6427:
5523:
6422:{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )={\frac {-23+3i{\sqrt {237}}}{4}},\\r&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-23)^{2}+9\cdot 237}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot 11^{3}}}={\Bigg (}{\sqrt {\frac {11}{2}}}{\Bigg )}^{3},\\\cos \varphi &=-{\frac {23}{4}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {23\cdot 2{\sqrt {2}}}{4\cdot 11{\sqrt {11}}}}=-{\frac {23}{11{\sqrt {22}}}},\\{\sqrt{\alpha }}&={\sqrt{r}}e^{\frac {i\varphi }{3}}={\sqrt{r}}{\Big (}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}{\Big )},\\{\sqrt{\alpha }}+{\sqrt{\bar {\alpha }}}&=2{\sqrt{r}}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}={\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )},\\x&={\frac {1}{3}}{\bigg (}1+{\sqrt{\alpha }}+{\sqrt{\bar {\alpha }}}{\bigg )}={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.\end{aligned}}}
2046:
2326:
2196:
1021:
409:
1576:
8334:
2041:{\displaystyle {\begin{aligned}&a=b\\&\Leftrightarrow {\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}={\frac {x^{2}\tan \theta }{x^{2}\tan \theta +2}}\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x^{2}\tan \theta +2)=x^{2}\tan \theta (\tan \theta +2)\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x(\tan \theta +2)-(x^{2}\tan \theta +2))=0\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x\tan \theta -2)\cdot (x-1)=0\\&\Leftrightarrow 2\sin \theta \cdot 2(\sin \theta -1)\cdot (x-1)=0.\end{aligned}}}
2891:
8147:
1003:
2608:
8329:{\displaystyle {\begin{aligned}x&\approx {\frac {h_{95}}{k_{95}}}\\&={\frac {10264770284430115358350493989796951584352149694}{6616509493602288551995313304988866597070326335}}\\&=1.5513875245483203922619525102646238151635917038038871995280071201179267425542569572957604536135484903\cdots ,\\\varepsilon &={\frac {1}{k_{95}(k_{95}+k_{94})}}\\&=1.82761...\times 10^{-91}.\end{aligned}}}
4812:
2619:
5468:
3310:
5298:
17:
1565:
748:
2359:
2886:{\displaystyle {\begin{aligned}&a=b\\&\Leftrightarrow {\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}={\frac {\tan \theta }{1+\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow {\frac {x}{\tan \theta +2}}={\frac {1}{1+\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow x(\tan \theta +1)=\tan \theta +2\\&\Leftrightarrow (x-1)\tan \theta =2-x.\end{aligned}}}
4646:
5327:
2986:
4317:
4843:
658:
1330:
1341:
3789:
998:{\displaystyle {\begin{aligned}&EB:DE=HB:AH\\&\Leftrightarrow {\bigg (}{\frac {x-a}{2}}{\bigg )}:a=\cos \theta :\sin \theta =1:\tan \theta \\&\Leftrightarrow a={\bigg (}{\frac {x-a}{2}}{\bigg )}\tan \theta \\&\Leftrightarrow a={\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}.\\\end{aligned}}}
3999:
2603:{\displaystyle {\begin{aligned}&AH:HC=JK:KC\\&\Leftrightarrow \sin \theta :\cos \theta =b:(1-b)\\&\Leftrightarrow b\cos \theta =(1-b)\sin \theta \\&\Leftrightarrow b=(1-b)\tan \theta \\&\Leftrightarrow b={\frac {\tan \theta }{1+\tan \theta }}.\end{aligned}}}
4618:
1167:
63:
Consider the largest square that can be placed in an arbitrary triangle. It may be that such a square could be positioned in the triangle in more than one way. If the largest such square can be positioned in three different ways, then the triangle is either an
4807:{\displaystyle {\begin{aligned}x&={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}\\&=1.55138752454832039226195251026462381516359170380389\cdots .\end{aligned}}}
5463:{\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}(x/2)\\&=39.13202614232587442003651601935656349795831966723206\cdots ^{\circ },\\\psi &=180-2\theta \\&=101.73594771534825115992696796128687300408336066553587\cdots ^{\circ }.\\\end{aligned}}}
3305:{\displaystyle {\begin{aligned}&(x-1)\tan \theta =2-x\\&\Leftrightarrow (x-1){\frac {\sqrt {(2+x)(2-x)}}{x}}=2-x\\&\Leftrightarrow (2-x)\cdot ((x-1)^{2}(2+x)-x^{2}(2-x))=0\\&\Leftrightarrow (2-x)\cdot (2x^{3}-2x^{2}-3x+2)=0.\end{aligned}}}
2143:
5293:{\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{390+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
507:
4080:
1178:
1560:{\displaystyle {\begin{aligned}&x=BC=BJ+JC=bx+{\frac {2b}{x\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow x=b{\frac {x^{2}\tan \theta +2}{x\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow b={\frac {x^{2}\tan \theta }{x^{2}\tan \theta +2}}.\end{aligned}}}
3588:
8516:
8487:
3834:
2968:
3529:
2306:
3580:
8152:
5528:
5332:
4651:
4085:
3839:
3593:
2991:
2624:
2364:
1581:
1346:
1183:
1056:
753:
512:
4488:
1051:
2249:
387:
4061:
3419:
3349:
291:
172:
2054:
361:
653:{\displaystyle {\begin{aligned}HB&=HC=\cos \theta ={\frac {x}{2}},\\AH&=\sin \theta ={\frac {x}{2}}\tan \theta ,\\0&<\theta <{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
4312:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {2}},\\x_{n+1}&=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {4x_{n}^{3}-2x_{n}^{2}-2}{6x_{n}^{2}-4x_{n}-3}}.\end{aligned}}}
1325:{\displaystyle {\begin{aligned}&JK:JC=AH:AC\\&\Leftrightarrow b:JC={\frac {x}{2}}\tan \theta :1\\&\Leftrightarrow JC={\frac {2b}{x\tan \theta }}.\end{aligned}}}
234:
3826:
467:
2171:
3784:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x^{3}-2x^{2}-3x+2,\\f'(x)&=6x^{2}-4x-3=6{\bigg (}x-{\frac {1}{3}}{\bigg )}^{2}-{\frac {11}{3}}.\end{aligned}}}
68:
or the Calabi triangle. Thus, the Calabi triangle may be defined as a triangle that is not equilateral and has three placements for its largest square.
2325:
2195:
1020:
408:
8534:
391:
8562:
8619:
3994:{\displaystyle {\begin{aligned}f({\sqrt {2}})&={\sqrt {2}}-2<0,\\f(2)&=4>0,\\f'(x)&>0,\forall x\in .\end{aligned}}}
8624:
8361:
2902:
3445:
2254:
3549:
4613:{\displaystyle x={1 \over 3}{\Bigg (}1+{\sqrt{-23+3i{\sqrt {237}} \over 4}}+{\sqrt{-23-3i{\sqrt {237}} \over 4}}{\Bigg )}.}
1162:{\displaystyle {\begin{aligned}&AB:IJ=BC:BJ\\&\Leftrightarrow 1:b=x:BJ\\&\Leftrightarrow BJ=bx.\end{aligned}}}
8614:
8550:
4013:
2206:
366:
2138:{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}<\theta <{\frac {\pi }{2}},2\sin \theta \cdot 2(\sin \theta -1)\neq 0.}
3803:
4030:
3357:
3318:
260:
141:
5480:
299:
8499:
8470:
4831:
8569:
8220:
1.5513875245483203922619525102646238151635917038038871995280071201179267425542569572957604536135484903
185:
65:
4479:
3799:
209:
3809:
440:
8503:
8474:
8432:
6445:
4827:
4009:
3436:
4071:
8365:
8587:
8558:
8440:
8408:
48:
6477:
52:
5310:
250:
44:
2150:
8436:
8357:
5485:
4637:
4633:
4475:
199:
131:
32:
8608:
8590:
8411:
35:
and defined by its property of having three different placements for the largest
5511:
16:
8595:
8416:
84:
40:
296:
In this case the Calabi triangle is valid for the largest positive root of
28:
8508:
Mémoires de l'Académie royale des
Sciences et Belles-lettres de Berlin
8479:
Mémoires de l'Académie royale des
Sciences et Belles-lettres de Berlin
36:
15:
8504:"Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques"
2963:{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {(2+x)(2-x)}}{x}}.}
2324:
2194:
1019:
407:
8529:
395:
3524:{\displaystyle 2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0,{\sqrt {2}}<x<2}
2301:{\displaystyle a={\frac {\sqrt {2}}{3}},b={\frac {1}{2}}.}
8385:
8383:
8362:"Outline of Proof Regarding Squares Wedged in Triangle"
5206:
5194:
5180:
5168:
5154:
5142:
5128:
5116:
5102:
5090:
5076:
5064:
5050:
5038:
5024:
5012:
4998:
4986:
4972:
4960:
4946:
4934:
4920:
4908:
4894:
4882:
4868:
4856:
6476:, ... then the relevant recursive relation is that of
5441:
101.73594771534825115992696796128687300408336066553587
5209:
5197:
5183:
5171:
5157:
5145:
5131:
5119:
5105:
5093:
5079:
5067:
5053:
5041:
5027:
5015:
5001:
4989:
4975:
4963:
4949:
4937:
4923:
4911:
4897:
4885:
4871:
4859:
4347:
41421356237309504880168872420969807856967187537694...
3575:{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
8150:
5526:
5389:
39.13202614232587442003651601935656349795831966723206
5330:
4846:
4649:
4491:
4363:
8943369375323596617308283187888791370090306159374...
4083:
4033:
3837:
3812:
3591:
3552:
3448:
3360:
3321:
2989:
2905:
2622:
2362:
2257:
2209:
2153:
2057:
1579:
1344:
1181:
1054:
751:
510:
497:
be the foot of the perpendicular drawn from the apex
443:
369:
302:
263:
212:
144:
55:
ratio between the lengths of its sides and its base.
6565:
The successive convergents are given by the formula
4792:
1.55138752454832039226195251026462381516359170380389
4457:
1.55138752454832039226195251026462381516359170380388
4379:
324943049375428807267665439782489231871295592784...
8328:
6421:
5462:
5292:
4806:
4612:
4395:9234383942912142613029570413117306471589987689...
4323:Newton's method for the root of Calabi's equation
4311:
4055:
3993:
3820:
3783:
3574:
3523:
3413:
3343:
3304:
2962:
2885:
2602:
2300:
2243:
2165:
2137:
2040:
1559:
1324:
1161:
997:
652:
461:
381:
355:
285:
228:
166:
119:. Then we can consider the following three cases:
6407:
6400:
6393:
6368:
6363:
6360:
6359:
6331:
6328:
6307:
6287:
6240:
6206:
6199:
6174:
6169:
6166:
6165:
6137:
6134:
6116:
6099:
6023:
6016:
5999:
5980:
5963:
5950:
5747:
5727:
5514:of complex number, we can calculate the value of
4776:
4769:
4762:
4737:
4732:
4729:
4728:
4700:
4697:
4676:
4602:
4510:
3750:
3726:
923:
898:
827:
802:
8202:10264770284430115358350493989796951584352149694
8101:6616509493602288551995313304988866597070326335
8098:10264770284430115358350493989796951584352149694
8087:4944317886245587226204174217016211880310031204
8073:1672191607356701325791139087972654716760295131
8059:1599934671532184574621896041070902446789440942
8205:6616509493602288551995313304988866597070326335
8084:7670553086122525545640890034992195408332199945
8070:2594217198307589812709603954804756176019949749
8056:2482118689507345920221682125382683056292300447
6677:we can calculate the rational approxmation of
8045:72256935824516751169243046901752269970854189
8042:112098508800243892487921829422073119727649302
8031:10282083392816048898549009232352507430648784
8:
8475:"Sur la résolution des équations numériques"
8028:15951495901980285487401878097074422284015803
6431:Then this Cardano's method is equivalent as
4411:8074244056538641010106649611908076010328...
2244:{\displaystyle x={\sqrt {2}},\tan \theta =1}
97:. If the ratio of the base to either leg is
8017:282352074804408879399982275284717956312701
8003:117408699857329240149647322102661003391548
4441:1.55138752454832039226195251026462381516359
382:{\displaystyle x=1.55138752454832039226...}
8014:438037486381894076108682742552163739538681
8000:182146392232098747489299365196527660623287
7989:47534675089750399100687631079395949529605
7975:22339349677828441948272059943869104332338
6682:
4321:
8447:. New York: Springer-Verlag. p. 206.
8402:
8400:
8398:
8310:
8278:
8265:
8252:
8242:
8199:
8181:
8171:
8165:
8151:
8149:
7986:73744701917696581130084012159108418292107
7972:34656988396705585229131340878310824039073
7961:2855975734093515204143511191657740864929
7947:2347519539173835519267481602264918277835
6406:
6405:
6399:
6398:
6392:
6391:
6381:
6372:
6362:
6361:
6350:
6336:
6330:
6329:
6318:
6306:
6305:
6295:
6286:
6285:
6278:
6268:
6266:
6256:
6251:
6239:
6238:
6228:
6205:
6204:
6198:
6197:
6187:
6178:
6168:
6167:
6156:
6142:
6136:
6135:
6124:
6115:
6114:
6104:
6098:
6097:
6084:
6079:
6062:
6052:
6050:
6040:
6035:
6022:
6021:
6015:
6014:
6004:
5998:
5997:
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3351:, we can get the following equation:
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2199:Example figure of Calabi triangle 03
1024:Example figure of Calabi triangle 02
412:Example figure of Calabi triangle 01
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39:that it contains. It is an
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4014:Intermediate value theorem
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2180:is equilateral triangle.
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4016:, the Calabi's equation
3546:We can set the function
3435:is the largest positive
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2346:with its side length as
2310:Then no value is valid.
1041:with its side length as
489:with its side length as
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