3085:
3084:
3075:
3069:
3035:
3011:
3010:
3002:
2990:
2986:
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2967:
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2931:
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2538:
2513:
2508:
2502:
2480:
2446:
2440:
2415:
2409:
2374:
2368:
2324:
2319:
2301:
2238:
2226:
2221:
2219:
2218:
2203:
2198:
2192:
2151:
2140:
2128:
2123:
2121:
2120:
2105:
2099:
2062:
2061:
2059:
2038:
2034:
2033:
2030:
2005:
2004:
1986:
1975:
1950:
1945:
1939:
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1879:
1854:
1849:
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1819:
1794:
1789:
1777:
1741:
1695:
1690:
1665:
1660:
1654:
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1604:
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1491:
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540:
530:
518:
483:
478:
472:
456:singular chains. Here "reasonable" means
410:
409:
407:
377:
376:
366:
365:
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213:
138:
111:
89:
84:
78:
3092:{\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }
5720:
5346:Using Poincare-duality we can compute
4852:
4574:
2389:{\displaystyle M^{\text{reg}}\subset M}
1752:
1587:
1326:where in the right hand side, relative
1302:
1768:the complement, there is a long exact
4251:{\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}
4137:as the homology class represented by
7:
3624:From the first sequence we get that
2717:since the boundary of this chain is
1334:Definition via the dualizing complex
428:Definition via locally finite chains
4596:then the long exact sequence shows
5927:(2nd ed.). Berlin, New York:
5893:(2nd ed.). Berlin, New York:
4589:{\displaystyle U=X\setminus \{0\}}
3953:There is the homotopy equivalence
2781:
2769:
2739:{\displaystyle \partial \sigma =p}
2724:
2661:
2475:Given a compact topological space
2348:{\displaystyle \in H_{n}^{BM}(M).}
2293:), not necessarily compact, has a
935:
846:
440:is defined as the homology of the
402:In what follows, the coefficients
14:
2947:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
617:{\displaystyle a_{\sigma }\neq 0}
3732:and from the second we get that
2047:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1930:in the sense that for any space
1200:). Under the same assumption on
1120:Definition via compactifications
752:The Borel−Moore homology groups
4864:{\displaystyle U=X\setminus F.}
3261:) the non-zero exact sequences
2185:cohomology with compact support
1216:Definition via Poincaré duality
182:Definition via sheaf cohomology
5693:
5675:
5672:
5666:
5645:
5627:
5582:
5576:
5531:
5523:
5505:
5502:
5496:
5475:
5457:
5401:
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5373:
5322:
5316:
5270:
5264:
5240:
5234:
5207:is only three points we have
5165:
5162:
5156:
5135:
5132:
5126:
5103:
5100:
5094:
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5060:
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5036:
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4977:
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4934:
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3651:
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3603:
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3555:
3552:
3537:
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3396:
3369:
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3309:
3306:
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2424:{\displaystyle M^{\text{reg}}}
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2250:
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2009:
1995:
1968:
1965:
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1905:
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1869:
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1839:
1833:
1812:
1809:
1803:
1782:
1761:{\displaystyle U=X\setminus F}
1728:For any locally compact space
1710:
1704:
1683:
1680:
1674:
1599:
1547:
1541:
1520:
1517:
1511:
1450:where in the right hand side,
1432:
1413:
1392:
1386:
1338:For any locally compact space
1308:
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1161:
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330:
327:
313:
292:
289:
278:
264:
240:
218:
186:For any locally compact space
146:
135:
120:
117:
101:
95:
1:
5848:Michigan Mathematical Journal
4384:. In general, we will find a
1173:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}
1069:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}
789:{\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}
504:{\displaystyle C_{i}^{BM}(X)}
204:universal coefficient theorem
5711:from the previous sequence.
2069:{\displaystyle \mathbb {Z} }
1136:. Then Borel–Moore homology
417:{\displaystyle \mathbb {Z} }
29:homology with closed support
464:, and of finite dimension.
6016:
4458:{\displaystyle H_{2}^{BM}}
4216:{\displaystyle H_{1}^{BM}}
4130:{\displaystyle H_{n}^{BM}}
4018:A topological isomorphism
3231:Real n-space minus a point
2590:-chain is cohomologous to
1934:, there is an isomorphism
1629:Borel−Moore homology is a
1462:Borel−Moore homology is a
1206:one-point compactification
4792:Given a genus two curve (
4473:Consider the double cone
4261:Plane with Points Removed
1342:of finite dimension, let
460:is locally contractible,
5954:Iversen, Birger (1986).
1926:Borel−Moore homology is
1470:. That is, a proper map
1105:{\displaystyle H_{i}(X)}
2080:and is otherwise zero.
1132:in a finite CW complex
624:for only finitely many
436:of a topological space
5862:10.1307/mmj/1028998385
5728:Borel & Moore 1960
5703:
5607:
5541:
5439:
5417:
5340:
5283:
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5179:
4865:
4830:
4810:
4779:
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4552:
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3255:
3254:{\displaystyle n>1}
3222:
3093:
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2557:
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2456:
2425:
2390:
2349:
2285:(in particular, every
2266:
2173:
2070:
2048:
2019:
1918:
1762:
1732:and any closed subset
1720:
1621:
1554:
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1174:
1106:
1070:
1016:
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744:
618:
556:
505:
418:
394:
156:
67:equivariant cohomology
37:locally compact spaces
5956:Cohomology of Sheaves
5704:
5608:
5542:
5440:
5418:
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4425:
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4379:
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3410:
3256:
3223:
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3052:
2949:
2910:
2812:
2741:
2710:
2645:
2625:
2605:
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2558:
2490:
2457:
2426:
2391:
2350:
2267:
2174:
2071:
2049:
2020:
1919:
1763:
1721:
1641:, there is a natural
1631:contravariant functor
1622:
1555:
1443:
1319:
1180:is isomorphic to the
1175:
1107:
1071:
1017:
791:
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619:
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157:
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1740:
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1140:
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1036:
802:
756:
638:
595:
517:
471:
467:In more detail, let
406:
212:
200:short exact sequence
77:
25:Borel−Moore homology
5925:Intersection Theory
5665:
5575:
5495:
5372:
5315:
5291:This gives us that
5263:
5233:
5155:
5125:
5093:
5059:
5029:
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4679:
4626:
4454:
4377:{\displaystyle k=1}
4212:
4126:
3906:
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3689:
3650:
3575:
3536:
3500:
3449:
3368:
3329:
3293:
3125:
2980:
2845:
2521:
2332:
2208:
2187:to usual homology:
2159:
1994:
1958:
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1862:
1832:
1802:
1703:
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1160:
1056:
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822:
776:
724:
694:
664:
491:
355:
312:
263:
239:
174:and locally finite
94:
73:; it is defined as
5699:
5648:
5603:
5558:
5537:
5478:
5435:
5413:
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5279:
5246:
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5173:
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4861:
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4773:
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2044:
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1971:
1941:
1928:homotopy invariant
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1785:
1758:
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628:whose image meets
614:
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5938:978-3-540-62046-4
5904:978-0-387-94905-5
5809:Primer on Sheaves
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5200:{\displaystyle F}
4829:{\displaystyle F}
4816:and three points
4809:{\displaystyle X}
4748:
4397:{\displaystyle 1}
4351:{\displaystyle k}
3209:
3060:Infinite Cylinder
3038:
2896:
2761:
2623:{\displaystyle p}
2603:{\displaystyle 0}
2583:{\displaystyle 0}
2488:{\displaystyle X}
2449:
2418:
2377:
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