1956:
2584:
1711:
2166:
1457:
2293:
819:
1951:{\displaystyle \mathbf {J} _{n}^{-1}=\mathbf {J} _{n-1}^{-1}+{\frac {\Delta \mathbf {x} _{n}-\mathbf {J} _{n-1}^{-1}\Delta \mathbf {f} _{n}}{\Delta \mathbf {x} _{n}^{\mathrm {T} }\mathbf {J} _{n-1}^{-1}\Delta \mathbf {f} _{n}}}\Delta \mathbf {x} _{n}^{\mathrm {T} }\mathbf {J} _{n-1}^{-1}.}
1982:
967:
1297:
1642:
2579:{\displaystyle \mathbf {J} _{k+1}=\mathbf {J} _{k}-{\frac {\mathbf {J} _{k}s_{k}s_{k}^{T}\mathbf {J} _{k}}{s_{k}^{T}\mathbf {J} _{k}s_{k}}}+{\frac {y_{k}y_{k}^{T}}{y_{k}^{T}s_{k}}}+\phi _{k}\left(s_{k}^{T}\mathbf {J} _{k}s_{k}\right)v_{k}v_{k}^{T},}
585:
2672:
1252:
271:
2256:
1181:
1109:
2161:{\displaystyle \mathbf {J} _{n}^{-1}=\mathbf {J} _{n-1}^{-1}+{\frac {\Delta \mathbf {x} _{n}-\mathbf {J} _{n-1}^{-1}\Delta \mathbf {f} _{n}}{\|\Delta \mathbf {f} _{n}\|^{2}}}\Delta \mathbf {f} _{n}^{\mathrm {T} }.}
79:
the number of variables can be in the hundreds of thousands. The idea behind
Broyden's method is to compute the whole Jacobian at most only at the first iteration, and to do rank-one updates at other iterations.
383:
843:
1534:
2261:
In his original paper
Broyden could not get the bad method to work, but there are cases where it does for which several explanations have been proposed. Many other quasi-Newton schemes have been suggested in
1037:
579:
2737:
1452:{\displaystyle \mathbf {J} _{n}=\mathbf {J} _{n-1}+{\frac {\Delta \mathbf {f} _{n}-\mathbf {J} _{n-1}\Delta \mathbf {x} _{n}}{\|\Delta \mathbf {x} _{n}\|^{2}}}\Delta \mathbf {x} _{n}^{\mathrm {T} }.}
473:
3104:
2926:
1545:
2891:
3041:
3840:
2997:
2970:
1671:
1699:
814:{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={\big (}f_{1}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k}),f_{2}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k}),\dotsc ,f_{k}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k}){\big )}.}
1701:. The initial Jacobian can be taken as a diagonal, unit matrix, although more common is to scale it based upon the first step. Broyden also suggested using the
426:
2589:
1192:
71:, at every iteration. However, computing this Jacobian can be a difficult and expensive operation; for large problems such as those involving solving the
1279:, and then improving upon it by requiring that the new form is a solution to the most recent secant equation, and that there is minimal modification to
3099:
3007:
145:
2177:
1115:
1043:
3833:
3797:
3412:
962:{\displaystyle \mathbf {J} _{n}(\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n-1})\simeq \mathbf {f} (\mathbf {x} _{n})-\mathbf {f} (\mathbf {x} _{n-1}),}
286:
4038:
1471:
3964:
3094:
984:
495:
3768:
3741:
824:
For such problems, Broyden gives a variation of the one-dimensional Newton's method, replacing the derivative with an approximate
3826:
2676:
4028:
825:
62:
434:
2286:
In addition to the two methods described above, Broyden defined a wider class of related methods. In general, methods in the
3813:
4059:
1702:
3010:, which is the only member of this class being published before the two methods defined by Broyden. For the DFP method,
3992:
3997:
2263:
3658:
2742:
3066:
3053:
3982:
3926:
2896:
1637:{\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-\alpha \mathbf {J} _{n}^{-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} _{n}).}
72:
4007:
3941:
3885:
3857:
3849:
3059:
A limited memory method by
Srivastava for the root finding problem which only uses a few recent iterations.
3931:
3129:
1258:
38:
28:
4023:
1539:
One then updates the variables using the approximate
Jacobian, what is called a quasi-Newton approach.
4002:
3977:
3987:
3908:
3089:
24:
3541:"Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set"
3468:
3729:
3155:
3013:
4033:
3954:
3898:
3893:
3579:
3509:
3084:
277:
44:
3760:
2975:
2931:
2270:, where one seeks a maximum or minimum by finding zeros of the first derivatives (zeros of the
1650:
3949:
3793:
3764:
3737:
3703:
3683:
3640:
3599:
3560:
3490:
3449:
3408:
3372:
3326:
3260:
3221:
1267:
is greater than one. Broyden suggested using the most recent estimate of the
Jacobian matrix,
136:
76:
3618:
1684:
3865:
3785:
3695:
3630:
3591:
3552:
3521:
3480:
3441:
3400:
3364:
3318:
3287:
3252:
3241:"Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix"
3213:
3182:
3145:
100:
steps, although like all quasi-Newton methods, it may not converge for nonlinear systems.
3779:
3753:
3725:
3399:. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer New York.
2667:{\displaystyle y_{k}:=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{k+1})-\mathbf {f} (\mathbf {x} _{k}),}
2275:
411:
3485:
3469:"Modification of a quasi-Newton method for nonlinear equations with a sparse Jacobian"
3322:
3150:
3133:
1247:{\displaystyle \mathbf {J} _{n}\Delta \mathbf {x} _{n}\simeq \Delta \mathbf {f} _{n}.}
4053:
3972:
3921:
3619:"On Using Quasi-Newton Algorithms of the Broyden Class for Model-to-Test Correlation"
3595:
3540:
3525:
3394:
3079:
3049:
Schubert's or sparse
Broyden algorithm â a modification for sparse Jacobian matrices.
114:
83:
In 1979 Gay proved that when
Broyden's method is applied to a linear system of size
3870:
3306:
1678:
3240:
3046:
Anderson's iterative method, which uses a least squares approach to the
Jacobian.
1964:
A similar technique can be derived by using a slightly different modification to
3348:
1674:
1463:
3699:
3429:
3368:
3875:
3556:
3404:
3256:
3201:
3707:
3644:
3603:
3564:
3494:
3453:
3376:
3330:
3264:
3225:
266:{\displaystyle f'(x_{n})\simeq {\frac {f(x_{n})-f(x_{n-1})}{x_{n}-x_{n-1}}},}
3789:
3684:"Computing the self-consistent field in KohnâSham density functional theory"
3510:"Convergence acceleration of iterative sequences. the case of scf iteration"
2251:{\displaystyle \|\mathbf {J} _{n}^{-1}-\mathbf {J} _{n-1}^{-1}\|_{\rm {F}}.}
1176:{\displaystyle \Delta \mathbf {f} _{n}=\mathbf {f} _{n}-\mathbf {f} _{n-1},}
1104:{\displaystyle \Delta \mathbf {x} _{n}=\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n-1},}
3818:
3635:
3445:
3002:
Other methods in the
Broyden class have been introduced by other authors.
2271:
833:. The approximate Jacobian matrix is determined iteratively based on the
3734:
Numerical
Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations
3291:
3217:
3159:
3173:
Gay, D. M. (1979). "Some convergence properties of Broyden's method".
3580:"Broyden's method for self-consistent field convergence acceleration"
1976:. This yields a second method, the so-called "bad Broyden's method":
3186:
2274:
in multiple dimensions). The Jacobian of the gradient is called the
1961:
This first method is commonly known as the "good Broyden's method."
378:{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f^{\prime }(x_{n})}}}
2278:
and is symmetric, adding further constraints to its approximation.
1705:
to directly update the inverse of the approximate Jacobian matrix:
1529:{\displaystyle \|\mathbf {J} _{n}-\mathbf {J} _{n-1}\|_{\rm {F}}.}
3134:"A Class of Methods for Solving Nonlinear Simultaneous Equations"
2267:
1032:{\displaystyle \mathbf {f} _{n}=\mathbf {f} (\mathbf {x} _{n}),}
3822:
574:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{k}),}
3307:"Practical quasi-Newton methods for solving nonlinear systems"
3759:(Second ed.). New York: John Wiley & Sons. pp.
3062:
Klement (2014) â uses fewer iterations to solve some systems.
351:
2732:{\displaystyle s_{k}:=\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k},}
16:
Quasi-Newton root-finding method for the multivariable case
3659:"Broyden class methods â File Exchange â MATLAB Central"
468:{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} ,}
3814:
Simple basic explanation: The story of the blind archer
3430:"Iterative Procedures for Nonlinear Integral Equations"
3736:. Englewood Cliffs: Prentice Hall. pp. 168â193.
3016:
2978:
2934:
2899:
2745:
2679:
2592:
2296:
2180:
1985:
1714:
1687:
1653:
1548:
1474:
1300:
1195:
1118:
1046:
987:
846:
588:
498:
437:
414:
289:
148:
3781:
Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations
4016:
3963:
3940:
3907:
3884:
3856:
3784:. Society for Industrial and Applied Mathematics.
3752:
3035:
2991:
2964:
2920:
2885:
2731:
2666:
2578:
2250:
2160:
1950:
1693:
1665:
1636:
1528:
1451:
1246:
1175:
1103:
1031:
961:
813:
573:
467:
420:
377:
265:
3278:Kvaalen, Eric (1991). "A faster Broyden method".
3311:Journal of Computational and Applied Mathematics
3202:"Matrix conditioning and nonlinear optimization"
3623:Journal of Aerospace Technology and Management
3584:Journal of Physics A: Mathematical and General
3388:
3386:
3144:(92). American Mathematical Society: 577â593.
3124:
3122:
3120:
3105:BroydenâFletcherâGoldfarbâShanno (BFGS) method
3834:
3239:Sherman, Jack; Morrison, Winifred J. (1950).
803:
610:
8:
3682:Woods, N D; Payne, M C; Hasnip, P J (2019).
2234:
2181:
2121:
2102:
1512:
1475:
1412:
1393:
978:is the iteration index. For clarity, define
3393:Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006).
3841:
3827:
3819:
2171:This minimizes a different Frobenius norm
109:Solving single-variable nonlinear equation
37:variables. It was originally described by
3634:
3484:
3149:
3021:
3015:
2983:
2977:
2933:
2921:{\displaystyle \phi _{k}\in \mathbb {R} }
2914:
2913:
2904:
2898:
2866:
2856:
2851:
2844:
2839:
2827:
2817:
2812:
2808:
2796:
2786:
2781:
2770:
2764:
2750:
2744:
2720:
2715:
2699:
2694:
2684:
2678:
2652:
2647:
2638:
2620:
2615:
2606:
2597:
2591:
2567:
2562:
2552:
2537:
2527:
2522:
2515:
2510:
2495:
2479:
2469:
2464:
2452:
2447:
2437:
2430:
2418:
2408:
2403:
2396:
2391:
2379:
2374:
2367:
2362:
2352:
2342:
2337:
2333:
2324:
2319:
2303:
2298:
2295:
2238:
2237:
2224:
2213:
2208:
2195:
2190:
2185:
2179:
2148:
2147:
2142:
2137:
2124:
2114:
2109:
2094:
2089:
2076:
2065:
2060:
2050:
2045:
2038:
2026:
2015:
2010:
1997:
1992:
1987:
1984:
1936:
1925:
1920:
1912:
1911:
1906:
1901:
1888:
1883:
1870:
1859:
1854:
1846:
1845:
1840:
1835:
1823:
1818:
1805:
1794:
1789:
1779:
1774:
1767:
1755:
1744:
1739:
1726:
1721:
1716:
1713:
1686:
1673:this is the full Newton step; commonly a
1652:
1622:
1617:
1608:
1599:
1594:
1589:
1576:
1571:
1555:
1550:
1547:
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1499:
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1439:
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1433:
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1400:
1385:
1380:
1364:
1359:
1349:
1344:
1337:
1322:
1317:
1307:
1302:
1299:
1235:
1230:
1217:
1212:
1202:
1197:
1194:
1158:
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1143:
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1128:
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1117:
1086:
1081:
1071:
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1056:
1051:
1045:
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1012:
1003:
994:
989:
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941:
936:
927:
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910:
901:
883:
878:
868:
863:
853:
848:
845:
802:
801:
792:
773:
760:
747:
725:
706:
693:
680:
664:
645:
632:
619:
609:
608:
597:
589:
587:
559:
540:
527:
514:
499:
497:
457:
446:
438:
436:
413:
363:
350:
335:
322:
313:
294:
288:
245:
232:
211:
189:
176:
164:
147:
3200:Shanno, D. F.; Phua, Kang -Hoh (1978).
3116:
398:Solving a system of nonlinear equations
484:is a vector-valued function of vector
3245:The Annals of Mathematical Statistics
837:, a finite-difference approximation:
7:
3688:Journal of Physics: Condensed Matter
3539:Kresse, G.; FurthmĂŒller, J. (1996).
3342:
3340:
3008:DavidonâFletcherâPowell (DFP) method
3347:Marks, L. D.; Luke, D. R. (2008).
3175:SIAM Journal on Numerical Analysis
3052:The Pulay approach, often used in
2239:
2149:
2133:
2105:
2085:
2041:
1913:
1897:
1879:
1847:
1831:
1814:
1770:
1517:
1440:
1424:
1396:
1376:
1340:
1226:
1208:
1119:
1047:
117:, we replace the first derivative
14:
3755:Practical Methods of Optimization
3486:10.1090/S0025-5718-1970-0258276-9
3151:10.1090/S0025-5718-1965-0198670-6
1186:so the above may be rewritten as
4039:Sidi's generalized secant method
3353:quantum mechanical calculations"
2852:
2813:
2716:
2695:
2648:
2639:
2616:
2607:
2523:
2404:
2375:
2338:
2320:
2299:
2209:
2186:
2138:
2110:
2090:
2061:
2046:
2011:
1988:
1921:
1902:
1884:
1855:
1836:
1819:
1790:
1775:
1740:
1717:
1618:
1609:
1590:
1572:
1551:
1495:
1480:
1429:
1401:
1381:
1360:
1345:
1318:
1303:
1231:
1213:
1198:
1154:
1139:
1124:
1082:
1067:
1052:
1013:
1004:
990:
937:
928:
911:
902:
879:
864:
849:
598:
590:
500:
458:
447:
439:
4029:Inverse quadratic interpolation
3100:DavidonâFletcherâPowell formula
3095:Newton's method in optimization
3305:MartıÌnez, JosĂ© Mario (2000).
2658:
2643:
2632:
2611:
1628:
1613:
1023:
1008:
953:
932:
921:
906:
895:
859:
798:
753:
731:
686:
670:
625:
602:
594:
565:
507:
451:
443:
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1:
3323:10.1016/s0377-0427(00)00434-9
3526:10.1016/0009-2614(80)80396-4
3428:Anderson, Donald G. (1965).
2886:{\displaystyle v_{k}=\left,}
2282:The Broyden Class of Methods
3036:{\displaystyle \phi _{k}=1}
4076:
3858:Bracketing (no derivative)
3596:10.1088/0305-4470/17/6/002
3473:Mathematics of Computation
3369:10.1103/physrevb.78.075114
3138:Mathematics of Computation
1681:method is used to control
3557:10.1103/PhysRevB.54.11169
3405:10.1007/978-0-387-40065-5
3280:BIT Numerical Mathematics
3067:density functional theory
3054:density functional theory
2992:{\displaystyle \phi _{k}}
2965:{\displaystyle k=1,2,...}
1666:{\displaystyle \alpha =1}
104:Description of the method
3700:10.1088/1361-648X/ab31c0
3578:Srivastava, G P (1984).
3514:Chemical Physics Letters
3467:Schubert, L. K. (1970).
3206:Mathematical Programming
3065:Multisecant methods for
2290:are given in the form
1703:ShermanâMorrison formula
394:is the iteration index.
4008:Splitting circle method
3993:JenkinsâTraub algorithm
3850:Root-finding algorithms
3790:10.1137/1.9781611970944
3257:10.1214/aoms/1177729893
2999:determines the method.
1694:{\displaystyle \alpha }
408:nonlinear equations in
276:and proceed similar to
19:In numerical analysis,
3998:LehmerâSchur algorithm
3778:Kelley, C. T. (1995).
3396:Numerical Optimization
3037:
2993:
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1257:The above equation is
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3751:Fletcher, R. (1987).
3636:10.5028/jatm.v6i4.373
3617:Klement, Jan (2014).
3508:Pulay, PĂ©ter (1980).
3446:10.1145/321296.321305
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3349:"Robust mixing for
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1462:This minimizes the
1445:
93:, it terminates in
73:KohnâSham equations
25:quasi-Newton method
3965:Polynomial methods
3434:Journal of the ACM
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3663:www.mathworks.com
3545:Physical Review B
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3357:Physical Review B
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