3226:
3999:
2837:
2680:
3646:
1465:
3221:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}&=\exp \left(2\log \left(\int {\sqrt {PQ}}\right)\right)\\&=\exp \left(2\log \left(\int P{\sqrt {\frac {Q}{P}}}\right)\right)\\&=\exp \left(2\log \left(\operatorname {E} _{P}\left\right)\right)\\&\geq \exp \left(\operatorname {E} _{P}\left\right)=\exp(-D_{KL}(P,Q))\end{aligned}}}
2364:
622:
3994:{\displaystyle {\begin{aligned}(1-2\delta )^{2}&\leq d_{\mathrm {TV} }\left(P_{1}^{n},P_{2}^{n}\right)^{2}\\&\leq 1-e^{-D_{\mathrm {KL} }(P_{1}^{n}\parallel P_{2}^{n})}\\&=1-e^{-nD_{\mathrm {KL} }(P_{1}\parallel P_{2})}\\&=1-e^{-n{\frac {\log(1/(1-4\varepsilon ^{2}))}{2}}}\end{aligned}}}
4032:
The result was first proved in 1979 by Jean
Bretagnolle and Catherine Huber, and published in the proceedings of the Strasbourg Probability Seminar. Alexandre Tsybakov's book features an early re-publication of the inequality and its attribution to Bretagnolle and Huber, which is presented as an
1213:
956:
2675:{\displaystyle {\begin{aligned}1-d_{\mathrm {TV} }(P,Q)^{2}&=(1-d_{\mathrm {TV} }(P,Q))(1+d_{\mathrm {TV} }(P,Q))\\&=\int \min(P,Q)\int \max(P,Q)\\&\geq \left(\int {\sqrt {\min(P,Q)\max(P,Q)}}\right)^{2}\\&=\left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}\end{aligned}}}
464:
179:
is large (larger than 2 for instance.), Pinsker's inequality is vacuous, while
Bretagnolle–Huber remains bounded and hence non-vacuous. It is used in statistics and machine learning to prove information-theoretic lower bounds relying on
1743:
3499:
1108:
2348:
2236:
1638:
1460:{\displaystyle {\begin{aligned}Q(A)-P(A)\leq d_{\mathrm {TV} }(P,Q)&\leq 1-{\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))\\&=Q(A)+Q({\bar {A}})-{\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))\end{aligned}}}
449:
792:
1865:
3651:
1531:
We prove the main statement following the ideas in
Tsybakov's book (Lemma 2.6, page 89), which differ from the original proof (see C.Canonne's note for a modernized retranscription of their argument).
1958:
2107:
617:{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)={\begin{cases}\int _{\mathcal {X}}\log {\bigl (}{\frac {dP}{dQ}}{\bigr )}\,dP&{\text{if }}P\ll Q,\\+\infty &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
2842:
2369:
1218:
1152:
2826:
286:
177:
126:
3367:
2751:
2016:
1205:
994:
1521:
732:
3419:
3320:
3551:
3615:
3583:
3393:
3300:
4033:
early and less general version of
Assouad's lemma (see notes 2.8). A constant improvement on Bretagnolle–Huber was proved in 2014 as a consequence of an extension of
651:
1653:
3427:
4020:, a lower bound on the minimax regret of any bandit algorithm can be proved using Bretagnolle–Huber and its consequence on hypothesis testing (see Chapter 15 of
1002:
3635:
3522:
1172:
776:
756:
695:
675:
330:
310:
239:
219:
76:
56:
2247:
2118:
1550:
951:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)\leq {\sqrt {1-\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}}\leq 1-{\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}
338:
1763:
4210:
4154:
4307:
188:
is a variation of
Concentration inequality for multinomially distributed random variables which bounds the total variation distance.)
1874:
79:
2021:
3553:. This is because the total variation upper bounds the probability of under- or over-estimating the coins' means. Denote
735:
1116:
4302:
2765:
455:
251:
135:
84:
4197:, Lecture notes in Mathematics, vol. 649, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 342–363,
966:
The following version is directly implied by the bound above but some authors prefer stating it this way. Let
4052:
242:
185:
506:
3325:
2691:
129:
3258:
2829:
1963:
1539:
3504:
In order to obtain this lower bound we impose that the total variation distance between two sequences of
1180:
969:
1473:
700:
4034:
654:
3398:
3305:
4278:
4252:
4216:
4168:
4079:
4017:
181:
3527:
3588:
3556:
3372:
3264:
4270:
4206:
4160:
4150:
1738:{\displaystyle \left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}\geq \exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}
4262:
4198:
4142:
3494:{\displaystyle n\geq {\frac {1}{2\varepsilon ^{2}}}\log \left({\frac {1}{2\delta }}\right).}
630:
246:
17:
1103:{\displaystyle P(A)+Q({\bar {A}})\geq {\frac {1}{2}}\exp(-D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q))}
4046:
289:
35:
3234:
Combining the results of steps 1 and 2 leads to the claimed bound on the total variation.
3620:
3507:
2343:{\displaystyle \int _{\bar {A^{*}}}\max(P,Q){\text{ or }}\int _{\bar {A^{*}}}\min(P,Q)}
1157:
761:
741:
680:
660:
315:
295:
224:
204:
61:
41:
4296:
4220:
4282:
4172:
4105:
2231:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=\int _{A^{*}}\max(P,Q)-\int _{A^{*}}\min(P,Q)}
1633:{\displaystyle 1-d_{\mathrm {TV} }(P,Q)^{2}\geq \left(\int {\sqrt {PQ}}\right)^{2}}
444:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=\sup _{A\in {\mathcal {F}}}\{|P(A)-Q(A)|\}.}
4136:
4274:
4164:
4078:
Canonne, Clément (2022). "A short note on an inequality between KL and TV".
3253:
How many coin tosses do I need to distinguish a fair coin from a biased one?
1538:
1. Prove using Cauchy–Schwarz that the total variation is related to the
4190:
3369:). Then, in order to identify the biased coin with probability at least
1860:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=1-\int \min(P,Q)=\int \max(P,Q)-1}
4240:
4202:
4266:
4239:
Gerchinovitz, Sébastien; Ménard, Pierre; Stoltz, Gilles (2020-05-01).
4257:
4146:
4084:
128:. The bound can be viewed as an alternative to the well-known
1645:
2. Prove by a clever application of Jensen’s inequality that
1192:
981:
515:
388:
270:
260:
610:
1953:{\displaystyle A^{*}=\arg \max _{A\in \Omega }|P(A)-Q(A)|}
2102:{\displaystyle d_{\mathrm {TV} }(P,Q)=P(A^{*})-Q(A^{*})}
1177:
Indeed, by definition of the total variation, for any
3649:
3623:
3591:
3559:
3530:
3510:
3430:
3401:
3375:
3328:
3308:
3267:
2840:
2768:
2694:
2367:
2250:
2121:
2024:
1966:
1877:
1766:
1656:
1553:
1476:
1216:
1183:
1160:
1119:
1005:
972:
795:
764:
744:
703:
683:
663:
633:
467:
341:
318:
298:
254:
227:
207:
138:
87:
64:
44:
3993:
3629:
3609:
3577:
3545:
3516:
3493:
3413:
3387:
3361:
3314:
3294:
3220:
2820:
2745:
2674:
2342:
2230:
2101:
2010:
1952:
1859:
1737:
1632:
1515:
1470:Rearranging, we obtain the claimed lower bound on
1459:
1199:
1166:
1147:{\displaystyle {\bar {A}}=\Omega \smallsetminus A}
1146:
1102:
988:
950:
770:
750:
726:
689:
669:
645:
616:
443:
324:
304:
280:
233:
213:
171:
120:
70:
50:
4004:The result is obtained by rearranging the terms.
2821:{\displaystyle (\cdot )^{2}=\exp(2\log(\cdot ))}
2722:
2704:
2597:
2579:
2540:
2519:
2322:
2275:
2210:
2172:
1898:
1833:
1809:
376:
4191:"Estimation des densités : Risque minimax"
281:{\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})}
172:{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}
121:{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(P\parallel Q)}
38:distance between two probability distributions
4099:
4097:
4095:
1960:and without loss of generality, assume that
556:
529:
8:
435:
395:
4141:. Springer Series in Statistics. Springer.
4104:Lattimore, Tor; Szepesvari, Csaba (2020).
3617:the respective joint distributions of the
4256:
4083:
4073:
4071:
4069:
3967:
3946:
3931:
3924:
3893:
3880:
3863:
3862:
3851:
3820:
3815:
3802:
3797:
3780:
3779:
3771:
3745:
3734:
3729:
3716:
3711:
3691:
3690:
3673:
3650:
3648:
3622:
3601:
3596:
3590:
3569:
3564:
3558:
3529:
3509:
3469:
3450:
3437:
3429:
3400:
3374:
3345:
3333:
3327:
3307:
3284:
3272:
3266:
3187:
3144:
3117:
3076:
3067:
3051:
3032:
2971:
2910:
2869:
2854:
2841:
2839:
2779:
2767:
2693:
2662:
2647:
2622:
2577:
2478:
2477:
2436:
2435:
2409:
2383:
2382:
2368:
2366:
2309:
2303:
2302:
2293:
2262:
2256:
2255:
2249:
2202:
2197:
2164:
2159:
2127:
2126:
2120:
2090:
2068:
2030:
2029:
2023:
1999:
1977:
1965:
1945:
1913:
1901:
1882:
1876:
1772:
1771:
1765:
1707:
1706:
1681:
1666:
1655:
1624:
1609:
1591:
1565:
1564:
1552:
1499:
1498:
1475:
1425:
1424:
1398:
1381:
1380:
1321:
1320:
1294:
1256:
1255:
1217:
1215:
1191:
1190:
1182:
1159:
1121:
1120:
1118:
1072:
1071:
1045:
1028:
1027:
1004:
980:
979:
971:
920:
919:
893:
854:
853:
829:
801:
800:
794:
763:
743:
704:
702:
682:
662:
632:
599:
570:
561:
555:
554:
534:
528:
527:
514:
513:
501:
473:
472:
466:
430:
398:
387:
386:
379:
347:
346:
340:
317:
297:
269:
268:
259:
258:
253:
226:
206:
144:
143:
137:
93:
92:
86:
78:by a concave and bounded function of the
63:
43:
4241:"Fano's Inequality for Random Variables"
4138:Introduction to nonparametric estimation
4065:
3244:Sample complexity of biased coin tosses
786:The Bretagnolle–Huber inequality says:
4008:Information-theoretic lower bound for
3362:{\displaystyle p_{2}=1/2+\varepsilon }
3257:Assume you have 2 coins, a fair coin (
2746:{\displaystyle PQ=\min(P,Q)\max(P,Q).}
1542:(right-hand side of the inequality):
7:
4184:
4182:
4130:
4128:
2011:{\displaystyle P(A^{*})>Q(A^{*})}
4189:Bretagnolle, J.; Huber, C. (1978),
1200:{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
989:{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
4053:Bretagnolle–Huber–Carol Inequality
3867:
3864:
3784:
3781:
3695:
3692:
3114:
3029:
2482:
2479:
2440:
2437:
2387:
2384:
2131:
2128:
2034:
2031:
1908:
1776:
1773:
1711:
1708:
1569:
1566:
1516:{\displaystyle P(A)+Q({\bar {A}})}
1429:
1426:
1325:
1322:
1260:
1257:
1135:
1076:
1073:
924:
921:
858:
855:
805:
802:
594:
477:
474:
351:
348:
186:Bretagnolle–Huber–Carol Inequality
148:
145:
97:
94:
25:
3637:coin tosses for each coin, then
727:{\displaystyle {\frac {dP}{dQ}}}
27:Inequality in information theory
4135:Tsybakov, Alexandre B. (2010).
3976:
3973:
3951:
3940:
3899:
3873:
3826:
3790:
3670:
3654:
3211:
3208:
3196:
3177:
2815:
2812:
2806:
2794:
2776:
2769:
2737:
2725:
2719:
2707:
2612:
2600:
2594:
2582:
2555:
2543:
2534:
2522:
2503:
2500:
2488:
2464:
2461:
2458:
2446:
2422:
2406:
2393:
2337:
2325:
2315:
2290:
2278:
2268:
2225:
2213:
2187:
2175:
2149:
2137:
2096:
2083:
2074:
2061:
2052:
2040:
2005:
1992:
1983:
1970:
1946:
1942:
1936:
1927:
1921:
1914:
1848:
1836:
1824:
1812:
1794:
1782:
1732:
1729:
1717:
1696:
1588:
1575:
1510:
1504:
1495:
1486:
1480:
1450:
1447:
1435:
1414:
1392:
1386:
1377:
1368:
1362:
1346:
1343:
1331:
1310:
1278:
1266:
1245:
1239:
1230:
1224:
1126:
1097:
1094:
1082:
1061:
1039:
1033:
1024:
1015:
1009:
945:
942:
930:
909:
879:
876:
864:
843:
823:
811:
495:
483:
431:
427:
421:
412:
406:
399:
369:
357:
275:
255:
166:
154:
115:
103:
1:
4195:Séminaire de Probabilités XII
2244:And then adding and removing
4113:. Cambridge University Press
3414:{\displaystyle \delta >0}
3315:{\displaystyle \varepsilon }
32:Bretagnolle–Huber inequality
18:Bretagnolle-Huber inequality
4055:in Concentration inequality
1535:The proof is in two steps:
627:In the above, the notation
456:Kullback-Leibler divergence
80:Kullback–Leibler divergence
30:In information theory, the
4324:
4308:Probabilistic inequalities
4049:for a list of upper bounds
3546:{\displaystyle 1-2\delta }
2350:we obtain both identities.
3610:{\displaystyle P_{2}^{n}}
3578:{\displaystyle P_{1}^{n}}
3388:{\displaystyle 1-\delta }
3295:{\displaystyle p_{1}=1/2}
1540:Bhattacharyya coefficient
243:probability distributions
3239:Examples of applications
736:Radon–Nikodym derivative
458:is defined as follows:
197:Preliminary definitions
3995:
3631:
3611:
3579:
3547:
3518:
3495:
3415:
3389:
3363:
3316:
3296:
3261:distributed with mean
3222:
2822:
2747:
2676:
2344:
2232:
2103:
2012:
1954:
1861:
1739:
1634:
1517:
1461:
1201:
1168:
1148:
1104:
990:
952:
772:
752:
728:
691:
671:
647:
646:{\displaystyle P\ll Q}
618:
445:
326:
306:
282:
235:
215:
173:
122:
72:
52:
3996:
3632:
3612:
3580:
3548:
3519:
3496:
3416:
3390:
3364:
3317:
3297:
3223:
2823:
2748:
2677:
2345:
2233:
2109:. Then we can rewrite
2104:
2013:
1955:
1862:
1740:
1635:
1518:
1462:
1202:
1169:
1154:is the complement of
1149:
1105:
991:
953:
773:
753:
729:
692:
672:
648:
619:
446:
327:
307:
283:
236:
216:
174:
123:
73:
53:
3647:
3621:
3589:
3557:
3528:
3524:samples is at least
3508:
3428:
3399:
3373:
3326:
3306:
3265:
2838:
2766:
2692:
2365:
2248:
2119:
2022:
1964:
1875:
1871:To see this, denote
1764:
1654:
1551:
1474:
1214:
1181:
1158:
1117:
1003:
970:
793:
762:
742:
701:
681:
661:
631:
465:
339:
316:
296:
252:
225:
205:
136:
130:Pinsker's inequality
85:
62:
42:
4245:Statistical Science
4012:-armed bandit games
3825:
3807:
3739:
3721:
3606:
3574:
2830:Jensen's inequality
996:be any event. Then
962:Alternative version
655:absolute continuity
4303:Information theory
4203:10.1007/bfb0064610
4018:multi-armed bandit
3991:
3989:
3811:
3793:
3725:
3707:
3627:
3607:
3592:
3575:
3560:
3543:
3514:
3491:
3411:
3385:
3359:
3312:
3292:
3218:
3216:
2818:
2743:
2672:
2670:
2340:
2228:
2099:
2008:
1950:
1912:
1857:
1735:
1630:
1513:
1457:
1455:
1197:
1164:
1144:
1100:
986:
948:
768:
748:
724:
687:
667:
643:
614:
609:
441:
394:
322:
302:
288:. Recall that the
278:
231:
211:
182:hypothesis testing
169:
118:
68:
48:
4267:10.1214/19-sts716
4212:978-3-540-08761-8
4156:978-1-4419-2709-5
4107:Bandit Algorithms
4035:Fano's Inequality
4022:Bandit Algorithms
3983:
3630:{\displaystyle n}
3517:{\displaystyle n}
3482:
3457:
3251:The question is
3152:
3061:
3060:
2981:
2980:
2918:
2862:
2655:
2615:
2318:
2296:
2271:
1897:
1756:First notice that
1674:
1617:
1507:
1406:
1389:
1302:
1167:{\displaystyle A}
1129:
1053:
1036:
901:
882:
782:General statement
771:{\displaystyle Q}
751:{\displaystyle P}
722:
690:{\displaystyle Q}
670:{\displaystyle P}
602:
573:
552:
375:
325:{\displaystyle Q}
305:{\displaystyle P}
234:{\displaystyle Q}
214:{\displaystyle P}
71:{\displaystyle Q}
51:{\displaystyle P}
16:(Redirected from
4315:
4287:
4286:
4260:
4236:
4230:
4229:
4228:
4227:
4186:
4177:
4176:
4132:
4123:
4122:
4120:
4118:
4112:
4101:
4090:
4089:
4087:
4075:
4000:
3998:
3997:
3992:
3990:
3986:
3985:
3984:
3979:
3972:
3971:
3950:
3932:
3907:
3903:
3902:
3898:
3897:
3885:
3884:
3872:
3871:
3870:
3834:
3830:
3829:
3824:
3819:
3806:
3801:
3789:
3788:
3787:
3754:
3750:
3749:
3744:
3740:
3738:
3733:
3720:
3715:
3700:
3699:
3698:
3678:
3677:
3636:
3634:
3633:
3628:
3616:
3614:
3613:
3608:
3605:
3600:
3584:
3582:
3581:
3576:
3573:
3568:
3552:
3550:
3549:
3544:
3523:
3521:
3520:
3515:
3500:
3498:
3497:
3492:
3487:
3483:
3481:
3470:
3458:
3456:
3455:
3454:
3438:
3420:
3418:
3417:
3412:
3394:
3392:
3391:
3386:
3368:
3366:
3365:
3360:
3349:
3338:
3337:
3321:
3319:
3318:
3313:
3301:
3299:
3298:
3293:
3288:
3277:
3276:
3227:
3225:
3224:
3219:
3217:
3195:
3194:
3167:
3163:
3162:
3158:
3157:
3153:
3145:
3122:
3121:
3095:
3091:
3087:
3086:
3082:
3081:
3077:
3075:
3074:
3066:
3062:
3053:
3052:
3037:
3036:
2996:
2992:
2988:
2987:
2983:
2982:
2973:
2972:
2933:
2929:
2925:
2924:
2920:
2919:
2911:
2874:
2873:
2868:
2864:
2863:
2855:
2827:
2825:
2824:
2819:
2784:
2783:
2752:
2750:
2749:
2744:
2681:
2679:
2678:
2673:
2671:
2667:
2666:
2661:
2657:
2656:
2648:
2631:
2627:
2626:
2621:
2617:
2616:
2578:
2561:
2509:
2487:
2486:
2485:
2445:
2444:
2443:
2414:
2413:
2392:
2391:
2390:
2349:
2347:
2346:
2341:
2321:
2320:
2319:
2314:
2313:
2304:
2297:
2294:
2274:
2273:
2272:
2267:
2266:
2257:
2237:
2235:
2234:
2229:
2209:
2208:
2207:
2206:
2171:
2170:
2169:
2168:
2136:
2135:
2134:
2108:
2106:
2105:
2100:
2095:
2094:
2073:
2072:
2039:
2038:
2037:
2017:
2015:
2014:
2009:
2004:
2003:
1982:
1981:
1959:
1957:
1956:
1951:
1949:
1917:
1911:
1887:
1886:
1866:
1864:
1863:
1858:
1781:
1780:
1779:
1744:
1742:
1741:
1736:
1716:
1715:
1714:
1686:
1685:
1680:
1676:
1675:
1667:
1639:
1637:
1636:
1631:
1629:
1628:
1623:
1619:
1618:
1610:
1596:
1595:
1574:
1573:
1572:
1522:
1520:
1519:
1514:
1509:
1508:
1500:
1466:
1464:
1463:
1458:
1456:
1434:
1433:
1432:
1407:
1399:
1391:
1390:
1382:
1352:
1330:
1329:
1328:
1303:
1295:
1265:
1264:
1263:
1206:
1204:
1203:
1198:
1196:
1195:
1173:
1171:
1170:
1165:
1153:
1151:
1150:
1145:
1131:
1130:
1122:
1109:
1107:
1106:
1101:
1081:
1080:
1079:
1054:
1046:
1038:
1037:
1029:
995:
993:
992:
987:
985:
984:
957:
955:
954:
949:
929:
928:
927:
902:
894:
883:
863:
862:
861:
830:
810:
809:
808:
777:
775:
774:
769:
758:with respect to
757:
755:
754:
749:
733:
731:
730:
725:
723:
721:
713:
705:
696:
694:
693:
688:
677:with respect to
676:
674:
673:
668:
652:
650:
649:
644:
623:
621:
620:
615:
613:
612:
603:
600:
574:
571:
560:
559:
553:
551:
543:
535:
533:
532:
520:
519:
518:
482:
481:
480:
450:
448:
447:
442:
434:
402:
393:
392:
391:
356:
355:
354:
331:
329:
328:
323:
311:
309:
308:
303:
287:
285:
284:
279:
274:
273:
264:
263:
247:measurable space
240:
238:
237:
232:
220:
218:
217:
212:
192:Formal statement
178:
176:
175:
170:
153:
152:
151:
127:
125:
124:
119:
102:
101:
100:
77:
75:
74:
69:
57:
55:
54:
49:
21:
4323:
4322:
4318:
4317:
4316:
4314:
4313:
4312:
4293:
4292:
4291:
4290:
4238:
4237:
4233:
4225:
4223:
4213:
4188:
4187:
4180:
4157:
4134:
4133:
4126:
4116:
4114:
4110:
4103:
4102:
4093:
4077:
4076:
4067:
4062:
4047:Total variation
4043:
4030:
4014:
3988:
3987:
3963:
3933:
3920:
3905:
3904:
3889:
3876:
3858:
3847:
3832:
3831:
3775:
3767:
3752:
3751:
3706:
3702:
3701:
3686:
3679:
3669:
3645:
3644:
3619:
3618:
3587:
3586:
3555:
3554:
3526:
3525:
3506:
3505:
3474:
3465:
3446:
3442:
3426:
3425:
3397:
3396:
3371:
3370:
3329:
3324:
3323:
3304:
3303:
3268:
3263:
3262:
3246:
3241:
3215:
3214:
3183:
3140:
3130:
3126:
3113:
3112:
3108:
3093:
3092:
3047:
3046:
3045:
3041:
3028:
3027:
3023:
3013:
3009:
2994:
2993:
2964:
2960:
2950:
2946:
2931:
2930:
2906:
2902:
2892:
2888:
2875:
2850:
2846:
2845:
2836:
2835:
2775:
2764:
2763:
2690:
2689:
2669:
2668:
2643:
2639:
2638:
2629:
2628:
2573:
2569:
2568:
2559:
2558:
2507:
2506:
2473:
2431:
2415:
2405:
2378:
2363:
2362:
2305:
2298:
2258:
2251:
2246:
2245:
2198:
2193:
2160:
2155:
2122:
2117:
2116:
2086:
2064:
2025:
2020:
2019:
1995:
1973:
1962:
1961:
1878:
1873:
1872:
1767:
1762:
1761:
1702:
1662:
1658:
1657:
1652:
1651:
1605:
1601:
1600:
1587:
1560:
1549:
1548:
1529:
1472:
1471:
1454:
1453:
1420:
1350:
1349:
1316:
1281:
1251:
1212:
1211:
1179:
1178:
1156:
1155:
1115:
1114:
1067:
1001:
1000:
968:
967:
964:
915:
849:
796:
791:
790:
784:
760:
759:
740:
739:
734:stands for the
714:
706:
699:
698:
679:
678:
659:
658:
629:
628:
608:
607:
597:
588:
587:
568:
544:
536:
509:
502:
468:
463:
462:
342:
337:
336:
332:is defined by
314:
313:
294:
293:
290:total variation
250:
249:
223:
222:
203:
202:
199:
194:
139:
134:
133:
88:
83:
82:
60:
59:
40:
39:
36:total variation
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4321:
4319:
4311:
4310:
4305:
4295:
4294:
4289:
4288:
4231:
4211:
4178:
4155:
4147:10.1007/b13794
4124:
4091:
4064:
4063:
4061:
4058:
4057:
4056:
4050:
4042:
4039:
4029:
4026:
4013:
4006:
4002:
4001:
3982:
3978:
3975:
3970:
3966:
3962:
3959:
3956:
3953:
3949:
3945:
3942:
3939:
3936:
3930:
3927:
3923:
3919:
3916:
3913:
3910:
3908:
3906:
3901:
3896:
3892:
3888:
3883:
3879:
3875:
3869:
3866:
3861:
3857:
3854:
3850:
3846:
3843:
3840:
3837:
3835:
3833:
3828:
3823:
3818:
3814:
3810:
3805:
3800:
3796:
3792:
3786:
3783:
3778:
3774:
3770:
3766:
3763:
3760:
3757:
3755:
3753:
3748:
3743:
3737:
3732:
3728:
3724:
3719:
3714:
3710:
3705:
3697:
3694:
3689:
3685:
3682:
3680:
3676:
3672:
3668:
3665:
3662:
3659:
3656:
3653:
3652:
3626:
3604:
3599:
3595:
3572:
3567:
3563:
3542:
3539:
3536:
3533:
3513:
3502:
3501:
3490:
3486:
3480:
3477:
3473:
3468:
3464:
3461:
3453:
3449:
3445:
3441:
3436:
3433:
3410:
3407:
3404:
3384:
3381:
3378:
3358:
3355:
3352:
3348:
3344:
3341:
3336:
3332:
3322:-biased coin (
3311:
3291:
3287:
3283:
3280:
3275:
3271:
3245:
3242:
3240:
3237:
3236:
3235:
3231:
3230:
3229:
3228:
3213:
3210:
3207:
3204:
3201:
3198:
3193:
3190:
3186:
3182:
3179:
3176:
3173:
3170:
3166:
3161:
3156:
3151:
3148:
3143:
3139:
3136:
3133:
3129:
3125:
3120:
3116:
3111:
3107:
3104:
3101:
3098:
3096:
3094:
3090:
3085:
3080:
3073:
3070:
3065:
3059:
3056:
3050:
3044:
3040:
3035:
3031:
3026:
3022:
3019:
3016:
3012:
3008:
3005:
3002:
2999:
2997:
2995:
2991:
2986:
2979:
2976:
2970:
2967:
2963:
2959:
2956:
2953:
2949:
2945:
2942:
2939:
2936:
2934:
2932:
2928:
2923:
2917:
2914:
2909:
2905:
2901:
2898:
2895:
2891:
2887:
2884:
2881:
2878:
2876:
2872:
2867:
2861:
2858:
2853:
2849:
2844:
2843:
2817:
2814:
2811:
2808:
2805:
2802:
2799:
2796:
2793:
2790:
2787:
2782:
2778:
2774:
2771:
2759:
2758:
2754:
2753:
2742:
2739:
2736:
2733:
2730:
2727:
2724:
2721:
2718:
2715:
2712:
2709:
2706:
2703:
2700:
2697:
2685:
2684:
2683:
2682:
2665:
2660:
2654:
2651:
2646:
2642:
2637:
2634:
2632:
2630:
2625:
2620:
2614:
2611:
2608:
2605:
2602:
2599:
2596:
2593:
2590:
2587:
2584:
2581:
2576:
2572:
2567:
2564:
2562:
2560:
2557:
2554:
2551:
2548:
2545:
2542:
2539:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2515:
2512:
2510:
2508:
2505:
2502:
2499:
2496:
2493:
2490:
2484:
2481:
2476:
2472:
2469:
2466:
2463:
2460:
2457:
2454:
2451:
2448:
2442:
2439:
2434:
2430:
2427:
2424:
2421:
2418:
2416:
2412:
2408:
2404:
2401:
2398:
2395:
2389:
2386:
2381:
2377:
2374:
2371:
2370:
2357:
2356:
2352:
2351:
2339:
2336:
2333:
2330:
2327:
2324:
2317:
2312:
2308:
2301:
2295: or
2292:
2289:
2286:
2283:
2280:
2277:
2270:
2265:
2261:
2254:
2241:
2240:
2239:
2238:
2227:
2224:
2221:
2218:
2215:
2212:
2205:
2201:
2196:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2174:
2167:
2163:
2158:
2154:
2151:
2148:
2145:
2142:
2139:
2133:
2130:
2125:
2111:
2110:
2098:
2093:
2089:
2085:
2082:
2079:
2076:
2071:
2067:
2063:
2060:
2057:
2054:
2051:
2048:
2045:
2042:
2036:
2033:
2028:
2007:
2002:
1998:
1994:
1991:
1988:
1985:
1980:
1976:
1972:
1969:
1948:
1944:
1941:
1938:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1920:
1916:
1910:
1907:
1904:
1900:
1896:
1893:
1890:
1885:
1881:
1868:
1867:
1856:
1853:
1850:
1847:
1844:
1841:
1838:
1835:
1832:
1829:
1826:
1823:
1820:
1817:
1814:
1811:
1808:
1805:
1802:
1799:
1796:
1793:
1790:
1787:
1784:
1778:
1775:
1770:
1758:
1757:
1753:
1752:
1748:
1747:
1746:
1745:
1734:
1731:
1728:
1725:
1722:
1719:
1713:
1710:
1705:
1701:
1698:
1695:
1692:
1689:
1684:
1679:
1673:
1670:
1665:
1661:
1643:
1642:
1641:
1640:
1627:
1622:
1616:
1613:
1608:
1604:
1599:
1594:
1590:
1586:
1583:
1580:
1577:
1571:
1568:
1563:
1559:
1556:
1528:
1525:
1512:
1506:
1503:
1497:
1494:
1491:
1488:
1485:
1482:
1479:
1468:
1467:
1452:
1449:
1446:
1443:
1440:
1437:
1431:
1428:
1423:
1419:
1416:
1413:
1410:
1405:
1402:
1397:
1394:
1388:
1385:
1379:
1376:
1373:
1370:
1367:
1364:
1361:
1358:
1355:
1353:
1351:
1348:
1345:
1342:
1339:
1336:
1333:
1327:
1324:
1319:
1315:
1312:
1309:
1306:
1301:
1298:
1293:
1290:
1287:
1284:
1282:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1262:
1259:
1254:
1250:
1247:
1244:
1241:
1238:
1235:
1232:
1229:
1226:
1223:
1220:
1219:
1194:
1189:
1186:
1163:
1143:
1140:
1137:
1134:
1128:
1125:
1111:
1110:
1099:
1096:
1093:
1090:
1087:
1084:
1078:
1075:
1070:
1066:
1063:
1060:
1057:
1052:
1049:
1044:
1041:
1035:
1032:
1026:
1023:
1020:
1017:
1014:
1011:
1008:
983:
978:
975:
963:
960:
959:
958:
947:
944:
941:
938:
935:
932:
926:
923:
918:
914:
911:
908:
905:
900:
897:
892:
889:
886:
881:
878:
875:
872:
869:
866:
860:
857:
852:
848:
845:
842:
839:
836:
833:
828:
825:
822:
819:
816:
813:
807:
804:
799:
783:
780:
767:
747:
720:
717:
712:
709:
686:
666:
642:
639:
636:
625:
624:
611:
606:
598:
596:
593:
590:
589:
586:
583:
580:
577:
569:
567:
564:
558:
550:
547:
542:
539:
531:
526:
523:
517:
512:
508:
507:
505:
500:
497:
494:
491:
488:
485:
479:
476:
471:
452:
451:
440:
437:
433:
429:
426:
423:
420:
417:
414:
411:
408:
405:
401:
397:
390:
385:
382:
378:
374:
371:
368:
365:
362:
359:
353:
350:
345:
321:
301:
277:
272:
267:
262:
257:
230:
210:
198:
195:
193:
190:
168:
165:
162:
159:
156:
150:
147:
142:
117:
114:
111:
108:
105:
99:
96:
91:
67:
47:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4320:
4309:
4306:
4304:
4301:
4300:
4298:
4284:
4280:
4276:
4272:
4268:
4264:
4259:
4254:
4250:
4246:
4242:
4235:
4232:
4222:
4218:
4214:
4208:
4204:
4200:
4196:
4192:
4185:
4183:
4179:
4174:
4170:
4166:
4162:
4158:
4152:
4148:
4144:
4140:
4139:
4131:
4129:
4125:
4109:
4108:
4100:
4098:
4096:
4092:
4086:
4081:
4074:
4072:
4070:
4066:
4059:
4054:
4051:
4048:
4045:
4044:
4040:
4038:
4036:
4027:
4025:
4023:
4019:
4011:
4007:
4005:
3980:
3968:
3964:
3960:
3957:
3954:
3947:
3943:
3937:
3934:
3928:
3925:
3921:
3917:
3914:
3911:
3909:
3894:
3890:
3886:
3881:
3877:
3859:
3855:
3852:
3848:
3844:
3841:
3838:
3836:
3821:
3816:
3812:
3808:
3803:
3798:
3794:
3776:
3772:
3768:
3764:
3761:
3758:
3756:
3746:
3741:
3735:
3730:
3726:
3722:
3717:
3712:
3708:
3703:
3687:
3683:
3681:
3674:
3666:
3663:
3660:
3657:
3643:
3642:
3641:
3638:
3624:
3602:
3597:
3593:
3570:
3565:
3561:
3540:
3537:
3534:
3531:
3511:
3488:
3484:
3478:
3475:
3471:
3466:
3462:
3459:
3451:
3447:
3443:
3439:
3434:
3431:
3424:
3423:
3422:
3421:), at least
3408:
3405:
3402:
3382:
3379:
3376:
3356:
3353:
3350:
3346:
3342:
3339:
3334:
3330:
3309:
3289:
3285:
3281:
3278:
3273:
3269:
3260:
3255:
3254:
3249:
3243:
3238:
3233:
3232:
3205:
3202:
3199:
3191:
3188:
3184:
3180:
3174:
3171:
3168:
3164:
3159:
3154:
3149:
3146:
3141:
3137:
3134:
3131:
3127:
3123:
3118:
3109:
3105:
3102:
3099:
3097:
3088:
3083:
3078:
3071:
3068:
3063:
3057:
3054:
3048:
3042:
3038:
3033:
3024:
3020:
3017:
3014:
3010:
3006:
3003:
3000:
2998:
2989:
2984:
2977:
2974:
2968:
2965:
2961:
2957:
2954:
2951:
2947:
2943:
2940:
2937:
2935:
2926:
2921:
2915:
2912:
2907:
2903:
2899:
2896:
2893:
2889:
2885:
2882:
2879:
2877:
2870:
2865:
2859:
2856:
2851:
2847:
2834:
2833:
2831:
2809:
2803:
2800:
2797:
2791:
2788:
2785:
2780:
2772:
2761:
2760:
2756:
2755:
2740:
2734:
2731:
2728:
2716:
2713:
2710:
2701:
2698:
2695:
2687:
2686:
2663:
2658:
2652:
2649:
2644:
2640:
2635:
2633:
2623:
2618:
2609:
2606:
2603:
2591:
2588:
2585:
2574:
2570:
2565:
2563:
2552:
2549:
2546:
2537:
2531:
2528:
2525:
2516:
2513:
2511:
2497:
2494:
2491:
2474:
2470:
2467:
2455:
2452:
2449:
2432:
2428:
2425:
2419:
2417:
2410:
2402:
2399:
2396:
2379:
2375:
2372:
2361:
2360:
2359:
2358:
2354:
2353:
2334:
2331:
2328:
2310:
2306:
2299:
2287:
2284:
2281:
2263:
2259:
2252:
2243:
2242:
2222:
2219:
2216:
2203:
2199:
2194:
2190:
2184:
2181:
2178:
2165:
2161:
2156:
2152:
2146:
2143:
2140:
2123:
2115:
2114:
2113:
2112:
2091:
2087:
2080:
2077:
2069:
2065:
2058:
2055:
2049:
2046:
2043:
2026:
2000:
1996:
1989:
1986:
1978:
1974:
1967:
1939:
1933:
1930:
1924:
1918:
1905:
1902:
1894:
1891:
1888:
1883:
1879:
1870:
1869:
1854:
1851:
1845:
1842:
1839:
1830:
1827:
1821:
1818:
1815:
1806:
1803:
1800:
1797:
1791:
1788:
1785:
1768:
1760:
1759:
1755:
1754:
1750:
1749:
1726:
1723:
1720:
1703:
1699:
1693:
1690:
1687:
1682:
1677:
1671:
1668:
1663:
1659:
1650:
1649:
1648:
1647:
1646:
1625:
1620:
1614:
1611:
1606:
1602:
1597:
1592:
1584:
1581:
1578:
1561:
1557:
1554:
1547:
1546:
1545:
1544:
1543:
1541:
1536:
1533:
1526:
1524:
1501:
1492:
1489:
1483:
1477:
1444:
1441:
1438:
1421:
1417:
1411:
1408:
1403:
1400:
1395:
1383:
1374:
1371:
1365:
1359:
1356:
1354:
1340:
1337:
1334:
1317:
1313:
1307:
1304:
1299:
1296:
1291:
1288:
1285:
1283:
1275:
1272:
1269:
1252:
1248:
1242:
1236:
1233:
1227:
1221:
1210:
1209:
1208:
1187:
1184:
1175:
1161:
1141:
1138:
1132:
1123:
1091:
1088:
1085:
1068:
1064:
1058:
1055:
1050:
1047:
1042:
1030:
1021:
1018:
1012:
1006:
999:
998:
997:
976:
973:
961:
939:
936:
933:
916:
912:
906:
903:
898:
895:
890:
887:
884:
873:
870:
867:
850:
846:
840:
837:
834:
831:
826:
820:
817:
814:
797:
789:
788:
787:
781:
779:
765:
745:
737:
718:
715:
710:
707:
684:
664:
656:
640:
637:
634:
604:
591:
584:
581:
578:
575:
565:
562:
548:
545:
540:
537:
524:
521:
510:
503:
498:
492:
489:
486:
469:
461:
460:
459:
457:
438:
424:
418:
415:
409:
403:
383:
380:
372:
366:
363:
360:
343:
335:
334:
333:
319:
299:
291:
265:
248:
244:
228:
208:
196:
191:
189:
187:
183:
163:
160:
157:
140:
131:
112:
109:
106:
89:
81:
65:
45:
37:
33:
19:
4248:
4244:
4234:
4224:, retrieved
4194:
4137:
4115:. Retrieved
4106:
4031:
4021:
4015:
4009:
4003:
3639:
3503:
3256:
3252:
3250:
3247:
1644:
1537:
1534:
1530:
1469:
1176:
1112:
965:
785:
626:
453:
200:
31:
29:
653:stands for
34:bounds the
4297:Categories
4258:1702.05985
4226:2022-08-20
4085:2202.07198
4060:References
3395:(for some
2828:and apply
2018:such that
4275:0883-4237
4221:122597694
4165:757859245
4117:18 August
3965:ε
3958:−
3938:
3926:−
3918:−
3887:∥
3853:−
3845:−
3809:∥
3773:−
3765:−
3759:≤
3684:≤
3667:δ
3661:−
3541:δ
3535:−
3479:δ
3463:
3448:ε
3435:≥
3403:δ
3383:δ
3380:−
3357:ε
3310:ε
3302:) and an
3259:Bernoulli
3181:−
3175:
3138:
3132:−
3124:
3106:
3100:≥
3069:−
3039:
3021:
3007:
2966:∫
2958:
2944:
2908:∫
2900:
2886:
2852:∫
2810:⋅
2804:
2792:
2773:⋅
2762:We write
2645:∫
2575:∫
2566:≥
2538:∫
2517:∫
2429:−
2376:−
2316:¯
2311:∗
2300:∫
2269:¯
2264:∗
2253:∫
2204:∗
2195:∫
2191:−
2166:∗
2157:∫
2092:∗
2078:−
2070:∗
2001:∗
1979:∗
1931:−
1909:Ω
1906:∈
1895:
1884:∗
1852:−
1831:∫
1807:∫
1804:−
1724:∥
1700:−
1694:
1688:≥
1664:∫
1607:∫
1598:≥
1558:−
1505:¯
1442:∥
1418:−
1412:
1396:−
1387:¯
1338:∥
1314:−
1308:
1292:−
1286:≤
1249:≤
1234:−
1188:∈
1139:∖
1136:Ω
1127:¯
1089:∥
1065:−
1059:
1043:≥
1034:¯
977:∈
937:∥
913:−
907:
891:−
885:≤
871:∥
847:−
841:
835:−
827:≤
638:≪
601:otherwise
595:∞
579:≪
525:
511:∫
490:∥
416:−
384:∈
161:∥
110:∥
4283:15808752
4173:42933599
4041:See also
3640:We have
3248:Source:
2688:because
572:if
292:between
4028:History
2757:Step 2:
1751:Step 1:
241:be two
132:: when
4281:
4273:
4219:
4209:
4171:
4163:
4153:
1113:where
697:, and
4279:S2CID
4253:arXiv
4251:(2).
4217:S2CID
4169:S2CID
4111:(PDF)
4080:arXiv
1527:Proof
245:on a
4271:ISSN
4207:ISBN
4161:OCLC
4151:ISBN
4119:2022
3585:and
3406:>
2355:Then
1987:>
454:The
312:and
221:and
201:Let
58:and
4263:doi
4199:doi
4143:doi
4024:).
4016:In
3935:log
3460:log
3172:exp
3135:log
3103:exp
3018:log
3004:exp
2955:log
2941:exp
2897:log
2883:exp
2801:log
2789:exp
2723:max
2705:min
2598:max
2580:min
2541:max
2520:min
2323:min
2276:max
2211:min
2173:max
1899:max
1892:arg
1834:max
1810:min
1691:exp
1409:exp
1305:exp
1056:exp
904:exp
838:exp
738:of
657:of
522:log
377:sup
4299::
4277:.
4269:.
4261:.
4249:35
4247:.
4243:.
4215:,
4205:,
4193:,
4181:^
4167:.
4159:.
4149:.
4127:^
4094:^
4068:^
4037:.
2832::
1523:.
1207:,
1174:.
778:.
4285:.
4265::
4255::
4201::
4175:.
4145::
4121:.
4088:.
4082::
4010:k
3981:2
3977:)
3974:)
3969:2
3961:4
3955:1
3952:(
3948:/
3944:1
3941:(
3929:n
3922:e
3915:1
3912:=
3900:)
3895:2
3891:P
3882:1
3878:P
3874:(
3868:L
3865:K
3860:D
3856:n
3849:e
3842:1
3839:=
3827:)
3822:n
3817:2
3813:P
3804:n
3799:1
3795:P
3791:(
3785:L
3782:K
3777:D
3769:e
3762:1
3747:2
3742:)
3736:n
3731:2
3727:P
3723:,
3718:n
3713:1
3709:P
3704:(
3696:V
3693:T
3688:d
3675:2
3671:)
3664:2
3658:1
3655:(
3625:n
3603:n
3598:2
3594:P
3571:n
3566:1
3562:P
3538:2
3532:1
3512:n
3489:.
3485:)
3476:2
3472:1
3467:(
3452:2
3444:2
3440:1
3432:n
3409:0
3377:1
3354:+
3351:2
3347:/
3343:1
3340:=
3335:2
3331:p
3290:2
3286:/
3282:1
3279:=
3274:1
3270:p
3212:)
3209:)
3206:Q
3203:,
3200:P
3197:(
3192:L
3189:K
3185:D
3178:(
3169:=
3165:)
3160:]
3155:)
3150:Q
3147:P
3142:(
3128:[
3119:P
3115:E
3110:(
3089:)
3084:)
3079:]
3072:1
3064:)
3058:Q
3055:P
3049:(
3043:[
3034:P
3030:E
3025:(
3015:2
3011:(
3001:=
2990:)
2985:)
2978:P
2975:Q
2969:P
2962:(
2952:2
2948:(
2938:=
2927:)
2922:)
2916:Q
2913:P
2904:(
2894:2
2890:(
2880:=
2871:2
2866:)
2860:Q
2857:P
2848:(
2816:)
2813:)
2807:(
2798:2
2795:(
2786:=
2781:2
2777:)
2770:(
2741:.
2738:)
2735:Q
2732:,
2729:P
2726:(
2720:)
2717:Q
2714:,
2711:P
2708:(
2702:=
2699:Q
2696:P
2664:2
2659:)
2653:Q
2650:P
2641:(
2636:=
2624:2
2619:)
2613:)
2610:Q
2607:,
2604:P
2601:(
2595:)
2592:Q
2589:,
2586:P
2583:(
2571:(
2556:)
2553:Q
2550:,
2547:P
2544:(
2535:)
2532:Q
2529:,
2526:P
2523:(
2514:=
2504:)
2501:)
2498:Q
2495:,
2492:P
2489:(
2483:V
2480:T
2475:d
2471:+
2468:1
2465:(
2462:)
2459:)
2456:Q
2453:,
2450:P
2447:(
2441:V
2438:T
2433:d
2426:1
2423:(
2420:=
2411:2
2407:)
2403:Q
2400:,
2397:P
2394:(
2388:V
2385:T
2380:d
2373:1
2338:)
2335:Q
2332:,
2329:P
2326:(
2307:A
2291:)
2288:Q
2285:,
2282:P
2279:(
2260:A
2226:)
2223:Q
2220:,
2217:P
2214:(
2200:A
2188:)
2185:Q
2182:,
2179:P
2176:(
2162:A
2153:=
2150:)
2147:Q
2144:,
2141:P
2138:(
2132:V
2129:T
2124:d
2097:)
2088:A
2084:(
2081:Q
2075:)
2066:A
2062:(
2059:P
2056:=
2053:)
2050:Q
2047:,
2044:P
2041:(
2035:V
2032:T
2027:d
2006:)
1997:A
1993:(
1990:Q
1984:)
1975:A
1971:(
1968:P
1947:|
1943:)
1940:A
1937:(
1934:Q
1928:)
1925:A
1922:(
1919:P
1915:|
1903:A
1889:=
1880:A
1855:1
1849:)
1846:Q
1843:,
1840:P
1837:(
1828:=
1825:)
1822:Q
1819:,
1816:P
1813:(
1801:1
1798:=
1795:)
1792:Q
1789:,
1786:P
1783:(
1777:V
1774:T
1769:d
1733:)
1730:)
1727:Q
1721:P
1718:(
1712:L
1709:K
1704:D
1697:(
1683:2
1678:)
1672:Q
1669:P
1660:(
1626:2
1621:)
1615:Q
1612:P
1603:(
1593:2
1589:)
1585:Q
1582:,
1579:P
1576:(
1570:V
1567:T
1562:d
1555:1
1511:)
1502:A
1496:(
1493:Q
1490:+
1487:)
1484:A
1481:(
1478:P
1451:)
1448:)
1445:Q
1439:P
1436:(
1430:L
1427:K
1422:D
1415:(
1404:2
1401:1
1393:)
1384:A
1378:(
1375:Q
1372:+
1369:)
1366:A
1363:(
1360:Q
1357:=
1347:)
1344:)
1341:Q
1335:P
1332:(
1326:L
1323:K
1318:D
1311:(
1300:2
1297:1
1289:1
1279:)
1276:Q
1273:,
1270:P
1267:(
1261:V
1258:T
1253:d
1246:)
1243:A
1240:(
1237:P
1231:)
1228:A
1225:(
1222:Q
1193:F
1185:A
1162:A
1142:A
1133:=
1124:A
1098:)
1095:)
1092:Q
1086:P
1083:(
1077:L
1074:K
1069:D
1062:(
1051:2
1048:1
1040:)
1031:A
1025:(
1022:Q
1019:+
1016:)
1013:A
1010:(
1007:P
982:F
974:A
946:)
943:)
940:Q
934:P
931:(
925:L
922:K
917:D
910:(
899:2
896:1
888:1
880:)
877:)
874:Q
868:P
865:(
859:L
856:K
851:D
844:(
832:1
824:)
821:Q
818:,
815:P
812:(
806:V
803:T
798:d
766:Q
746:P
719:Q
716:d
711:P
708:d
685:Q
665:P
641:Q
635:P
605:.
592:+
585:,
582:Q
576:P
566:P
563:d
557:)
549:Q
546:d
541:P
538:d
530:(
516:X
504:{
499:=
496:)
493:Q
487:P
484:(
478:L
475:K
470:D
439:.
436:}
432:|
428:)
425:A
422:(
419:Q
413:)
410:A
407:(
404:P
400:|
396:{
389:F
381:A
373:=
370:)
367:Q
364:,
361:P
358:(
352:V
349:T
344:d
320:Q
300:P
276:)
271:F
266:,
261:X
256:(
229:Q
209:P
184:(
167:)
164:Q
158:P
155:(
149:L
146:K
141:D
116:)
113:Q
107:P
104:(
98:L
95:K
90:D
66:Q
46:P
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.