5783:
6057:
1306:
2322:
47:
58:
1906:
1342:
36:
3776:
4428:
1475:
1331:
2317:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(defining equation)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(recurrence hypothesis)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(regrouping)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(recurrence on }}K_{n}).\end{aligned}}}
3340:
4412:
3323:
4239:
3771:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}
4993:
498:
3978:
5101:
4245:
4080:
3066:
2449:
4091:
878:
4810:
3345:
3071:
1911:
1644:
297:
4644:
1775:
781:
2948:
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2880:
3031:
4873:
1397:
190:
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1674:
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947:
908:
1898:
1869:
1807:
1221:
1017:
589:
563:
533:
310:
643:
620:
151:
5772:. With a foreword by Roger Penrose. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 149. Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 978-0-521-86991-1.
4407:{\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}
3850:
5004:
5938:
5740:
5722:
5704:
5686:
5668:
5650:
5632:
5614:
5596:
5581:
3318:{\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}
3995:
2338:
4234:{\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}
789:
5881:
4475:
1522:
5958:
4751:
4453:
4449:
1500:
1496:
591:), and terms using other metals names (such as copper or nickel), are occasionally used to name subsequent metallic means.
6008:
5931:
983:, this formula implies that the quotient of two consecutive elements of such a sequence tends to the metallic mean, when
5809:
4438:
1485:
6056:
5852:
1572:
709:
705:
4457:
4442:
1504:
1489:
250:
4596:
5924:
1434:
to the original rectangle; that is, a rectangle with the same ratio of the length to the width (see figures).
1709:
715:
6076:
2885:
2543:
595:
5536:
4581:
2461:
1677:
4821:
3787:
1129:
5998:
4988:{\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}
2829:
1431:
1305:
2984:
1363:
156:
4528:
1701:
4700:
4652:
655:
200:
5978:
2718:
1119:
302:
195:
1123:
5576:"Sequence A001622 (Decimal expansion of golden ratio phi (or tau) = (1 + sqrt(5))/2)"
6032:
6013:
5973:
5877:
5828:
2644:
1812:
1085:
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599:
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2685:
2611:
1263:
1230:
1052:
5988:
4491:
3060:
is an integer that satisfies the given recurrence relation. This results from the identity
2797:
952:
493:{\displaystyle =n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}
102:
5895:
3036:
2957:
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2516:
1652:
1538:
1021:
925:
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5983:
1874:
1848:
1786:
1442:
1197:
993:
1317:
th metallic mean, one gets a rectangle with the same ratio length/width (in the figures,
568:
542:
512:
5874:
The
Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science
625:
5993:
605:
136:
89:
6070:
6003:
5551:
2454:
The odd powers of a metallic mean are themselves metallic means. More precisely, if
1341:
6022:
5968:
5963:
5243:
5238:
5203:
5198:
3973:{\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}
1454:
1446:
1438:
1224:
1191:
1046:
536:
506:
35:
5096:{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}
5831:
1313:
largest possible squares from a rectangle with ratio length/width equal to the
6027:
5571:
4427:
1474:
1294:
96:
5907:
Further
Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation
4075:{\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}
2444:{\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}
1354:= red/ green = green/blue = blue/purple) and silver ratio within the octagon.
5836:
1407:
565:), and share some of their interesting properties. The term "bronze ratio" (
17:
1330:
783:
It follows that, given such a recurrence the solution can be expressed as
1450:
4649:
Another generalization consists of changing the defining equation from
1458:
873:{\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}
5906:
1403:
th metallic mean induces the following geometrical interpretation.
66:
Gold, silver, and bronze ratios within their respective rectangles.
5546:
1304:
1297:. The third metallic mean is sometimes called the "bronze ratio".
5916:
5769:
5541:
5920:
4421:
1468:
5744:
5726:
5708:
5690:
5672:
5654:
5636:
5618:
5600:
5575:
129:
that satisfies the following equivalent characterizations:
5658:, Decimal expansion of [5, 5, ...] = (5 + sqrt(29))/2.
5622:, Decimal expansion of [3, 3, ...] = (3 + sqrt(13))/2.
1445:
and its diagonals. This is in particular the case for the
5161:
5894:
Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea
Crasmareanu (2013). "
5853:
4805:{\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}
455:
443:
429:
417:
403:
391:
377:
365:
1366:
458:
446:
432:
420:
406:
394:
380:
368:
253:
159:
5007:
4876:
4824:
4754:
4703:
4655:
4599:
4531:
4494:
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4094:
3998:
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3069:
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2721:
2688:
2647:
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2546:
2519:
2464:
2341:
1909:
1877:
1851:
1815:
1789:
1712:
1655:
1575:
1541:
1422:
th metallic ratio. If one remove from this rectangle
1266:
1233:
1200:
1132:
1088:
1055:
1024:
996:
955:
928:
889:
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718:
658:
628:
608:
571:
545:
515:
313:
203:
139:
105:
5816:. Fucecchio (Florence): Edizioni dell'Erba: 141–157.
5791:
Nonlinear analysis, theory, methods and applications
5784:"The metallic means family and multifractal spectra"
5808:de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ed.).
5770:Aperiodic order. Vol. 1. A mathematical invitation
5604:, Decimal expansion of the silver mean, 1+sqrt(2).
5095:
4987:
4852:
4804:
4737:
4689:
4638:
4565:
4510:
4406:
4233:
4074:
3972:
3833:
3770:
3331:given that the initial values are easy to verify.
3317:
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1037:
1011:
979:Since the inverse of a metallic mean is less than
971:
941:
902:
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237:
184:
145:
121:
3942:
3916:
1227:, and the elements of the sequence starting with
3983:For even powers, things are more complicate. If
2762:The definition of metallic means implies that
5932:
1639:{\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}
292:{\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}
8:
5896:Metallic Structures on Riemannian Manifolds
5640:, Decimal expansion of phi^3 = 2 + sqrt(5).
4456:. Unsourced material may be challenged and
1503:. Unsourced material may be challenged and
5939:
5925:
5917:
5110:
4639:{\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}
598:, the metallic means are exactly the real
505:Metallic means are generalizations of the
27:Generalization of golden and silver ratios
5582:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
5076:
5051:
5050:
5023:
5017:
5008:
5006:
4975:
4959:
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4946:
4926:
4920:
4916:
4911:
4905:
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4894:
4881:
4875:
4837:
4823:
4776:
4770:
4761:
4753:
4708:
4702:
4660:
4654:
4625:
4616:
4604:
4598:
4536:
4530:
4525:as the positive solution of the equation
4499:
4493:
4476:Learn how and when to remove this message
4382:
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4340:
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2687:
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1523:Learn how and when to remove this message
1379:
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269:
263:
254:
252:
208:
202:
172:
158:
138:
110:
104:
5900:Revista de la Unión Matemática Argentina
5113:
5761:
5748:, Decimal expansion of (10+sqrt(104)/2.
5563:
1770:{\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}
776:{\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}
5876:, p. 228, 231. World Scientific.
5814:Nexus II: Architecture and Mathematics
5730:, Decimal expansion of (9+sqrt(85))/2.
5694:, Decimal expansion of (7+sqrt(53))/2.
2943:{\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}
2601:{\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}}
2540:is defined by the recurrence relation
4998:Another form of the metallic mean is
4815:is any root of the equation, one has
1783:The equality is immediately true for
7:
4454:adding citations to reliable sources
2506:{\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}
1501:adding citations to reliable sources
5872:Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009).
4853:{\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}
3834:{\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}
1350:Golden ratio within the pentagram (
1183:{\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}
5712:, Decimal expansion of 4+sqrt(17).
5676:, Decimal expansion of 3+sqrt(10).
5073:
5067:
5064:
5061:
5058:
5055:
5052:
3920:
2875:{\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}
1871:Supposing the equality true up to
1845:which makes the equality true for
1410:such that the ratio of its length
25:
4488:One may define the metallic mean
301:the number whose expression as a
6055:
4426:
3989:is a positive even integer then
3026:{\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}
1809:The recurrence relation implies
1473:
1340:
1329:
1321:is the number of dotted lines).
1223:the metallic mean is called the
922:are constants depending only on
133:the unique positive real number
56:
45:
34:
5810:"The Metallic Means and Design"
5797:(6). Elsevier Science: 721–745.
2458:is an odd natural number, then
1392:{\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}
185:{\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}
5084:
5070:
4867:is also given by the integral
4554:
4545:
3305:
3267:
3261:
3223:
3207:
3169:
3157:
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3116:
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2912:
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2185:
2169:
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2107:
2059:
2053:
2005:
1437:Some metallic means appear as
350:
314:
1:
5782:de Spinadel, Vera W. (1999).
4566:{\displaystyle x^{2}-(-n)-1.}
3033:So, it remains to prove that
4738:{\displaystyle x^{2}-nx-c=0}
4690:{\displaystyle x^{2}-nx-1=0}
693:{\displaystyle x^{2}-nx-1=0}
238:{\displaystyle x^{2}-nx-1=0}
2755:{\displaystyle b=-1/S_{m}.}
2608:and the initial conditions
1122:, and the above formula is
6093:
5768:M. Baake, U. Grimm (2013)
5572:Sloane, N. J. A.
1680:by the initial conditions
1441:in the figure formed by a
710:linear recurrence relation
6053:
5954:
3329:This completes the proof,
194:the positive root of the
4584:of the metallic mean of
3334:In particular, one has
2670:{\displaystyle M_{1}=m.}
1838:{\displaystyle K_{2}=m,}
1111:{\displaystyle x_{1}=1,}
704:th metallic mean is the
5832:"Table of Silver means"
2708:{\displaystyle a=S_{m}}
2634:{\displaystyle M_{0}=2}
2115:(recurrence hypothesis)
1430:, one gets a rectangle
1426:squares of side length
1286:{\displaystyle x_{1}=1}
1253:{\displaystyle x_{0}=0}
1075:{\displaystyle x_{0}=0}
987:tends to the infinity.
706:characteristic equation
596:algebraic number theory
5905:Rakočević, Miloje M. "
5097:
4989:
4854:
4806:
4739:
4691:
4640:
4582:multiplicative inverse
4567:
4518:of a negative integer
4512:
4511:{\displaystyle S_{-n}}
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914:th metallic mean, and
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652:The defining equation
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602:that are greater than
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1497:improve this section
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1118:the sequence is the
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4863:The silver mean of
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393:
379:
367:
5979:Fibonacci sequence
5857:maths.surrey.ac.uk
5829:Weisstein, Eric W.
5585:. OEIS Foundation.
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3781:and, in general,
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1120:Fibonacci sequence
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