3215:
3988:
2826:
2669:
3635:
1454:
3210:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}&=\exp \left(2\log \left(\int {\sqrt {PQ}}\right)\right)\\&=\exp \left(2\log \left(\int P{\sqrt {\frac {Q}{P}}}\right)\right)\\&=\exp \left(2\log \left(\operatorname {E} _{P}\left\right)\right)\\&\geq \exp \left(\operatorname {E} _{P}\left\right)=\exp(-D_{KL}(P,Q))\end{aligned}}}
2353:
611:
3983:{\displaystyle {\begin{aligned}(1-2\delta )^{2}&\leq d_{\mathrm {TV} }\left(P_{1}^{n},P_{2}^{n}\right)^{2}\\&\leq 1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P_{1}^{n}\parallel P_{2}^{n})}\\&=1-e^{-nD_{\mathrm {KL} }(P_{1}\parallel P_{2})}\\&=1-e^{-n{\frac {\log(1/(1-4\varepsilon ^{2}))}{2}}}\end{aligned}}}
4021:
The result was first proved in 1979 by Jean
Bretagnolle and Catherine Huber, and published in the proceedings of the Strasbourg Probability Seminar. Alexandre Tsybakov's book features an early re-publication of the inequality and its attribution to Bretagnolle and Huber, which is presented as an
1202:
945:
2664:{\displaystyle {\begin{aligned}1-d_{\mathrm {TV} }(P,Q)^{2}&=(1-d_{\mathrm {TV} }(P,Q))(1+d_{\mathrm {TV} }(P,Q))\\&=\int \min(P,Q)\int \max(P,Q)\\&\geq \left(\int {\sqrt {\min(P,Q)\max(P,Q)}}\right)^{2}\\&=\left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}\end{aligned}}}
453:
168:
is large (larger than 2 for instance.), Pinsker's inequality is vacuous, while
Bretagnolle–Huber remains bounded and hence non-vacuous. It is used in statistics and machine learning to prove information-theoretic lower bounds relying on
1732:
3488:
1097:
2337:
2225:
1627:
1449:{\displaystyle {\begin{aligned}Q(A)-P(A)\leq d_{\mathrm {TV} }(P,Q)&\leq 1-{\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))\\&=Q(A)+Q({\bar {A}})-{\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))\end{aligned}}}
438:
781:
1854:
3640:
1520:
We prove the main statement following the ideas in
Tsybakov's book (Lemma 2.6, page 89), which differ from the original proof (see C.Canonne's note for a modernized retranscription of their argument).
1947:
2096:
606:{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)={\begin{cases}\int _{\mathcal {X}}\log {\bigl (}{\frac {dP}{dQ}}{\bigr )}\,dP&{\text{if }}P\ll Q,\\+\infty &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
2831:
2358:
1207:
1141:
2815:
275:
166:
115:
3356:
2740:
2005:
1194:
983:
1510:
721:
3408:
3309:
3540:
3604:
3572:
3382:
3289:
4022:
early and less general version of
Assouad's lemma (see notes 2.8). A constant improvement on Bretagnolle–Huber was proved in 2014 as a consequence of an extension of
640:
1642:
3416:
4009:, a lower bound on the minimax regret of any bandit algorithm can be proved using Bretagnolle–Huber and its consequence on hypothesis testing (see Chapter 15 of
991:
3624:
3511:
1161:
765:
745:
684:
664:
319:
299:
228:
208:
65:
45:
2236:
2107:
1539:
940:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)\leq {\sqrt {1-\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}}\leq 1-{\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}
327:
1752:
4199:
4143:
4296:
177:
is a variation of
Concentration inequality for multinomially distributed random variables which bounds the total variation distance.)
1863:
68:
2010:
3542:. This is because the total variation upper bounds the probability of under- or over-estimating the coins' means. Denote
724:
1105:
4291:
2754:
444:
240:
124:
73:
4186:, Lecture notes in Mathematics, vol. 649, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 342–363,
955:
The following version is directly implied by the bound above but some authors prefer stating it this way. Let
4041:
231:
174:
495:
3314:
2680:
118:
3247:
2818:
1952:
1528:
3493:
In order to obtain this lower bound we impose that the total variation distance between two sequences of
1169:
958:
1462:
689:
4023:
643:
3387:
3294:
4267:
4241:
4205:
4157:
4068:
4006:
170:
3516:
3577:
3545:
3361:
3253:
4259:
4195:
4149:
4139:
1727:{\displaystyle \left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}\geq \exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}
4251:
4187:
4131:
3483:{\displaystyle n\geq {\frac {1}{2\varepsilon ^{2}}}\log \left({\frac {1}{2\delta }}\right).}
619:
235:
1092:{\displaystyle P(A)+Q({\bar {A}})\geq {\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}
4035:
278:
24:
3223:
Combining the results of steps 1 and 2 leads to the claimed bound on the total variation.
3609:
3496:
2332:{\displaystyle \int _{\bar {A^{*}}}\max(P,Q){\text{ or }}\int _{\bar {A^{*}}}\min(P,Q)}
1146:
750:
730:
669:
649:
304:
284:
213:
193:
50:
30:
4285:
4209:
4271:
4161:
4094:
2220:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=\int _{A^{*}}\max(P,Q)-\int _{A^{*}}\min(P,Q)}
1622:{\displaystyle 1-d_{\mathrm {TV} }(P,Q)^{2}\geq \left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}}
433:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\{|P(A)-Q(A)|\}.}
4125:
4263:
4153:
4067:
Canonne, Clément (2022). "A short note on an inequality between KL and TV".
3242:
How many coin tosses do I need to distinguish a fair coin from a biased one?
1527:
1. Prove using Cauchy–Schwarz that the total variation is related to the
4179:
3358:). Then, in order to identify the biased coin with probability at least
1849:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=1-\int \min(P,Q)=\int \max(P,Q)-1}
4229:
4191:
4255:
4228:
Gerchinovitz, Sébastien; Ménard, Pierre; Stoltz, Gilles (2020-05-01).
4246:
4135:
4073:
117:. The bound can be viewed as an alternative to the well-known
1634:
2. Prove by a clever application of Jensen’s inequality that
1181:
970:
504:
377:
259:
249:
599:
1942:{\displaystyle A^{*}=\arg \max _{A\in \Omega }|P(A)-Q(A)|}
2091:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=P(A^{*})-Q(A^{*})}
1166:
Indeed, by definition of the total variation, for any
3638:
3612:
3580:
3548:
3519:
3499:
3419:
3390:
3364:
3317:
3297:
3256:
2829:
2757:
2683:
2356:
2239:
2110:
2013:
1955:
1866:
1755:
1645:
1542:
1465:
1205:
1172:
1149:
1108:
994:
961:
784:
753:
733:
692:
672:
652:
622:
456:
330:
307:
287:
243:
216:
196:
127:
76:
53:
33:
3982:
3618:
3598:
3566:
3534:
3505:
3482:
3402:
3376:
3350:
3303:
3283:
3209:
2809:
2734:
2663:
2331:
2219:
2090:
1999:
1941:
1848:
1726:
1621:
1504:
1459:Rearranging, we obtain the claimed lower bound on
1448:
1188:
1155:
1136:{\displaystyle {\bar {A}}=\Omega \smallsetminus A}
1135:
1091:
977:
939:
759:
739:
715:
678:
658:
634:
605:
432:
313:
293:
269:
222:
202:
160:
109:
59:
39:
3993:The result is obtained by rearranging the terms.
2810:{\displaystyle (\cdot )^{2}=\exp(2\log(\cdot ))}
2711:
2693:
2586:
2568:
2529:
2508:
2311:
2264:
2199:
2161:
1887:
1822:
1798:
365:
4180:"Estimation des densités : Risque minimax"
270:{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})}
161:{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}
110:{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}
27:distance between two probability distributions
4088:
4086:
4084:
1949:and without loss of generality, assume that
545:
518:
8:
424:
384:
4130:. Springer Series in Statistics. Springer.
4093:Lattimore, Tor; Szepesvari, Csaba (2020).
3606:the respective joint distributions of the
4245:
4072:
4062:
4060:
4058:
3956:
3935:
3920:
3913:
3882:
3869:
3852:
3851:
3840:
3809:
3804:
3791:
3786:
3769:
3768:
3760:
3734:
3723:
3718:
3705:
3700:
3680:
3679:
3662:
3639:
3637:
3611:
3590:
3585:
3579:
3558:
3553:
3547:
3518:
3498:
3458:
3439:
3426:
3418:
3389:
3363:
3334:
3322:
3316:
3296:
3273:
3261:
3255:
3176:
3133:
3106:
3065:
3056:
3040:
3021:
2960:
2899:
2858:
2843:
2830:
2828:
2768:
2756:
2682:
2651:
2636:
2611:
2566:
2467:
2466:
2425:
2424:
2398:
2372:
2371:
2357:
2355:
2298:
2292:
2291:
2282:
2251:
2245:
2244:
2238:
2191:
2186:
2153:
2148:
2116:
2115:
2109:
2079:
2057:
2019:
2018:
2012:
1988:
1966:
1954:
1934:
1902:
1890:
1871:
1865:
1761:
1760:
1754:
1696:
1695:
1670:
1655:
1644:
1613:
1598:
1580:
1554:
1553:
1541:
1488:
1487:
1464:
1414:
1413:
1387:
1370:
1369:
1310:
1309:
1283:
1245:
1244:
1206:
1204:
1180:
1179:
1171:
1148:
1110:
1109:
1107:
1061:
1060:
1034:
1017:
1016:
993:
969:
968:
960:
909:
908:
882:
843:
842:
818:
790:
789:
783:
752:
732:
693:
691:
671:
651:
621:
588:
559:
550:
544:
543:
523:
517:
516:
503:
502:
490:
462:
461:
455:
419:
387:
376:
375:
368:
336:
335:
329:
306:
286:
258:
257:
248:
247:
242:
215:
195:
133:
132:
126:
82:
81:
75:
67:by a concave and bounded function of the
52:
32:
4230:"Fano's Inequality for Random Variables"
4127:Introduction to nonparametric estimation
4054:
3233:Sample complexity of biased coin tosses
775:The Bretagnolle–Huber inequality says:
3997:Information-theoretic lower bound for
3351:{\displaystyle p_{2}=1/2+\varepsilon }
3246:Assume you have 2 coins, a fair coin (
2735:{\displaystyle PQ=\min(P,Q)\max(P,Q).}
1531:(right-hand side of the inequality):
7:
4173:
4171:
4119:
4117:
2000:{\displaystyle P(A^{*})>Q(A^{*})}
4178:Bretagnolle, J.; Huber, C. (1978),
1189:{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
978:{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
4042:Bretagnolle–Huber–Carol Inequality
3856:
3853:
3773:
3770:
3684:
3681:
3103:
3018:
2471:
2468:
2429:
2426:
2376:
2373:
2120:
2117:
2023:
2020:
1897:
1765:
1762:
1700:
1697:
1558:
1555:
1505:{\displaystyle P(A)+Q({\bar {A}})}
1418:
1415:
1314:
1311:
1249:
1246:
1124:
1065:
1062:
913:
910:
847:
844:
794:
791:
583:
466:
463:
340:
337:
175:Bretagnolle–Huber–Carol Inequality
137:
134:
86:
83:
14:
3626:coin tosses for each coin, then
716:{\displaystyle {\frac {dP}{dQ}}}
16:Inequality in information theory
4124:Tsybakov, Alexandre B. (2010).
3965:
3962:
3940:
3929:
3888:
3862:
3815:
3779:
3659:
3643:
3200:
3197:
3185:
3166:
2804:
2801:
2795:
2783:
2765:
2758:
2726:
2714:
2708:
2696:
2601:
2589:
2583:
2571:
2544:
2532:
2523:
2511:
2492:
2489:
2477:
2453:
2450:
2447:
2435:
2411:
2395:
2382:
2326:
2314:
2304:
2279:
2267:
2257:
2214:
2202:
2176:
2164:
2138:
2126:
2085:
2072:
2063:
2050:
2041:
2029:
1994:
1981:
1972:
1959:
1935:
1931:
1925:
1916:
1910:
1903:
1837:
1825:
1813:
1801:
1783:
1771:
1721:
1718:
1706:
1685:
1577:
1564:
1499:
1493:
1484:
1475:
1469:
1439:
1436:
1424:
1403:
1381:
1375:
1366:
1357:
1351:
1335:
1332:
1320:
1299:
1267:
1255:
1234:
1228:
1219:
1213:
1115:
1086:
1083:
1071:
1050:
1028:
1022:
1013:
1004:
998:
934:
931:
919:
898:
868:
865:
853:
832:
812:
800:
484:
472:
420:
416:
410:
401:
395:
388:
358:
346:
264:
244:
155:
143:
104:
92:
1:
4184:Séminaire de Probabilités XII
2233:And then adding and removing
4102:. Cambridge University Press
3403:{\displaystyle \delta >0}
3304:{\displaystyle \varepsilon }
21:Bretagnolle–Huber inequality
4044:in Concentration inequality
1524:The proof is in two steps:
616:In the above, the notation
445:Kullback-Leibler divergence
69:Kullback–Leibler divergence
19:In information theory, the
4313:
4297:Probabilistic inequalities
4038:for a list of upper bounds
3535:{\displaystyle 1-2\delta }
2339:we obtain both identities.
3599:{\displaystyle P_{2}^{n}}
3567:{\displaystyle P_{1}^{n}}
3377:{\displaystyle 1-\delta }
3284:{\displaystyle p_{1}=1/2}
1529:Bhattacharyya coefficient
232:probability distributions
3228:Examples of applications
725:Radon–Nikodym derivative
447:is defined as follows:
186:Preliminary definitions
3984:
3620:
3600:
3568:
3536:
3507:
3484:
3404:
3378:
3352:
3305:
3285:
3250:distributed with mean
3211:
2811:
2736:
2665:
2333:
2221:
2092:
2001:
1943:
1850:
1728:
1623:
1506:
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