1831:
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2075:
513:
1286:
2220:
975:
1946:
573:
1712:
181:
1054:
1450:
1056:
for any irrational number, đťś™ is a Brjuno number. Moreover, a similar method can be used to prove that any irrational number whose continued fraction expansion ends with a string of 1's is a Brjuno number.
2282:
1370:
1957:
1962:
340:
1170:
2398:
1795:
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1522:
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1546:
1470:
1162:
861:
294:
87:
1745:
1480:
The Brjuno numbers are important in the one–dimensional analytic small divisors problems. Bruno improved the diophantine condition in Siegel's
Theorem, showed that
220:
1618:
316:
2490:
776:{\displaystyle {\begin{cases}p_{n}=p_{n-1}+p_{n-2}&{\text{ with }}p_{0}=1,p_{1}=2,\\q_{n}=q_{n-1}+q_{n-2}&{\text{ with }}q_{0}=q_{1}=1.\end{cases}}}
1892:
1626:
95:
983:
1379:
2251:
1294:
2070:{\displaystyle {\begin{aligned}B(\alpha )&=B(\alpha +1)\\B(\alpha )&=-\log \alpha +\alpha B(1/\alpha )\end{aligned}}}
1564:
Intuitively, these numbers do not have many large "jumps" in the sequence of convergents, in which the denominator of the (
508:{\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}
2403:
This sum converges if and only if the Brjuno sum does, and in fact their difference is bounded by a universal constant.
1281:{\displaystyle a_{n}={\begin{cases}10&{\text{ if }}n=0,1,\\q_{n}^{q_{n-1}}&{\text{ if }}n\geq 2.\end{cases}}}
2629:
1556:) showed in 1987 that this condition is also necessary, and for quadratic polynomials is necessary and sufficient.
1580:
2611:
2369:
2215:{\displaystyle Y(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{0}\cdots \alpha _{n-1}\log {\frac {1}{\alpha _{n}}},}
1757:
232:
525:
2634:
2528:
2485:
2108:
1549:
789:
2412:
1491:
970:{\displaystyle {\frac {\log {q_{n+1}}}{q_{n}}}<{\frac {2\log {q_{n}}}{q_{n}}}{\text{ for }}n\geq 2}
1485:
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1941:{\displaystyle B:\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
1525:
331:
2504:
31:
17:
1830:
1373:
2513:
2470:
Proceedings of the 1999 Topology and
Dynamics Conference (Salt Lake City, UT)
2446:
1707:{\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}
176:{\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}
1049:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n}}{q_{n}}}<\infty }
2531:(1995), "Théorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques",
2600:
1829:
1445:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}
2601:
Complex Brjuno functions by S. Marmi, P. Moussa, J.-C. Yoccoz
2277:{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }
1274:
769:
2433:(1971), "Analytic form of differential equations. I, II",
1365:{\displaystyle q_{n+1}>q_{n}^{\frac {2q_{n}}{q_{n-1}}}}
2472:, Topology Proceedings, vol. 24, pp. 189–201,
1571:)th convergent is exponentially larger than that of the
474:
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410:
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201:
98:
75:
2463:"The structure and topology of the Brjuno numbers"
2392:
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214:
175:
81:
2111:'s variant of the Brjuno sum defined as follows:
89:is called a Brjuno number when the infinite sum
8:
2491:Journal of the American Mathematical Society
1935:
1926:
2435:Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva
2503:
2382:
2373:
2371:
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2393:{\displaystyle {\frac {1}{\alpha _{n}}}}
1575:th convergent. Thus, in contrast to the
2557:
2266:
1907:
1790:{\displaystyle {\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}}
265:{\displaystyle {\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}}
1579:, they do not have unusually accurate
1553:
556:{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}
55:
7:
2612:scholarpedia: Quadratic Siegel disks
2488:(2001), "Complex Brjuno functions",
830:{\displaystyle q_{n+1}<q_{n}^{2}}
319:
2588:
2576:
2564:
1060:By contrast, consider the constant
2152:
1932:
1867:is defined for irrational numbers
1661:
1600:The Brjuno sum or Brjuno function
1472:is therefore not a Brjuno number.
1399:
1043:
1003:
130:
25:
1517:{\displaystyle e^{2\pi i\alpha }}
27:Special type of irrational number
2539:, vol. 231, pp. 3–88,
2484:Marmi, Stefano; Moussa, Pierre;
980:and since it can be proven that
50:named for Russian mathematician
2533:Petits diviseurs en dimension 1
2461:Lee, Eileen F. (Spring 1999),
2130:
2124:
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2046:
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2305:{\displaystyle \alpha _{0}}
2248:is irrational real number:
2651:
2366:is the fractional part of
2312:is the fractional part of
1860:{\displaystyle B(\alpha )}
1747:is the denominator of the
1581:diophantine approximations
1550:Jean-Christophe Yoccoz
222:is the denominator of the
1838:The real Brjuno function
54:, who introduced them in
1124:{\displaystyle \alpha =}
2529:Yoccoz, Jean-Christophe
2486:Yoccoz, Jean-Christophe
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2241:{\displaystyle \alpha }
2103:
2093:{\displaystyle \alpha }
1880:{\displaystyle \alpha }
1814:{\displaystyle \alpha }
1541:{\displaystyle \alpha }
1465:{\displaystyle \alpha }
1157:{\displaystyle (a_{n})}
856:{\displaystyle n\geq 2}
786:It is easy to see that
289:{\displaystyle \alpha }
82:{\displaystyle \alpha }
46:) is a special type of
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2360:
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2579:, p. 193–194.
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